2020届高三数学(文)“大题精练”9
2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
2020届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(九)文
2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（九）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}A x y ==，{}B x x a =≥，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞2．已知1i +是关于x 的方程220ax bx ++=（a ，b ∈R ）的一个根，则a b +=（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为，则双曲线的方程为（ ）A ．2212x y -= B ．2212y x -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 4．函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．33cmB ．35cmC ．34cmD ．36cm6．按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（ ）开始输出A结束是否1A =1S =5?S ≤2A A =+1S S =+A ．6B ．5C ．4D ．37．两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，则2+=a b （ ） A ．2B ．3C 2D 38．已知函数()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则()a b ，所在的直线为（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=9．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n． ①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则12231n n a a a a a a -+++L 等于（ ） A ．()1n n -B ．()21n -C ．2nD ．()1n n +10．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，25．小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若3cos cos 4αβ=，则v =（ ）A ．60B ．80C ．100D ．12511．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点()3M t -，，MF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数x ，都有()()20xf x f x '+>恒成立，且1f =，则使22x f x <（）成立的实数x 的集合为（ ）A ．()-∞+∞U ，B ．(C ．(-∞D ．)+∞第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
2020年3月福建省普通高中2020届高三毕业班质量检查测试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前福建省普通高中2020届高三毕业班下学期质量检查测试数学(文)试题(解析版)2020年3月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|28x A x =<，{}1,2,3B =-，则A B =（ ） A. {}1-B. {}1,2-C. {}2,3D. {}1,2,3- 【答案】B【解析】【分析】 计算{}{}|283x A x x x =<=<，再计算交集得到答案.【详解】{}{}|283x A x x x =<=<，{}1,2,3B =-，{}1,2A B =-.故选：B .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.复数z 的共轭复数z 满足(1)2z i i +=，则||z =（ ）A. 2 C. 2 D. 12【答案】B【解析】【分析】 化简得到1z i =+,故1z i =-,再计算模长得到答案.【详解】(1)2z i i +=,故()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,故1z i =-,z =故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,复数的模,意在考查学生对于复数知识的综合应用能力.3.若3sin()5πα-=,则cos2=α（ ） A. 2425- B. 725- C. 725 D. 2425【答案】C【解析】【分析】 化简得到3sin()sin 5παα-==,再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】3sin()sin 5παα-==,27cos 212sin 25αα=-=. 故选：C .【点睛】本题考查了三角恒等变换,意在考查学生的计算能力.4.设x ,y 满足约束条件02010x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值是( )A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移,可得最优解,然后求解即可．【详解】解：作出x ,y 满足约束条件表示的平面区域。
2020届四川省高三大数据精准教学第一次统一监测数学(文)试题(解析版)
2020届四川省高三大数据精准教学第一次统一监测数学(文)试题一、单选题1 .已知集合A x0 x 1 9 , B 1,2,6,10 ，则AI B ( )A. 1,2 B, 2,6 C. 1,2,6 D. 2,6,10 【答案】B【解析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.【详解】解：由题意知，A x 0 x 1 9 x1 x 10 ,而B 1,2,6,10 ,• .AI B 2,6 .故选：B.【点睛】本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解题的关键^2.若复数z满足iz 2 i ,则z ( )A.夜B.百C. 2D. 75【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.【详解】解：由题意知，iz 2 i ,1 2i1•|z 1 2i 肝2 2 而,故选：D.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法log a x a,x 3 .已知a 0且a 1,函数f x x 13 1,x 00，若f a 3,则f a2B.—3A. 2【解析】根据分段函数的解析式，知当X 0时, f x 3x11,且f 3,由于f a 3,则f a log a a a 3 ,即可求出a.由题意知:当x 0 时，f x 3X 11，且f x 3由于fa 3,则可知：a 0,则f a log a a a 3 ,，a 2 ,则a 2 ,El 1 2则f a f 2 3 11 -.32即f a -.3故选：C.【点睛】本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量 ^r4.已知向量a 73,1 , b 6, 1 ,则a与b 的夹角为（）A. B.一3C. 一3【解析】由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果【详解】解：由题意得，设a与b的夹角为r ra b 3 1 1cos TT-TTH ------ ---- ,ab 2 2 2由于向量夹角范围为：0花.. 一.3故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围所以f x 的定义域为x R ,r cos x cosx rf x ----------- ---- 7 - --------------------- 7 f x ，2 x 2x 2x 2 x••• f x 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除C,D 选项，1八.且当x 0时，f 0 2 0,排除B 选项，所以A 正确.故选：A.本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除 226.已知双曲线 0 121a 0,b 0的焦距是虚轴长的 2倍，则双曲线的渐近线方 a b 程为（）2倍，可得出c 2b,结合c 2 4b 2 a 2 b 2,f x 的定义域为x R ,通过定义法判断函数的奇偶性，得出f xf x ,则f x 为偶函数，可排除 C,D 选项，观察A,B 选项的图象，可知代入x 0,解得f 00,排除B 选项，即可得出答案解：因为f xcosx 2x 2 xB. y8x1 C. y -x2D . y 2x【解析】根据双曲线的焦距是虚轴长的【解析】根据函数解析式，可知得出a2= 3b2,即可求出双曲线的渐近线方程【详解】2 2解：由双曲线与I 1 a 0,b 0可知，焦点在x轴上, a b ....................................................... b则双曲线的渐近线方程为：y b x ,a由于焦距是虚轴长的2倍，可得：c 2b,. 2 2 2 2• • c 4b a b ,即：a2= 3b2, b ①，a 3所以双曲线的渐近线方程为：y _il x.3故选：A.本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程,c 47. 'Sin2 — "是‘tan2”的（5A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】直接利用二倍角的正弦公式换化简sin 2式进行弦切互化，得出-24an- 4,即可求出tan 1 5件.2sin cos 4--- 2--------- 2——，再禾U用齐次sin cos 5tan ,即可判断充分条件和必要条【详解】4 2sin cos 4解：Qsin2 ——2----------- -5 sin cos 5nrt 2 tan 4 . 1则—2 -------- — tan 2 或一，tan 1 5 24所以sin 2 g"是‘tan 2 ”的必要不充分条件故选：B.本题考查必要不充分条件的判断, 运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化8 .完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰 好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个 完全数” 6和 28,进一步研究发现后续三个完全数 ”分别为496, 8128, 33550336,现将这五个 完全 数”随机分为两组，一组 2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ 1 A .一5【答案】C【解析】先求出五个 完全数”随机分为两组，一组 2个，另一组3个的基本事件总数为2C 5 10 ,再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出 6和28不在同一组的概率. 【详解】解：根据题意，将五个 完全数”随机分为两组，一组 2个，另一组3个, 则基本事件总数为C ； 10,则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数 C ； C 3 4 ,, 一…10 4，6和28不在同一组的概率 P --------------10故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用^...1 39 .曲线y - x 21nx 上任意一点处的切线斜率的最小值为（） 3A. 3B. 2C. 3D. 12【答案】A【解析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率 k 3,即可得出答案【详解】1 3 ..... ............... 一解：由于y -x 21nx,根据导数的几何意义得：3,f22211 .3 21 1k f x x —x —— 3j x — — 3x0,x xx x x即切线斜率k 3 ,2 B. 一5当且仅当x 1等号成立，1 3所以y - x 321nx 上任意一点处的切线斜率的最小值为3故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力 ^10 .正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA J2AB, D 是BC 的中点，则异面直线 AD 与AC 所成的角为（）D.【解析】取B 1C 1中点E ,连接A i E , CE ,根据正棱柱的结构性质，得出 A 1E //AD ,解：如图，取B i C i 中点E,连接A i E, CE,由于正三棱柱 ABC A 1B 1c l ,则BB 1 底面A 1B 1C 1 , 而 A 1E 底面 AB 1C 1 ,所以 BB 1 A 〔E ,由正三棱柱的性质可知， △A 1B 1C 1为等边三角形, 所以 AE B 1c 1 ,且 A 1EI B 1c l E , 所以AE 平面BB 1C 1C ,而 EC 平面 BB 1C 1C ，则 AE EC , 则 AE 〃AD , A 1EC 90 ,CAE 即为异面直线 AD 与AC 所成角,3.则 CAE 即为异面直线AD 与AC 所成角，求出tan CA 〔EAE即可得出结果设AB 2,则AA i 2金，AE 娟，CE 3,CE 3则tan C AI E—― 33AE ..3一Tt••• CAE -.3故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力^11.已知直线l：J3x y 2 0与圆O：x2 y2 4交于A, B两点，与l平行的直线l i与圆。
2019-2020年高三综合练习数学9试题含答案
若不
可能，请说明理由。
（文）已知函数满足，是不为的实常数。
（1）若当时，，求函数的值域；
（2）在（ 1）的条件下，求函数 y f ( x), x n, n 1 , n N 的解析式；
（3）若当时，，试研究函数在区间上是否可能是单调函数？ 若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由。
上海市华师大二附中高三年级数学综合练习 [9] 参考答案 1、； 2、； 3、；4、； 5、； 6、 ； 7、； 8、（理）；（文）； 9、（理）；（文）； 10、； 11、；12、 60； 13、； 14、； 15、；16、
5、复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数
。
6、在中，角所对的边分别为，若， ，，则
。
7、如图，正四棱柱中， ，则异面直线与所成角为
。
：俄罗斯语、 种。
sin(
8 、（理）若
) cos cos(
22 ) sin
3 ，在第三象限，
则
。
（文）已知∈ (,)，sin=,则 tan
。
9、（理）的展开式中，常数项为，则
你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（
1）
个问题；否则就回答第（ 2）个问题。 被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，
只需要回答“是”或“不是” ，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了
回答。如果被调查的 600 人（学号从 1 到 600）中有 180 人回答了“是” ，由此可以估计在
元（其中工资性收入为 1800 元，其他收入为 1350 元），预计该地区自 xx 年起的 5 年内，农
民的工资性收入将以 6 %的年增长率增长，其他收入每年增加 160 元。根据以上数据， xx 年
2020届高三12月大联考数学(文)试题 pdf版含答案
B. (-∞，-1)U (2，+∞） D. (-∞，1) U (2，+∞)
2.已知 a,b 均为单位向量且夹角为 60°，则下列向量与 a 垂直的是
A. a-2b B. 2a-b C. a + 2b D.2a + b 3.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是
A. y x2 x B. y ex ex
,则 c
A.2 B.5 C.2 或 5 D.3 或 5
6. 6.设, 是两个平面， m, n 是两条直线，则下列命题错误的是 A.若 m ,n ，则 m∥n B.若 m∥ ,n∥ ，则 m∥n C.若 m ,m ，则 ∥ D.若 , n,m ,m n ，则 m
7.设 a Z ，函数 f (x) ex x a ，命题 p :“ x (1,1), f (x) 0 ”是假命题，则 a 的
某种新型嫁接巨丰葡萄，在新疆地区种植一般亩产不低于 5 千斤，产量高的达到上万斤， 受嫁接年限的影响，其产量一般逐年衰减，若在新疆地区不均亩产量低于 5 千斤，则从新嫁 接.以下 是新疆某地区从 2014 年开始嫁接后每年的不均亩产量单位：千斤）的数据表：
（1）求 y 关于 x 的线性回归方程. （2）利用(1)中的回归直线方程，预计哪一年开始从新嫁接. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
12
12
C.向左不移 5 个单位长度 D.向右不移 5 个单位长度
12
12
11.已知函数 f (x) exa , g(x) x ，直线 l 分别与曲线 y f (x), y g(x) 相切于点
(x1 , f (x1)),(x2, g(x2)) ，则 x1 x2
A. 0 B. l C. 2 D. e
2020届高三文科数学总复习习题：9.5 抛物线及其性质 Word版含答案
§9.5抛物线及其性质【考点集训】考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2019届广东顶级名校期中联考,3)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.5答案C2.(2018河南中原名校12月联考,11)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为3,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐的方程为()近线的距离为2,则抛物线C2A.x2=yB.x2=4yC.x2=12yD.x2=24y答案D3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案考点二抛物线的几何性质1.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B2.(2017广东中山一调,5)已知抛物线x2=2py(p>0)的准线与椭圆+=1相切,则p的值为()A.4B.3C.2D.1答案A3.(2019届安徽皖中地区9月调研,9)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A. B. C. D.答案D考点三直线与抛物线的位置关系1.(2019届安徽皖东第二次联考,8)若抛物线x2=2y在点(a>0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8,则此切线方程是()A.x-4y-8=0B.4x-y-8=0C.x-4y+8=0D.4x-y+8=0答案B2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A. B.6 C.12 D.7答案C3.(2019届福建福州9月质检,9)抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点,若P(1,1)为线段AB 的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x4.(2018广东深圳二模,15)设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A,B两点,直线OP 与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q,则△=.△答案3炼技法【方法集训】方法1求抛物线的标准方程的方法1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x答案B2.(2019届湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是()A.y2=8xB.x2=8yC.y2=4xD.x2=4y答案A3.(2017河北六校模拟,14)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为.答案y2=16x方法2抛物线定义的应用策略1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|=()A.8B.C.6D.答案D3.(2019届河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为.答案13方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l与C交于A,B两点.若|AB|=10,则△OAB的重心的横坐标为()A. B.2 C. D.3答案B2.(2018湖北武汉模拟,9)过点P(2,-1)作抛物线x2=4y的两条切线,切点分别为A,B,PA,PB分别交x轴于E,F两点,O为坐标原点,则△PEF与△OAB的面积之比为()A. B. C. D.3.(2019届河南洛阳期中检测,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点P的纵坐标为3,且|PF|=4,过M(m,0)作抛物线C的切线MA(斜率不为0),切点为A.(1)求抛物线C的方程;(2)求证:以FA为直径的圆过点M.解析(1)∵|PF|=yP+,∴4=3+,∴p=2.∴抛物线C的方程为x2=4y.(4分)(2)证明:设A(x0≠0),切线MA的斜率为k(k≠0).∵x2=4y,∴y=,∴y'=,∴k=.(5分)∴切线MA的方程为y-=(x-x0),即y=x-.(6分)∵切线过M(m,0),∴-=0.又∵x0≠0,∴x=2m.(8分)∵F(0,1),M(m,0),A(x0≠0),∴·=(-m,1)·-=(-m,1)·(m,m2)=0,(10分)∴∠FMA=90°,因此,以FA为直径的圆过点M.(12分)过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A. B.1 C. D.2答案D2.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由-得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=+=.①将x 1=+2,x 2=+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)==-=0.所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.3.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 解析 由题设知F.设l 1:y=a,l 2:y=b,易知ab ≠0, 且A ,B ,P - ,Q - ,R -. 记过A,B 两点的直线为l,则l 的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)证明:由于F 在线段AB 上,故1+ab=0. 记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则 k 1=- = - - = =-=-b=k 2. 所以AR ∥FQ.(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF =|b-a||FD|=|b-a| -,S △PQF = -. 由题设可得2×|b-a| -=-, 所以x 1=0(舍去)或x 1=1.设满足条件的AB 的中点为E(x,y). 当AB 与x 轴不垂直时, 由k AB =k DE 可得 =-(x ≠1). 而=y,所以y 2=x-1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合. 所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分) B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 抛物线的定义及其标准方程1.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y 2=2px 的准线上,记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为( )A.-B.-1C.-D.-答案 C2.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|-1.(1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N,AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B-.又直线AB的斜率为-,故直线FN的斜率为--.从而得直线FN:y=--(x-1),直线BN:y=-.所以N--.设M(m,0),由A,M,N三点共线得-=--,于是m=-.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=k AM,最终求出结果.考点二抛物线的几何性质1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D2.(2014安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A3.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为. 答案(1,0)4.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-)2=1考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-∞,-1)∪(1,+∞)2.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由-消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故--解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·,和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=,设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.C组教师专用题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2013课标Ⅰ,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.4答案C2.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP 的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C3.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=±x考点二抛物线的几何性质1.(2013课标Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)答案C2.(2014陕西,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为.答案x=-13.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案x=-2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案D2.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO 与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.答案B3.(2014浙江,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若||=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M-或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0,于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以---由=4y得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又因为|AB|=4·,点F(0,1)到直线AB的距离为d=-,所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=-.记f(m)=3m3-5m2+m+1-.令f'(m)=9m2-10m+1=0,解得m=,m2=1.1可得f(m)在-上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f,所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.4.(2014福建,21,12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|---=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以--=y+1,化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2,设P(x,y0)(x0≠0),则y0=,由y'=x,得切线l的斜率k=y'=x,所以切线l的方程为y-y=x0(x-x0),即y=x0x-.由-得A.由-得M.又N(0,3),所以圆心C,半径r=|MN|=,|AB|=-=--=.所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.5.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即-=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组-可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x=-.③若由②③解得k<-1或k>,即当k∈(-∞,-1)∪∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或由②③解得k∈-或-≤k<0,即当k∈-时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈-时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈-∪-时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若由②③解得-1<k<-或0<k<,即当k∈--∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∞∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈-∪-时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈--∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.6.(2014大纲全国,22,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4).则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E-,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)7.(2012课标全国,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解析(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m在y轴上的截距b1=,所以=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.8.(2010全国Ⅰ,22,12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)证明:点F在直线BD上;(2)设·=,求△BDK的内切圆M的方程.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m≠0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0,从而y1+y2=4m,y1y2=4.①直线BD的方程为y-y2=-·(x-x2),即y-y2=-·-.令y=0,得x==1.所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由(1)知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=,解得m=±.所以l的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0.又由①知y2-y1=±-=±,故直线BD的斜率为-=±,因而直线BD的方程为3x+y-3=0,或3x-y-3=0.因为KF为∠BKD的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1<t<1),M(t,0)到l及BD的距离分别为,-.由=-得t=或t=9(舍去),故圆M的半径r==.所以圆M的方程为-+y2=.【三年模拟】时间:60分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019届安徽淮北第一中学期中考试,11)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点P(m,-3)到焦点的距离为5,则抛物线的方程为()A.x2=8yB.x2=4yC.x2=-4yD.x2=-8y答案D2.(2019届贵州贵阳重点中学第一次联考,11)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则||=()A.3B.2C.D.答案D3.(2019届福建泉州五中11月月考,9)已知抛物线C:y2=4x,那么过抛物线C的焦点,长度不超过2015的整数的弦的条数是()A.4024B.4023C.2012D.2015答案B4.(2019届湖南湖北八市十二校第一次调研,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于()A. B. C.2 D.4答案C5.(2019届湖北武汉重点中学期初调研,12)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN 的中点,则|FN|=()A.4B.6C.8D.10答案B6.(2019届广东韶关第一中学9月月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则·=()A. B. C.2a D.4a答案B7.(2019届广东佛山第一中学9月月考,11)已知P为抛物线y=ax2(a≠0)准线上一点,过点P作抛物线的切线PA,PB,切点分别为A,B.若切线PA的斜率为,则切线PB的斜率为()A.-aB.-3C.-D.-答案B8.(2017江西新余、宜春联考,11)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=,设线段AB 的中点M在l上的投影为N,则的最大值是()A. B. C. D.答案C二、填空题(共5分)9.(2017安徽黄山二模,14)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于点B,则△AOB的面积为.答案4三、解答题(共20分)10.(2018广东惠州调研,20)已知圆x2+y2=12与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,点B的横坐标为2,F为抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值.解析(1)设B(2,y),由题意得解之得所以抛物线的方程为x2=4y.(2)设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P1,P3在圆上,P2,P4在抛物线上.因为直线l过点F且斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1.联立得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-,所以|P1P3|=-=×---=.由得x2-4x-4=0,所以x2+x4=4,x2x4=-4.所以|P2P4|=-=×--=8.由题意易知|P1P2|=|P1P3|-|P2P3|①,|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|②,①-②得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,∴|P1P2|-|P3P4|=-8.11.(2019届广东佛山第一中学9月月考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点M(2,y0)到F的距离为3.(1)求抛物线C的方程;(2)斜率存在的直线l与抛物线相交于相异的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4.若线段AB的垂直平分线交x轴于点G,且·=5,求直线l的方程.解析(1)由抛物线定义知|MF|=2+,所以2+=3,解得p=2,所以,抛物线C的方程为y2=4x.(2)设线段AB的中点坐标为(2,m),则y1+y2=2m.因为直线l的斜率存在,所以m≠0,k AB=--=--=,所以直线AB的方程为y-m=(x-2),即2x-my+m2-4=0.由--得y2-2my+2m2-8=0,其中Δ>0,即m2<8,①-②线段AB的垂直平分线方程为y-m=-(x-2),令y=0,得x=4,所以G(4,0),所以=(x1-4,y1),=(x2-4,y2).因为·=5,所以(x1-4)(x2-4)+y1y2=5,即xx2-4(x1+x2)+16+y1y2=5,也即-4×4+16+y1y2=5③, 1把②代入③得(m2-4)2+8(m2-4)-20=0,化简,得(m2+6)(m2-6)=0,所以m2=6<8,所以m=±.所以直线l的方程为2x-y+2=0或2x+y+2=0.。
2020届高三数学(文)“小题精练”9
[x]表示 x 的非负纯小数．若方程{x}＝1－kx(k>0)有且仅有 4 个实数根，则正实数 k 的取值范围为( )
A．[1，1) 54
B．(1，1] 54
C．[1，1) 43
D．(1，1] 43
2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
1
6．数学界有名的“角谷猜想”：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半(即n)，如果 n 是奇数，则将它乘 2
16．已知各项均为正数的数列{an}满足 a1＝8，an＋1＝2an＋2n＋3，cn＝a2nn，bn＝
2 cn＋1＋
，且数列{bn}的前 n 项 cn
和为 Tn，则使 Tn>10 的 n 的最小值为________．
3
2020 届高三数学（文）“小题速练”9（答案解析）
1．解析：选 C.3－i＝（3－i）（2－i）＝1－i，即共扼复数为 1＋i，故选 C. 2＋i （2＋i）（2－i） －a≤－2，
A．(－∞，－2]
B．[－2，3]
C．[2，3]
D．[3，＋∞)
3．某工厂经过技术改造，降低了能源消耗，职能部门从某车间抽取部分工人进行调查，发现他们一天的能源
消耗指数均在 50～350 之间，按照[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]分组，
2020届高三理科数学 大题精练 14套 含答案
(2) 当 AB ⊥ CD 时，点 P，Q 在什么位置时， PQ 取得最小值？ 解： (1) 设 A( x1, y1 ) ， B ( x2, y2 ) ， P ( x0, −1) ，
则 x12 = 4 y1 ， x22 = 4 y2 ，
10 读万卷书 行万里路
抛物线的方程可变形为 y = 1 x2 ，则 y' = x ，
uuur
∴ CA = （1，﹣2，0）， CS = （0，﹣1，1）， CB = （1，0，0），
ur 设平面 ASC 的法向量 m = （x，y，z），
则
mv mv
⋅ ⋅
uuuv CuuAuv CS
= =
x −
− y
2 +
y z
= =
0 0
，取
y＝1，得
ur m
=
（2，1，1），
r 设平面 BSC 的法向量 n = （x，y，z），
解： (1) 由饼图得： a = 1− (6% + 9% + 27% +12% +14% + 3%) = 29% ． (2) 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的 100 名学生每天平
均使用手机的平均时间在第 4 组．
7 读万卷书 行万里路
旗开得胜
(3)Q样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机
旗开得胜
20．过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已
知抛物线为 x2 = 4 y ，点 P，Q 在直线 l：y = −1上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB，
CD
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)文科数学试题(含答案解析)
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
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2 2 列联表如下：
生二孩
不生二孩
合计
头胎为女孩
60
40
100
头胎为男孩
45
55
10
合计
105
95
200
K 2 200(60 55 45 40)2 600 4.511 3.841 ， 105 95 100 100 133
故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. （2）在抽取的 200 户家庭的样本中， 按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了 5 户，则这 5 户家庭中，生二胎的户数为
2
a
ln
a
a
2
，且
a
1 e
,1
，设
g
a
a
ln
a
a
2
，
g
'
a
ln
a
0
，∴
g
a
在
1 e
,1
单调递
减.
g
a
max
g
1 e
1 e
ln
1 e
1 e
2
2 e
2
，g
a
min
g 1
3 .所以所有极值之和的
取值范围为
3,
2 eΒιβλιοθήκη 2.(二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 计分.
共 10 种情况，
其中恰好有 2 户生二孩的有 ( A, B, a), ( A, B, b), (B,C, a), (B,C, b), ( A,C, a), ( A,C, b) ，故 6
种情况，故所求概率为 6 3 . 10 5
20．（12 分）如图，设抛物线 C1x2 y 与 C2 : y2 2 px p 0 的公共点 M 的横坐标为 t t 0 ，过 M 且与 C1 相切的直线交 C2 于另一点 A ，过 M 且与 C2 相切的直线交 C1 于另
∴
a4 a3
1 2
，即公比 q
1 2
，又
a1
3 2 ，∴ an
3 2
1 2
n1
.
（2）由（1）可知
Sn
1
1 2
n
.当 n
为偶数时
Sn
1
1 2
n
，易知
Sn
随 n 增大而增大，
∴
Sn
3 4
,1
，根据勾型函数性质，此时
bn
Sn
1 Sn
2,
25 12
.当
n
为奇数时
Sn
1
1 2
n
，易知
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 : x2 y2 2 y ，以 O 为极点， x 轴的正半
（1）求证： AC 平面 PAB ；
（2）若
PBA
45o
，点
E
在线段
PA
上，且三棱锥
D
PCE
的体积为
4 9
，求
PE PA
．
【解析】（1）由题知： AB AC 2 ， BC AD 2 2 ，满足 AB2 AC2 BC2
AC AB ，又 PB AC ， AB PB B ， AB Ì 平面 PAB ， PB 平面 PAB ∴ AC 平面 PAB （2）如图，取线段 AB 中点 O ，连接 PO ．在 △PAB 中，由余弦定理可得：
e
别记为 x1, x2 ，则 x1 x2 2 ，
x1 x2
a.
f
x1
f
x2
1 2
x12
2x1
a ln
x1
1 2
x22
2 x2
a ln
x2
1 2
x1
x2 2
2
x1
x2
2 x1
x2
a ln
x1x2 ，又
x1
x2
2，
x1 x2
a
，所以
f
x1
f
x2
1 4 2a 4 a ln a
成等差数列.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）对于数列An ，若存在一个区间 M ，均有 Ai M i 1, 2,3 ，则称 M 为数列An
的“容值区间”.设 bn
Sn
1 Sn
，试求数列
bn
的“容值区间”长度的最小值.
【解析】（1）由题意可知： 2S3 2S2 4S4 ，即
a1 a2 a3 a1 a2 2a1 a2 a3 a4 ，
S
1 4
,
2
，即
4
1 4
27t3 32
2 ，解得 t
2 3
,
4 3
.
21．（12 分）已知函数 f x 1 x2 2x a ln x ， a 1 .
2
e
（Ⅰ）讨论 f x 的单调性；
（Ⅱ）若 f x 存在极值，求所有极值之和的取值范围.
【解析】（Ⅰ）定义域： 0, ， f ' x x 2 a x2 2x a .
一点 B ，记 S 为 MBA 的面积.
（Ⅰ）求 p 的值（用 t 表示）；
（Ⅱ）若
S
1 4
,
2
，求
t
的取值范围.
注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直
线与抛物线相切.
21．（12 分）已知函数 f x 1 x2 2x a ln x ， a 1 .
3.841
6.635
10.828
K2
n(ad bc)2
（其中 n a b c d ）.
(a b)(c d)(a c)(b d)
【解析】（1）因为头胎为女孩的频率为 0.5，所以头胎为女孩的总户数为 200 0.5 100 .
因为生二孩的概率为 0.525，所以生二孩的总户数为 200 0.525 105 .
的“容值区间”.设 bn
Sn
1 Sn
，试求数列
bn
的“容值区间”长度的最小值.
18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， AB AC 2 ，
AD 2 2 ， PB 2 ， PB AC ．
（1）求证： AC 平面 PAB ；
（2）若
PBA
45o
（1）解不等式 f ( x) 3x 2 ；
（2）若函数
f
(x)
最小值为
M
，且
2a
3b
M
(a
0, b
0)
，求
1 2a 1
3 的最小值 b 1
2020 届高三数学（文）“大题精练”9（答案解析）
3
17．（12 分）已知首项为 的等比数列
2
an
的前 n 项和为 Sn
n N*
，且 2S2 ，S3 ，4S4
PA BP2 BA2 2BP BA cos PBA 2 PB ，∴ PO AB ， PB PA ，且 PO 1 AB 1，
2 又 AB 平面 PAB 平面 ABCD ，PO 平面 PAB ，由（1）知 AC 平面 PAB ，又 AC 平面 ABCD ，∴平面 PAB 平面 ABCD ，故有 PO 平面 ABCD ，
3，分别记为 A, B, C ，不生二孩的户数为 2，分别记为 a, b .从这 5 户家庭中随机抽取 3 户有
( A, B,C) ， ( A, B, a) ，
( A, B,b) ， (B,C, a) ， (B,C,b) ， ( A,C, a) ， ( A,C,b) ， ( A, a,b) ， (B, a,b) ， (C, a,b) ，
，点
E
在线段
PA
上，且三棱锥
D
PCE
的体积为
4 9
，求
PE PA
．
19．（12 分）生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎
的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地 200 户家庭进行调查统计.这 200 户
家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭
轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为
sin
1 cos
cos2
4
2
.
（1）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（2）设点 M , 在曲线 C2 上，直线 OM 交曲线 C1 于点 N ，求 OM ON 的最小值.
23. （10 分）已知函数 f ( x) | x 2 | | x 3 |.
Sn
随n
增大而减小，∴
Sn
1,
3 2
，根据勾型函数性质，此时
bn
Sn
1 Sn
2, 13 6
13
.又
6
25 12
，
∴
bn
2,
13 6
.故数列
bn
的“容值区间”长度的最小值为
1 6
.
18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， AB AC 2 ，
AD 2 2 ， PB 2 ， PB AC ．
2
e
（Ⅰ）讨论 f x 的单调性；
（Ⅱ）若 f x 存在极值，求所有极值之和的取值范围.
(二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计
分.
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 : x2 y2 2 y ，以 O 为极点， x 轴的正半
的方程为 y 2tx t 2