极限与导数部分

函数、极限、连续 一、极限

（一）极限基本概念 1、极限的定义

（1）数列极限：设}{na为一个数列，A为常数，若对任意0，总存在0)(N，当

)(Nn时，有||Aan成立，则称A为数列}{na的极限，记Aannlim或

)(nAan。

（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(xf为一个函数，A为一个常数，若对任意0，存在0X，当Xx||时，有|)(|Axf成立，称)(xf当x时以A为极限，记为Axfx)(lim或)()(xAxf。 （3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(xf为一个函数，A为一个常数，若对任意0，存在0，当||0ax时，有|)(|Axf成立，称)(xf当ax时以A为极限，记为Axfax)(lim或)()(axAxf。

（4）左右极限：)(lim)0(0xfafaxdef，)(lim)0(0xfafaxdef，分别称)0(),0(afaf为函数)(xf在ax处的左右极限，)(limxfax存在)0(),0(afaf都存在且相等。 问题： （1）若对任意的0，总存在0N，当Nn时，有2||Aan，数列}{na是否以常数A为极限？ （2）若数列}{na有一个子列以常数A为极限，数列}{na是否以常数A为极限？

（3）若数列}{na的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{na是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{na的极限是否存在？ 2、无穷小 （1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。 （2）无穷小的性质 1）有限个无穷小之和与积还是无穷小； 2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小； 3）极限与无穷小的关系： （3）无穷小的层次关系 1）定义： 2）性质：

设~,~，且lim存在，则limlim；

~的充分必要条件是)(o

。

（4）当0x时常见的等价无穷小： 1）)1ln(~1~arctan~arcsin~tan~sin~xexxxxxx；

2）222~cos1,2~cos1xaxxxa； 3）axxa~1)1(。 （5）无穷大 1）定义： 2）无穷大与无穷小的关系。 问题： （1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？

（2）设,,都是无穷小，且)(),(oo，是否一定有~？ （3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。 （二）极限的性质 1、极限的基本性质 （1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。 （2）有界性 1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。 2）函数极限的局部有界性： （3）保号性 1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零； 2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。 （4）列与子列极限极限的关系： 2、极限的存在性定理与重要极限 定理1 单调有界的数列必有极限。 定理2 夹逼定理（数列及函数）： 重要极限：

（1）1sinlim0xxx； （2）e10)1(lim； （3）axaxxln1lim0。 3、极限运算性质 （1）四则运算性质 （2）复合函数极限运算性质 注解： 问题： （1）若}{na有界，nnalim是否一定存在？

（2）若Aannlim，当nm时，是否一定有||||AaAanm？举例说明。 （3）若)]()(lim[xgxf存在，)(limxf及)(limxg是否存在？若)]()(lim[xgxf及)(limxg存在，是否一定有)(limxf存在？

（4）若)0(0)(xf，且Axf)(lim，是否一定有)0(0A？举例说明。

二、连续与间断 （一）基本概念 1、函数连续的定义 （1）函数在一点连续的定义及等价定义 （2）函数在闭区间上连续的定义 2、间断及其间断点的分类 （1）第一类间断点： （2）第二类间断点。 （二）闭区间上连续函数的性质 1、最值定理 2、有界定理 3、零点定理 4、介值定理 （1）最值型介值定理： （2）端点型介值定理： 注解： （1）初等函数在其定义域内连续； （2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。 问题：

（1）设)(),(xgxf都在ax处间断，则)(,)()(),()(),()(2xfxgxfxgxfxgxf是否一定在ax处间断？ （2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。

例题部分

例1、求2xx0e1limxln(12x) 例2、设)0(~22332xaxxb，求a,b的值 例3、设2)](1ln[lim20xxfx，则______)(lim20xxfx。 例4、设Aaxbxfax)(lim，则______lim)(axeeaxfax。 例5、求极限1nnnnnlim(abc)(a0,b0,c0)。 例6、设0,0,12sin)(2xaxxexxfax在点0x处连续，则______a。 例7、判别函数)1ln()(2xxxf的奇偶性，并求其反函数 二、练习题 1.求下列极限：

（1）2010102000)25()23()12(limxxxx。 （2）)1ln()13ln(lim102xxxx。

（3）)0(2cos2cos2coslim20xxxxnx。 （4）)0,0()2(lim10babaxxxx。 （5）)12)(12(1531311limnnn （6）)cos1(sin1tan1lim0xxxxx。 2、设naaa,,,21为常数，)1ln()21ln()1ln()(21nxaxaxaxfn。且|||)(|xxf，证明：1|2|21nnaaa。

3、求极限)2211(lim222nnnnnn

。

4、设],[)(baCxf，)1](,[nibaxi，)1(0niki且121nkkk，证明：存在],[ba，使得)()()(11nnxfkxfkf。

第二讲 导数与微分 一、导数的基本概念 设)(xfy在ax的邻域内有定义，)()(afxafy，若xyx0lim存在，则称函数)(xfy在点ax可导，极限称为函数)(xfy在ax处的导数，记为)(af。 注解： （1）若xyx0lim存在，称此极限为函数)(xf在ax处的右导数，记为)(af，若xyx



0lim

存在，称此极限为函数)(xf在ax处的左导数，记为)(af，函数)(xf在ax处可导的充分必要条件是)(af与)(af都存在且相等。 （2）导数的等价定义

xyafx0lim)(，axafxfafax)()(lim)(。

注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。 问题：

（1）设)(af存在，问hhafhafh)2()3(lim0是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。 （2）设hhafhafh)()2(lim0存在，问)(af是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。

（3）设)1ln()0(cosh)1(lim20hffh存在，)0(f是否存在？说明理由。

（4）设nafnafn/1)()1(lim存在，)(af是否存在？说明理由。 （5）设)(xf在ax处可导，问)(xf是否在ax处连续？ （6）)(xf在ax处可导，是否有)(xf在ax的邻域内连续？ （7）是否存在只有一个可导点的函数？

二、求导工具 （一）求导基本公式 1、0)(C（常数函数导数公式）；

2、1)(aaaxx，特殊情形21)1(,21)(xxxx（幂函数导数公式）； 3、aaaxxln)(，特殊情形xxee)(（指数函数导数公式）； 4、axxaln1)(log，特殊情形xx1)(ln（对数函数导数公式）； 5、（三角函数导数公式）： 1）xxcos)(sin； 2）xxsin)(cos； 3）xx2sec)(tan；

4）xx2csc)(cot； 5）xxxtansec)(sec； 6）xxxcotcsc)(csc； 7）xx2sin)(sin2； 8）xx2sin)(cos2； 9）xxx2cos)cos(sin。 6、（反三角函数导数公式）：

1）211)(arcsinxx； 2）211)(arccosxx；

3）211)(arctanxx； 4）211)cot(xxarc。 7、补充公式：

1）2sin)(sin)(nxxn； 2）2cos)(cos)(nxxn；

3）)]()([])([xfxfexfexx。 （二）求导法则 1、四则求导法则

（1）vuvu)(；

（2）vuvuuv)(，ukku)(； （3）2)(vvuvuvu； （4）)()1(1)(0)()(nnnnnnnnuvCvuCvuCuv。

2、复合函数求导法则 设)(),(xuufy皆可导，则)]([xfy可导，且)()(xufdxdududydxdy。 3、反函数的导数

设)(xfy与)(ygx互为可导的反函数，且0)(yg，则)(1)(ygxf。 注解： （1）原函数与其反函数的导数之间为倒数关系； （2）二阶导数之间没有这种关系。