第7章--非线性系统分析--练习与解答
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
7第七章__非线性系统的分析
３、频率响应畸变
非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数 量的高次谐波的非正弦周期函数。
第七章 非线性系统的分析
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系 统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方 法来处理各种非线性问题。 对非线性系统分析研究的重点是： （1）系统是否稳定； （2）有无自持振荡； （3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅； （4）研究消除或减弱自持振荡的方法。
第七章 非线性系统的分析
6、
,
1
2
为一正一负两实根
jω
x
×
×
λ1
0
λ2
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
第七章 非线性系统的分析
二阶系统的相轨迹总结：
极点分布 奇点
中心点
相迹图
极点分布 奇点
鞍 点
相迹图
稳定的 焦点
不稳定 的焦点
第七章 非线性系统的分析
借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面 图。 例1：有死区继电器非线性的系统框图如下
r 常数
＋
e
1 -1 1 -1
y
1 S ( S 1)
C
阻尼自然振荡角频率 n 1rad / s ，阻尼比 前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。
1 系统线性部分的传递函数 G ( S ) ，该二阶系统的无 S ( S 1)
第七章 非线性系统的分析
4、 (-1 0)
jω
× 0 ×
x
x
系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线， 原点处的奇点称为不稳定焦点。
非线性控制系统理论习题及解答
题解 7-2图 负倒描述函数图第七章 非线性控制系统理论习题及解答7-1. 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为(1) G s s s ()(.)=+1011(2) G s s s ()()=+21(3) G s s s s s ()(.)()(.)=+++21511011试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？为什么?解: 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。
分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图题解7-1所示。
由对数幅频特性曲线可见，L 2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统(2)的描述函数法分析结果的准确程度较高。
7-2．一个非线性系统，其非线性特性是一个斜率1=k 的饱和特性。
当不考虑饱和因素时，闭环系统稳定。
试问该系统有没有可能产生自振？为什么？ 解：饱和特性k=1时，其负倒 描述函数如右图所示：不考虑饱和特性时，闭环系统稳定，则其开环幅性频率特性曲线不包围(1,0)j -点，但当)(ωj G 与)(1x N - 相交时，系统可能存在等题解7-1图幅振荡，如图所示,因此，该系统有可能产生自振。
7-3．将下列图7-50 所示非线性系统简化成非线性部分)(X N 和等效的线性部分)(s G 相串联的单位反馈系统，并写出线性部分的传递函数)(s G 。
解：(1)系统结构图可等效变换为题解7-3(1)的形式:其中)()(1)()(211s G s G s G s G +=(2)将系统结构图等效变换为题解7-2(2)的形式:G s G s H s ()()[()]=+111(3)将系统结构图等效变换为题解7-3(3)的形式:G s H s G s G s ()()()()=+1111题解7-3(1)图题解 7-3(2)图 题解 7-3(3)图7-4．判别图7-51所示各系统是否存在自振点。
解: （a）不是（b）是（c）是（d）ca、点是，b点不是（e）是（f）a点不是，b点是（g）a点不是，b点是（h）系统不稳定（i）系统不稳定（j）系统稳定（k）7-5．非线性系统如图7-52所示。
第七章非线性控制系统分析习题答案.
∫ ∫ 1
B=
2π
A3 sin 4 ωt
4 A3
dωt =
π
2
1
(1
− cos
2ωt) 2
dωt
1
π0
π 04
∫ [ ] A3
=
π
2 (1 − 2 c os 2ω t + c os 2 2ω t )
A3
dωt =
π
A3
π
− sin 2ωt 2
π0
π2 π
0
A 3 π c o s 4ω t + 1
G1 ( s) +G1 ( s)
4 、 判 断 题 7 -2 图 中 各 系 统 是 否 稳 定 ； −1 N( A) 与 G ( j ω ) 两 曲 线 交 点 是 否 为 自 振 点 。
2
解 ：（ a ） 不 是 ； （ b） 是 ； （c）是；
（ d） a、c 点 是， b 点 不 是；
（ e） 是 ；
（ 2 ） 由 图 解 7 -5 可 见 ， 当 −1 N( A) 和 G ( j ω ) 相 交 时 ， 系 统 一 定 会 自 振 。 由 自 振 条 件
A + 6 −K −( A + 6) K
N ( A)G( jω ) =
=
= −1
ω =1 A + 2 2
2( A+2)
( A +6) K = 2 A +4
10
−1 0
10
G( jω ) =
=
−j
j ω( j ω + 1) ω2 + 1
ω( ω2 + 1)
第七章 非线性系统的分析讲解
分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域 上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的 方法也可以分析复杂的非线性系统。
§7.2
x(t)
非线性系统的描述函数分析法
n(t)
e
一、描述函数法的基本概念
非线性环节N
＋ －
N
非线性部分
x
G(s) 线性部分
c
假设非线性系统的输入函数为
x(t ) A sin(t )
(t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0 y
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自 持振荡。同时使稳态误差增大。
5. 继电器特性
y M -a -ma ma a －M
y y M -a x －M a －M x -a a －M x M y
x
0 m a x(t ) a, 0 a x(t ) m a, y (t ) M sgn x(t ) M x(t ) m a, x(t ) m a, M
输出n(t)将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级数， y(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。 பைடு நூலகம்设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以 输出信号y(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复 前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响 应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值 远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于 一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤 波性越好，用描述函数法分析的精度越高。 上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系 统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研 究其基波成分就足够了。 假设系统中非线性环节的输入函数为
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 非线性控制系统分析习题与解答7-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解 令 x=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~xx 平面上任意分布。
7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) x xx ++=0 (2) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x xx x x解 （1） 系统方程为图解7-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+I I >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x令0x x ==，得平衡点：0e x =。
系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxxx x dx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。
图解7-2（a ）系统相平面图（2）xx x 112=+ ① 2122x x x+= ② 由式①： x xx 211=- ③ 式③代入②： ( )( )x x x x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令 x x110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨⎧-==--414.0414.20122,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式x xdxdx x x x 1111112===+α xx 112=-α 计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b ）所示。
7-3 已知系统运动方程为sin x x +=0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
解 求平衡点，令 x x==0 得 sin x =0平衡点 x k k e ==±±π(,,,012 )。
将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。
设 F x x x () sin =+=0∂∂∂∂F x x Fx x xx ee∆∆+=0∆∆ cos x x x e +⋅=0⎩⎨⎧±±±===∆-∆±±===∆+∆),5,3,1(0),4,2,0(0k k x x x k k x x x e e ππ特征方程及特征根： k 为偶数时 s j 21210+==±λ, （中心点） k 为奇数时 s 212101-==±λ, （鞍点）用等倾斜线法作相平面sin sin sin xdxdx x xx xx +=⋅+==α01作出系统相平面图如图解7-3所示。
7-4 若非线性系统的微分方程为(1) ( .) x x x x x +-++=30502 (2) x xxx ++=0 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。
解（1） 由原方程得(, )( .) . x f x xx x x x x x x x ==----=-+--305305222 令 x x110== 得 x x x x +=+=210() 解出奇点 x e =-01,在奇点处线性化处理。
在x e =0处：(, )(, ) ()( .) . x f x x xx f x xxxx x xx x x x xx xx x x x =⋅+⋅=--⋅+-+⋅=-+========∂∂∂∂0000001260505即. x x x -+=050 特征方程及特征根s j 1220505420250984,....=±-=± （不稳定的焦点） 在x e =-1处x x xxx x xxx xx 5.0)5.06()21(0101+=⋅+-+⋅--==-==-= 即. x x x --=050 特征根 ⎩⎨⎧-=+±=718.0218.1245.05.022,1s （鞍点） 概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：（2） 由原方程(, ) x f x xxx x ==-- 令x x ==0 得奇点 x e =0,在奇点处线性化( ) xfxx fxxx x x x x xx xx x x x =⋅+⋅=--⋅-⋅========∂∂∂∂00001得 x x =- 即x x +=0 特征根 s j 12,=±。
奇点x e =0（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。
7-5 非线性系统的结构图如图7-36所示。
系统开始是静止的，输入信号)(14)(t t r ⨯=，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
解 由结构图，线性部分传递函数为C s M s s()()=12 得 ()()c t m t = ①由非线性环节有⎪⎩⎪⎨⎧III -<+II>-I ≤=22)(22)(20)(e t e e t e e t m ②由综合点得c t r t e t e t ()()()()=-=-4 ③ 将③、②代入①得⎪⎩⎪⎨⎧-<-->-≤=III2)(2II 2)(2I 20)(e t e e t e e t e开关线方程为 e t ()=±202:)(0)(:=-+I I ==I e ec e t e常数令 e e ==0 得奇点 e 02II =特征方程及特征根 s s j 21210+==±,, （中心点）III ：e e ++=20 令 e e ==0 得奇点 e 02III=-特征方程及特征根 s s j 21210+==±,, （中心点）绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。
7-6 图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。
解 由系统结构图有⎩⎨⎧<->+±+⋅=0:0:215.015)()(ccs s s E s C s s C s E s (.)()()05125+±=⎩⎨⎧<=->=+II055.0I 0535.0ce c cc e c c①因为 c r e e =-=-1 ②②代入①式有 ⎩⎨⎧>=+-<=++II00102I 00106ee e eee e e特征方程与特征根⎪⎩⎪⎨⎧±==+-±-==++)(310102:II )(30106:I 2,122,12不稳定的焦点稳定的焦点j s s s j s s s依题意 0)0(,0)0(==c c 可得0)0()0(1)0(1)0(===-=c ec e以)0,1(为起点概略作出系统相轨迹。
可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。
7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。
图7-38 具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析：（1）T d =0时系统的运动；（2）T d =05.时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）T d =2时系统的运动特点。
解 依结构图，线性部分微分方程为c u = ① 非线性部分方程为 ⎩⎨⎧II <+-I >+=0101eT e eT e u d d ②开关线方程： eT e d=-1 由综合口： c r e e =-=-1 ③ ③、②代入①并整理得⎩⎨⎧II<++I>+-=0101d d eT e eT e e在 I 区： e edede ==-1 解出： ()e e e 220=-> （抛物线） 同理在 II 区可得：()ee e 220=< （抛物线）开关线方程分别为T d =0时， e =0;T d =05.时， ee =-2; T d =2 时， .ee =-05. 概略作出相平面图如图解7-7所示。
图习题集P178 T8-10由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。
7-8 具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。
解 非线性特性的数学表达式为III-<II >I <⎪⎩⎪⎨⎧-=ae a e a e M Me y || 线性部分的微分方程式为Ky c cT =+ 考虑到e c r =-，上式又可以写成rr T Ky e e T +=++ 输入信号为阶跃函数，在0>t 时有，0==rr ，因此有 0=++Ky e eT 根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。
Ⅰ区：系统的微分方程为)(0a e Ke e e T <=++按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。
图解7-8（a ）为Ⅰ区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。
Ⅱ区：系统的微分方程为)(0a e KM e eT >=++设一般情况下，初始条件为00)0(,)0(e ee e ==。
则上式的解为 KMt Te KM e T KM ee t e T t -+-++=-)()()(000 对上式求一次导数，得KM e KM e t eT t -+=-)()(0 故当初始条件KM e -=0'时，相轨迹方程为KM e -='。
当KM e -≠0'时，相轨迹方程为KM eKM eKMT T e ee e +++-+=000ln )(图7-39 非线性系统结构图由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8(b )所示，相轨迹渐进于直线KM e-= 。
Ⅲ区：此时系统的微分方程为)(0a e KM e eT -<=-+将Ⅱ区相轨迹方程中的KM 改变符号，即得Ⅲ区的相轨迹方程⎪⎩⎪⎨⎧≠++--+===)(ln )()(00000KM eKM e KM e KMT T e e e e KM e KM e该区的相轨迹如图解7-8（b ）所示。
将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8（c ）所示。