随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述

关于平稳过程中的各态历经性的综述

首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当

12,,n t h t h t h T

+++∈…,时，n 维随机变量

（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）

和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。

在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。

但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。

定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即

〈X （t ）〉=1lim

()2T T

T X t dt

T

-→∞

?

存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。

定义 设X （t ）是一均方连续平稳随机过程，且对于固定的τ，()X

t X t τ（+）也是连续平稳随机过程，〈()X

t X t τ（+）〉 代表()X t X t τ（+）沿整个时间轴的平均值，即

()X t X t τ（+）=1lim

(+)()2T T

T X t X t dt

T

τ-→∞

?

若〈()X

t X t τ（+）〉存在，称〈()X t X t τ（+）〉为X （τ）的时间相关函数。又

若

〈()X t X t τ（+）〉 E ｛()X t X t τ（+）｝=X

R τ（） 则称该过程的自相关函数具有各态历经性。

定义 如果X （t ）是一均方连续的平稳随机过程，且其均值和自相关函数均具有各态历经性，则称该过程X （t ）为具有各态历经性的，或者说X （t ）是各态历经的，或是遍历的。

例一 有随机相位正弦波过程X （t ）=cos()A t ωθ+,其中A, ω是常数，θ为[0,2∏]内均匀分布的随机变量。试计算它的时间平均值和时间相关函数；问该过程是否具有各态历经性？

解 〈X （t ）〉=1lim

cos()2T T

T A t dt

T

ωθ-→∞

+?

=sin cos lim

T A T T

ωθ

ω→∞

=0

〈()X t X t τ（+）〉=2

1lim

cos()cos()2T T

T A t t dt

T

ωωτθωθ-→∞

+++?

=[]2

1

lim

cos(22)+cos 22

T T

T A

t dt T

ωωτθωτ-→∞

++?

=

2

cos 2

A

ωτ

因为X （t ）的集平均值和集相关函数分别为 〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=0

X

R τ（）=2

cos 2

A

ωτ

故 〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=〈X （t ）〉

X

R τ（）=〈()X t X t τ（+）〉 因此随机相位正弦波过程具有各态历经性。

例二 设X(t)=X ，-∞

解 由于

[]2

()()214(,)()()3

X X m t E X t EX R t t X t X t EX

ττ===??+=+==

??

因此｛X(t)，-∞

11()22T T T

T

X t X t dt X dt X

T

T

--→∞

→∞

==?

?

T +T +（）＝l.i.m

l.i.m

时间相关函数

22

11()()()()22T T T

T

X t X t X t X t dt X dt X

T T

ττ--→∞

→∞

+=+==?

?

T +T +l.i.m

l.i.m

由于P （X=2）=1和P(2143

X =)=1不成立，故，｛X(t)，-∞

相关函数不具有各态历经性。

为了对平稳过程的各态历经性有充分的认识和了解，我们引入以下几个定理进一步说明一个平稳过程该满足怎样的条件才是各态历经的。定理的证明过程不做解答。

定理一 （均值各态历经定理）平稳过程X （t ）的均值具有各态历经性的充要条件是

22

1lim

(1)()02T X X T R d T

T τ

τμτ→+∞

??-

-=?

??

定理二 （自相关函数各态历经定理）平稳过程X （t ）的自相关函数X

R τ（）具有各态历经性的充要条件是

22

1

110

1lim

(1)()02T X T B R d T

T

ττττ→+∞

??-

-=??

?

（）， （1）

其中[]111()=()()()()B E X t X t X t X t τττττ++++。

在（1）式中令τ=0，就可以得到均方值具有各态历经性的充要条件。

在实际应用过程中通常只考虑定义在0≤t ≤+∞上的平稳过程。此时上面的所有时间平均都应以0≤t ≤+∞上的时间平均来代替。而相应的各态历经定理可表示为下述形式：

定理三

[]0

1lim

()()T X

T X t dt E X t T μ→+∞

==? （2）

以概率1成立的充要条件是

2

1lim

(1)()0T X X T R d T T

τ

τμτ→+∞

??-

-=???

定理四

[]0

1lim

()()()()()T X T X t X t d E X t X t R T ττττ→+∞

+=+=?

以概率1成立的充要条件是

2

1

110

1lim

(1)()0T X T B R d T

T

ττττ→+∞

??-

-=??

?

（） （3） 各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X

（t ），若0

1lim

()T X

T x t dt T

μ→+∞

=?

和

1lim

()(+)()

T X T x t x t dt R T

ττ→+∞

=?

值得注意的是：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。

对平稳随机过程X(t),如果它的数字特征与某一样本x(t)的相对应的时间平均值之间有下列关系：

{}{}{

}

2

2

()()()()()()(4)()()()

X E X t x t E X t E X t x t x t R x t x t ττ=-=?-???????

=+

那么，我们称平稳随机过程X(t)具有各态历经性。（上面的分析虽然对平稳随机过程的某一特定样本而言的，但是，只要平稳随机过程的所有样本都具有相同的性质，那么这些分析就与样本的选择无关了。）

平稳随机过程的各态历经性可以理解为平稳过程的各个样本都同样地历经了随机过程的各种可能状态。由于任一样本都蕴含着平稳过程的全部统计特性的信息，因而任一样本的时间特征就可以充分地代表整个平稳随机过程的统计特性。这就是（4）式的实质。

如果一个平稳过程是具有各态历经性的，我们就可以通过过程的一个样本很容易地求得平稳过程的各数字特征量，这是很有实际意义的结论。由此，我们也看到了平稳随机过程的物理意义（假定平稳过程是一噪声电压）：

{}2

2

2

()()(0)()()()m E X t x t x t x t x t σ

====?-?

??X 是直流分量。（均值）R 是总平均功率。

是交流平均功率。（方差）

从上面的讨论中可以看到，具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程却并不都具有各态历经性。各态历经的条件还是比较宽的，工程实际中遇到的许多过程都能够满足它的条件，不过要去验证它是否符合充要条件，往往比较困难。在许多情况下假定它具有各态历经性，从这个假设出发，对所得到的数据进行分析处理，看其结果是否与实际相符合，如果不相符合就要修改此假定，另作分析。