矩阵的秩及其求法-求秩的技巧
矩阵求秩方法
矩阵求秩方法
求矩阵的秩是线性代数中常见的问题，以下是关于矩阵求秩的10条方法及其详细描述：
1. 奇异值分解法：通过对矩阵进行奇异值分解，将矩阵变换为一个对角矩阵，其中非零元素的个数即为矩阵的秩。
2. 初等变换法：利用矩阵的初等行（列）变换，将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
3. 极大线性无关组法：通过逐步选择矩阵中的列，构建一个极大线性无关组，其中向量的个数即为矩阵的秩。
4. 秩-零空间法：矩阵的秩与其零空间的维数之和为矩阵的列数。
可以通过计算矩阵的零空间 (null space) 的维数来求解矩阵的秩。
5. 行列式法：矩阵的行列式非零的最大子阵的阶数就是矩阵的秩。
6. 直接检验法：将矩阵转换为梯形矩阵或行阶梯矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
7. 特征值法：矩阵的秩等于其特征值不为零的个数。
8. 与单位矩阵求秩法：通过将矩阵与单位矩阵进行连接，得到一个增广矩阵，进而将其化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
9. Gauss-Jordan消元法：通过高斯消元法和高斯约当消元法将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
10. 极大线性无关组与生成组比较法：利用极大线性无关组与生成组的关系来求解矩阵的秩，其中生成组的个数等于矩阵的秩。
2.5 矩阵的秩及其求法
求 R( A).
1 0 2 −4 1 0 2 −4 −4 → 0 1 −1 2 r 2r ， 解 A 2 − 0 1 −1 2 r1 → r3 + 1 0 −1 1 − 2 0 0 0 0
R(A) = 2
13
1 −1 1 2 例5 设A = 3 λ −1 2, 且R（A） 2 = ，求λ, µ 5 3 µ 6
∴ R( A) = 3
A为满秩方阵。
19
若求A 若求 的标准型矩阵
1 − 2 1 − 4 0 −1 −1 3 → 0 0 1 9 0 0 0 0
2 1 1 0 →0 2 0 0
0 −1 2 1 0 0
4 0 12 3 1 9 2 0 0 0
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为
2 −1 D2 = 0 −1
3 5 为 A 的一个三阶子式。
而
1 2 D3 = 4 6
1 0 −1
k k m× n 矩阵 A 共有 cmcn 个 k 阶子式。 显然，
4
设
A = (aij )m×n 当 A＝0 时，它的任何子式都为零。
⑤ R（AB）≤ min{R（A），R（B）} ⑥ 若 Am×nBn×s=0，则 R（A）+R（B）≤n
24
例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∴ 而 ∴ ∵ （A+E）+（E-A）=2E r（A+E）+ r（ E-A ）≥ r（2E）=n r（ E-A ）= r（ A-E ） r（A+E）+r（A-E）≥n
7
矩阵秩的求法 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法 定义 。 、子式判别法(定义 定义)。
矩阵秩的定义以及求法
矩阵秩的定义以及求法好的，以下是为您创作的关于“矩阵秩的定义以及求法”的科普文章：---当我们听到“矩阵秩”这个词时，可能会觉得它像个神秘的密码，让人摸不着头脑。
但别担心，让我们一起来揭开它神秘的面纱。
想象一下，你正在参加一场盛大的派对。
派对上的人们站成了一排排、一列列，形成了各种各样的队形。
这些队形就像是矩阵，而矩阵的秩，就好比是这个队形的“稳固程度”或者说“独特程度”。
比如说，大家站成了一排整齐的直线，这是一种比较简单、平凡的队形。
但如果大家一会儿组成一个三角形，一会儿又组成一个复杂的多边形，那这种队形就显得更加独特和有“内涵”。
在矩阵中，秩就是用来衡量这种“独特性”和“复杂程度”的指标。
那么，从数学的角度来说，矩阵的秩到底是什么呢？简单来讲，矩阵的秩就是矩阵中线性无关的行向量或者列向量的最大个数。
有点抽象？没关系，我们来举个例子。
假设有一个矩阵：\[\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9\end{pmatrix}\]我们可以通过一系列的操作来求它的秩。
首先，我们发现第二行是第一行的 2 倍，第三行是第一行的 3 倍。
这就意味着第二行和第三行都可以由第一行通过线性组合得到。
所以，真正“独立”、“有个性”的行向量只有第一行。
因此，这个矩阵的秩就是 1。
那怎么求矩阵的秩呢？通常有两种常见的方法，一种是通过初等行变换把矩阵化为行阶梯形，另一种是利用矩阵的行列式。
初等行变换就像是给矩阵做“整形手术”，把它变得更加“标准”和“好看”，直到我们能一眼看出它的秩。
而行列式呢，如果一个矩阵的行列式不为零，那么它的秩就等于它的行数（或者列数）。
矩阵的秩在现实生活中有很多神奇的应用。
比如说在通信领域，信号的传输和处理就常常涉及到矩阵的秩。
想象一下手机信号在空间中传播，这些信号可以用矩阵来表示，而矩阵的秩就能帮助工程师们判断信号的稳定性和有效性，从而优化通信质量，让我们的通话更加清晰，网络更加流畅。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
求矩阵的秩的三种方法
求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。
矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。
在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。
本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。
方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。
对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。
我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。
2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。
对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。
矩阵的秩等于它的列空间的维度。
我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。
具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。
3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。
阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。
可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。
矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。
总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。
对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。
但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。
还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。
3-4矩阵的秩
α1
α2
αj
αn
高等代数
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a 11 a 21 M A= a i1 M a m1
a a a
12 22
M
i2
M
a
m2
L 2n M L a in M L a mn L
个线性无关的行向量， 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组 个线性无关的行向量
(a11 , a21 ,L , ar 1 , ar +1,1 ,L , a s1 ),L ,(a1r , a2 r ,L , arr , ar +1,r ,L , a sr )
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 也线性无关． 于是矩阵 的列秩 r1 ≥ r ． 同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
高等代数
a11 0 A= L 0
a12 ′ a22 L ′ an 2
L L L L
a1n ′ a2 n = a11 L ′ ann
′ a22 L ′ an 2
L L L
′ a2 n L a′ nn
ai 1 ′ 其中 (0, ai′2 ,L , ain ) = α i − α1 , i = 2,L , n a11
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLL = 0 a x + a x +L + a x = 0 r2 2 rn n r1 1
§2.2矩阵的秩
结论
阶梯形矩阵的秩等于其行向量组的秩。
例 设A是 3 × 4 矩阵。对A按行分块，
⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜α 2 ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 3⎠
对 A作一次初等行变换得到矩阵 A′
′⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎛ α1 ⎜ ⎟ ⎟ R2 + 3 R1 ⎜ ′⎟ ⎯→⎜ α 2 + 3α 1 ⎟ = A′ = ⎜ α 2 A ⎯⎯ ⎯ ⎜ α ⎜α ′ ⎟ ⎟ 3 ⎝ ⎝ 3⎠ ⎠
一、向量组的秩
例 考虑线性方程组
+ y =0 ⎧x ⎪ (I) ⎨2 x + 2 y = 0 ⎪3 x + 3 y = 0 ⎩
⎧x + y = 0 ⎪ ( II ) ⎨ x + 2 y = 0 ⎪x + 3y = 0 ⎩
它们的系数行向量分别如下
α 1 = (1, 1) α 2 = ( 2, 2) , α 3 = ( 3, 3)
1， 1 ） β1 =（ β 2 =（ 1， 2 ） β 3 =（3， 3 ）
这两组向量有不同的线性相关性：
α 1 , α 2 , α 3 线性相关，且其中任意两个向量都线性相
α 1 ,α 2 ,α 3 相互共线。方程组(I)的三 关。在平面上，
个方程确定三条过原点且相互重合的直线。
β 1 , β 2 , β 3 线性相关，但其中存在两个向量线性无 关，例如 β1 , β 2 。在平面上， β1 , β 2 不共线。方程组
▌
所以，向量组 β1 , β 2 ," , β 5 的秩为3，且 β1 , β 2 , β 4 是一个极大无关组。 定理 设A是m×p矩阵，B是p×n矩阵，则 r(AB) ≤ min{ r(A)，r(B) }
求矩阵的秩的简便方法
求矩阵的秩的简便方法
以下是 6 条关于求矩阵的秩的简便方法：
1. 嘿，你知道吗，有一种方法就像在矩阵的世界里点亮一盏明灯，那就是通过观察行与行之间的关系呀！比如说，看这矩阵[1 2 3; 2 4 6; 3 6 9]，是不是一眼就能发现有些行之间存在倍数关系呀，这就能帮我们快速找到秩啦！
2. 哇塞，还有一种神奇的方法呢，那就是利用行列式呀！就好比在迷宫中找到关键的钥匙。
像矩阵[1 0 0; 0 2 0; 0 0 3]，它的行列式不为零，那它的秩不就是 3 嘛，是不是超简单！
3. 嘿呀，还有一个妙招，那就是化简矩阵呀！把它变得像剥洋葱一样清晰。
就像[2 4 6; 1 2 3; 3 6 9]，经过化简后，一下子就能看出秩来啦，你不觉得很神奇吗？
4. 告诉你哦，通过子矩阵也能找到秩呢！就好像在一堆拼图里找到关键那几块。
例如矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，找几个特定的子矩阵研究一下，秩就乖乖现身啦！
5. 哇哦，还有一种超有趣的方法呢，就是看矩阵的线性无关行向量的数量呀！好比数星星一样。
比如矩阵[1 0; 0 1; 1 1]，很容易就能看出有两个线性无关行向量，那秩就是 2 呀，有意思吧！
6. 嘿，你尝试过通过初等变换来找矩阵的秩吗？这就如同在matrix 的海洋里畅游，把它变得简单易懂。
像是矩阵[2 4 6; 1 2 3; 3 6 9]，经过初等变换后，秩就一目了然啦！
总之，求矩阵的秩有很多简便又有趣的方法，只要多去尝试和探索，就能轻松掌握啦！。
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第五节：矩阵的秩及其求法
欧阳家百（2021.03.07）
一、矩阵秩的概念
1. k阶子式
定义1 设在A中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
例如共有个二阶子式，有个三阶子式
矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而
为 A 的一个三阶子式。
显然，矩阵 A 共有个k阶子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设有r阶子式不为0，任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r为矩阵A的秩，记作R(A)或秩(A)。
规定：零矩阵的秩为 0 .
注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的
子式的最高阶数，是唯一的 .
(2) 有行列式的性质，
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果An×n , 且则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1 设为阶梯形矩阵，求R(B)。
解
由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
例2 设如果求a .
解
或
例3
则
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即则
注：只改变子行列式的符号。
是 A 中对应子式的k 倍。
是行列式运算的性质。
求矩阵A的秩方法：
1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B
2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。
例4求
解
R(A) = 2
例5
三、满秩矩阵
定义3A为n 阶方阵时，
称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）
可见：
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.
定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵
使得
对于满秩矩阵A，它的行最简形是n 阶单位阵 E .
例如
A为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}设A是矩阵，B是矩阵，
性质1
性质2 如果 A B = 0 则
性质3 如果 R(A)= n, 如果A B = 0 则 B = 0。
性质4 设A,B均为矩阵，则
例8 设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证：∵（A+E）+（E-A）=2E
∴R（A+E）+ R（ E-A ）≥ R（2E）=n
而 R（ E-A ）=R（ A-E ）
∴ R（A+E）+R（A-E）≥n。