第四讲-立体几何题型归类总结

第四讲-立体几何题型归类总结高中数学-立体几何第四讲立体几何题型归类总结一、考点分析基本图形1.棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

斜棱柱底面是正多边形的棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱2.棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的垂线上，这样的棱锥叫做正棱锥。

3.球球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；r=R2-d2（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）球与多面体的组合体：球与正四面体、长方体、正方体等的内接与外切。

注：球的有关问题转化为圆的问题解决。

球面积、体积公式：S球=4πR，V球=4/3πR³（其中R为球的半径）二、平行垂直基础知识网络平行与垂直关系可互相转化平行关系a⊥α，b⊥α⇒a//ba⊥α，a//b⇒b⊥αa⊥α，a⊥β⇒α//βα//β，a⊥α⇒a⊥βα//β，γ⊥α⇒γ⊥β垂直关系线线平行判定线线垂直性质判定性质判定面面垂直定义面面垂直线面平行面面平行线面垂直异面直线所成的角，线面角，二面角的求法1.求异面直线所成的角θ∈(0°,90°):解题步骤：找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。

常用中位线平移法证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。

常需要证明线线平行；计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角度$\theta\in[0^\circ,90^\circ]$：关键在于找到“两足”：垂足和斜足。

解题步骤：1.找到斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；2.证明所找到的角度就是直线与平面所成的角度（或其补角）（常常需要证明线面垂直）；3.通过解直角三角形，计算线面角度。

3求二面角的平面角度$\theta\in[0,\pi]$：解题步骤：1.根据二面角的平面角度定义，找到二面角的平面角度；2.证明所找到的平面角度就是二面角的平面角度（常常使用定义法、三垂线法和垂面法）；3.通过解三角形，计算二面角的平面角度。

二、典型例题考点一：三视图1.若一个空间几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为__________。

2.若某个空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为__________。

3.若一个几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为__________。

4.若某个几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则该几何体的体积为__________。

5.若一个几何体的三视图如图5所示，且它的体积为33，则$a=$__________。

6.已知某个几何体的三视图如图6所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得该几何体的体积为__________。

7.若某个几何体的三视图（单位：cm）如图7所示，则该几何体的体积为__________。

8.设某个几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为__________。

9.若一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，则该几何体的侧面积为__________。

10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为__________。

11.如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，则该几何体的全面积为__________。

12.如果一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为多少？13.已知某个几何体的俯视图是一个边长为2的正方形，主视图和左视图是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积是多少？14.如果一个几何体的三视图如图14所示（单位长度：cm），则该几何体的表面积是多少？15.一个棱锥的三视图如图9-3-7所示，则该棱锥的全面积是多少？（单位：）16.根据图16中的数据，可以得出该几何体的表面积是多少？17.如果一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体的体积是多少？18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则该棱柱的体积是多少？注：1-6体积表面积7-11异面直线所成角12-15线面角1.将一个边长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了多少？2.在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值是多少？3.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，则它的体积是多少？4.正棱锥的高和底面边长都缩小原来的$\frac{1}{2}$，则它的体积是原来的多少？5.已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是多少？6.平行六面体AC的体积为30，则四面体ABCD的体积等于多少？7.如图7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E和F分别是A1D1和C1D1的中点，求异面直线AB1与EF所成角的角度是多少？8.已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA的中点，则求异面直线BE与SC所成角的大小。

9.在正方体ABCD-ABCD中，求异面直线CD和BC所成的角的度数。

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=3BC，BC=CC1，则求异面直线AA1与BC1所成角的大小，以及异面直线AB与CD1所成角的度数。

11.在空间四边形ABCD中，AC⊥BD且AC=BD，E和F分别为AB和CD的中点，则求EF与AC所成角的大小。

12.在正方体AC1中，已知AB1与平面ABC1D1所成的角为α，则求α的大小。

13.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AA1，则求直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值。

14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知对角线BD1与平面ABCD所成角的正切值为k，则求k的值。

15.在图中已知ΔABC为等腰直角三角形，AC=BC=52，P为空间一点，且PC⊥AC，PC⊥BC，PC=5，AB的中点为M，则求PM与平面ABC所成的角的大小。

16.在图中正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O为底面A1B1C1D1的中心，则求O到平面ABC1D1的距离。

17.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则求该球的体积。

18.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA1=1，则求顶点A和B之间的球面距离。

19.已知点A,B,C,D在同一个球面上，且AB垂直于平面BCD，BC垂直于CD。

若AB=6，AC=213，AD=8，则求B,C 两点间的球面距离。

20.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O 为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点。

求证：直线OP与直线AM所成的角为直角。

21.三角形ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，且AB、BC与a所成的角分别为30°和45°。

若AB=3，BC=42，AC=5，则AC与a所成的角为60°。

22.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为12.23.已知点A,B,C,D在同一个球面上，且AB垂直于平面BCD，BC垂直于CD。

若AB=6，AC=213，AD=8，则求B,C 两点间的球面距离。

24.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2:3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为60°。

25.已知S,A,B,C是球O表面上的点，且SA垂直于平面ABC，AB垂直于BC，SA=AB=1，BC=2，则球O表面积为7π。

26.已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为32π，则正方体的棱长为3.27.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为4√3π。

1.正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点。

Ⅰ)求证：B1D1垂直于AE；Ⅱ)求证：AC平行于平面B1DE；Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积。

2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点。

求证：(1)C1O平行于面ABD；(2)AC1D1与CAB1D1共面。

3.如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点。

Ⅰ）求证：MN平行于平面PAD；Ⅱ）求证：MN垂直于CD；Ⅲ）若∠PDA=45°，求证：MN垂直于平面PCD。

4.如图（1），ABCD为非直角梯形，点E、F分别为上下底AB、CD上的动点，且EF垂直CD。

现将梯形AEFD沿EF 折起，得到图（2）。

1）若折起后形成的空间图形满足DF垂直BC，求证：AD垂直CF；2）若折起后形成的空间图形满足ABCD四点共面，求证：AB平行于平面DEC。

5.如图，在五面体ABCDEF中，FA垂直于平面ABCD，AD平行于BC，BC平行于FE，AB垂直于AD，M为EC的中点，N为AE的中点，且AF=AB=BC=FE。

I）证明平面AMD垂直于平面CDE；II）证明BN平行于平面CDE。

6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知菱形ABCD中∠ADC=60°，M是PA的中点，O是DC的中点。

1）求证：OM平行于平面PCB；2）求证：PA垂直于CD；3）求证：平面PAB垂直于平面COM。

7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，且PD=DC，E是PC的中点，作EF垂直于PB交PB于点F。

1）证明PA平行于平面EDB；2）证明PB垂直于平面EFD。

8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是3，侧棱长是3，点E、F分别在B1B、D1D上，且AE垂直于A1B，AF垂直于A1D。

1）求证：A1C垂直于面AEF；2）求二面角A-EF-B的大小；3）求点B1到面AEF的距离。

9.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面且PD=AD。

1）求证：平面PAC垂直于平面PBD；2）求PC与平面PBD所成的角。

10.如图所示，已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点。

求异面直线BE与SC所成角的大小。

11.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则该棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角为60°。