1.3正方形的性质与判定第二课时课后作业
1.3 正方形的性质与判定 练习(含答案)
1．3正方形的性质与判定正方形的性质1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E、G分别在AB、AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为()A．1 B．2 C．3 D．3 23．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()A．3 B．4 C．5 D．64．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝________．5．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为________.6. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为________．7．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．8．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为()A．6 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．不能确定9．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF.其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．11．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE＝EF.12．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________度．13.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.(1)求证：AE=CG；(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.14、如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°,求∠EGC的大小．15.正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为BD上一点,延长AE到点N,使AE=EN,连接CN、CE．（1）求证：AE=CE．（2）求证：△CAN为直角三角形．（3）若AN=4，正方形的边长为6，求BE的长．1. A2. C3. B4. 45°5. 76. 57. (1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，在Rt△BCD中，令BC＝CD＝x，则x2＋x2＝82.解得x＝42，∴BE＝2x＝82(cm)．8. B9. B10. 7 211.如图，取AB的中点H，连接EH，∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠AEB ＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E 是BC 的中点，点H 是AB 的中点，∴BH ＝BE ，AH ＝CE ，∴∠BHE ＝45°，∵CF 是∠DCG 的角平分线，∴∠FCG ＝45°，∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，在△AHE 和△ECF 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE ＝∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF(ASA )，∴AE ＝EF.12. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCP ＝∠DCP ＝45°，又∵CP ＝CP ，∴△BCP ≌△DCP(SAS )．(2)证明：由(1)知，△BCP ≌△DCP ，∴∠CBP ＝∠CDP ，∵PE ＝PB ，∴∠CBP ＝∠E ，∴∠CDP ＝∠E ，∵∠1＝∠2(对顶角相等)，∴180°－∠1－∠CDP ＝180°－∠2－∠E ，即∠DPE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DPE ＝∠ABC.(3) 58°13、（1）略；（2）AE ⊥CG ；14、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC ，∵BE ⊥BF ，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△AEB 和△CFB 中，∴△AEB ≌△CFB （SAS ），∴AE=CF ．（2）解：∵BE ⊥BF ，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF ，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．15、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB ，在△ABE 和∠CBE 中，，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ；（2）证明：∵AE=CE ，AE=EN ，∴∠EAC=∠ECA ，CE=EN ，∴∠ECN=∠N ，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，∴△CAN 为直角三角形；（3）解：∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6，∵∠ACN=90°，AN=4，∴CN==2， ∵OA=OC ，AE=EN ，∴OE=CN=，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4．。
正方形的性质和判定课后作业
特殊的平行四边形课后作业
1．如果正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______. 【答案】23
【解析】考查正方形的性质，利用正方形中的等腰直角三角形求出答案．
2．下列命题中的假命题是( )
(A)一组邻边相等的平行四边形是菱形
(B)一组邻边相等的矩形是正方形
(C)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(D)一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．
3．如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连接AE 交
对角线BD 于点F ，连接CF ，则图中全等三角形共有（ ）
(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对
【答案】C
【解析】考查正方形的对称性．
4．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点，
F 为BC 延长线上一点，CE =CF .
(1)求证：△BCE ≌△DCF ；
(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.
【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC =DC ，∠BCD =90°，∴∠DCF =90°
在△BCE 和△DCF 中，
BC =DC ，CE =CF ，∠BCE =∠DCF ， ∴△BCE ≌△DCF （SAS ）.
(2)∵CE =CF ，∴∠CEF =∠CFE ，∴∠CFE =2
1(180°－90°)=45°， ∵△BCE ≌△DCF ，∴∠CFD =∠BEC =60°，
∴∠EFD =∠DFC －∠EFC =15°.
【解析】利用正方形的性质，证明三角形全等，从而求出角度．。
正方形的性质与判定(2)
以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。
为ΔABC的中位线， ①若∠BEF=30°，A H D
则∠A= .
②若EF=8cm, E
G
则AHale Waihona Puke =. BFC
核心问题二：中点四边形
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
核心问题一：探索并证明正方形的判定定理
议一议： （1）满足什么条件的矩形是正方形？ （2）满足什么条件的菱形是正方形？
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形 2.对角线垂直的矩形是正方形 3.有一个角是直角的菱形是正方形 4.有一组邻边相等的矩形是正方形
核心问题一：探索并证明正方形的判定定理
义务教育教科书（北师）九年级数学上册
第一章 特殊平行四边形
1.3正方形的性质与判定（2）
学习目标
1. 掌握正方形的判定定理，能综合运用特殊四边 形的性质和判定解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊 四边形的判定及性质对中点四边形进行判断
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角， 打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
2．有一个角是直角的菱形是正方形证明.
布置作业
必做：习题1.8知识技能2、3 选做：问题解决4
梯形
核心问题二：中点四边形
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
课堂小结
1.正方形判定方法： 2.中点四边形： 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系.
1.3第2课时 正方形的判定
[归纳总结] 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形．
形的判定得出即可．
解：(1)证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E， 使OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形．
第2课时 正方形的判定
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分 线，∴AD＝BD. ∵由(1)得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形． [归纳总结] 正方形的判定方法主要有 (1)定义法：先证四边形是平行四边形，再证它有一组邻边相 等，然后证它有一个直角；
(2)定理：先判定四边形是菱形，再证它的对角线相等或证它
有一个角是直角；或先判定它是矩形，再证它的对角线垂直或 证它有一组邻边相等．
第2课时 正方形的判定
探究问题二
中点四边形
例2 如图1－3－22所示，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD.E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD边的中点， 连接EF，FG，GH，EH.试探究四边形EFGH是怎样的特殊四
► 知识点二
原四边形的 对角线之间 的关系 特例 中点四边形
中点四边形
既不垂直， 也不相等 不垂直， 互相垂直， 仅相等 不相等 菱形 矩形 互相 垂直 且相等 正方形 正方形
平行四边形、 矩形、等 直角梯形 腰梯形
平行四边形 菱形
第2课时 正方形的判定
重难互动探究
探究问题一 正方形的判定
例1 [教材例2变式题] [2013· 铁岭] 如图1－3－21所示，
△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的
北师大版九年级上册数学课后辅导专练：1.3 正方形的性质与判定(课内精炼 课时达标)
1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质1．有一组邻边__相等__，并且有一个角是__直角__的平行四边形叫做正方形．2．正方形的四个角都是__直角__，四条边__相等__，对角线__相等__且__互相垂直平分__．知识点一：正方形的定义1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD 的形状是(D)A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是__正方形__．知识点二：正方形的性质3．(2014·泉州)正方形的对称轴的条数为(D)A．1B．2C．3D．44．正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B)A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角5．(2014·福州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C)A．45°B．55°C．60°D．75°,第5题图),第6题图) 6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝(B)A. 2 B．2 2 C．2 D．17．(2014·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD的周长是__4__．8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有__8__个等腰直角三角形．,第8题图),第9题图) 9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．10．(易错题)如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC 边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝__30°__．11．(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.(1)求证：BF＝DF；(2)连接CF，请直接写出BE∶CF＝2．解：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF12．(2014·安徽)如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：①点D到直线l的距离为3；②A，C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为(B)A．1B．2C．3D．4,第12题图),第13题图) 13．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__8__cm2.14．(2014·资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE ＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．15．(2014·鄂州)在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.解：证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE，∴BH＝DE(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，∴∠DMB＝∠BCD＝90°，∴BH⊥DE16．(教材例4改编)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN 是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)四边形ADCE为__矩形__；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．解：(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，.理由：∵AB ＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形17．将正方形(图①)作如下操作：第1次：分别连接各边中点(如图②)，得到5个正方形；第2次：将图②左上角正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是(B)A．502 B．503 C．504 D．50518．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．解：(1)∠EAF的大小不变，理由如下：在正方形ABCD中，∵AH⊥EF，∴∠AHF ＝∠D＝90°.∵AF＝AF，AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)．∴∠HAF＝∠DAF.同理∠HAE＝∠BAE.∵∠HAF＋∠DAF＋∠HAE＋∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠HAF＋∠HAE＝45°.∴∠EAF的大小不会发生变化(2)△ECF的周长不会发生变化，理由如下：由(1)知：Rt△AHF≌Rt△ADF，Rt△AHE≌Rt△ABE，∴FH＝FD，EH＝EB.∴EF＝EH ＋FH＝EB＋FD.∴CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EB＋FD＝BC＋CD.∴△ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化第2课时正方形的判定1．对角线__相等__的菱形是正方形．2．对角线__垂直__的矩形是正方形．3．有一个角是__直角__的菱形是正方形．知识点：正方形的判定1．下列说法不正确的是(C)A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的矩形是正方形2．对角线相等且互相垂直平分的四边形是(D)A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形3．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(C)A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC4．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(D) A．BC＝AC B．CF⊥BFC．BD＝DF D．AC＝BF,第4题图),第5题图) 5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(A)A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形6．如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是__正方形__．7．(易错题)当四边形的两条对角线满足条件__垂直且相等__时，顺次连接它的各边中点可以得到一个正方形．8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为__45°__．9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证：四边形AFDE是正方形．解：证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠CED＝90°，又点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BF＝CE，∴△BFD≌△CED(HL)．∴DF＝DE，∵∠A＝∠AFD＝∠AED ＝90°，∴四边形AFDE为矩形，∵DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形10．(2014·株州)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(B)A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为__AC＝BC__．12．小明想检查一个四边形的框架是不是正方形，但手头仅有一把卷尺．你能帮他设计一个检查方案吗？说说你的做法和理由．解：方法：测量四边形的框架的四边长及四边形的框架的对角线长；理由：若四边形的框架满足四边长相等，则是菱形，若再满足对角线相等，则是正方形，否则不是13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．解：证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，可知OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴四边形ABCD为矩形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是正方形14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．解：(1)证明：∵AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点， ∴DE ⊥AC ，即DE 垂直平分线段AC ，∴∠FAC ＝∠ACB.在Rt △ACB 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠FAC ＋∠BAF ＝90°，∴∠B ＝∠BAF ，∴AF ＝BF (2)∵AG ∥CF ，∴∠AGE ＝∠CFE.又∵点E 是边AC 的中点，∴AE ＝CE.又∠AEG ＝∠CEF ，∴△AEG ≌△CEF (AAS )，∴AG ＝CF.又∵AG ∥CF ，∴四边形AFCG 是平行四边形．∵AF ＝CF ，∴四边形AFCG 是菱形．在Rt △ABC 中，由AF ＝CF ，AF ＝BF ，得BF ＝CF ，又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即∠AFC ＝90°，∴四边形AFCG 是正方形15．(2014·随州)已知：如图，在矩形ABCD 中，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，点E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．(1)求证：△ABM ≌△DCM ；(2)填空：当AB ∶AD ＝__1∶2__时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ，∠A ＝∠D ＝90°，又∵点M为AD 的中点，∴AM ＝DM ，在△ABM 和△DCM 中，⎩⎨⎧AM ＝DM ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ，∴△ABM ≌△DCM (SAS ) (2)当AB ∶AD ＝1∶2时，四边形MENF 是正方形，理由是：∵AB ∶AD ＝1∶2，AM ＝DM ，AB ＝CD ，∴AB ＝AM ＝DM ＝DC ，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝∠DMC ＝∠DCM ＝45°，∴∠MBC ＝∠MCB ＝45°，∴BM ＝CM ，∠BMC ＝90°，∵点N ，E ，F 分别是BC ，BM ，CM 的中点，∴BE ＝CF ＝ME ＝MF ，NF ∥BM ，NE ∥CM ，∴四边形MENF 是平行四边形，∵ME ＝MF ，∠BMC ＝90°，∴四边形MENF 是正方形，即当AB ∶AD ＝1∶2时，四边形MENF 是正方形专题 特殊平行四边形的性质与判定一、特殊平行四边形与折叠1．如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝2，∠ADB ＝30°，沿对角线BD 折叠(使△ABD 和△EBD 落在同一平面内)，则A ，E 两点间的距离为__2__．,第1题图) ,第2题图)2．(2014·龙东)如图，菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点M ，N 分别是BC ，CD 的中点，点P 是线段BD 上的一个动点，则PM ＋PN 的最小值是__5__．3．(2014·绥化)矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，AB ＝6，点E 是边BC 上的点，以AE 为折痕折叠纸片，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为__3或6__．二、特殊平行四边形的判定与性质4．(2014·厦门)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AM ⊥BC ，垂足为点M ，AN ⊥DC ，垂足为点N ，若∠BAD ＝∠BCD ，AM ＝AN ，求证：四边形ABCD 是菱形．解：证明：∵AD ∥BC ，∴∠B ＋∠BAD ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠B ＝∠D ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°，又AM ＝AN ，可证得△ABM ≌△ADN ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形5．(2014·枣庄)如图，四边形ABCD 对角线AC ，BD 交于点O ，已知点O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．解：(1)证明：∵DF ∥BE ，∴∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO ，∵点O 为AC 的中点，即OA ＝OC ，AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，在△BOE 和△DOF中，⎩⎨⎧∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO ，OE ＝OF ，∴△BOE ≌△DOF (AAS ) (2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形，理由：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB ＝OD.∴四边形ABCD 为平行四边形．∵OD ＝12AC ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，即BD ＝AC ，∴四边形ABCD 为矩形6．如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 边上的任意一点，DE ⊥AG ，BF ∥DE 交AG 于点F .(1)求证：AF －BF ＝EF ；(2)将△ABF 绕点A 逆时针旋转，使得AB 与AD 重合，记此时点F 的对应点为点F ′.若正方形边长为3，求点F ′与旋转前的图中点E 之间的距离．解：(1)易证△AED ≌△BFA ，∴BF ＝AE ，∵AF －AE ＝EF ，∴AF －BF ＝EF(2)如图，根据题意知，∠FAF ′＝90°，DE ＝AF ＝AF′，∴∠F ′AE ＝∠AED ＝90°，∴∠F ′AE ＋∠AED ＝180°，∴A ′F ∥ED ，∴四边形AEDF′为平行四边形．又∠AED ＝90°，∴四边形AEDF′是矩形，∴EF ′＝AD ＝3三、特殊平行四边形与探究7．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点(不与点A 重合)，延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN .(1)求证：四边形AMDN 是平行四边形；(2)填空：①当AM 的值为__1__时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为__2__时，四边形AMDN 是菱形．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM ，∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE ，∴△NDE ≌△MAE ，∴ND ＝MA.又∵ND ∥MA ，∴四边形AMDN 是平行四边形8．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，点P ，Q 分别是AB ，AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，点D 是BC 的中点．(1)求证：△PDQ 是等腰直角三角形；(2)当点P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．解：(1)证明：连接AD.∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD ＝BD ＝DC ，∠DAQ ＝∠B.又∵BP ＝AQ ，∴△BPD ≌△AQD.∴PD ＝QD ，∠ADQ ＝∠BDP.∵∠BDP ＋∠ADP ＝90°，∴∠ADQ ＋∠ADP ＝∠PDQ ＝90°.∴△PDQ 为等腰直角三角形 (2)当点P 运动到AB 的中点时，四边形APDQ 是正方形．理由：由(1)知△ABD 为等腰直角三角形．当点P 为AB 的中点时，DP ⊥AB ，即∠APD ＝90°.又∵∠A ＝90°，∠PDQ ＝90°，∴四边形APDQ 为矩形．又∵DP ＝AP ＝12AB ，∴四边形APDQ 为正方形9．(2014·日照)(1)如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 上一点，点F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE.求证：CE ＝CF ；(2)如图②，在正方形ABCD 中，点E 是AB 上一点，点G 是AD 上一点，如果∠GCE ＝45°，请你利用(1)的启示证明：GE ＝BE ＋GD ；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，在四边形ABCD 中，AD ∥BC(BC>AD)，∠B ＝90°，AB ＝BC ，点E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，AE ＝8，DE ＝10，求四边形ABCD 的面积．解：(1)略(2)证明：如图②，延长AD 至点F ，使DF ＝BE.连接CF.由(1)知△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG .∴GE ＝GF ，∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD (3)如图③，过点C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于点G .∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°，又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ，∴四边形ABCG 为正方形．∴AG ＝BC.已知∠DCE ＝45°，根据(1)(2)可知，ED ＝BE ＋DG .所以10＝4＋DG ，即DG ＝6，AD ＝12－6＝6，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12(AD ＋BC )·AB ＝12×(6＋12)×12＝108.答：四边形ABCD 的面积为108。
1.3 正方形的性质与判定(二)
定理:对角线垂直的矩形是正方形
正方形的判定方法：
1、定义 判定没有固定方法， 2、对角线相等的菱形是正方形。 只要既是矩形又 3、有一个角是直角的菱形是正方形。 是菱形就可判定。 4、对角线垂直的矩形是正方形。 5、有一组邻边相等的矩形是正方形。
注意：正方形的
有一组邻边相等且 有一个角是直角
第二环节
E
F
A
C
H
D
G
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH会有怎样的变化呢？先猜一猜，再证明。 原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形,AB=AD ∵ ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形（正方形定义 ）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形。
证明:对角线相等的菱形是正方形。
已知: 四边形ABCD是菱形, AC=BD
求证: 四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形．（正方形的定义）
已知: 四边形ABCD是矩形, AB=AD 求证: 四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=90° ∵ AB=AD ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）
定理:有一组邻边相等的矩形是正方形。
最新北师版初中数学九年级上册1.3正方形的 性质与判定 2过关习题及解析答案
1.3 正方形的性质与判定基础过关1.若正方形的边长是4，则它的对角线长是_________，面积是_________.2.正方形的对角线与边长之比是_____________.3．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE=AC ，若AE 交CD 于点F ，则∠E= °； ∠AFC= °4.如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上任意一点，四边形EFBG 是矩形，若正方形ABCD 的周长a ，则矩形EFBG 的周长是__________.5.已知四边形ABCD 是菱形，当满足________________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.6. 已知四边形ABCD 是矩形，当满足_______________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.能力提高7.如图，以数轴的单位长线段为边作一正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴正半轴与点A ，则点A 表示的数是______________.8．如图，E 为正方形ABCD 内一点，若△ABE 是等边三角形，则∠DCE= °.(3题图)FEBD AC(4题图)FG BDA C E-1AO 1 (7题图)9.如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB 、CD 于点M N ，，在MN 上任取两点P 、Q ，那么图中阴影部分的面积是 .10.如图，正方形ABCD 边长为８，M 在DC 上，且DM ＝２，N 是在AC 上的一动点，则DN ＋MN 的最小值为___________.11. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于( )A.135°B.45°C.22.5°D.30°12.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）S △AOB =S 四边形DEOF 中，错误的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个13．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是 （ ）（11题图）（12题图）OEDBAC F(10题图)BD ACNMabcl（第14题图）(9题图)A BCDMNPQDAECB(8题图)A ．B ．C ．D ．14．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．5515.四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A.OA=OB=OC=OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC=BD C.AD ∥BC ，∠A=∠C D.OA=OC ，OB=OD ，AB=BC16.用两块完全相同的直角三角形一定能拼下列图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形（6）等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A.（1）（4）（5） B.（2）（5）（6） C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(5)17.如下图，ABCD 和AEFG 都是正方形.求证：BE=DGGEACB DF18.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．D CGHFA BE19. 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F ，求证：AF —BF=EF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，20.如图，正方形ABCD 的边长是1，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H.（1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）BH ⊥DE ；（3）试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？HEGB DACFGFEDCBA21．如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ． ⑴求证：OE ＝OF ；⑵如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．22.如图，Q 是正方形ABCD 的CD 边的中点，P 为CD 上一点，且AP=PC+CB.求证：∠BAP=2∠ QAD.AB DCOE F M图1AB DC图2OMFE聚沙成塔1.如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于F.（1）求证：EO=FO ；（2）当O 运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？说明你的理由.FEBCADOM N BCQ DAP2.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点.（1）求证：四边形MENF 是菱形； （2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系并说明你的结论.FE N BMCDA。
正方形的性质与判定(2)
第8课时 << 正方形的性质与判定（2）>>
课 前 小 测 课 堂 精 讲 课 后 作 业
Page 1课 前 小来自测关键视点 1.正方形的判定方法除了定义外还有 (1)对角线相等的菱形是正方形； 垂直 的矩形是正方形； (2)对角线________ 直角 的菱形是正方形. (3)有一个角是_________ 知识小测 2.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再 添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么 这个条件可以是（ D ） A.AB=CD B.∠D=90° C.AD=BC D.AB=AD
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课 后 作 业
3.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是 （D ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 4.在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，如果添加一 个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个 条件可以是（ C ） A.AC⊥BD B.AB∥CD C.∠A=90° D.∠A=∠C
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课 前 小 测
5.如图，已知Rt△ABC中，先把△ABC绕点B顺时 针旋转至△DBE后，再把△ABC 沿射线平移至△FEG，DE，FG 相交于点H.连接CG， 求证：四边形CBEG是正方形.
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课 堂 精 讲
知识点1 正方形的判定
【例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
5. 如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件： AB=AD ，可使它 成为正方形.
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挑 战 中 考
6. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出 了道题，从下列四个条件：①AB=BC，② ∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作 为补充条件，使▱ABCD为正方形 （如图），现有下列四种选法，你认为其中错 误的是（ B ） A.①② B.②③ C.①③ D.②④
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1.3正方形的性质与判定第二课时课后作业
1. 顺次连接下面四边形各边中点，得到的四边形一定是正方形的是（）
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四边形
2. 四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（）
A. ∠D＝90°
B. AB＝CD
C. BC＝CD
D. AC＝BD
3 .如图，从下列四个条件：①AB＝BC，②AC⊥BD，③∠ABC＝90°，④AC＝BD中，选两个作为补充条件，使ABCD成为正方形，下列四种选法错误的是（）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①④
4. 如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 .
5. 如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了能得到一个正方形，剪口与折痕所成的角α是°.
6. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD 的面积是18，则DP的长是.
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F, 求证:四边形CFDE是正方形.
8.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C，点D作CE∥BD，DE∥AC. 求证：四边形OCED是正方形.。