2019年江苏省高考数学试卷 教师版

2019年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）（2019?江苏）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝{1，6}．

【分析】直接利用交集运算得答案．

【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，

∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．

故答案为：{1，6}．

【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．

2．（5分）（2019?江苏）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a 的值是2．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．

【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，

∴a﹣2＝0，即a＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2019?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5．

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：模拟程序的运行，可得 x ＝1，S ＝0 S ＝0.5

不满足条件x ≥4，执行循环体，x ＝2，S ＝1.5 不满足条件x ≥4，执行循环体，x ＝3，S ＝3 不满足条件x ≥4，执行循环体，x ＝4，S ＝5 此时，满足条件x ≥4，退出循环，输出S 的值为5． 故答案为：5．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

4．（5分）（2019?江苏）函数y =√7+6x ?x 2的定义域是 [﹣1，7] ． 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案． 【解答】解：由7+6x ﹣x 2≥0，得x 2﹣6x ﹣7≤0， 解得：﹣1≤x ≤7．

∴函数y =√7+6x ?x 2的定义域是[﹣1，7]． 故答案为：[﹣1，7]．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 5．（5分）（2019?江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是

53

．

【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为： x =16

（6+7+8+8+9+10）＝8， ∴该组数据的方差为：

S 2=1

6

[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=53

． 故答案为：5

3．

【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6．（5分）（2019?江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是

710

．

【分析】基本事件总数n=C52=10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m=C31C21+C22=7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，

基本事件总数n=C52=10，

选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：

m=C31C21+C22=7，

∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=m

n

=710．

故答案为：7

10

．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

7．（5分）（2019?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2?y2

b2

=1（b＞0）经过点（3，

4），则该双曲线的渐近线方程是y=±√2x．

【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．

【解答】解：∵双曲线x2?y2

b2

=1（b＞0）经过点（3，4），

∴32?16

b2

=1，解得b2＝2，即b=√2．

又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y=±√2x．

故答案为：y=±√2x．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．

8．（5分）（2019?江苏）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是16．

【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．

【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，

则{(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=0

9a1+9×82d=27

，解得{

a1=?5

d=2．

∴S8=8a1+8×7d

2

=6×（﹣5）+15×2＝16．

故答案为：16．

【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．

9．（5分）（2019?江苏）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是10．

【分析】推导出V ABCD?A

1B1C1D1

=AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD=

1

3

×S△BCD×CE=13×12×BC×DC×CE=112×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，

∴V ABCD?A

1B1C1D1

=AB×BC×DD1＝120，

∴三棱锥E﹣BCD的体积：

V E﹣BCD=1

3

×S△BCD×CE

=13×12×BC×DC×CE

=112×AB×BC×DD1

＝10．

故答案为：10．

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

10．（5分）（2019?江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+4

x（x＞0）上的一个动

点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是4．

【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+4

x（x＞0）的切点，再由点到直

线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．

【解答】解：由y＝x+4

x（x＞0），得y′＝1?

4

x2

，

设斜率为﹣1的直线与曲线y ＝x +4x （x ＞0）切于（x 0，x 0+4

x 0

），

由1?

4

x 02

=?1，解得x 0=√2（x 0＞0）． ∴曲线y ＝x +4

x （x ＞0）上，点P （√2，3√2）到直线x +y ＝0的距离最小， 最小值为

√2+3√2|

√2

=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．

11．（5分）（2019?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（﹣e ，﹣1）（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 （e ，1） ． 【分析】设A （x 0，lnx 0），利用导数求得曲线在A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解x 0即可．

【解答】解：设A （x 0，lnx 0），由y ＝lnx ，得y ′=1

x ，

∴y ′|x=x 0=1

x 0，则该曲线在点A 处的切线方程为y ﹣lnx 0=1

x 0(x ?x 0)，

∵切线经过点（﹣e ，﹣1），∴?1?lnx 0=?e

x 0

?1， 即lnx 0=

e

x 0

，则x 0＝e ． ∴A 点坐标为（e ，1）． 故答案为：（e ，1）．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．

12．（5分）（2019?江苏）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O ．若AB →

?AC →

=6AO →

?EC →

，则

AB AC

的值是 √3 ．

【分析】首先算出AO →

=12AD →

，然后用AB →、AC →表示出AO →、EC →，结合AB →?AC →=6AO →?EC →得

12

AB →2

=

32

AC →2

，进一步可得结果．

【解答】解：设AO →

=λAD →

=λ2（AB →

+AC →），

AO →=AE →+EO →=AE →+μEC →=AE →+μ（AC →?AE →

） ＝（1﹣μ）AE →

+μAC →

=1?μ

3AB →+μAC →

∴{λ2

=1?μ3λ

2

=μ，∴{λ=1

2μ=14， ∴AO →

=12AD →=14（AB →

+AC →），

EC →=AC →?AE →

=?1

3

AB →+AC →

，

6AO →

?EC →

=6×14（AB →+AC →）×（?13AB →

+AC →）

=32（?13AB →2+23AB →?AC →

+AC →2） =?1

2

AB →2+AB →?AC →

+32

AC →

2，

∵AB →

?AC →

=?12AB →2+AB →?AC →+32AC →2

，

∴1

2

AB →2

=

32

AC →2

，∴

AB →

2AC →

2

=3，

∴

AB AC

=

√3．

故答案为：√3

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 13．（5分）（2019?江苏）已知

tanα

tan(α+π

4

)

=?2

3

，则sin （2α+π

4）的值是

√2

10

． 【分析】由已知求得tan α，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin （2α+π4

）的值． 【解答】解：由

tanα

tan(α+π4

)

=?2

3

，得

tanα

tanα+tan π

4

1?tanαtan

π

4

=?2

3

，

∴

tanα(1?tanα)

1+tanα

=?23

，解得tan α＝2或tan α=?1

3．

当tan α＝2时，sin2α=2tanα1+tan 2α=45，cos2α=1?tan 2α1+tan 2α

=?3

5，

∴sin （2α+π4）=sin2αcos π4+cos2αsin

π4=45×√22?35×√22=√210

； 当tan α=?13时，sin2α=2tanα1+tan 2α=?35，cos2α=1?tan 2α1+tan 2α=4

5

，

∴sin （2α+π4）=sin2αcos π4+cos2αsin π4=?35×√22+45×√22=√2

10． 综上，sin （2α+π

4）的值是√210

． 故答案为：

√2

10

． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．

14．（5分）（2019?江苏）设f （x ），g （x ）是定义在R 上的两个周期函数，f （x ）的周期为4，g （x ）的周期为2，且f （x ）是奇函数．当x ∈（0，2]时，f （x ）=√1?(x ?1)2，g （x ）={k(x +2)，0＜x ≤1，?12，1＜x ≤2，其中k ＞0．若在区间（0，9]上，关于x 的方程f （x ）

＝g （x ）有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 [1

3，

√2

4

） ． 【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案． 【解答】解：作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，

由图可知，函数f （x ）与g （x ）=?1

2（1＜x ≤2，3＜x ≤4，5＜x ≤6，7＜x ≤8）仅有2个实数根；

要使关于x 的方程f （x ）＝g （x ）有8个不同的实数根，

则f （x ）=√1?(x ?1)2，x ∈（0，2]与g （x ）＝k （x +2），x ∈（0，1]的图象有2个不同交点，

由（1，0）到直线kx ﹣y +2k ＝0的距离为1，得√k 2+1

=1，解得k =

√2

4

（k ＞0），

∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k =1

3

， ∴1

3≤k ＜

√2

4

．

即k 的取值范围为[13

，√24

）． 故答案为：[1

3，

√24

）． 【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）（2019?江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =2

3，求c 的值； （2）若

sinA a

=

cosB 2b

，求sin （B +π

2）的值．

【分析】（1）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2?b 2

2ac =10c 2?26c 2

=23，由此能求出c 的值． （2）由

sinA a

=

cosB 2b

，利用正弦定理得2sin B ＝cos B ，再由sin 2B +cos 2B ＝1，能求出sin B =

√5

5

，cos B =2√5

5，由此利用诱导公式能求出sin （B +π

2）的值． 【解答】解：（1）∵在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． a ＝3c ，b =√2，cos B =2

3， ∴由余弦定理得：

cos B =a 2+c 2?b 2

2ac =10c 2?26c 2

=23，

解得c =√3

3

． （2）∵

sinA a

=

cosB 2b

， ∴由正弦定理得：sinA a

=

sinB b

=

cosB 2b

，

∴2sin B ＝cos B ，

∵sin 2B +cos 2B ＝1，

∴sin B=√5

5，cos B=

2√5

5，

∴sin（B+π

2）＝cos B=

2√5

5．

【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（2019?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，

∵DE?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，

∴A1B1∥平面DEC1．

解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．

∴BE⊥AA1，BE⊥AC，

又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，

∵C1E?平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．

【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 17．（14分）（2019?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：

x 2a 2

+

y 2b 2

=1（a ＞b

＞0）的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=5

2． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．

【分析】（1）由题意得到F 1D ∥BF 2，然后求AD ，再由AD ＝DF 1=5

2

求得a ，则椭圆方程可求；

（2）求出D 的坐标，得到k BF 2=k DF 1=32

2

=34

，写出BF 2的方程，与椭圆方程联立即可

求得点E 的坐标．

【解答】解：（1）如图，∵F 2A ＝F 2B ，∴∠F 2AB ＝∠F 2BA ，

∵F 2A ＝2a ＝F 2D +DA ＝F 2D +F 1D ，∴AD ＝F 1D ，则∠DAF 1＝∠DF 1A ， ∴∠DF 1A ＝∠F 2BA ，则F 1D ∥BF 2， ∵c ＝1，∴b 2

＝a 2

﹣1，则椭圆方程为

x 2a 2

+

y 2a 2?1

=1，

取x ＝1，得y D =a 2?1a ，则AD ＝2a ?a 2?1a =a 2+1

a ． 又DF 1=5

2，∴a 2+1a =52

，解得a ＝2（a ＞0）．

∴椭圆C 的标准方程为

x 24

+

y 23

=1；

（2）由（1）知，D （1，3

2

），F 1（﹣1，0），

∴k BF 2=k DF 1=

32

2

=34，则BF 2：y =34

(x ?1)，

联立{y =3

4(x ?1)x 24

+y

23

=1

，得21x 2﹣18x ﹣39＝0． 解得x 1＝﹣1或x 2=13

7

（舍）． ∴y 1=?3

2．

即点E 的坐标为（﹣1，?3

2）．

【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF 1∥BF 2是解答该题的关键，是中档题．

18．（16分）（2019?江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于．．．圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C ，D 为垂足），测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12（单位：百米）．

（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；

（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．

【分析】（1）设BD 与圆O 交于M ，连接AM ，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐

标系，则A （0，﹣6），B （﹣8，﹣12），D （﹣8，0）

设点P （x 1，0），PB ⊥AB ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P 的坐标，可得所求值；

（2）当QA ⊥AB 时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时Q （x 2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q 的坐标，即可得到结论；

（3）设P （a ，0），Q （b ，0），则a ≤﹣17，b ≥?9

2

，结合条件，可得b 的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ ．

【解答】解：设BD 与圆O 交于M ，连接AM ， AB 为圆O 的直径，可得AM ⊥BM ， 即有DM ＝AC ＝6，BM ＝6，AM ＝8，

以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则A （0，﹣6），B （﹣8，﹣12），D （﹣8，0）

（1）设点P （x 1，0），PB ⊥AB ， 则k BP ?k AB ＝﹣1， 即

0?(?12)x 1?(?8)

?

?6?(?12)0?(?8)

=?1，

解得x 1＝﹣17，所以P （﹣17，0），PB =√(?17+8)2+(0+12)2=15；

（2）当QA ⊥AB 时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时Q （x 2，0）， 则k QA ?k AB ＝﹣1，即

0?(?6)x 2?0

?

?6?(?12)0?(?8)

=?1，解得x 2=?9

2，Q （?92

，0），

由﹣17＜﹣8＜?9

2，在此范围内，不能满足PB ，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径，

所以P ，Q 中不能有点选在D 点；

（3）设P （a ，0），Q （b ，0），则a ≤﹣17，b ≥?9

2，PB 2＝（a +8）2+144≥225， QA 2＝b 2+36≥225，则b ≥3√21，当d 最小时，PQ ＝17+3√21．

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．

19．（16分）（2019?江苏）设函数f （x ）＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣c ），a ，b ，c ∈R ，f ′（x ）为f （x ）的导函数．

（1）若a ＝b ＝c ，f （4）＝8，求a 的值；

（2）若a ≠b ，b ＝c ，且f （x ）和f ′（x ）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f （x ）的极小值；

（3）若a ＝0，0＜b ≤1，c ＝1，且f （x ）的极大值为M ，求证：M ≤4

27．

【分析】（1）由a ＝b ＝c ，可得f （x ）＝（x ﹣a ）3，根据f （4）＝8，可得（4﹣a ）3＝8，解得a ．

（2）a ≠b ，b ＝c ，设f （x ）＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）2．令f （x ）＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）2＝0，解得x ＝a ，或x ＝b ．f ′（x ）＝（x ﹣b ）（3x ﹣b ﹣2a ）．令f ′（x ）＝0，解得x ＝b ，或x =

2a+b

3

．根据f （x ）和f ′（x ）的零点均在集合A ＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a ＝3，b ＝﹣3，可得

2a+b 3

=

6?33

=1∈A ，可得：f （x ）＝（x ﹣3）（x +3）2．利用导数研究其单

调性可得x ＝1时，函数f （x ）取得极小值．

（3）a ＝0，0＜b ≤1，c ＝1，f （x ）＝x （x ﹣b ）（x ﹣1）．f ′（x ）＝3x 2﹣（2b +2）x +b ．△

＞0．令f ′（x ）＝3x 2

﹣（2b +2）x +b ＝0．解得：x 1=b+1?√b 2

?b+13∈(0，1

3

]，x 2=

b+1+√b 2

?b+1

3

．x 1＜x 2，可得x ＝x 1时，f （x ）取得极大值为M ，通过计算化简即可证明结论．

【解答】解：（1）∵a ＝b ＝c ，∴f （x ）＝（x ﹣a ）3， ∵f （4）＝8，∴（4﹣a ）3＝8， ∴4﹣a ＝2，解得a ＝2．

（2）a ≠b ，b ＝c ，设f （x ）＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）2． 令f （x ）＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）2＝0，解得x ＝a ，或x ＝b ．

f ′（x ）＝（x ﹣b ）2+2（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝（x ﹣b ）（3x ﹣b ﹣2a ）． 令f ′（x ）＝0，解得x ＝b ，或x =

2a+b

3

． ∵f （x ）和f ′（x ）的零点均在集合A ＝{﹣3，1，3}中， 若：a ＝﹣3，b ＝1，则2a+b 3

=

?6+13=?5

3

?A ，舍去．

a ＝1，

b ＝﹣3，则2a+b 3=2?33=?13

?A ，舍去． a ＝﹣3，b ＝3，则2a+b

3=

?6+3

3

=?1?A ，舍去．．

a ＝3，

b ＝1，则2a+b 3=

6+13=73

?A ，舍去．

a ＝1，

b ＝3，则

2a+b

3=53

?A ，舍去． a ＝3，b ＝﹣3，则

2a+b

3=

6?33

=1∈A ，．

因此a ＝3，b ＝﹣3，

2a+b 3

=1∈A ，

可得：f （x ）＝（x ﹣3）（x +3）2． f ′（x ）＝3[x ﹣（﹣3）]（x ﹣1）．

可得x ＝1时，函数f （x ）取得极小值，f （1）＝﹣2×42＝﹣32． （3）证明：a ＝0，0＜b ≤1，c ＝1， f （x ）＝x （x ﹣b ）（x ﹣1）．

f ′（x ）＝（x ﹣b ）（x ﹣1）+x （x ﹣1）+x （x ﹣b ）＝3x 2﹣（2b +2）x +b ． △＝4（b +1）2﹣12b ＝4b 2﹣4b +4＝4(b ?1

2)2+3≥3． 令f ′（x ）＝3x 2﹣（2b +2）x +b ＝0．

解得：x 1=b+1?√b 2

?b+13∈(0，1

3]，x 2

=b+1+√b 2

?b+13

．x 1＜x 2， x 1+x 2=

2b+23，x 1x 2=b 3

， 可得x ＝x 1时，f （x ）取得极大值为M ，

∵f ′（x 1）=3x 12?（2b +2）x 1+b ＝0，可得：x 12

=1

3[（2b +2）x 1﹣b ]，

M ＝f （x 1）＝x 1（x 1﹣b ）（x 1﹣1）

＝（x 1﹣b ）（x 12

?x 1）＝（x 1﹣b ）（

(2b+2)x 1?b

3

?x 1）=1

3

[（2b ﹣1）x 12

?2b 2x 1+b 2]

=13[(2b ?1)?

(2b+2)x 1?b 3?2b 2x 1+b 2]=1

9

[(?2b 2+2b ?2)x 1+b 2+b]，

∵﹣2b 2+2b ﹣2＝﹣2(b ?1

2)2?3

2＜0， ∴M 在x 1∈（0，1

3

]上单调递减，

∴M ≤19(?2b 2

+5b?23+b 2

+b)=b 2

+5b?227≤427

． ∴M ≤

4

27

． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．（16分）（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M ﹣数列”． （1）已知等比数列{a n }（n ∈N *）满足：a 2a 4＝a 5，a 3﹣4a 2+4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M ﹣数列”；

（2）已知数列{b n }（n ∈N *）满足：b 1＝1，1S n

=

2b n

?

2b n+1

，其中S n 为数列{b n }的前n

项和．

①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M ﹣数列”{c n }（n ∈N *），对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k +1成立，求m 的最大值．

【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，然后根据a 2a 4＝a 5，a 3﹣4a 2+4a 1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；

（2）求出b 2，b 3，b 4猜想b n ，然后用数学归纳法证明； （3）设{c n }的公比为q ，将问题转化为[lnk k ]max ≤[lnk k?1]min ，然后构造函数f （x ）=lnx x

(x ≥3)，g （x ）=

lnx

x?1

(x ≤3)， 分别求解其最大值和最小值，最后解不等式ln33

≤

lnm

m?1

，即可．

【解答】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则 由a 2a 4＝a 5，a 3﹣4a 2+4a 1＝0，得 {a 12q 4=a 1q 4a 1q 2?4a 1q +4a 1=0∴{a 1=1

q =2， ∴数列{a n }首项为1且公比为正数

即数列{a n}为“M﹣数列”；

（2）①∵b1＝1，1

S n =

2

b n

?

2

b n+1

，

∴当n＝1时，1

S1=

1

b1

=

2

b1

?

2

b2

，∴b2＝2，

当n＝2时，1

S2=

1

b1+b2

=

2

b2

?

2

b3

，∴b3＝3，

当n＝3时，1

S3=

1

b1+b2+b3

=

2

b3

?

2

b4

，∴b4＝4，

猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；

（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，

（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，

由1

S k =

2

b k

?

2

b k+1

，得

b k+1=

2b k S k

2S k?b k

=

2k?k(k+1)

2

2?k(k+1)

2

?k

=k+1，

故n＝k+1时结论成立，

根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．

故数列{b n}的通项公式为b n＝n；

②设{c n}的公比为q，

存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，

当k＝1时，q≥1，当k＝2时，√2≤≤2，

当k≥3，两边取对数可得，lnk

k

≤≤

lnk

k?1

对k≤m有解，

即[lnk

k

]max≤[lnk

k?1

]min，

令f（x）=lnx

x

(x≥3)，则f′(x)=1?lnx

2

，

当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，

∴当k≥3时，[lnk

k

]max=ln33，

令g（x）=lnx

x?1

(x≤3)，则g′(x)=

1?1x?lnx

x2

，

令?(x)=1?1

x

?lnx，则?′(x)=1?x

x2

，

当x≥3时，?'（x）＜0，即g'（x）＜0，

∴g （x ）在[3，+∞）上单调递减， 即k ≥3时，[

lnk k?1]min =lnm

m?1

，则 ln33

≤

lnm

m?1

，

下面求解不等式ln33

≤

lnm

m?1

，

化简，得3lnm ﹣（m ﹣1）ln 3≤0，

令h （m ）＝3lnm ﹣（m ﹣1）ln 3，则h '（m ）=3

m ?ln 3，

由k ≥3得m ≥3，h '（m ）＜0，∴h （m ）在[3，+∞）上单调递减，

又由于h （5）＝3ln 5﹣4ln 3＝ln 125﹣ln 81＞0，h （6）＝3ln 6﹣5ln 3＝ln 216﹣ln 243＜0， ∴存在m 0∈（5，6）使得h （m 0）＝0， ∴m 的最大值为5，此时

q ∈[313，51

4]．

【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．

【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

21．（10分）（2019?江苏）已知矩阵A =[31

22]．

（1）求A 2；

（2）求矩阵A 的特征值．

【分析】（1）根据矩阵A 直接求解A 2即可；

（2）矩阵A 的特征多项式为f （λ）=|λ?3?1?2λ?2|=λ2﹣5λ+4，解方程f （λ）＝0即可．

【解答】解：（1）∵A =[31

22]

∴A 2=[3122][31

22]

=[115106

] （2）矩阵A 的特征多项式为： f （λ）=|λ?3?1

?2λ?2|=λ2﹣5λ+4，

令f （λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得

λ＝1或λ＝4，

∴矩阵A 的特征值为1或4．

【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题． B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

22．（10分）（2019?江苏）在极坐标系中，已知两点A （3，π

4

），B （√2，π

2

），直线1的方

程为ρsin （θ+π

4）＝3． （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．

【分析】（1）设极点为O ，则由余弦定理可得AB 2=OA 2+OB 2?2OA ?OBcos∠AOB ，解出AB ；

（2）根据直线l 的方程和点B 的坐标可直接计算B 到直线l 的距离． 【解答】解：（1）设极点为O ，则在△OAB 中，由余弦定理，得 AB 2＝OA 2+OB 2﹣2OA ?OBcos ∠AOB ，

∴AB =√32+(√2)2?2×3×√2×cos(π2

?π4

)=√5； （2）由直线1的方程ρsin （θ+π

4

）＝3，知 直线l 过（3√2，π

2），倾斜角为

3π4，

又B （√2，π

2

），

∴点B 到直线l 的距离为(3√2?√2)?sin(3π4?π

2)=2．

【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题． C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．（2019?江苏）设x ∈R ，解不等式|x |+|2x ﹣1|＞2． 【分析】对|x |+|2x ﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可． 【解答】解：|x |+|2x ﹣1|={

3x ?1，x ＞1

2

?x +1，0≤x ≤12?3x +1，x ＜0，

∵|x |+|2x ﹣1|＞2， ∴{

3x ?1＞2x ＞1或{?x +1＞20≤x ≤1或{

?3x +1＞2

x ＜0

，

∴x ＞1或x ∈?或x ＜?1

3

，

∴不等式的解集为{x |x ＜?13

或x ＞1}．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

24．（10分）（2019?江苏）设（1+x ）n

＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，n ≥4，n ∈N *．已知a 32＝2a 2a 4．

（1）求n 的值；

（2）设（1+√3）n ＝a +b √3，其中a ，b ∈N *，求a 2﹣3b 2的值．

【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a 2，a 3，a 4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；

（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a ，b ，计算可得所求值； 方法二、由于a ，b ∈N *，求得（1?√3）5＝a ﹣b √3，再由平方差公式，计算可得所求值． 【解答】解：（1）由（1+x ）n ＝C n 0+C

n 1

x +C n 2x 2

+…+C n n x n

，n ≥4， 可得a 2＝C

n

2

=

n(n?1)

2，a 3＝C n

3=

n(n?1)(n?2)

6

，a 4＝C n

4=

n(n?1)(n?2)(n?3)

24

， a 32＝2a 2a 4，可得（n(n?1)(n?2)

6

）2＝2?

n(n?1)2

?

n(n?1)(n?2)(n?3)

24

，

解得n ＝5；

（2）方法一、（1+√3）5＝C 5

+C

51

√3+C 52

（√3）2+C 53

（√3）3+C 54

（√3）4+C 5

5（√3）5＝a +b √3，

由于a ，b ∈N *，可得a ＝C 5

0+3C

5

2+9C

5

4=1+30+45＝76，b ＝

C

5

1+3C

5

3+9C

5

5=44，

可得a 2﹣3b 2＝762﹣3×442＝﹣32；

方法二、（1+√3）5

＝C 5

+C

51

√3+C 52

（√3）2+C 53

（√3）3+C 54

（√3）4+C 5

5

（√3）5

＝a +b √3，

（1?√3）5＝C 5

+C

51

（?√3）+C 52

（?√3）2+C 53

（?√3）3+C 54

（?√3）4+C 5

5（?√3）5 ＝C

5

0?C

51

√3+C 52

（√3）2﹣C 53

（√3）3+C 54

（√3）4﹣C 55

（√3）5，

由于a ，b ∈N *，可得（1?√3）5＝a ﹣b √3，

可得a 2﹣3b 2＝（1+√3）5?（1?√3）5＝（1﹣3）5＝﹣32．

【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．

25．（10分）（2019?江苏）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1）

，（n，1）}，?n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪

B n∪?n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．

（1）当n＝1时，求X的概率分布；

（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．

【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，√2，2，√5，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；

（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．

【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，√2，2，√5，

X的概率分布为P（X＝1）=7

C62

=715；P（X=√2）=4

C62

=415；

P（X＝2）=2

C62

=215；P（X=√5）=2

C62

=215；

（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，

因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，

①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；

②若b＝0，d＝1，则AB=√(a?c)2+1≤√n2+1，所以X＞n当且仅当AB=√n2+1，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；

③若b＝0，d＝2，则AB=√(a?c)2+4≤√n2+4，所以X＞n当且仅当AB=√n2+4，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；

④若b＝1，d＝2，则AB=√(a?c)2+1≤√n2+1，所以X＞n当且仅当AB=√n2+1，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；

综上可得当X＞n，X的所有值是√n2+1或√n2+4，

且P（X=2+1）=

4

C2n+4

2

，P（X=2+4）=

2

C2n+4

2

，

可得P（X≤n）＝1﹣P（X=√n2+1）﹣P（X=√n2+4）＝1?

6

C2n+4 2

．