核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第十一章 统计 11.3 变量间的相关关系与线性回归方程习题 理

§11.3 变量间的相关关系与线性回归方程

1．变量间的相关关系

常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性．

2．两个变量的线性相关

(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________．

(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________．

※(3)相关系数r ＝

∑∑∑===----n

j j

n i i

n

i i

i

y y

x x y y x x 1

2

1

2

1

)()()

)((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r

＜0时，表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．

3．回归直线方程

(1)通过求Q （α，β）＝

∑=--n

i i

x y 1

2

i

)

(αβ的最小值而得出回归直线的方法，即使得

样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做 ．该式取最小值时的

α，β的值即分别为a

?，b ?． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为a x b y

???+=，则 ??

?

????

??

-=--=---=∑

∑∑∑====.

x b y a

x n x y

x n y x x x y y x x b n

i i n

i i i n i i n i i i ??,

)())((?1

2

2112

1

自查自纠

1．相关关系 非确定性

2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法

（2015·福建模拟）下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ） A.正方体的棱长和体积 B.单位圆中角的度数和所对弧长 C.单产为常数时，土地面积和总产量 D.日照时间与水稻的亩产量

解：易知A ，B ，C 是函数关系，D 是相关关系.故选D.

下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的

是

A.①③

B ．①④

C ．②③

D ．①②

解：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．②非线性相关，③为确定关系，①④相关性很强．故选B .

（2014·重庆）已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x =3，y =3.5，

则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )

A ．y ?=0.4x +2.3

B ．y

?=2x -2.4 C ．y

?=-2x +9.5 D ．y

?=-0.3x +4.4 解：x 与y 正相关，排除C ，D ；B 中方程不过样本点的中心（x ，y ），故选A.

下列命题：

①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；

③通过回归直线a x b y

???+=，可以估计和预测变量的取值和变化趋势． 其中正确命题的序号是________． 解：易知①②③均正确，故填①②③.

(2015·海南模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为

此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^

＝0.67x ＋54.9.

现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为____________．

解：x＝30，线性回归方程必过点(x，y)，则y＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数据为a，则

62＋a＋75＋81＋89

＝75，解得a＝68.故填68.

5

类型一相关关系的判断

下列变量之间的关系不是

．．相关关系的是( )

A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac

B．光照时间和果树亩产量

C．降雪量和交通事故发生率

D．每亩施用肥料量和粮食亩产量

解：由函数关系和相关关系的定义可知，A中Δ＝b2－4ac，因为a，c是已知常数，b 为自变量，所以给定一个b的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b之间是一种确定的关系，是函数关系．B，C，D中两个变量之间的关系都是相关关系．故选A.

【点拨】要注意函数关系与相关关系的区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机的、不确定的．

下列说法中正确的是( )

A．任何两个变量之间都有相关关系

B．球的体积与该球的半径具有相关关系

C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性的关系

D．某商品的生产量与该商品的销售价格之间是一种非确定性的关系

解：A概念错误，B是函数关系，C中“确定性”说法错误．故选D.

类型二线性回归方程的有关概念

为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的试验数据中，变量x的平均值都等于s，变量y的平均值都等于t，那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)

B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)

C．必有直线l1∥l2

D．直线l1和l2必定重合

解：线性回归直线方程为y?＝a?＋b?x，而a?＝y－b?x，即a?＝t－b?s.t＝a?＋b?s.∴(s，t)在回归直线上，即直线l1和l2必有公共点(s，t)．故选A.

【点拨】回归方程一定通过样本点的中心(x ，y )；中心相同的样本点的回归方程不一定相同．

由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到回归直线方程a x b y

???+=，那么下面说法错误．．

的是( ) A ．直线a x b y

???+=必经过点(x ，y ) B ．直线a x b y

???+=至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点 C ．直线a x b y

???+=的斜率b ?＝∑∑==--n

i i

n

i i

i x

n x

y x n y

x 1

2

21

D ．直线a x b y ???+=和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑=+-n

i i

i a x b y 1

2)]??([是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的

解：回归直线方程a x b y

???+=经过样本点的中心(x ，y )，可能不经过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的任何一点，这些点都分布在这条直线附近.

故选B .

类型三 散点图

(1)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量

u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断(

)

图1

图2

A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关

B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，故选C.

【点拨】点分布在从左下角到右上角的区域时，两个变量的相关关系为正相关；点分布在从左上角到右下角的区域时，两个变量的相关关系为负相关．

(2)下面是一块田的水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：kg)：

施化肥量15 20 25 30 35 40 45

水稻产量 320 330 360 410 460 470 480

(Ⅰ)将上述数据制成散点图；

(Ⅱ)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？

解：(Ⅰ)散点图如下：

(Ⅱ)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长，不会一直随化肥施用量的增加而增长．

【点拨】任何一组数据(二元数据)都可以作出散点图，散点图可以直观地观察两个变量间的关系．

(1)从左至右，观察下列三个散点图，变量x与y的关系依次为________(正相关记作①；负相关记作②；不相关记作③)．

解：散点图在左上角至右下角区域则负相关，反之，则正相关，散乱则不相关．故填①③②.

(2)科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm，℃)，并作了统计：

(Ⅱ)判断两个变量是否具有线性相关关系．

解：(Ⅰ)作出散点图如图所示．

(Ⅱ)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量不具有线性相关关系．

类型四 求回归方程及用回归方程进行估计

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相

应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；

(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)散点图如下：

(2)由系数公式可知，x ＝4.5，y ＝3.5，

b ?＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.5

2

＝0.7， a

?＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 所以线性回归方程为y

?＝0.7x ＋0.35. (3)x ＝100时，y

?＝0.7x ＋0.35＝70.35，所以预测生产100

吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．

【点拨】牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算x ，y ，

∑=n i i

i y x 1

，∑=n

i i

x

1

2;(3)

代入公式求b ?，再利用x b y a ??-=求a ?；（4）写出回归方程.

某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下

(1)求y 关于t 的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b

?=∑∑==---n

i i n

i i

i

t t y y t t 1

2

1

)

()

)((，a

?=y -t b ?. 解：(1)t ＝1

7

(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

y ＝

2.9＋

3.3＋3.6＋

4.4＋4.8＋

5.2＋5.9

7＝4.3， b

?＝∑∑==---7

1

2

7

1

)

4()

3.4)(4(i i i i

i

t y t =0.5，

a

?=y

-b ?t =4.3-0.5×4=2.3， 所求线性回归方程为y

?=0.5t +2.3. （2）由（1）知，b

?=0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t =9代入（1）中的回归方程，得y

?=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

1. 在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.对于散点图，可以做出如下判断：

（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系.

（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系. （3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系. 2. 判断两个变量是否具有相关关系的常用方法： （1）利用散点图进行判断； （2）利用相关系数r 进行判断. 3. 在复习本节内容时应注意：

（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义.

（2）根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值.

（3）用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数a

?，b ?，由于a ?，b ?的计算量较大，计算应仔细小心.

1．在下列量与量的关系中，是相关关系的是( ) ①正方体的表面积与棱长间的关系； ②一块农田的水稻产量与施肥量的关系； ③人的身高与年龄的关系； ④家庭的支出与收入的关系． A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④

D ．②③④

解：①是函数关系，②③④皆为相关关系．故选D . 2．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( ) A ．点分布在从左下角到右上角的区域 B ．散点图在某方形区域内 C ．散点图在某圆形区域内

D ．点分布在从左上角到右下角的区域 解：正确的只有D 选项．故选D .

3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )

A ．r 2

B ．r 4

C ．r 4

D ．r 2

解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知r 2

4．(2015·福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区

根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )

A ．11.4万元

B ．11.8万元

C ．12.0万元

D ．12.2万元 解：∵x ＝10.0，y ＝8.0，b ^＝0.76，∴a ^＝y －b ^

x ＝8.0－0.76×10.0＝0.4，回归直

线方程为y ^＝0.76x ＋0.4.将x ＝15代入上式得y ^

＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．故选B .

5．(2014·湖北)根据如下样本数据：

得到的回归方程为y ＝b x ＋a ，则( ) A.a ^>0，b ^<0 B.a ^>0，b ^>0 C.a ^<0，b ^<0 D.a ^<0，b ^>0

解：解：x ＝5.5，y ＝0.25，b

?＝∑∑==--6

1

2

2

6

166i i i i i x x

y

x y x ＝－

1914

<0，a ?＝y －b ?x ＝0.25－? ??

??－1914×5.5＝547>0(作样本数据的散点图，也易选A)．故选A. 6．(2015·石家庄模拟)2015年国内物价持续上涨，某著名纺织集团为了降低生产成本继续走高的压力，计划提高某种产品的价格，为此销售部在10月1日至10月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x(元)

已知销售量y 与价格x 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：y ＝－3.2x ＋a ，若该集团提高价格后该批发市场的日销售量为7.36万件，则该产品的价格为( )

A ．14.2元

A ．10.8元

C ．14.8元

D ．10.2元

解：x ＝15×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y ＝1

5×(11＋10＋8＋6＋5)＝8

，∵线性

回归直线必过样本中心点(x ，y )，∴8＝－3.2×10＋a ，解得a ＝40.∴回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.令y ^

＝7.36，则7.36＝－3.2x ＋40，解得x ＝10.2. 故该产品的价格为10.2元．故选D .

7．(2015·湖北模拟)某地区恩格尔系数(表示生活水平高低的一个指标)y (%)与年份x 从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归直线方程为y ＝b x ＋4055.25，据此模型可预测2017年该地区的恩格尔系数为____________%.

解：x ＝2005.5，y ＝44.25，∵回归直线过样本点的中心(x ，y )，∴44.25＝b ^×2005.5

＋4055.25，解得b ^＝－2，∴回归直线方程为y ^＝－2x ＋4055.25，当x ＝2017时，y ^

＝21.25.故填21.25.

8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

解：

x ＝173，y ＝176，∴b

?＝∑∑==---3

1

2

3

1

)

()

)((i i

i i

i

x x y y x x

＝3×6（－3）2＋3

2＝1，a

?＝y －b ?x ＝176－173＝3. ∴回归直线方程为y ?＝x ＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．故填185.

9

万元)有如下统计资料：

已知

∑

=5

1

2

i i x =90，

∑=5

1

i i i y x ＝112.3.

(1)求x ，y ；

(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程； (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ 解：(1)x ＝2＋3＋4＋5＋6

5

＝4，

y ＝

2.2＋

3.8＋5.5＋6.5＋7.0

5＝5. (2) b

?＝∑∑==--5

1

2

2

5

155i i i i i x x

y

x y x ＝112.3－5×4×590－5×4

2

＝1.23， a

?＝y －b ?x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y

?＝1.23x ＋0.08. (3)当x ＝10时，y

?＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．

10．(2015·安徽模拟)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

解：(1)∵x ＝1

6

(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，

y ＝1

6

(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，

∴a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^

＝－20x ＋250.

(2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20 x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2

＋330x －1000

＝－20?

????x －3342＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值，

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

(1)画出散点图； (2)求回归直线方程；

(3)估计销售总额为24千万元时的利润． 参考数据：

∑

==7

1

2

3447i i x ，

∑==7

1

3.346i i

i y

x .

解：(1)散点图如图所示：

(2)x ＝1

7(10＋15＋17＋20＋25＋28＋32)＝21，

y ＝1

7

(1＋1.3＋1.8＋2＋2.6＋2.7＋3.3)＝2.1，

b

?＝∑∑==--7

1

2

2

7

177i i i i i x x

y

x y x ＝346.3－7×21×2.13447－7×21

2

≈0.104， a

?＝y －b ?x ＝2.1－0.104×21＝－0.084， ∴y

?＝0.104x －0.084. (3)把x ＝24(千万元)代入方程得y

?＝2.412(千万元)． ∴销售总额为24千万元时，估计利润为2.412千万元．

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气

象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行实验．

(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

解：(1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件A ，因为从6组数据中选取2组数据共有C 2

6＝15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个数据的情况有5种，所以P(A)＝515＝1

3

.

(2) (2)由数据求得x ＝11，y ＝24.

由公式求得b

?＝187

. 再由a

?＝y －b ?x ，求得a ?＝－307

. 所以y 关于x 的线性回归方程为y

?＝187x －307

. (3)当x ＝10时，y ?＝1507，??????1507－22＝47

＜2；

当x＝6时，y?＝78

7

，

??

?

??

?

78

7

－12＝

6

7

＜2.

所以，该小组所得的线性回归方程是理想的