一种新型剪力墙多垂直杆单元模型_原理和应用

由最小势能原理即可求得单元刚度矩阵。 节点位移：
u = [ui
wi θi
uj
w j θ j ]T ，
km1 = km 4 = 3km , km 2 = km 3 = 6km 。
第 m 根弹簧的弹性应变能： 4 1 b b 2 ) Um = kmi (δ umi i =1 1 k12 k13 k14 k15 k16 ⎤ ⎢ k22 k23 k24 k25 k26 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ k33 k34 k35 k36 ⎥ Ke = ⎢ ⎥ 。 (15) k44 k45 k46 ⎥ 对 ⎢ ⎢ k55 k56 ⎥ 称 ⎢ ⎥ k66 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 式中： n 1 ⎡1 ⎤ k11 = k44 = ∑ ⎢ ( km1 + km 4 ) + (km 2 + km 3 ) ⎥, 9 36 ⎦ m =1 ⎣
(4)
wj
k m1 k1 k2 k m2 k m3 k m4 hm h
θi
(6 − 12ξ ) w j + (6ξ − 2)lθ j ⎤ ⎦
kn-1 A A k kss kn
l/3
(5)
l/6 l/6
式(5)表明， 梁单元各纵向层的应变沿纵向坐标 线性变化。而单元模型是用竖向弹簧来模拟纵向正 应力的作用，单个弹簧内的应变为常数，无法直接 反映线性变化的应变，需按照变形相等的原则将二 者等效。
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模式具有横向位移和转角均为沿纵向线性分布的 特征，这也是 Timoshenko 梁单元的特征，但这个 特征和真实状态有出入，精度相对不高。
uj
1 单元刚度矩阵
1.1 单元刚度矩阵的推导 相比 Vulcano 模型，新模型弯曲变形产生的横 向位移不是由 A 点的转动得到，而是按照经典梁单 元的位移模式变化。 暂不考虑轴向变形的作用，对于考虑剪切变形
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收稿日期：2009-01-13；修改日期：2009-03-16 作者简介：*谢
凡(1972―)，男，湖南益阳人，博士生，从事高层建筑结构分析与设计研究(E-mail: fanxie@)；
沈蒲生(1939―)，男，江西新淦人，教授，博导，从事高层建筑结构分析与设计研究(E-mail: pssheng1@).
在应用有限单元法进行钢筋混凝土剪力墙非 线性动力反应计算中，采用宏观单元的分析模型因 其力学概念清晰、直观而得到越来越多的应用。宏 观单元并不直接对混凝土裂缝、钢筋和混凝土之间 的粘结滑移等一系列微观因素进行数值模拟分析， 而是通过试验获得的宏观模型各参数的方式来体 现这些因素的作用，计算工作量得到大大降低。各 种宏观单元中，多垂直杆单元模型应用的最为普 遍。最早在 1984 年，Kabeyasawa 等提出了三垂直
第 27 卷第 9 期 2010 年 9 月
Vol.27 No.9 Sep. 2010
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ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2010)09-0154-07
一种新型剪力墙多垂直杆单元模型：原理和应用
*
谢 凡，沈蒲生
(湖南大学土木工程学院，湖南，长沙 410082)
单元总的应变能： n 4 1 1 2 U= kmiδ umi + ks (δ u s ) 2 2 m =1 i =1 2
δ u b = l ∫ ε dξ = l (θi − θ j )
0
1
∑∑
(14)
上式表明，一方面截面符合平截面假定：另一 方面，和式(7)对比知，应变出现了正负抵消，但应 变能是不存在抵消的问题， 按照式(7)处理应变才能 更准确的反映应变能。 弹簧沿单元横截面方向均匀布置， 第 m 根弹簧 的初始弹性刚度为 km。考虑到各子弹簧的长度，4 个子弹簧的初始弹性刚度存在关系式： 1 1 1 1 1 ， = + + + km km1 km 2 km 3 km 4
δ u b = l ∫ ε dξ =
0
1 2 1 ⎛ 1 ⎞ l ⎜ ∫ 3 ε dξ + ∫ 12 ε dξ + ∫ 13 ε dξ + ∫ 2 ε dξ ⎟ (6) 0 3 2 3 ⎝ ⎠
1
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式(6)就是等效弹簧的变形，由 4 项组成，1 根 弹簧变为了 4 根串联的子弹簧。用 hm 代替 y，积分 后求得第 m 根弹簧的 4 个子弹簧的变形分别为： hm ⎡ 4 b l ⎤ b δ um − ( w j − wib ) + lθi + θ j ⎥ ， 1 = ⎢ l ⎣ 3 3 ⎦ h l l ⎤ b b m ⎡ 1 δ um θj⎥ ， − ( wb 2 = j − wi ) + θ i − l ⎢ 6 4 12 ⎣ ⎦ h 1 l l ⎤ b m ⎡ b δ um ( wb θi − θ j ⎥ ， 3 = j − wi ) + l ⎢ 12 4 ⎦ ⎣6 hm ⎡ 4 b l ⎤ b δ um (7) ( w j − wib ) − θi − lθ j ⎥ 。 4 = ⎢ l ⎣3 3 ⎦ 与之相比，采用一次性积分：
l
l/3
ui wi
观察式(5)中方括号内的 4 个子项，均在区间 [0，1]内存在零点，分别为 1/3、1/2、2/3，说明在 该子项作用下，纵向层内既有拉应变也有压应变， 因此在求 i 点、j 点的相对纵向变形时，不能一次性 的对整个区间积分，需采用分段积分，确保每个子 项在每段积分区间内应变不会反号。依据各零点进 行分段，可表达为：
Abstract:
Based on the classical beam theory, a new type of multi-vertical-line-element model of shear walls is
proposed. The transverse displacement function of the new model is cubic along longitudinal direction. In stiffness matrix, the interaction of axial deformation, bending deformation and shear deformation is considered. Four vertical springs are used in longitudinal direction of the element, so the longitudinal normal strain is fitted by four constant normal strains. The calculation accuracy is not affected by the increase of aspect ratio nearly, thus the calculation speed is imporved due to the small number of elements. Good accuracy is achieved under various load combinations. Finally, an example shows that the model can yield good accuracy and can be used in the elastic-plastic static analysis and dynamic analysis of high rise building structures. Key words: multi-vertical-line-element model; shear walls; classical beam theory; nonlinear; hysteretic model 杆单元模型[1]，将各种应力作用用不同的弹簧来模 拟，从而将二维的非线性问题转化为多个一维弹簧 的非线性问题。之后，Vulcano 在三垂直杆单元模 型的基础上进行修正， 提出了多垂直杆单元模型[2]， 取消了转动弹簧，用多根平行的竖向弹簧从整体上 来反映转动效应(图 1)。当 c=0.5 时，多垂直杆单元 模型在竖向杆数取 ∞ 时和 Timoshenko 梁单元的缩 减积分形式等价[3]。而且可以进一步证明，无论 c 为何值，与多垂直杆单元模型等效的梁单元的位移
摘
要：在经典梁理论的基础上提出了一种新的多垂直杆单元模型。新模型的横向位移函数为沿纵向三次式，单
元刚度矩阵中考虑了轴向拉压变形与剪切变形的相互作用以及弯曲变形与剪切变形的相互作用。每个单元在纵向 采用了四根竖向弹簧，用四段常数应变来拟合线性变化的纵向正应变，一定程度上反映了纵向正应变沿纵向坐标 的变化。计算精度随单元高宽比的增加下降极少，减少了单元的划分数量，加快计算速度，并且对于各种荷载组 合，均有着较高的计算精度，适应面较广。最后通过算例，并与试验结果比较，表明该模型具有较好的计算精度， 可适用于高层建筑结构的弹塑性静力和动力分析。 关键词：多垂直杆单元模型；剪力墙；经典梁理论；非线性；滞回模型 中图分类号：TU375; O241.82 文献标识码：A
图 2 新的多垂直杆单元模型 Fig.2 New Multi-vertical-line-element model
已有部分学者对此进行了探讨，文献 [4] 和文 献[5]对 Vulcano 模型的刚度矩阵进行了修正，在部 分程度上体现了经典梁单元的作用，改善了求解， 但并没有系统的从经典梁理论的基础上进行分析 推导，下面本文将就此做详细论述。
θj
wj
k1
l cl
k2
km
kn−1
kn
的经典梁单元，其弯曲位移函数为三次式，剪切位 移函数为一次式。 弯曲位移函数 wb 可表达为：
A