解析:在第二象限角内通过余弦函数线cosα>cosβ找出α、β的终边位置关系,再作出判断,得B。
例16、已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+3 |=()
A.B.C.D.4
解析:如图,+3 =,在中,由余弦定理得|+3 |=||=,故选C。
例17、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是()
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:等差数列的前n项和Sn= n2+(a1- )n可表示
为过原点的抛物线,又本题中a1=-9<0, S3=S7,可表示如图,
由图可知,n= ,是抛物线的对称轴,所以n=5是抛
物线的对称轴,所以n=5时Sn最小,故选B。
4、验证法:就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时,若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。
例18、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0—9和字母A—F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B C D E F
十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15
例如:用十六进制表示E+D=1B,则A×B=()A.6E B.72 C.5F D.BO
解析:采用代入检验法,A×B用十进制数表示为1×11=110,而
6E用十进制数表示为6×16+14=110;72用十进制数表示为7×16+2=114
5F用十进制数表示为5×16+15=105;B0用十进制数表示为11×16+0=176,故选A。
例19、方程的解( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,+∞)
解析:若,则,则;若,则,则;若,则,则;若,则,故选C。
5、筛选法(也叫排除法、淘汰法):就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正确。
例20、若x为三角形中的最小内角,则函数y=sinx+cosx的值域是()
A.(1, B.(0,C.[ ,] D.(,
解析:因为三角形中的最小内角,故,由此可得y=sinx+cosx>1,排除B,C,D,故应选A。例21、原市话资费为每3分钟0.18元,现调整为前3分钟资费为0.22元,超过3分钟的,每分钟按0.11元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率()
A.不会提高70% B.会高于70%,但不会高于90%
C.不会低于10% D.高于30%,但低于100%
解析:取x=4,y=0.33 - 0.360.36?100%≈-8.3%,排除C、D;取x=30,y = 3.19 - 1.81.8?100%≈77.2%,排除A,故选B。
例22、给定四条曲线:①,②,③,④,其中与直线仅有一个交点的曲线是( )
A. ①②③
B. ②③④
C. ①②④
D. ①③④
解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和曲线
是相交的,因为直线上的点在椭圆内,对照选项故选D。
6、分析法:就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。
(1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析法。
例23、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线
表示它们有网线相联,连线标的数字表示该段网线单位时
间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传送信
息,信息可以分开沿不同的路线同时传送,则单位时间内
传递的最大信息量为()
A.26 B.24 C.20 D.19
解析:题设中数字所标最大通信量是限制条件,每一支要以最小值来计算,否则无法同时传送,则总数为3+4+6+6=19,故选D。
例24、设球的半径为R, P、Q是球面上北纬600圈上的两点,这两点在纬度圈上的劣弧的长是,则这两点的球面距离是()
A、B、 C、D、
解析:因纬线弧长>球面距离>直线距离,排除A、B、D,故选C。
例25、已知,则等于()
A、 B、C、 D、
解析:由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,故m为一确定的值,于是sinθ,cosθ的值应与m 的值无关,进而推知tan 的值与m无关,又<θ<π,< < ,∴tan >1,故选D。
(2)逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支,选出正确支的方法,称为逻辑分析法。
例26、设a,b是满足ab<0的实数,那么()
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| D.|a-b|<|a|+|b| 解析:∵A,B是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支C,D。又由ab<0,可令a=1,b= -1,代入知B为真,故选B。
例27、的三边满足等式,则此三角形必是()
A、以为斜边的直角三角形
B、以为斜边的直角三角形
C、等边三角形
D、其它三角形
解析:在题设条件中的等式是关于与的对称式,因此选项在A、B为等价命题都被淘汰,若选项C正确,则有,即,从而C被淘汰,故选D。
7、估算法:就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。
例28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03年某地区农民人均收入为3150元(其中工资源共享性收入为1800元,其它收入为1350元),预计该地区自04年起的5年内,农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长,其它性收入每年增加160元。根据以上数据,08年该地区人均收入介于()
(A)4200元~4400元(B)4400元~4460元
(C)4460元~4800元(D)4800元~5000元
解析:08年农民工次性人均收入为:
又08年农民其它人均收入为1350+160 =2150
故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555(元)。故选B。
说明:1、解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法,这里由于限于篇幅,其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题,会使题目求解过程简单化。
2、对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切忌小题大做。“不择手段,多快好省”是解选择题的基本宗旨。
(二)选择题的几种特色运算
1、借助结论——速算
例29、棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为()
A、 B、
C、 D、
解析:借助立体几何的两个熟知的结论:(1)一个正方体可以内接一个正四面体;
(2)若正方体的顶点都在一个球面上,则正方体的对角线就是球的直径。可以快速
算出球的半径,从而求出球的表面积为,故选A。
2、借用选项——验算
例30、若满足,则使得的值最小的是()
A、(4.5,3)
B、(3,
6) C、(9,
2) D、(6,4)
解析:把各选项分别代入条件验算,易知B项满足条件,且的值最小,故选B。
3、极限思想——不算
例31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为,侧面与底面所成的二面角的平
面角为,则的值是()
A、1
B、2
C、-1
D、
解析:当正四棱锥的高无限增大时,,则故选C。
4、平几辅助——巧算
例32、在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线
共有
()
A、1条
B、2
条 C、3
条 D、4条
解析:选项暗示我们,只要判断出直线的条数就行,无须具体求出直线方程。以A(1,
2)为圆心,1为半径作圆A,以B(3,1)为圆心,2为半径作圆B。由平面几何知
识易知,满足题意的直线是两圆的公切线,而两圆的位置关系是相交,只有两条公切
线。故选B。
5、活用定义——活算
例33、若椭圆经过原点,且焦点F1(1,0),F2?(3,0),则其离心率为()
A、 B、
C、
D、
解析:利用椭圆的定义可得故离心率故选C。
6、整体思想——设而不算
例34、若,则的值为
()
A、1
B、
-1 C、
0 D、2
解析:二项式中含有,似乎增加了计算量和难度,但如果设,,则待求式子。故
选A。
7、大胆取舍——估算
例35、如图,在多面体ABCDFE中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF= ,
EF与面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为()
A、 B、5 C、6 D、
解析:依题意可计算,而=6,故选D。
8、发现隐含——少算
例36、交于A、B两点,且,则直线AB的方程为
()
A、
B、
C、
D、
解析:解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线AB的方程就是,它过定点(0,
2),只有C项满足。故选C。
9、利用常识——避免计算
例37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税,利息税由各银行储蓄点代扣代收。
某人在2001年9月存入人民币1万元,存期一年,年利率为2.25%,到期时净得本
金和利息共计10180元,则利息税的税率是
()
A、8%
B、
20% C、
32% D、80%
解析:生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选B。
(三)选择题中的隐含信息之挖掘
1、挖掘“词眼”
例38、过曲线上一点的切线方程为()
A、B、
C、D、
错解:,从而以A点为切点的切线的斜率为–9,即所求切线方程为故选C。
剖析:上述错误在于把“过点A的切线”当成了“在点A处的切线”,事实上当点A为切点时,所求的切线方程为,而当A点不是切点时,所求的切线方程为故选D。
2、挖掘背景
例39、已知,为常数,且,则函数必有一周期为()
A、2
B、3
C、
4 D、5