浙江师范大学行知学院《数学分析(四)》考试卷(A)

浙江师范大学行知学院《数学分析(四)》考试卷(A)

参考答案及评分标准

（2005～2006学年第二学期）

考试形式 闭卷 使用学生 行知数学04级

考试时间 150 分钟 考试时间 2006 年6月 28 日

一、选择题(每小题3分，共18分) 1、极限?

+→++a

a

a a

x dx

12

201lim

的值是（ C ） (A)0， (B) 1， (C) 4π， (D) 2

π. 2、已知π=Γ)21(，则)2

5

(Γ的值是 ( D )

（A ）π5

， （B ）

π25， （C ）5

2π

， （D ）π43. 3、下列各式中，改变积分dy y x f dx x

?

?

-10

1

),(的顺序正确的是(A )

(A) dx y x f dy y

?

?-1010

),(， (B) dx y x f dy y ?

?-1

11

),( ，

(C)

dx y x f dy x

??

-1

10

),(， (D) dx y x f dy y

??-1

11),(.

4、由光滑闭曲面S 围成的空间区域的体积是 ( C ) (A)

??++S

zdzdx ydydz xdxdy ， (B)

??++S

zdzdx ydydz xdxdy 31

， (C)

??-+S

zdxdy ydzdx xdydz ， (D)

??-+S

zdxdy ydzdx xdydz 31

. 5、若L 是右半圆周0,2

22≥=+x R y x ，则积分

?

+L

ds y x 22=( D )

(A)R ， (B)R π2， (C)R π， (D) 2

R π.

6、已知无界区域上的二重积分

??≥++1

2222)(y x m y x dxdy

收敛，则m 的取值范围为( A ) (A) 1>m ， (B)1≤m ， (C)2>m ， (D) 2≤m .

二、填空题(每小题3分，共18分)

1、设a b p >>,0，则积分

?

+∞

--0

sin sin dx x

ax

bx e px

=____________________.

2、Beta 函数的值)2

1

,21(B =________.

3、设L 为抛物线22x y =从(0,0)到(1,2)的一段，积分ydx xdy L

-?

=______.

4、设}|),{(2

2

x y x y x D ≤+=，则??

=D

dxdy x _____________.

5、设]1,0[]1,0[]1,0[??=V ，则

???

++V

dxdydz z y x )(=__________.

6、设S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分，则??=S

zdS _____________.

三、解答下列各题(每小题5分，共30分)

1、证明含参量积分dx y x x y ?∞

+∞-+-2

222

2)(在),(+∞-∞上一致收敛.

证： 由于2

22222221

1|)(|x

y x y x x y ≤+≤+-， ……………2分 而

dx x ?

+∞

∞

-2

1

收敛，根据M 判别法可知， 积分dx y x x y ?∞

+∞-+-2

222

2)(在),(+∞-∞上一致收敛. ……………5分

2、计算积分

?

∞

+-->>-0

)0(a b dx x

e e bx

ax . 解：由于

?

??∞

+-∞+--=-0

0b a xy bx

ax dy e dx dx x

e e ， ……………2分

又积分?

+∞

-0

dx e xy 在[a,b]上一致收敛， ……………3分

因此

?

???

??-====-∞+-∞

+-∞+--b

a

xy b a b a xy bx

ax a b dy y

dx

e dy dy e dx dx x

e e ln ln 1

00

0 ……………5分

3、计算?

L

ds y ||，其中L 为单位圆周122=+y x .

解：

?L

ds y ||

p

a

p b arctan

arctan -π3215823

6

3

θθθθπ

d 2220

cos sin |sin |+=? ……………2分

4sin 20

==?π

θθd ……………5分

4、计算

?-+-++L

dz x z dy z y dx y x )()()(，其中L 为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.

解： 直线段的参数方程是：

1032≤≤??

?

??===t t z t y t x ， ……………2分 于是，

?-+-++L dz x z dy z y dx y x )()()(

?-+-++=

1

0)]3(3)32(2)2[(dt t t t t t t ……………4分

2

7

710

=

=?tdt ……………5分 5、求锥面22y x z +=

被柱面x z 22=所截部分的曲面面积.

解： 该曲面在xy 平面上的投影是圆x y x 222≤+， ……………2分 因此,

rdr

d dxdy

z z S x

y x y x ?

???

+=++=

?-≤+θ

π

πθcos 20

22

22

211122

……………4分

πθθπ

π2cos 2222

2==?-d ……………5分

6、求全微分dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(2

22+++++的原函数. 解： 由于

dz y zx dy x yz dx z xy x z z y y x d )2()2()2()(222222+++++=++，…………3分

因此，全微分dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(2

2

2

+++++的原函数是

C x z z y y x +++222. ……………5分

四、(8分) 证明：若),(y x f 为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则

0),(>??D

d y x f σ.

证： 由条件，存在点D y x P ∈=),(000,使0),(00>y x f ， ……………1分 而),(y x f 为连续函数，因此存在0>δ，使得10),(),(D D P U y x =?∈?δ，有

0)(2

1

),(0>>

P f y x f ， ……………4分 因此,积分??????-+=1

1

),(),(),(D D D D

d y x f d y x f d y x f σσσ ……………6分 0)(2

1

),(101

>?≥

≥??D P f d y x f D σ. ……………8分

五、(8分) 设球体x z y x 2222≤++上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求该球体

的质量.

解： 密度函数 222),,(z y x z y x ++=ρ， …………2分

因此，质量为

???++=V

dV z y x M 222 …………3分

?

?

?-=

π

θ

?π

π?θ?0

cos sin 20

322

sin dr r d d …………5分

?

?-=π

π

πθθ??0

22

45

cos sin 4

d d …………6分

π5

8

= …………8分

六、(8分) 求密度为ρ的均匀球面)0(2

2

2

2

≥=++z a z y x 对于z 轴的转动惯量. 解：转动惯量为

??+=S

dS y x J )(22ρ …………2分

??≤+--+--++=2

222

222

222

22

2

1)(a y x dxdy y x a y y x a x y x ρ …………4分 ??-=

πθρ20

2

2

3

a

dr r

a a r d …………6分

?

==20

434

3

4

sin 2π

πρπρa tdt a . …………8分

七、(10分) 计算积分??++=

S

dxdy zx dzdx yz dydz xy I 222，其中S 是椭球面122

2222=++c

z b y a x 的外侧. 解：由Gauss 公式，得

?????++=++=V

S

dV z y x dxdy zx dzdx yz dydz xy I )(222222 …………3分

由广义球坐标变换

??

?

??===?θ?θ?cos sin sin cos sin cr z br y ar x , ?θ?sin ),,(2abcr r J = …………5分 得

???++=ππ??θ?θ??θ20

222222221

2222sin )cos sin sin cos sin (dr abcr r c r b r a d d I

…………7分

)(15

4sin )cos sin sin cos sin (5

22220022222222c b a abc d c b a d abc ++=++=

??π???θ?θ?θππ

…………10分