高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程

第一学期第一次课

第一章 代数学的经典课题

§1 若干准备知识

1.1.1 代数系统的概念

一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义

定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有

K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。

例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。

命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是

K a

a

K a a ∈=

∈-=10，

。 进而∈?m Z 0>,

K m ∈+??++=111。

最后，∈?n m ,Z 0>，

K n m ∈，K n

m

n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念

定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。

定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为

).

(,

:a f a B A f →

如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。

若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号

1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ，我们使用如下记号：

∑==+++n

i i n a a a a 1

21 ,

∏==n

i i n a a a a 1

21 .

当然也可以写成

∑≤≤=

+++n

i i

n a

a a a 121......,

∏≤≤=

n

i i

n a

a a a 121.......

2. 求和号的性质. 容易证明，

∑∑===n i n

i i i a a 1

1

λλ

∑∑∑===+=+n

i n i n

i i i i i

b a b a

1

1

1

)(

∑∑∑∑=====n i m j n

i ij m

j ij

a a

111

1

事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

nm

n n m

m a a a a a a a a a (2)

1

2222111211

分别先按行和列求和，再求总和即可。 第一学期第二次课

§2一元高次代数方程的基础知识

1.2.1高等代数基本定理及其等价命题

1. 高等代数基本定理

设K 为数域。以][x K 表示系数在K 上的以x 为变元的一元多项式的全体。如果

)0(],[......)(0110≠∈+++=-a x K a x a x a x f n n n ，则称n 为)(x f 的次数，记为)(deg x f 。

定理（高等代数基本定理） C ][x 的任一元素在C 中必有零点。

命题 设)10(,......)(01

10≥≠+++=-n a a x

a x a x f n n n ，是C 上一个n 次多项式，a 是一个复数。则存在C

上首项系数为0a 的1-n 次多项式)(x q ，使得

)())(()(a f a x x q x f +-=

证明 对n 作数学归纳法。

推论 0x 为)(x f 的零点，当且仅当)(0x x -为)(x f 的因式（其中1)(deg ≥x f ）。

命题（高等代数基本定理的等价命题） 设n n n a x

a x a x f +++=-......)(1

10 )10(0≥≠n a ，为C 上的n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n 个复数n a a a ,......,,21，使

))......()(()(210n x x x a x f ααα---=

证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n 作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式

定义 设K 是一个数域，x 是一个未知量，则等式

0 (11)

10=++++--n n n n a x a x

a x a （1） （其中0,,......,,010≠∈a K a a a n ）称为数域K 上的一个n 次代数方程；如果以K x ∈=α带入（1）式后使它变成等式，则称α为方程（1）在K 中的一个根。

定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K 上的)1(≥n 次代数方程在复数域C 内必有一个根。 命题 n 次代数方程在复数域C 内有且恰有n 个根（可以重复）。

命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C 上两个n 次、m 次多项式

)0(......)(10≠+++=n n n a x a x a a x f ， )0(......)(10≠+++=m m

m b x b x b b x g ，

如果存在整整数l ,n l m l ≥≥,,及1+l 个不同的复数121,,......,,+l l ββββ，使得

)1,......,2,1()

()(+==l i g f i i ββ，

则)()(x g x f =。

1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性

设1

01()n n n f x a x a x a -=++

+，其中0,0i a K a ∈≠。设()0f x =的复根为12,,

,n ααα（可能有重复），则

121

011212

1

()()()()()().

n

i n i n n n n f x x x x x a x x αααααααααα=-=-=---=-++

+++∏

所以

)()1(2110

1

n a a ααα+++-= ； ∑≤≤≤-=n

i i i i a a 21210202

)1(αα；

.)1(210

n n n

a a ααα -= 我们记

1),,,(210=n ααασ ；

n n αααααασ+++= 21211),,,(；

∏≤≤≤≤≤=

n

i i i i i i n r r r

212

1021),,,(ααα

ααασ；

n n n αααααασ 2121),,,(=

（12,,

,n σσσ称为12,,,n ααα的初等对称多项式）。于是有

定理2.5 (韦达定理) 设1

01()n n n f x a x a x a -=+++，其中0,0i a K a ∈≠。设()0f x =的复根为12,,

,n ααα。

则

),,,()1(21110

1

n a a ααασ -=； ),,,()1(21220

2

n a a ααασ -=；

).,,,()1(210

n n n n

a a ααασ -= 命题 给定R 上n 次方程

0 (11)

10=++++--n n n n a x a x

a x a ， 00≠a ， 如果

b a +=αi 是方程的一个根，则共轭复数b a -=αi 也是方程的根。

证明 由已知，

1011......0n n n n a a a a ααα--++++=.

两边取复共轭，又由于∈n a a a ,......,,10R ，所以

1011......0n n n n a a a a ααα--++++=.

推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C 内有奇数个根，故其中必有一根为实数。 第一学期第三次课

§3线性方程组

1.3.1数域K 上的线性方程组的初等变换

举例说明解线性方程组的Gauss 消元法。

定义（线性方程组的初等变换） 数域K 上的线性方程组的如下三种变换 （1） 互换两个方程的位置；

（2） 把某一个方程两边同乘数域K 内一个非零元素c ； （3） 把某一个方程加上另一个方程的k 倍，这里K k ∈ 的每一种都称为线性方程组的初等变换。

容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明 设线性方程组为

1111221112122222

1122,,.......

n n n n m m mn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? （*）

经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。

设n n k x k x k x ===,......,,2211是（*）的解，即（*）中用),......2,1(n i k x i i ==代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到n n k x k x k x ===,......,,2211代入（**）后也成为等式，即n n k x k x k x ===,......,,2211是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。 证毕。

1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换

定义（数域K 上的矩阵） 给定数域K 中的mn 个元素j i a （m i ,,1 =，n j ,,1 =）。把它们按一定次序排成一个m 行n 列的长方形表格

111212122212

......

...............................n n m m mn a a a a a a A a a a ??

????=

??

??

????

称为数域K 上的 一个m 行n 列矩阵，简称为n m ?矩阵。

定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵A 称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到A 内作为最后一列，得到的)1(+?n m 矩阵

11121121

222212......

...............................n n m m mn n a a a b a a a b A a a a b ??

????=??

?

?

??

?

? 称为方程组的增广矩阵。

定义(矩阵的初等变换) 对数域K 上的矩阵的行（列）所作的如下变换 （1） 互换两行（列）的位置；

（2） 把某一行（列）乘以K 内一个非零常数c ；

（3） 把某一行（列）加上另一行（列）的k 倍，这里K k ∈ 称为矩阵的行（列）初等变换。

定义（齐次线性方程组） 数域K 上常数项都为零的线性方程组称为数域K 上的齐次线性方程组。 这类方程组的一般形式是

1111221121222211220,

0,......0.

n n n n

m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??

??+++=? 命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。

说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上，

在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果所给的是数域K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为K 上的线性方程组，所求出的解也都是数域K 中的元素。因此，对K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域K 中进行。 第一学期第四次课

第二章 向量空间与矩阵

第一节 m 维向量空间

2.1.1 向量和m 维向量空间的定义及性质

定义（向量）设K 是一个数域。K 中m 个数m a a a ,......,,21所组成的一个m 元有序数组称为一个m 维向量；

????

?

???????=m a a a ...21α （m i K i ,......,2,1,=∈α）

称为一个m 维列向量；而

)',......,','('21m a a a =α

称为一个m 维行向量。

我们用m K 记集合},......,2,1,|)',......,','{(21m i K a a a a i m =∈。

定义（m

K 中的加法和数量乘法） 在m

K 中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处的数相加，即

????

????????+++=????????????+????????????m m

m m b a b a b a b b b a a a .........22112121.

在m K 定义数量乘法为用K 中的数去乘向量的各个位置，即对于某个K k ∈，

?????

?

??????=????????????m m ka ka ka a a a k ......2121 定义（m 维向量空间） 集合m

K 和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域K 上的m 维向量空间。

命题（向量空间的性质） 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中K 表示数域，γβα,,表示m

K 中的向量）：

（1） 加法结合律：)()(γβαγβα++=++； （2） 加法结合律：αββα+=+

（3） 向量（0,0,……,0）（记为0）具有性质：对于任意α，有00+=+αα；

（4） ),,,(21m a a a =?α，令),,,(21m a a a ---=- α，称其为α的负向量，它满足

0)()(=+-=-+αααα；

（5） 对于数1，有αα=1

（6） 对K 内任意数k , l ，有)()(ααl k kl =； （7） 对K 内任意数k , l ，有αααl k l k +=+)(； （8） 对K 内任意数k ，有 βαβαk k k +=+)(。 2.1.2 线性组合和线性表出的定义

定义（线性组合） 设 s ααα,,,21 ∈m

K ，K k k k s ∈,,,21 ，则称向量s s k k k ααα......2211++为向量组

s ααα,,,21 的一个线性组合。

定义（线性表示） 设s ααα,,,21 ，β∈m

K 。如果存在K k k k s ∈,,,21 ，使得

s s k k k αααβ+++=......2211，

则称β可被向量组s ααα,......,,21线性表示。

2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述

定义（线性相关与线性无关） 设s ααα,,,21 ∈m K 。如果存在不全为零的K k k k s ∈,,,21 ，使得

0......2211=+++s s k k k ααα，

则称s ααα,,,21 线性相关，否则称为线性无关。

注意：根据这个定义，s ααα,,,21 线性无关可以表述如下：若K k k k s ∈,,,21 ，使得

0......2211=+++s s k k k ααα，则必有021====s k k k 。

如果

?????

???????=?

?

??

??

??????=????????????=mn n n m m a a a a a a a a a 211222

122121111,,,ααα，

显然s ααα,,,21 线性相关当且仅当齐次线性方程组

111122121122221122......0,......0,............0.

n n n n

m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??

??+++=? 有非零解，s ααα,,,21 线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。

命题 设m

n K ∈ααα,,,21 ，则下述两条等价： 1）n ααα,,,21 线性相关； 2）某个i α可被其余向量线性表示。

证明 1）?2）. 由于n ααα,,,21 线性相关，故存在不全为零的n 个数K k k k n ∈ ,,21，使得

0......2211=+++n n k k k ααα。

不妨设某个0≠i k 。于是，由向量空间的性质有

n i n i i i i i i i i i k k k k k k k k k k αααααα)/()/()/()/()/(11112211-++-+-++-+-=++--

2）?1）. 如果某个i α可被其余向量线性表示，即存在K k k k k n i i ∈+-,,,,111 ，使得

n n i i i i i k k k k k αααααα++++++=++-- 11112211.

由向量空间的性质有

0)1(11112211=+++-++++++--n n i i i i i k k k k k αααααα .

于是n ααα ,,21线性相关。证毕。

推论 设m

n K ∈ααα,,,21 ，则下述两条等价： 1）n ααα ,,21线性无关；

2）任一i α不能被其余向量线性表示。 第一学期第五次课

2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系

定义（线性等价） 给定m

K 内的两个向量组

r ααα,,,21 ， （*） s βββ,,,21 ， （**）

如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个向量也都能被向量组（**）线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性等价。

定义（集合上的等价关系） 给定一个集合S ，S 上的一个二元关系“~”称为一个等价关系，如果“~”满足以下三条：

（1） 反身性：a a S a ~,∈?；

（2） 对称性：a b b a S b a ~~,

,则，如果∈?；

（3） 传递性：c a c b b a ~~~则，，若。 与a 等价的元素的全体成为a 所在的等价类。

命题 若a 与b 在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。

证明 记a 所在的等价类为a S ，b 的等价类为b S 。若它们的交集非空，则存在b a S S c ∈，于是有

b c a c ~~，。由等价关系定义中的对称性和传递性即知b a ~，与a 和b 在不同的等价类矛盾。这就证明了a 和b

所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。

综上可知，命题成立。证毕。

命题 给定m

K 内两个向量组

r ααα,,,21 ， （1） s βββ,,,21 ， （2）

且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量γ能被向量组（2）线性表示，则γ也可以被向量组（1）线性表示。

证明 若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在K k ij ∈ )1,1(s j r i ≤≤≤≤，使得

1

r

j ij

i

i k βα==

∑ (1,2,

,j s =) . （i ）

由于γ能被向量组（2）线性表示，故存在K l j ∈ )1(s j ≤≤，使得

∑==s

j j j l 1

βγ.

将（i ）代入，得

11

11

1

1

()s r r s r s

ij i ij i ij i j i i j i j k k k γααα=========∑∑∑∑∑∑，

即γ可被r ααα,,,21 线性表示。

由此易推知

命题 线性等价是m K 的向量组集合上的等价关系。 2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩

定义（ 向量组的极大线性无关组） 设s ααα,,,21 为m

K 中的一个向量组，它的一部分组r i i i ααα,,,21

称

为原向量组的一个极大线性无关组，若

（1）

r

i i i ααα,,,2

1

线性无关；

（2） s ααα,,,21 中的每一个向量都可被r i i i ααα,,,21 线性表出。 容易看出向量组s ααα,,,21 和r i i i ααα,,,21 线性等价。

引理 给定m

K 上的向量组s ααα,,,21 和r βββ,,,21 ，如果s ααα,,,21 可被r βββ,,,21 线性表出，且r s >，则向量组s ααα,,,21 线性相关。

证明 由于s ααα,,,21 可被r βββ,,,21 线性表出，故存在ij k K ∈，使得

11111221221122221122,,.

r r r r

s s s sr r k k k k k k k k k αβββαβββαβββ=+++??=+++????=+++? （*）

设

11220s s x x x ααα++

+=. （**）

将（*）代入（**），得

11221

1

1

()()()0s s

s

i i i i ir i r i i i k x k x k x βββ===++

+=∑∑∑.

设各系数均为零，得到

121

1

1

0s

s

s

i i

i i ir r i i i k

x k x k x =====

==∑∑∑， （***）

（***）是一个含有r 个未知量和s 个方程的其次线性方程组，而r s >，故方程组（***）有非零解，于是存在不全为零的12,,

,r x x x K ∈，使得（**）成立。由线性相关的定义即知向量组s ααα,,,21 线性相关。

定理 线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。 证明 设12,,

,n ααα和12,,

,m βββm K 中的线性等价的向量组。设向量组r i i i ααα,,,21 和s

j j j βββ,,,21 分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于r i i i ααα,,,21 可将12,,

,j j jt βββ中的每一个向量线性表出，知s r ≥（否则由引理知向量组