极限与导数部分
函数、极限、连续 一、极限
（一）极限基本概念 1、极限的定义
（1）数列极限：设}{na为一个数列，A为常数，若对任意0，总存在0)(N，当
)(Nn时，有||Aan成立，则称A为数列}{na的极限，记Aannlim或
)(nAan。
（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(xf为一个函数，A为一个常数，若对任意0，存在0X，当Xx||时，有|)(|Axf成立，称)(xf当x时以A为极限，记为Axfx)(lim或)()(xAxf。 （3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(xf为一个函数，A为一个常数，若对任意0，存在0，当||0ax时，有|)(|Axf成立，称)(xf当ax时以A为极限，记为Axfax)(lim或)()(axAxf。
（4）左右极限：)(lim)0(0xfafaxdef，)(lim)0(0xfafaxdef，分别称)0(),0(afaf为函数)(xf在ax处的左右极限，)(limxfax存在)0(),0(afaf都存在且相等。 问题： （1）若对任意的0，总存在0N，当Nn时，有2||Aan，数列}{na是否以常数A为极限？ （2）若数列}{na有一个子列以常数A为极限，数列}{na是否以常数A为极限？
（3）若数列}{na的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{na是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{na的极限是否存在？ 2、无穷小 （1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。 （2）无穷小的性质 1）有限个无穷小之和与积还是无穷小； 2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小； 3）极限与无穷小的关系： （3）无穷小的层次关系 1）定义： 2）性质：
设~,~，且lim存在，则limlim；
~的充分必要条件是)(o
。
（4）当0x时常见的等价无穷小： 1）)1ln(~1~arctan~arcsin~tan~sin~xexxxxxx；
2）222~cos1,2~cos1xaxxxa； 3）axxa~1)1(。 （5）无穷大 1）定义： 2）无穷大与无穷小的关系。 问题： （1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？
（2）设,,都是无穷小，且)(),(oo，是否一定有~？ （3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。 （二）极限的性质 1、极限的基本性质 （1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。 （2）有界性 1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。 2）函数极限的局部有界性： （3）保号性 1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零； 2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。 （4）列与子列极限极限的关系： 2、极限的存在性定理与重要极限 定理1 单调有界的数列必有极限。 定理2 夹逼定理（数列及函数）： 重要极限：
（1）1sinlim0xxx； （2）e10)1(lim； （3）axaxxln1lim0。 3、极限运算性质 （1）四则运算性质 （2）复合函数极限运算性质 注解： 问题： （1）若}{na有界，nnalim是否一定存在？
（2）若Aannlim，当nm时，是否一定有||||AaAanm？举例说明。 （3）若)]()(lim[xgxf存在，)(limxf及)(limxg是否存在？若)]()(lim[xgxf及)(limxg存在，是否一定有)(limxf存在？
（4）若)0(0)(xf，且Axf)(lim，是否一定有)0(0A？举例说明。
二、连续与间断 （一）基本概念 1、函数连续的定义 （1）函数在一点连续的定义及等价定义 （2）函数在闭区间上连续的定义 2、间断及其间断点的分类 （1）第一类间断点： （2）第二类间断点。 （二）闭区间上连续函数的性质 1、最值定理 2、有界定理 3、零点定理 4、介值定理 （1）最值型介值定理： （2）端点型介值定理： 注解： （1）初等函数在其定义域内连续； （2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。 问题：
（1）设)(),(xgxf都在ax处间断，则)(,)()(),()(),()(2xfxgxfxgxfxgxf是否一定在ax处间断？ （2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。
例题部分
例1、求2xx0e1limxln(12x) 例2、设)0(~22332xaxxb，求a,b的值 例3、设2)](1ln[lim20xxfx，则______)(lim20xxfx。 例4、设Aaxbxfax)(lim，则______lim)(axeeaxfax。 例5、求极限1nnnnnlim(abc)(a0,b0,c0)。 例6、设0,0,12sin)(2xaxxexxfax在点0x处连续，则______a。 例7、判别函数)1ln()(2xxxf的奇偶性，并求其反函数 二、练习题 1.求下列极限：
（1）2010102000)25()23()12(limxxxx。 （2）)1ln()13ln(lim102xxxx。
（3）)0(2cos2cos2coslim20xxxxnx。 （4）)0,0()2(lim10babaxxxx。 （5）)12)(12(1531311limnnn （6）)cos1(sin1tan1lim0xxxxx。 2、设naaa,,,21为常数，)1ln()21ln()1ln()(21nxaxaxaxfn。且|||)(|xxf，证明：1|2|21nnaaa。
3、求极限)2211(lim222nnnnnn
。
4、设],[)(baCxf，)1](,[nibaxi，)1(0niki且121nkkk，证明：存在],[ba，使得)()()(11nnxfkxfkf。
第二讲 导数与微分 一、导数的基本概念 设)(xfy在ax的邻域内有定义，)()(afxafy，若xyx0lim存在，则称函数)(xfy在点ax可导，极限称为函数)(xfy在ax处的导数，记为)(af。 注解： （1）若xyx0lim存在，称此极限为函数)(xf在ax处的右导数，记为)(af，若xyx
0lim
存在，称此极限为函数)(xf在ax处的左导数，记为)(af，函数)(xf在ax处可导的充分必要条件是)(af与)(af都存在且相等。 （2）导数的等价定义
xyafx0lim)(，axafxfafax)()(lim)(。
注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。 问题：
（1）设)(af存在，问hhafhafh)2()3(lim0是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。 （2）设hhafhafh)()2(lim0存在，问)(af是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。
（3）设)1ln()0(cosh)1(lim20hffh存在，)0(f是否存在？说明理由。
（4）设nafnafn/1)()1(lim存在，)(af是否存在？说明理由。 （5）设)(xf在ax处可导，问)(xf是否在ax处连续？ （6）)(xf在ax处可导，是否有)(xf在ax的邻域内连续？ （7）是否存在只有一个可导点的函数？
二、求导工具 （一）求导基本公式 1、0)(C（常数函数导数公式）；
2、1)(aaaxx，特殊情形21)1(,21)(xxxx（幂函数导数公式）； 3、aaaxxln)(，特殊情形xxee)(（指数函数导数公式）； 4、axxaln1)(log，特殊情形xx1)(ln（对数函数导数公式）； 5、（三角函数导数公式）： 1）xxcos)(sin； 2）xxsin)(cos； 3）xx2sec)(tan；
4）xx2csc)(cot； 5）xxxtansec)(sec； 6）xxxcotcsc)(csc； 7）xx2sin)(sin2； 8）xx2sin)(cos2； 9）xxx2cos)cos(sin。 6、（反三角函数导数公式）：
1）211)(arcsinxx； 2）211)(arccosxx；
3）211)(arctanxx； 4）211)cot(xxarc。 7、补充公式：
1）2sin)(sin)(nxxn； 2）2cos)(cos)(nxxn；
3）)]()([])([xfxfexfexx。 （二）求导法则 1、四则求导法则
（1）vuvu)(；
（2）vuvuuv)(，ukku)(； （3）2)(vvuvuvu； （4）)()1(1)(0)()(nnnnnnnnuvCvuCvuCuv。
2、复合函数求导法则 设)(),(xuufy皆可导，则)]([xfy可导，且)()(xufdxdududydxdy。 3、反函数的导数
设)(xfy与)(ygx互为可导的反函数，且0)(yg，则)(1)(ygxf。 注解： （1）原函数与其反函数的导数之间为倒数关系； （2）二阶导数之间没有这种关系。
极限,导数,微分,积分
极限,导数,微分,积分
极限、导数、微分和积分是微积分学中的重要概念和工具。
它们在数学和物
理学等多个领域中起着至关重要的作用。
本文将介绍这些概念的含义和应用，并
探讨它们之间的关系。
正文
一、极限
极限是微积分学中的基本概念，用于描述函数在某一点的趋势。
当自变量逐渐接近某一特定值时，函数的取值是否趋近于某个确定的常数。
极限可以用于计算函数的连续性、收敛性以及一些数列和级数的求和等问题。
二、导数
导数是描述函数变化率的概念。
它表示函数在某一点的切线斜率。
导数可以用于求解函数的最值、判断函数的增减性以及描述物理学中的速度、加速度等概念。
三、微分
微分是导数的一种表示方式，也是微积分的重要组成部分。
微分可以理解为函数在某一点附近的局部线性近似。
通过微分可以求解函数的极值点、最大值和最小值等问题。
四、积分
积分是导数的逆运算，用于求解函数曲线下的面积。
积分可以用
于计算函数的定积分和不定积分，求解曲线的长度、质量、重心等问题。
极限、导数、微分和积分之间有着密切的联系。
导数可以通过极限来定义，微分可以通过导数来计算，积分则是微分的逆运算。
这些概念共同构成了微积分学的基础理论，为解决实际问题提供了强大的工具。
总结：
极限、导数、微分和积分是微积分学中的重要概念和工具。
它们通过描述函数的趋势、变化率以及曲线下的面积等，为数学和物理学等领域提供了强大的计算工具。
这些概念之间存在着紧密的联系，相互补充、相互推导，共同构成了微积分学的核心内容。
极限和导数 -详细本
定理4.7(介值性定理)若函数 在闭区间 上连续，且 ，若 为 介于之间的任何实数（ 或 ）,则在开区间 内至少存在一点 ，使得 .
推论（根的存在定理）若函数 在闭区间 上连续，且 异号，则至少存在一点 使得 .即 在 内至少有一个实根.
当Δx→0时，Δy→0。 当Δx→0时，Δy不趋向于零。
定义：设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量 也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x0连续。用极限表示，就是
或
定义2：设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x1→x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f(x0),即
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
和差化积4个
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cosห้องสมุดไป่ตู้(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。
4无穷小的定理:
定理1：设
定理2： 设 , 且 存在，则
=
5 无穷小的比较
①无穷小量阶的定义,设 .
(1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量.
(2) .
(3) 是同阶无穷小量.
(4) ,记为 .
(5)
导数极限存在和导数存在的关系
导数极限存在和导数存在的关系
导数极限存在和导数存在是微积分中的两个概念，它们之间存在一定的联系和区别。
首先，导数极限存在指的是函数在某一点处的导数的极限存在，即函数在该点处的切线在该点处存在。
如果函数在某一点处的导数的极限存在，则该点处的导数也存在。
其次，导数存在指的是函数在某一点处的导数存在，即函数在该点处的切线存在。
如果函数在某一点处的导数存在，则该点处的导数的极限也存在。
可以看出，导数极限存在是导数存在的充分条件，但不是必要条件。
例如，函数f(x)=|x|在x=0处的导数不存在，但其导数极限存在。
又例如，函数f(x)=x^2sin(1/x)在x=0处的导数存在，但其导数极限不存在。
在实际应用中，导数极限存在和导数存在的概念经常被用于求解极值和判断函数的连续性。
因此，了解它们之间的联系和区别是非常重要的。
- 1 -。
极限与导数方法小结ppt课件
•
这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍
是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷
大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子
与分母都可用等价无穷小代替).[3]
•
设α~α'、β~β' 且lim lim ' ；则：β与α是等价无穷小的充分必
求极限与导数的方法小节
1
极限的起源(欧洲篇）
• 提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里 斯悖论—一个困扰了数学界十几个世纪的问 题。阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家 芝诺提出的，他的话援引如下：
• 不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌 龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够 走开。然而即使它等着他，阿基里斯也必须 首先到达他们之间一半路程的目标，并且， 为了他能到达这个中点，他必须首先到达距 离这个中点一半路程的目标，这样无限继续 下去。从概念上，面临这样一个倒退，他甚 至不可能开始，因此运动是不可能的。”就 是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能 的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世 纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一 步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的 困惑才得以解除
）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中
形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,
幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位
置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.
•
洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某
去心邻域内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 . [1]
2
极限的起源（中国篇）
高中数学的解析函数中的极限与导数
高中数学的解析函数中的极限与导数解析函数是指能够用解析式表示的函数，也就是用符号表达出来的函数。
在高中数学中，解析函数的极限与导数是重要的概念和技巧，对于理解函数的性质和计算函数值具有重要意义。
一、解析函数的极限解析函数的极限描述了函数在某个点附近的表现。
具体而言，对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某一定值a时，如果函数值f(x)也无限接近于一个常数L，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
解析函数的极限可以通过代入法、夹逼法、拉'Hospital法则等多种方法来求解。
代入法是最基本的方法，通过将x的值无限接近于a，计算对应的函数值来确定极限。
夹逼法则是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，利用这两个函数的极限值相等来求解原函数的极限。
拉'Hospital法则则是通过利用导函数的极限求解原函数的极限，它适用于某些特殊形式的不定型。
二、解析函数的导数解析函数的导数描述了函数在任意一点的变化率。
对于函数f(x)，它的导数f'(x)表示了函数在点x处的瞬时变化率。
导数的定义是lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，也可以记作f'(x)=lim(h→0)(Δf/Δx)，其中Δf和Δx分别表示函数值和自变量的变化量。
解析函数的导数可以通过求导法则来求解。
常见的求导法则包括函数的四则运算法则、链式法则、乘积法则、商法则等。
通过这些法则，可以将复杂函数的导数计算转化为基础函数的导数计算，从而简化求解的过程。
三、解析函数的极限与导数的关系在解析函数中，极限与导数之间存在着重要的关系。
具体而言，如果函数f(x)在某个点x=a的极限存在，并且该点的导数也存在，则两者是相互关联的。
极限存在的充分必要条件是导数存在，并且它们的值相等。
这个关系可以通过解析函数的定义和导数的定义来理解。
当自变量的变化量趋近于0时，函数值的变化量与自变量的变化量之比等于导数，并且这个比值与自变量的变化量的极限值相等。
极限思想在数学导数中的应用
极限思想在数学导数中的应用极限思想在数学导数中占据着重要的地位，它能够消除坐标系变量而将极限带入计算，使数学计算变得更加有效和统一，为研究和定理的归纳提供了巨大的好处。
极限思想在计算数学导数方面是比较重要的，当一个变量不断接近某个数，我们就说这个变量接近极限。
这个空间的连续的概念就是极限，它是一种概念，可以构成我们熟悉的连续体。
极限可以帮助我们判断函数是否存在，函数是否连续，求函数的局部最大最小值，以及其它运算表达式的极限等等。
在极限和导数方面，数学家们利用变量接近极限的概念来计算函数的导数，这就是定义求导法则的出发点，也就是使用变量x慢慢接近d，而dx则会快速收敛接近0，此时df/dx就会逐步收敛到函数f的导数的值。
因此极限的概念正是进一步定义函数f函数的导数的基础。
另外，极限思想在用于求导数的特殊方法中也扮演着核心作用。
例如，我们在求取已知函数y = f（x）的某一特定值点x0处的梯度时，借助极限思想，我们可以可以将x0作为h到有限小的极限，这样我们就可以求出f（x0）的导数，并且可以获得一个更准确的梯度求解，从而更准确地得出对对应函数的曲线的分析结果。
极限思想为计算函数有效性和定义各项数学公式提供了基础。
在微积分中，极限思想也为开发和应用各项函数提供了指导思想。
在我们定义函数走势时，尤其是复杂函数，利用极限思想与定义将变量慢慢收缩到极限，从而制定函数走势，就成为了一种常用的技术。
极限思想的出现为若干的问题的研究和分析以及定义提供了基础和方法，使数学变得更加完整，有效，统一和严谨，它是构成现代数学的重要部分，广泛并无处不在地应用于从中学到研究阶段的诸多数学方面。
总而言之，极限思想在数学导数中占据着重要的地位，在构建数学理论与求解问题中都有重要作用，充分显示了极限思想与不确定性问题解决有着重要的作用。
只有利用极限思想和极限现象，才能获得更准确和更可靠的数学计算结果。
三角函数的极限计算与导数结合应用
三角函数的极限计算与导数结合应用三角函数是数学中重要的一个分支，其通过极限计算与导数的结合应用可以在许多实际问题中得到广泛的应用。
本文将介绍三角函数的极限计算和导数应用，并探讨它们在几个具体问题中的应用。
1. 极限计算三角函数的极限计算是研究三角函数在特定点或无穷远点的趋势问题。
在计算极限时，常用到以下几个基本的极限：- $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$：这个极限是计算其他三角函数极限的基础，它能够将三角函数与直角三角形中的正弦比（$\frac{\sinx}{x}$）联系起来。
- $\lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^x=e$：这个极限与三角函数直接相关，通过取对数和指数运算，可以得到三角函数的极限值。
2. 导数的计算导数是描述函数变化率的工具，而三角函数的导数是指其在某一点的切线斜率。
三角函数的导数计算需要使用基本的导数公式，并结合三角函数的特点进行推导。
下面是几个常见的三角函数导数公式：- $(\sin x)'=\cos x$：正弦函数的导数是余弦函数。
- $(\cos x)'=-\sin x$：余弦函数的导数是负的正弦函数。
- $(\tan x)'=\sec^2 x$：正切函数的导数是其平方的倒数。
3. 导数的应用通过将导数与三角函数结合应用，可以解决许多实际问题。
以下是几个具体例子：- 利用导数求解极值问题：根据函数的导数求函数的极值点，进而帮助解决实际问题。
例如，在解决最优化问题中，可以将问题转化为求函数的极值点的问题，然后利用导数计算出极值点的坐标。
- 利用导数解决速度和加速度问题：将物体的位移、速度和加速度之间的关系用函数表示，通过对函数求导，可以计算出速度和加速度的变化情况。
这在物理学中的运动学问题中尤为常见。
- 利用导数推导其他三角函数的导数：通过已知三角函数的导数公式，可以推导出其他三角函数的导数公式。
Ch2导数与极限2.2.1
三、数列的极限
三、数列的极限
观察数列 {1 +
( −1)n−1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
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( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
三、数列的极限
( −1)n−1 观察数列 {1 + } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . n
a3
例如
2, 4, 8,
,2 n ,
;
1 1 1 , , , 2 4 8
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,
1 , 2n
;
{2 n } 1 { n} 2
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a1
a 2 a4
an
2.数列是整标函数 a n = f (n). 相应有单调性、有界性等性质。
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三、数列的极限
1 1 = n n
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给定 ε > 0, 只要 n > N ( = [1])时, 有 a n − 1 < ε成立. ε
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定义
如果对于任意给定的正数 ε (不论它
极限与导数的基本性质考察
极限与导数的基本性质考察极限与导数是微积分中的重要概念，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
本文将对极限与导数的基本性质进行考察，以便更好地理解它们的定义和特点。
一、极限的基本性质1.1 无穷大与无穷小在讨论极限时，我们常常会遇到无穷大和无穷小的概念。
无穷大是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于正无穷或负无穷的情况。
而无穷小则是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的情况。
通过研究无穷大和无穷小，我们可以更好地理解极限的性质。
1.2 保号性对于一元函数而言，如果在某一点附近函数值始终大于零（或小于零），那么该点就是函数的一个零点。
保号性是指在某一点附近函数值的正负性与该点的零点性质之间的关系。
通过研究保号性，我们可以得到一些函数在某些点附近的极限性质。
1.3 代数运算性质极限具有一些基本的代数运算性质，例如加法、减法、乘法和除法。
通过对这些性质的研究，我们可以更方便地计算极限。
二、导数的基本性质2.1 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，它可以用极限的方式定义。
对于一元函数而言，导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
通过导数的定义，我们可以更好地理解导数的含义。
2.2 导数与函数的性质导数具有一些与函数性质相关的特点。
例如，函数在某一点处可导，则该点必然是函数的连续点；函数在某一点处连续，不一定可导。
通过研究导数与函数的性质，我们可以得到一些函数在某些点的导数性质。
2.3 导数的运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如常数乘法法则、和差法则、乘法法则和除法法则。
通过对这些运算法则的研究，我们可以更方便地计算导数。
三、极限与导数的关系3.1 极限与导数的定义极限和导数都是通过极限的方式定义的。
极限是函数在某一点的趋近行为，而导数是函数在某一点的变化率。
通过对极限和导数的定义的比较，我们可以发现它们之间的联系和区别。
3.2 极限与导数的计算通过极限和导数的计算，我们可以得到一些函数在某些点的极限值和导数值。
极限与导数之间的关系
极限与导数之间的关系
h应是一个具体的，有限小的变化量，并不是无穷小。
用具体有限小的变化量去描述导数，里面就用到了极限的思想极限的定义：一个变量逼近另一个变量
求函数x^3在x=2处的导数，就是下面的函数。
我们把他先看做关于h的函数，并画出图像。
可以看到当h=0时，函数值在这个点没有定义，x=0是个间断点。
但是根据图像可算得当x 趋向于0时，函数值趋向于12。
x从0点的左右两端趋于0
从而得到极限的定义：你总能在极限点的附近，离0点距离为某的塔的取值范围内，找到一系列的取值点，使得范围内任意一取值点，他的函数值都处在距离为12的E的范围内。
无论E多么小，总能找到其对应的的塔的值。
那么这个12就是极限。
洛必达法则求解极限
其实洛必达法则就是用的导数的定义。
在计算未定式0/0型时，可以对分子分母分别求导，然后求得这个点的导数值之比，就是式子的极限值。
先来看这个函数，想要知道在X=1处的函数值，但是没有办法带入，怎么办呢？
我们可以把他看做上下两个不同的函数，先求出上面函数在
x=1时的函数变化率
得到当x->1时图像sinπx与dx成比例，即函数的变化率是个常数-πdx
同理，求得上面的函数x^2-1的函数变化率是2dx
求得函数极限
在趋于某个点时，两个函数之比可以认为是各自在这个点的导数值，这也是这个式子的极限值的精确值
变化量dx越小，比值越精确。