单样本t检验统计原理
单样本t检验例题及答案
单样本t检验例题及答案课题：单样本t检验一、简介单样本T检验，用来检验是否有显著性差异，以及存在什么样的差异。
它假设样本来自正态分布的总体，但是并没有要求两端对称，只要单边有统计显著性就行。
它是实验研究中常用的假设检验方法之一，它将检验样本与某一假设值（通常是总体的平均值、中心假设）之间的偏差作概率分析，判断其是否具有统计学显著性。
二、计算步骤（1）数据准备：我们有一组实验数据，每个受试者吃一顿饭后其血糖指数，我们假设其均在正态分布，计算其均数μ0和标准差σ；（2）计算单样本t值、概率P值：将t值和一定的α（一般α<0.05）的概率值带入t分布概率密度函数中求出概率P值，比较P值能区分做出是否拒绝零假设的结论；（3）最终结果：如果P值<α，则拒绝零假设，说明实验结果有显著性差异，否则，则接受零假设，说明实验结果无显著性差异。
三、示例分析下面为例，20位受试者吃完晚饭后1小时血糖指数测量值：88、86、96、86、75、93、93、78、100、85、86、89、81、85、87、77、90、88、95、94，检验其平均血糖指数和中心假设μ0=80之间是否有显著差异。
（1）数据处理：用上述数据得到均值＝87.15，标准差＝8.427；（2）计算单样本t值和概率P值：单样本t值为7.349，P值<0.001，α<0.05；（3）最终结果：由于概率P值<α，可以拒绝零假设，说明实验结果有显著性差异，即血糖指数与中心假设μ0=80之间有显著差异。
四、结论从上面的例子可以看出，单样本t检验是一种能够测量统计显著性的方法，用来检验样本数据和中心假设μ0之间的差异，它的特点在于只需要一个样本，就能判断两者间是否存在显著性差异。
假设检验与样本数量分析①——单样本Z检验和单样本t检验
X
32.03 + 32.14 + … + 31.87 15
…
1.9 2.0
…
0.029 0.023
…
0.028 0.022
…
0.027 0.022
…
0.0226 0.020
…
0.025 0.020
…
0.024 0.019
…
0.024 0.019
…
0.023 0.018
原假设 （零假设）即上述的可能，符号是H0
备择假设（与原假设对立的假设），符号是H1
如本例：假设外径尺寸 H0：（μ = 32） H1： （μ≠32） 确立检验水准： α——显著水平（通常取α=0.05）
显著水平α是当原假设正确却被拒绝的概率 通常人们取0.05或0.01 这表明，当做出接受原假设的决定时，其正确的可 能性（概率）95% 或99% 概率是0～1之间的一个数，因此小概率就是接近0的 一个数 英国统计家Ronald Fisher 把0.05作为标准，从此0.05 或比0.05小的概率都被认为是小概率
8 作出不拒绝零假设的统计结论，即外径尺寸 均值没有偏离目标Ф 32
<6>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识
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假设检验的例子（1）
检验 α = 0.05
临界值 临界值
2
=0.025
拒绝范围
1 – α = 95%
不拒绝H0范围
2
=0.025
根据小概率原理，可以先假设总体参数的 某项取值为真，也就是假设其发生的可能 性很大，然后抽取一个样本进行观察，如 果样本信息显示出现了与事先假设相反的 结果（显示出小概率），则说明原来假定 的小概率事件(一次实验中是几乎不可能发 生）在一次实验中居然真的发生了，这是 一个违背小概率原理的不合理现象，因此 有理由怀疑和拒绝原假设；否则不能拒绝 原假设。 在给定了显著水平α 后，根据容量为n的样 本，按照统计量的理论概率分布规律，可 以确定据以判断拒绝和接受原假设的检验 统计量的临界值。 临界值将统计量的所有可能取值区间分为 两个互不相交的部分，即原假设的拒绝域 和接受域。
t检验计算公式
t检验计算公式在统计学中，t 检验是一种常用的假设检验方法，用于比较两个样本的均值是否存在显著差异。
t 检验的计算公式是其核心部分，理解和掌握这个公式对于正确应用 t 检验至关重要。
t 检验的基本思想是基于样本数据，通过计算 t 值来判断两个样本所代表的总体均值之间的差异是否具有统计学意义。
简单来说，如果计算得到的 t 值较大，超过了一定的临界值，就可以认为两个样本的均值差异不是由随机误差引起的，而是具有实质性的差异。
首先，我们来看看单样本t 检验的计算公式。
假设我们有一个样本，其均值为｀x｀，样本量为｀n`，已知总体均值为｀μ`，样本标准差为｀s`。
那么单样本 t 检验的 t 值计算公式为：｀t ＝（xμ) ／（s ／√n)｀在这个公式中，｀（xμ)｀表示样本均值与总体均值的差值，反映了实际观测值与理论值之间的偏差。
｀s ／√n` 则是标准误差，用于衡量样本均值的抽样误差大小。
接下来是独立样本 t 检验的计算公式。
假设有两个独立的样本，分别为样本 1 和样本 2，其样本量分别为｀n1` 和｀n2`，均值分别为｀x1` 和｀x2`，标准差分别为｀s1` 和｀s2`。
首先，我们需要计算合并方差｀Sp²`：｀Sp²＝（n1 1)s1²＋（n2 1)s2²／（n1 ＋ n2 2)｀然后，独立样本 t 检验的 t 值计算公式为：｀t ＝（x1 x2) ／√（Sp²（1 ／ n1 ＋ 1 ／ n2)）｀这个公式中，｀（x1 x2)｀表示两个样本均值的差值，而｀√（Sp²（1 ／ n1 ＋ 1 ／ n2)）｀是标准误差。
为了更好地理解 t 检验计算公式，让我们通过一个具体的例子来进行说明。
假设我们想要比较两种教学方法对学生成绩的影响。
我们随机选取了两组学生，分别采用不同的教学方法进行教学。
第一组有30 名学生，平均成绩为 85 分，标准差为 10 分；第二组有 25 名学生，平均成绩为90 分，标准差为 8 分。
第7章 单样本t检验
检验统计量
Z X 0 / n
t X 0
S/ n
自由度df= n-1
H0的拒绝域 |Z|≥Zα/2
Z≤－Zα
Z≥Zα |t|≥tα/2
t≤－tα
t≥tα
双侧检验与单侧检验
• 双侧检验（two-tailed test，two-sided test）：零假设为无显著差异的情况；
提示语：
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• 左侧检验（left-tailed test）：零假设为 大于等于的情况；
• 右侧检验（right-tailed test） ：零假设 为小于等于的情况。
例题
某车间生产的铜丝的折断力服从正态 分布，其平均折断力为570公斤，标准差 为8公斤。
现由于原料更换，虽然认为标准差不 会有什么变化，但不知道平均折断力是 否与原先一样。
)
n
Z X ~ N (0,12 ) / n
样本均值的抽样分布（σ2已知）
• 非正态总体、σ２已知时
设总体X的均值μ和σ2，当样本容量趋 向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于 正态分布，且样本均值的数学期望和方 差分别为
E(X ) X
D(X )
2 X
2
n
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 正态总体、总体方差σ２未知时
例题
• 上例中，若已知该批零件共有2000件， 抽样方式采用不放回抽样，求该批零件 平均长度的置信水平为95%的置信区间。
t检验条件
t检验条件
t检验又称单样本t检验，是一种研究变量与均值之间关系的统计方法。
它是利用t检验，检验观测样本均值与总体的预期均值之间的关系，从而检验某一总体均值的假设是否成立，以及给出相应的统计意义，这是t检验与z检验的主要区别。
t检验的基本前提条件是：
1.研究的总体的概率分布必须是正态分布。
2.样本数据是母总体的个体变量相互独立，而且变量之间也是独立的。
3.本大小应满足至少大于30个。
4.本是随机取样得到的，可以用频率统计计算。
5.本的变异度应尽可能小，使用方差分析验证样本变异度是否较小。
前述这些前提条件都必须满足，t检验才能正确有效地进行，从而得出正确的结论。
t检验在实际应用时，还需要注意一下几个问题：
1.据检验的具体问题，把从样本取得的数据按实验条件分类，并进行正确的t检验；
2.择合适的样本量大小，使检验结果更具备准确性和说服力；
3.据检验水平和自由度，选择合适的t分布表；
4.用正确的计算方法，确定t检验的假设概率；
5.果以0.05或0.01为检验水平，根据检验的结果做出合理的结
论。
基本上，t检验的前提条件和应用条件都比较宽松，所以它的应用范围也很广泛，并在很多统计分析中被广泛使用。
在实际工作中，为了准确得出正确的结论，需要正确了解和掌握t检验的前提条件和应用条件，以及正确运用t检验所需要的各种方法，以保证实验样本的正确性，提高t检验结果的准确性。
综上所述，t检验是一种重要的统计方法，在研究变量和均值之间关系时有重要的作用，它的前提条件和应用条件也要求经常更新和认真掌握，以保证结果的正确性和准确性，为统计分析提供支持和依据。
t检验计算公式
t检验计算公式在统计学中，t 检验是一种非常常用且重要的假设检验方法。
它可以帮助我们判断两组数据之间是否存在显著差异。
而要进行 t 检验，就离不开相应的计算公式。
t 检验主要有三种类型：单样本 t 检验、独立样本 t 检验和配对样本t 检验。
每种类型的 t 检验，其计算公式都有所不同，但基本原理是相似的。
首先，我们来看看单样本 t 检验的计算公式。
单样本 t 检验用于检验一个样本的均值是否与某个已知的总体均值存在显著差异。
假设我们有一个样本，其均值为＼（＼overline{x} ＼），样本量为 n，样本标准差为 s。
已知的总体均值为＼（＼mu_0 ＼）。
那么单样本 t 检验的计算公式为：＼ t ＝＼frac{＼overline{x} ＼mu_0}｛＼frac{s}｛＼sqrt{n}｝｝＼在这个公式中，＼（＼overline{x} ＼mu_0 ＼）表示样本均值与总体均值的差值。
＼（＼frac{s}｛＼sqrt{n}｝＼）被称为标准误差，它反映了样本均值的抽样误差大小。
接下来，我们了解一下独立样本 t 检验的计算公式。
独立样本 t 检验用于比较两个独立样本的均值是否存在显著差异。
假设我们有两个独立样本，样本 1 的均值为＼（＼overline{x}＿1 ＼），样本量为＼（ n_1 ＼），样本标准差为＼（ s_1 ＼）；样本2 的均值为＼（＼overline{x}＿2 ＼），样本量为＼（ n_2 ＼），样本标准差为＼（ s_2 ＼）。
首先，我们需要计算合并方差＼（ S_p^2 ＼）：＼ S_p^2 ＝＼frac{（n_1 1)s_1^2 ＋（n_2 1)s_2^2}｛n_1 ＋ n_2 2} ＼然后，独立样本 t 检验的计算公式为：＼ t ＝＼frac{＼overline{x}＿1 ＼overline{x}＿2}｛＼sqrt{S_p^2 （＼frac{1}｛n_1} ＋＼frac{1}｛n_2}）｝｝＼这个公式中的＼（＼overline{x}＿1 ＼overline{x}＿2 ＼）表示两个样本均值的差值，分母部分则是考虑了两个样本的方差和样本量对抽样误差的影响。
第八章 t检验
图1 两组淋巴细胞转化率数据正态性检验结果
（2）两样本的方差齐性检验
图8-12 例8-3资料方差齐性检验结果
(3)两独立样本t检验
①
②
建立检验假设、确定检验水准： H0 ： 1 2 H1 ： ＝0.05 选择检验方法、计算统计量：
1 2
t
x1 x2
s
2.953, 10 10-2 18
统计量t的计算公式：
t x 0 s
n
=n-1
【例8-1】 某中药厂用旧设备生产的六味地黄丸，药丸重的
均数是8.9g，更新设备后，从所生产的产品中随机抽取9 丸，其重量为：9.2，10.0，9.6，9.8，8.6，10.3，9.9， 9.1，8.9g。问：设备更新后生产的丸药的平均重量有无 变化？ 解：（1）单样本的正态性检验
2.平方根变换
3.平方根反正弦变换 4.倒数变换
33
第五节 u检验
对应于t检验的三种方法，若总体方差已知或样本量较大时，样本均 数的分布服从正态分布或近似正态分布，计算的统计量为u，假设检验 方法称为u检验。
0
H０：μ 1＝μ
0
μ1
当样本量一定时, α 愈小, 则 β 愈大，反之α 愈大, 则 β 愈小 增加样本量, 可同时减小α、 β
假设检验的注意事项
1、事先进行严密的统计学设计 2、单侧检验与双侧检验的选择 3、灵活确定α水准
4、选择正确的统计方法
5、正确理解统计推断的意义 （P值越小，越有理由说明总 体参数间有差异）
6、假设检验的结论不能绝对化 （结论具有概率意义）
7、结合专业知识做出推论（统计学意义应结合专业意义进 行解释） 8、CI与假设检验的区别和联系
t检验介绍
date='01-'||i||'-2001';
output;
end;
run;
proc print;
rห้องสมุดไป่ตู้n;
条件循环语句
Do while （条件）； 。。。。。。。。。。。。。。。
End；
Do until （条件）； 。。。。。。。。。。。。。。。
End；
data c;
data d;
amount=1000;
var d; run;
结果解释
proc means 语法 PROC MEANS <option-list> <statistic-keyword-list>; VAR variable-list; BY variable-list; CLASS variable-list; FREQ variable; WEIGHT variable; ID variable-list; OUTPUT <OUT= SAS-data-set> <output-statistic-list> <MINID|MAXID <(var-1<(id-list-1)> <...var-n<(id-list-n)>>)>=name-list>;
T检验备课笔记
统计回顾： t 检验是判断两个样本均数或样本均数和总体均数的差别有无统计学意义的假设 检验方法。 使用范围 一般来自正态总体 方差齐 分类：单样本 t 检验，两样本 t 检验（配对 t 检验、成组 t 检验）
配对 t 检验 1．原理： 检验差值 d 的总体均数是否为 0。
两样本均数差别的 t 检验 data ttest3; do c=1 to 2; input n; do i=1 to n; input x @@; output; end; end; cards; 5 279 334 303 338 198 3 229 274 310
检验两组独立样本均值的差异—独立样本t检验
2.98 3.07 1.71 1.80
1.92 2.19 1.40 1.53
-0.23 -0.28
表5-2所示。
异性交往
文科 理科
1.47 2.44
1.32 1.88
-3.06**
人际总分
文科 理科
9.02 9.70
5.03 6**表p<0.01。
独立样本t检验结果显示，文科生和理科生在交谈、交际、待人接物和人际关系困扰总
9
任 务
——
检
验
独两
立组
样独
本立
t
检 验
样 本 均
值
的
差
异
10
三、应用举例
（一）操作步骤
（1）打开本书配套素材文件“演 示数据-t检验.sav”。
（2）在菜单栏中选择【分析】> 【 比 较 均 值 】>【 独 立 样 本 t 检 验 】 菜单命令。
（3）在弹出的【独 立样本t检验】对话框中 进行设定，如图5-10所 示。
4
t X1 X2 S12 S22 n1 n2
任 务
——
检
验
独两
立组
样独
本立
t
检 验
样 本 均
值
的
差
异
二、操作方法
（ 1 ） 在 SPSS 菜 单 栏 中 选 择 【 分 析 】>【 比 较均值】>【独立样本t 检验】菜单命令，如图 5-6所示。
5
图5-6 独立样本t检验的操作命令
任 务
——
（5）在【独立样本t检验】对话框中单击 【确定】按钮，运行独立样本t检验。
图5-9 【独立样本t检验：选项】对话框
第四章 t检验
3.093＞2.160，所以P＜0.05。按＝0.05检验水准，拒绝H0，接 受H1 ，差异统计学意义。故认为两组的淋巴细胞转化率不同。
【目的要求】
1．掌握假设检验的一般步骤。 2．掌握假设检验中α和P的区别和联系。 3．掌握假设检验中的Ⅰ型错误与Ⅱ型错误的区别和联系。 4．掌握假设检验与可信区间的区别和联系； 5．掌握SPSS进行正态性检验、数据转换、常用均数比较t 检
分析步骤
一、独立样本的方差齐性检验
二、独立样本t检验
一、独立样本的方差齐性检验
1、建立检验假设，确定检验水准：
H0
：
2 1
2 2
H1
：
2 1
2 2
＝0.10
2.选择检验方法、Байду номын сангаас算统计量
F s12
s
2 2
0.003
0.002＝1.5
ν1＝n1－1＝10－1＝9， ν2＝n2－1＝10－1＝9
于分光光度法。
第二节 配对t检验
配对设计：将受试对象按某些重要特征相同或相近的原 则配成对子，以消除其对研究结果的影响，再将每对中的个 体按随机分配的原则给予不同的处理，减小实验误差，提高 研究效率。 配对资料：
同对的两个受试对象分别接受不同处理 同一样品用两种不同方法测试 同一受试对象处理前后的比较或不同部位测定值比较
3. 确定P值、做出推论：F＝1.5＜ F0.05(9,9) 4.03 ，故P＞0.10，按=0.1 0检验水准，不拒绝H0，差异无统计学意义。可认为实热组与虚寒组的
淋巴细胞转化率总体方差齐。
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单样本t检验统计原理
一、引言
单样本t检验（one-sample t-test）是统计学中常用的一种假设检验方法，用于检验一个样本的均值是否等于给定的值。
该方法可以判断样本和总体均值之间是否存在显著差异，从而判断样本是否代表了总体。
在实际应用中，单样本t检验被广泛应用于医学、心理学、社会科学等领域。
二、假设检验的基本思想
假设检验是指在给定显著性水平α下，根据样本数据对总体参数进行推断的方法。
其基本思想是：根据已知信息提出一个关于总体参数的假设，并根据样本数据来判断这个假设是否成立。
通常将原假设（null hypothesis）记为H0，备择假设（alternative hypothesis）记为
H1。
原假设通常是我们想要证明或者反驳的命题，而备择假设则是与原假设互为对立的命题。
三、单样本t检验的基本原理
单样本t检验用于比较一个变量在一个组中的平均值和已知或者理论上预期的平均值之间是否存在显著差异。
其基本原理可以分为以下几个步骤：
1. 提出假设：在单样本t检验中，原假设通常是样本的均值等于给定
的值。
备择假设则是样本的均值不等于给定的值。
2. 选择显著性水平：显著性水平α代表了我们在进行假设检验时所允
许的错误率。
通常情况下，α取0.05或0.01。
3. 计算t值：根据样本数据计算出t值，公式为：
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
其中，x̄代表样本均值，μ表示给定的总体均值，s表示样本标准差，n表示样本容量。
4. 计算p值：根据t分布表查找对应的p值，并与显著性水平进行比较。
如果p值小于α，则拒绝原假设；否则接受原假设。
四、单样本t检验的应用举例
以下是一个单样本t检验的具体应用举例：
某公司想要测试其员工每天工作时间是否符合标准。
标准规定每天工
作时间为8小时。
该公司随机抽取了20名员工，并记录了他们每天工作时间（单位为小时）。
现在想要知道这些员工每天工作时间是否符
合标准。
1. 提出假设：原假设为样本均值等于8，备择假设为样本均值不等于8。
2. 选择显著性水平：假设显著性水平α取0.05。
3. 计算t值：根据样本数据计算出t值，公式为：
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
其中，x̄为样本均值，μ为给定的总体均值（即8），s为样本标准差，n为样本容量。
假设计算结果为t = -2.34。
4. 计算p值：根据t分布表查找对应的p值，发现p < 0.05。
因此拒绝原假设，即认为员工每天工作时间不符合标准。
五、单样本t检验的注意事项
在使用单样本t检验时需要注意以下几个事项：
1. 样本容量要足够大：当样本容量较小时，可能会导致计算出的t值
与实际情况存在较大误差。
2. 样本必须是随机抽取的：如果样本不是随机抽取的，则可能会导致
结果产生系统性误差。
3. 样本必须来自正态分布总体：如果样本来自非正态分布总体，则可能会导致结果产生偏差。
4. 样本方差必须相等：如果样本方差不相等，则可能会导致结果产生偏差。
5. t检验只能用于比较均值：如果需要比较其他参数，如中位数、方差等，则需要使用其他方法。
六、总结
单样本t检验是一种常用的假设检验方法，用于比较一个样本的均值是否等于给定的值。
其基本原理包括提出假设、选择显著性水平、计算t值和计算p值。
在使用单样本t检验时需要注意样本容量、随机抽取、正态分布总体、相等方差和只能比较均值等问题。