2013届高考数学一轮复习精品学案：第11讲 空间中的垂直关系
高三数学一轮复习 空间中的垂直关系巩固与练习
巩固1.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PACA．①② B．①③C．②③ D．②④解析：选A.易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A.2．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a解析：选C.C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面．故选C.3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥nB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D.选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．故选D.4.已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.其中正确命题的序号有________．解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．答案：①④5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)6．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.练习1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是( )A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β解析：选D.对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β.2．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是( ) A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D.A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.3.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A.∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC解析：选C.∵M 是Rt△ABC 斜边AB 的中点，∴MA ＝MB ＝MC .又∵PM ⊥平面ABC ，∴MA 、MB 、MC 分别是PA 、PB 、PC 在平面ABC 上的射影．∴PA ＝PB ＝PC .应选C.5．在二面角α－l －β的两个面α，β内，分别有直线a ，b ，它们与棱l 都不垂直，则( )A ．当该二面角是直二面角时，可能a ∥b ，也可能a ⊥bB ．当该二面角是直二面角时，可能a ∥b ，但不可能a ⊥bC ．当该二面角不是直二面角时，可能a ∥b ，但不可能a ⊥bD ．当该二面角不是直二面角时，不可能a ∥b ，也不可能a ⊥b解析：选B.当该二面角为直二面角时(如图)，若a ⊥b ，∵b 与l 不垂直，在b 上取点A ，过A 作AB ⊥l ，AB ∩b ＝A ，由 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b AB ⊥αa ⊂α⇒⎭⎪⎬⎪⎫b ⊥a AB ⊥a AB ⊂β⇒a ⊥β⇒a ⊥l .这和a 与l 不垂直相矛盾．∴不可能a ⊥b .故A 错误，∴B 正确．6.在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不．成立的是( ) A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC解析：选C.如图，∵BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF.∴A 正确．由题设知BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE.∴B 正确．∴平面ABC ⊥平面PAE(BC ⊥平面PAE)．∴D 正确．7．已知m ，n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β；③若n ⊄α，m ⊄α且n ∥β，m ∥β，则α∥β；④若m ，n 为异面直线，n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，则α∥β.则其中正确的命题是_______．(把你认为正确的命题序号都填上)解析：依题意可构造正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，如图所示，在正方体中逐一判断各命题易得正确的命题是②④.答案：②④8．在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝32AB ，M 是BC 的中点，G 是△PAD 的重心，则在平面PAD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条．解析：设正四棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为32a . 由PM ⊥BC ， ∴PM ＝ (32a )2－(a 2)2＝22a . 连结PG 并延长与AD 相交于N 点，则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a ， ∴PM 2＋PN 2＝MN 2，∴PM ⊥PN ，又PM ⊥AD ，∴PM ⊥面PAD ，∴在平面PAD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直． 答案：无数9.如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长是1，过A 点作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，有下列三个命题：①点H 是△A 1BD 的中心；②AH 垂直于平面CB 1D 1；③AC 1与B 1C 所成的角是90°.其中正确命题的序号是 .解析：由于ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，所以A-A 1BD 是一个正三棱锥，因此A 点在平面A 1BD 上的射影H 是三角形A 1BD 的中心，故①正确；又因为平面CB 1D 1与平面A 1BD 平行，所以AH⊥平面CB 1D 1，故②正确；从而可得AC 1⊥平面CB 1D 1，即AC 1与B 1C 垂直，所成的角等于90°.答案：①②③10.(2010年南京模拟)如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．求证：(1)BC ⊥A 1D ；(2)平面A 1BC ⊥平面A 1BD.证明：(1)由于A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上， 则A 1O ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，则BC ⊥A 1O ，又BC ⊥CO ，A 1O ∩CO ＝O ，则BC ⊥平面A 1CD ，又A 1D ⊂平面A 1CD ，故BC ⊥A 1D .(2)因为ABCD 为矩形，所以A 1B ⊥A 1D .由(1)知BC ⊥A 1D ，A 1B ∩BC ＝B ，则A 1D ⊥平面A 1BC ，又A 1D ⊂平面A 1BD .从而有平面A1BC ⊥平面A 1BD .11.如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2a ，CD=a ，F 是BE 的中点．(1)求证：DF ∥平面ABC ；(2)求证：AF ⊥BD.证明：(1)取AB 的中点G ，连结FG ，可得FG ∥AE ，FG ＝12AE ，又CD ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ∥AE ，CD ＝12AE ，∴FG∥CD，FG＝CD，∵FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点，∴AF⊥BE，∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB，又DF⊥FG，∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD.12.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D 是平行四边形，所以B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.(2)证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连结NN1交DC1于O，连结OM.因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1.又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.。
学海导航高三数学人教B版文科第一轮总复习课件9.49空间中的垂直关系
空间中的垂直关系
1．设 l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面 α 内，则“l ⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知平面α，β和直线m，给出条件： ①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β. 当满足条件 时，m⊥β.(填符合条件的序号)
4． 如图所示， 在四棱锥 PABCD 中， PA⊥底面 ABCD， 且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满 足 时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认
为是正确的条件即可)
解析：连接 AC，则 AC⊥BD. 又 PA⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC. 所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时， 即有 PC⊥平面 MBD， 而 PC⊂平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面 PCD.
【拓展演练 2】 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝AD＝1， AA1＝2， M 是棱 CC1 的中点． 证明： 平面 ABM⊥平面 A1B1M.
证明：因为 A1B1⊥平面 B1C1CB，BM⊂平面 B1C1CB，所 以 A1B1⊥BM， 由已知易得 B1M＝ 2， 又 BM＝ BC2＋CM2＝ 2，B1B＝2， 所以 B1M2＋BM2＝B1B2，所以 B1M⊥BM. 又因为 A1B1∩B1M＝B1，所以 BM⊥平面 A1B1M. 而 BM⊂平面 ABM，所以平面 ABM⊥平面 A1B1M.
(3)证明：取 PA 的中点 G， 连接 GD、GE.因为 E 是 PB 的中点， 1 所以 GE＝ AB 且 GE∥AB. 2 而 F 是 DC 上的点 1 且 DF＝ AB，DF∥AB， 2 所以 GE＝DF 且 GE∥DF. 所以四边形 GDFE 是平行四边形， 所以 EF∥GD.
2013届高考数学 考点单元复习教案11
空间向量2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.第1课时 空间向量及其运算量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法那么： ． (4) 向量减法法那么： ．(5) 数乘向量法那么： ． 2．线性运算律(1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ． 3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，那么对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量．(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，那么向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．共面向量定理的推论： ． 5．空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量．(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，那么对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．6．空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： ．(2) 空间向量的长度或模： ．(3) 空间向量的数量积：空间中任意两个向量a 、b ，那么a ·b ＝ ． 空间向量的数量积的常用结论：(a) cos 〈a 、b 〉＝ ；(b) ⎪a ⎪2＝ ；(c) a ⊥b ⇔ ． (4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ ； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．—A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，假设1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，假设=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，那么以下向量中与M B 1相等的向量是( )A ．-21a ＋21b ＋c B ．21a ＋21b ＋cC ．21a -21b ＋cD ．-21a -21b ＋c 解：A例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD. 证明：记,,,1c AA b AC a AB ===那么c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴11,,DC DB AB 共面.ABCDA B∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．(1) 求证：MN∥平面FC ； (2) 求证：MN⊥AB； (3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？ 解：(1) 设.)1(,BF k BC k MN k ACMCEB NB +-===则(2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,,21,)122(22=+-=k a k k 即当 也即时AC AM 21=a 22=例3. 四面体ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心． 求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．证明：(1) AD⊥BC ⇔0=⋅BC AD ．因为AB ⊥CD 0=⋅⇔CD AB ，0=⋅⇔⊥BD AC BD AC ，而0)()(=+⋅+=⋅DC BD BD AB BC AD ． 所以AD⊥BC．(2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，AH GA GH +=＝32(AF EA +)＝32EF ． 变式训练3：平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．解：CG HC HG +=＝1GC HC +＝1FC GF HC ++＝GF FC F A ++11＝GF EF +2，所以EH EG EF ,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．例4. 如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 21，过E 、F 、G 的平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．ADAA 1+∴AF m AE m AG m AP 2343++=又∵E、F 、G 、P 四点共面，∴12343=++m m mD FA G∴193=m ∴AP︰PC 1＝3︰16变式训练4：空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，假设AB ＝OC ，求证QN PM ⊥． 证明：法一：)(21OC OB OM +=)(21OC OA ON +=)(21OC AB OM PO PM +=+=∴)(21AB OC ON QO QN -=+=0)41==⋅∴QN PM 故QN PM ⊥法二：PM ·QN ＝(PQ ＋QM )·(QM ＋MN )＝)(21OC AB +·)(21BA OC + ＝)(4122AB OC -＝0用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法那么，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的向量表示出来，从而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角那么可以利用公式c b a ． 4．异面直线间的距离的向量求法：异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，n 为与AB 共线的向量，那么｜AB ||n .5．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，那么点P 到平面α的距离是d ||n o第2课时 空间向量的坐标运算)，b ＝),,(321b b b (1) a ±b ＝ (2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ． (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==那么AB ＝ ，=AB ． AB 的中点M 的坐标为 ．例1. 假设a ＝(1,5,－1)，b ＝(－2,3,5) 〔1〕假设(k a +b )∥(a －3b )，求实数k 的值； 〔2〕假设(k a +b )⊥(a －3b )，求实数k 的值； 〔3〕假设a k +k 的值． 解：(1)31-=k ； (2)3106=k ； (3)278-=k 变式训练1. O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ． 解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ⋅=，()BC OA R λλ=∈，∴()()30,1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，即30,13,10,2.x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解此方程组，得7211,1,,101010x y z λ=-===。
福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第49讲 空间中的垂直关系
用符号表示：a ，b ⑤ __________ .
第五页，编辑于星期日：十九点 分。
2．平面与平面垂直
1定义：如果两个平面相交，且它们所成的二
面角是⑥ _______，就说这两个平面互相垂直．
2 画法：
记作 .
第六页，编辑于星期日：十九点 分。
则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
第十页，编辑于星期日：十九点 分。
2.(2010·山东卷)在空间，下列命题正确的是( ) A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
因为折叠后，CD＝BC＝2，所以 CQ⊥BD， 因为平面 BDR⊥平面 DCB，所以 CQ⊥平面 BDR. 又 RQ⊂平面 BDR，所以 CQ⊥RQ.
第三十八页，编辑于星期日：十九点 分。
在 Rt△RCQ 中，RC＝ 1＋2－x2，CQ＝ 2， 所以 RQ＝ －1＋2－x2. 在△BAR 中，BR＝ 1＋x2， 在△DER 中，DR＝ 3＋2－x2，又 BD＝2 2，
二 平面和平面垂直的判定和性质
【例 2】 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AC＝BC，点 D 是 AB 的中点．
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B.
第二十七页，编辑于星期日：十九点 分。
【分析】用线面平行的判定定理证明(1)，可连 接 AC1，利用中位线证明线线平行．要证面面垂直需 要证线面垂直或线线垂直．
第十九页，编辑于星期日：十九点 分。
2013届高考数学第一轮立体几何初步专项复习教案6.doc
§6垂直关系6．1 垂直关系的判定(一)【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．判定定理文字表述：如果一条直线和一个平面内的__________________都垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥b ⇒l ⊥α．一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a βD ．a β或a ∥β3．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( )A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交4．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB＝PC，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．§6垂直关系6．1垂直关系的判定(一)答案知识梳理2．两条相交直线a αb αa∩b＝A作业设计1．B[只有④正确．]2．D3．C[取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C．]4．B[易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]5．A [⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC 平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ．] 6．A[PO ⊥面ABC ．则由已知可得，△PAO 、△PBO 、△PCO 全等，OA ＝OB ＝OC ， O 为△ABC 外心． 只有③正确．] 7．①④⑤8．∠A 1C 1B 1＝90° [如图所示，连接B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可．因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可． (或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等)] 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ．又∵MN ⊥B 1M ，∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ， ∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF 平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ， 连接AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ， ∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG ∥EF ．∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG 平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ． 12．证明 连接AB 1，CB 1， 设AB ＝1．∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AQ 平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC 平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ 平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．6．1 垂直关系的判定(二)【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．__________________叫做二面角的面．2．平面与平面的垂直①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①② 2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( ) ①若m ∥n ，n ⊥β，m α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A ．13B ．12C ．223D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面PAEC．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP ＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C 的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．6．1 垂直关系的判定(二) 答案知识梳理1．两个半平面 这条直线 这两个半平面 2．①直二面角 ②垂线 a α 作业设计1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面不是最小角．故选B ．]2．C3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角．∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．] 6．C [如图所示，∵BC ∥DF ， ∴BC ∥平面PDF ． ∴A 正确．由BC ⊥PE ，BC ⊥AE ， ∴BC ⊥平面PAE ． ∴DF ⊥平面PAE ． ∴B 正确．∴平面ABC ⊥平面PAE(BC ⊥平面PAE)． ∴D 正确．]7．45°解析 可将图形补成以AB 、AP 为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析 由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ， 面PAB ⊥面ABCD ，又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ，∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角， ∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ， ∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ， ∴面PDC ⊥面PDA ．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点， ∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， ∴AC ⊥平面BGD ．又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD ．∵EF 平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面BGD ．11．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ．又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ， BE 平面ABCD ，所以PA ⊥BE ．而PA ∩AB ＝A ， 因此BE ⊥平面PAB ． 又BE 平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB ．(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB 平面PAB ， 所以PB ⊥BE ．又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PAAB ＝3， 则∠PBA ＝60°．故二面角A —BE —P 的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF 平面ABC．BC 平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D 平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D 平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．6．2垂直关系的性质(一)【课时目标】1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．直线与平面垂直的性质定理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______ 符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒________ 图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE>PG>PFB ．PG>PF>PEC ．PE>PF>PGD ．PF>PE>PG4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两平面平行．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA、PB、PC两两垂直，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1的中点．求证：MN ⊥平面A 1BC ．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．6．2 垂直关系的性质(一) 答案知识梳理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线1．B [由线面垂直的定义知B 正确．]2．C[①②③正确，④中n与面α可能有：n α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]3．C[由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF<PE，∴有PG<PF<PE．故选C．]4．C[PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．∴选C．]5．B[由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，故选B．] 6．A[设P在面α的射影为O，则PA⊥面PBC，∴PA⊥BC，又BC⊥PO，∴BC⊥AO，同理AC⊥BO，∴O为△ABC的垂心．]7．4解析由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．8．①②③解析①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．9．6解析由题意知CO⊥AB，∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．10．证明(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1．(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中点． 11．证明连接AG 并延长交BC 于D ，连接A ′G ′并延长交B ′C ′于D ′，连接DD ′，由AA ′⊥α，BB ′⊥α，CC ′⊥α，得AA ′∥BB ′∥CC ′．∵D 、D ′分别为BC 和B ′C ′的中点， ∴DD ′∥CC ′∥BB ′，∴DD ′∥AA ′，∵G 、G ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的重心， ∴AG GD ＝A ′G ′G ′D ′，∴GG ′∥AA ′，又∵AA ′⊥α，∴GG ′⊥α．12．证明 ∵M 、N 分别是EA 与EC 的中点， ∴MN ∥AC ，又∵AC 平面ABC ，MN ⊆平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC ，∵DB ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ， ∴BD ∥EC ，四边形BDEC 为直角梯形， ∵N 为EC 中点，EC ＝2BD ，∴NC 綊BD ，∴四边形BCND 为矩形， ∴DN ∥BC ，又∵DN ⊆平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴DN ∥平面ABC ，又∵MN ∩DN ＝N ， ∴平面DMN ∥平面ABC ．13．证明 如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，得BC ⊥平面ACC 1A 1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．6．2垂直关系的性质(二)【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒a α．(2)已知平面α⊥平面β，a α，a⊥β，那么a∥α(a与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A ．a ⊥βB ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能 2．平面α∩平面β＝l ，平面γ⊥α，γ⊥β，则( ) A ．l ∥γ B ．l γ C ．l 与γ斜交 D ．l ⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条 4．若α⊥β，直线a α，直线b β，a ，b 与l 都不垂直，那么( ) A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ．a 与b 可能垂直，也可能平行 C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行5．设x ，y ，z 中有两条直线和一个平面，已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x ⊥yy ∥z 可推得x ⊥z ，则x ，y ，z 中可能为平面的是( )A ．x 或yB ．xC ．yD ．z6．在空间四边形ABCD 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面BDCB ．平面ABC ⊥平面ABD C ．平面ABC ⊥平面ADC D ．平面ABC ⊥平面BED二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，P ∉l ，则下列结论中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O ，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2 cm 、3 cm 、6 cm ，则点P 到O 的距离为________．9．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．三、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC ＝∠PBC＝90°．证明：AB⊥PC．13．如图所示，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 2．判定线面垂直的方法主要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．6．2 垂直关系的性质(二) 答案知识梳理1．垂直 交线 a ⊥β 作业设计 1．D 2．D[在γ面内取一点O ， 作OE ⊥m ，OF ⊥n ， 由于β⊥γ，γ∩β＝m ，所以OE ⊥面β，所以OE ⊥l ， 同理OF ⊥l ，OE ∩OF ＝O ， 所以l ⊥γ．]3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．] 4．C 5．A 6．D 7．①③④解析 由性质定理知②错误． 8．7 cm解析 P 到O 的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB 上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC 面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC 平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB 平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．12．证明因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA．因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△P AC，所以AC＝BC．如图，取AB的中点D，连结PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC．13．证明(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又∵M是线段AC1的中点，∴MF∥AN．又∵MF 平面ABCD，AN 平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD 平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A 平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1．又∵NA 平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．。
2013年高考数学一轮复习 9.4 空间中的平行关系精品教学案(学生版) 新人教版.doc
2013年高考数学一轮复习精品教学案9.4 空间中的平行关系【考纲解读】1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．理解以下性质定理，并能够证明：◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.【要点梳理】1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。
(高考密码)2013届高三理数学一轮复习课件 第五节 直线、平面垂直的判定与性质(人教A)
解:(1)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点,∵F是EC中点.∴在 △ACE中,FG∥AE, ∵AE⊄平面BFD,FG⊂平面BFD, ∴AE∥平面BFD.
(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,∴BC⊥平面ABE, 又∵AE⊂平面ABE,∴BC⊥AE, 又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,∴AE⊥平面BCE, ∴AE⊥BF,
1 2
解析
解析:∵PA⊥平面ABCD,
DQ⊂平面ABCD, ∴PA⊥DQ. 连接AQ.由PQ⊥QD得AQ⊥QD, ∴Rt△ABQ∽Rt△QCD,令BQ=x,
x a 则 = 2-2x+a2=0, ,即x 2 x a
又∵方程有正根,∴0<a≤1.
答案:①②
3.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面 PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论.
∴平面DHF⊥平面ABCD.
∵H是CG的中点,∴F是PC的中点, ∴在PC上存在一点F,满足平面DEF⊥平面ABCD.
对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:
一种是:第一步,探求出点的位置.
第二步,证明符合要求. 第三步,给出明确答案. 第四步,反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 另一种是:从结论出发,“要使什么成立”,“只须使什么成立”,寻求 使结论成立的充分条件,类似于分析法.
1.证明直线和平面垂直的常用方法有:
方法一
利用判定定理
方法二
利用平行线垂直于平面的传递性
(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)
2013高考数学一轮复习 - 空间关系证明(学生)
2013高考数学一轮复习第7讲 空间线面关系【考点核心】空间直线、平面的平行与垂直关系（用定义、公理、判定、性质及其已获得的结论证明一些空间图形的位置关系、并能在此基础上求见角和距离问题）【应试策略】空间三大关系的定义、判定、性质定理是核心、一空间棱柱棱锥为载体；能力要求：1.对定义定理的理解（直棱柱、空间异面垂直）2.语言的顺利转换（如勾股数想到垂直等）3.空间想象能力（先画大件后小样）及其逻辑思维能力（平行可有那些方法得到）4.证明要由已知想性质，由目标想判定5.(理)空间坐标系建立要先证明做辅助线6.小题判断是非举正反例7.综合题要一作二证三计算。
【知识回顾】必须知（此处略）题型一：定义、公理、判定定理、性质定理、已获得的结论与空间关系的判断 （2010山东文4理3）(4)在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个面平平行D.垂直于同一平面的两条直线平行（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ） A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。
将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。