2019年高考数学试卷-(全国II卷与答案)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于()A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅答案 C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A. B．2 C．5 D．50答案 A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝e x－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.8．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B. C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.9．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 4＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.10．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案 C解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.11．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. B. C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2. 由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.二、填空题13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.18．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝i(y i－)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s＝＝0.02×≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．21．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－(x>0)．因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由1<x0<α得0<<1<x0.又f＝ln－－1＝＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.23．[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．祝福语祝你考试成功!。
2019年数学高考试卷(及答案)
2019年数学高考试卷(及答案)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（）A．B．C．D．2．若复数21iz=-，其中i为虚数单位，则z=A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b分别为14,18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．145．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．36．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i7．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6B ．32C ．10D ．428．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i9．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]10．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．011．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）A 513x <<B 135x <C ．25x <<D 55x <<12．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．复数()1i i +的实部为 ．15．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ． 16．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．17．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.18．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____． 19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.20．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．三、解答题21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.22．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.23．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 24．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 25．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】找到从上往下看所得到的图形即可．【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C.【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B，属于基础题.2．B解析：B【解析】试题分析：22(1i)1i,1i 1i(1i)(1i)z z+===+∴=---+，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.3．A解析：A【解析】【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.4．B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．5．C解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以有43332013222w kk k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥ 故选C6．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.7．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=3=，解得2a b ⋅=-．则22224424a b a b a b +=++⋅=+．故选D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．B解析：B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1iz=-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z满足21iiz=-，∴()()()2121111i iiz ii i i+===---+，∴复数z的共轭复数等于1i--，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin2cos2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.10．C解析：C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-， 由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11．A解析：A 【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得5x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得013x <<x 的取值范513x << A. 考点：余弦定理.12．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.15．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积解析：2918【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.16．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所解析：1【解析】 【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3S h =底，本题是中档题． 17．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的解析：4 【解析】 试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．18．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计解析：1 【解析】 【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：1015π【解析】 【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=,∴sin3SBA ∠=，∴132sin r SBA ==∠，∴1r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+，计算得，28110112020R =+= ， 所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.20．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最解析：5﹣【解析】 【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-，再求PM 的最小值得解. 【详解】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PMPC PA AC⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,22DM ∴==,所以PM 有最小值为2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为5﹣【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以20.50.40.50.60.5P X(2)由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”所以40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．22．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理，得42sin sin c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1cos 3B =，所以ac=6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，2212sin 1cos 1()33B B =-=-= 由正弦定理，得22242sin sin 3c C B b ===a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=172242233927⋅+=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 23．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35． 【解析】 【分析】（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为2640026040⨯=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2615n C ==种，至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：2426315C P C =-=．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 24．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 25．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞. 【解析】 【分析】（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.【详解】（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立 当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤ 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}37x x -≤≤ （2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+-由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x ≤-时，()()min 170g x g =-= 当15x -<<时，()()510g x g >= 当5x ≥时，()()min 69g x g == 综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =()a g x ≤恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.。
(完整版)2019年高考文科数学全国2卷含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 文科数学1.设集合{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，则=⋂B A ( ) A. ),1(+∞- B. )2,(-∞ C. )2,1(- D. φ2. 设(2)z i i =+，则z = ( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3. 已知向量(2,3)=a ， (3,2)=b ，则-=a b （ ）B. 2C. D. 504. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）A.23 B. 35C. 25D. 155. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6. 设()f x 为奇函数，且当0≥x 时，()1=-xf x e ，则当0<x 时，()=f x （ ） A. 1--x e B. 1-+x e C. 1---x e D . 1--+x e7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面8. 若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=A ．2B. 32C. 1D.129.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.810. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A. 10x y π---= B. 2210x y π---= C. 2210x y π+-+= D. 10x y π+-+=11. 已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A.15D.512.设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，0为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若PQ OF =,则C 的离心率为:A.2B.3C.2D.5 二、填空题13. 若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则3z x y =-的最大值是 .14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos 0b A a B +=，则B = . 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)三、解答题17.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥. （1）证明：BE ⊥平面11EB C（2）若1AE AE =,3AB =,求四棱锥11E BB C C -的体积.18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231+==a a a . (1)求{}n a 的通项公式：(2)设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[)0.20,0-[)0,0.20[)0.20,0.40 [)0.40,0.60 [)0.60,0.80企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 748.602≈.20. 已知12,F F 是椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF ∆的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.21. 已知函数()(1)ln 1=---f x x x x .证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0=f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题（2选1）22.在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集： （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷 ）文科数学答 案1. 答案：C 解析：{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，∴）（2,1-=⋂B A .2. 答案：D 解析：因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--. 3. 答案：A 解答：由题意知(1,1)-=-a b ，所以2-=a b .4. 答案：B 解答：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B ,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35.5.答案：A 解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6. 答案：D 解答：当0<x 时，0->x ，()1--=-xf x e ，又()f x 为奇函数，有()()1-=--=-+xf x f x e .7. 答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案. 8.答案：A 解答：由题意可知32442T πππ=-=即T=π,所以=2ω. 9.答案：D 解析：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p22=，∴8=p . 10. 答案：C 解析：因为2cos sin y x x '=-，所以曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线斜率为2-， 故曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为2210x y π+-+=. 11. 答案：B 解答：(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==，所以sin α==. 12. 答案：A解析：设F 点坐标为)0,2c （，则以OF 为直径的圆的方程为2222)2⎪⎭⎫⎝⎛=+-c y c x （-----①，圆的方程222a y x =+-----②，则①-②，化简得到c a x 2=，代入②式，求得caby ±=，则设P 点坐标为),2c ab c a （，Q 点坐标为),2c ab c a -（，故cab PQ 2=，又OF PQ =,则,2c cab=化简得到2222b a c ab +==，b a =∴，故2222==+==aaa b a a c e .故选A. 二、填空题 13. 答案：9 解答：根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值为9. 14.答案：0.98 解答：平均正点率的估计值0.97100.98200.99100.9840⨯+⨯+⨯==.15.答案：34π 解析：根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=,即()sin sin cos 0A B B +=，显然sin 0A ≠，所以sin cos 0B B +=，故34B π=.16.答案：1 解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解. 三、解答题 17.答案： （1）看解析 （2）看解析 解答：（1）证明：因为11B C C ⊥面11A B BA ，BE ⊥面11A B BA∴11B C BE ⊥ 又1111C E B C C ⋂=，∴BE ⊥平面11EB C ；（2）设12AA a =则 229BE a =+，22118+a C E =，22194C B a =+ 因为22211=C B BE C E + ∴3a =，∴11111h 3E BB C C BB C C V S -=1363=183=⨯⨯⨯ 18.答案： （1）122-=n n a ； （2）2n解答：(1)已知162,2231+==a a a ，故162121+=q a q a ，求得4=q 或2-=q ，又0>q ，故4=q ，则12111242---=⋅==n n n n q a a .(2)把n a 代入n b ，求得12-=n b n ，故数列{}n b 的前n 项和为22)]12(1[n nn =-+.19. 答案： 详见解析 解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721100100+=， 这类企业中产值负增长的企业比例是2100. （2）这类企业产值增长率的平均数是()0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=⎡⎤⎣⎦这类企业产值增长率的方差是()()()()()222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296⎡⎤--⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯÷=⎣⎦所以这类企业产值增长率的标准差是28.6020.172040.17100==⨯=≈. 20. 答案： 详见解析 解答:（1）若2POF ∆为等边三角形，则P 的坐标为,22c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，代入方程22221x y a b +=，可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =. （2）由题意可得122PF PF a +=，因为12PF PF ⊥，所以222124PF PF c +=， 所以()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，所以222122444PF PF a c b ⋅=-=，所以2122PF PF b ⋅=，所以122121162PF F S PF PF b ∆=⋅==，解得4b =. 因为()212124PF PF PF PF +≥⋅，即()21224a PF PF ≥⋅，即212a PF PF ≥⋅，所以232a ≥，所以a ≥21. 答案：见解析解答：（1）1()ln (0)'=->f x x x x ，设1()ln =-g x x x ，211()0'=+>g x x x则()g x 在(0,)+∞上递增，(1)10=-<g ，11(2)ln 2ln 022=->=g ， 所以存在唯一0(1,2)∈x ，使得00()()0'==f x g x ，当00<<x x 时，0()()0<=g x g x ，当0>x x 时，0()()0>=g x g x ，所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)+∞x 上递增，所以()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知存在唯一0(1,2)∈x ，使得0()0'=f x ，即001ln =x x ， 00000000011()(1)ln 1(1)1()0=---=---=-+<f x x x x x x x x x ， 22221113()(1)(2)110=----=->f e e e e，2222()2(1)130=---=->f e e e e ， 所以函数()f x 在0(0,)x 上，0(,)+∞x 上分别有一个零点.设12()()0==f x f x ，(1)20=-<f ，则1021<<<x x x ，有1111111(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 2222221(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 设1()ln 1+=--x h x x x ，当0,1<≠x x 时，恒有1()()0+=h x h x， 则12()()0+=h x h x 时，有121=x x .22.答案：（1）0ρ=l 的极坐标方程：sin()26πρθ+=；（2）P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解析：（1）当03πθ=时，00=4sin 4sin 3πρθ==以O 为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M ，(4,0)A，OM k =，则直线l的斜率3k =-，由点斜式可得直线l：(4)3y x =--，化成极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）∵l OM ⊥∴2OPA π∠=，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，化成极坐标方程为=4cos ρθ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩可得4πθ=，∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 23.答案（1）看解析（2）看解析解答：（1）当1a =时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩或22012x x -<⎧⎨<<⎩或224201x x x ⎧-+-<⎨≤⎩解得不等式的解集为{}2x x <。
2019年高考数学真题及答案(含全国1卷,全国2卷,全国3卷共3套)
绝密★启用前 全国卷Ⅰ2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考全国乙卷：《理科数学》2019年考试真题与答案解析
高考精品文档高考全国乙卷理科数学·2019年考试真题与答案解析同卷省份河南、山西、江西、安徽省甘肃、青海、蒙古、山西省吉林、宁夏、新疆、黑龙江高考全国乙卷：2019年《理科数学》考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =______。
A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<答案：C2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则______。
A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=答案：C3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则______。
A ．a b c <<B ．a c b <<<<C．c a b<<D．b c a答案：B-4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的（512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是______。
A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm答案：B5．函数f(x)=在[,]-ππ的图像大致为______。
A ．B ．C ．D ．答案：D6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是______。
2019全国2卷高考数学理科含答案详解(珍藏版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A ＝{x|x 2﹣5x+6＞0}，B ＝{x|x ﹣1＜0}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣3，﹣1）D ．（3，+∞）2．（5分）设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知＝（2，3），＝（3，t ），||＝1，则?＝（）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．34．（5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：+＝（R +r ）．设α＝．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r 的近似值为（）A ．RB ．RC ．R D ．R5．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．（5分）若a ＞b ，则（）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．3a＜3bC ．a 3﹣b 3＞0D ．|a|＞|b|7．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．（5分）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．89．（5分）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（）A ．f （x ）＝|cos2x|B ．f （x ）＝|sin2x|C ．f （x ）＝cos|x |D ．f （x ）＝sin|x|10．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sin α＝（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）设F 为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF |，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．12．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x+1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m]，都有f （x ）≥﹣，则m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，]C ．（﹣∞，]D ．（﹣∞，]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考全国二卷数学试题答案解析-全国二卷数学答案解析
2
3p p
∴ p 2 p ，∴ p 8 . 2
9.
下列函数中，以
2
为周期且在区间
4
, 2
单调递增的是（
）
A. f (x) | cos 2x |
B. f (x) | sin 2x |
C. f (x) cos | x |
D. f (x) sin | x |
M1
3 3
3
M2 3M 1
，可得
r
3
M2 3M1
R
。
5. 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原 始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分 相比，不变的数字特征是（ ） A． 中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 A
对于 D,函数 f (x) sin | x | 的周期T ,不符合题意.
10. 已知 (0, ) ， 2 sin 2 cos 2 1，则 sin （
）
2
1
A.
5
5
B.
5
C. 3 3
25
D.
5
B
(0, ) ， 2 sin 2 cos 2 1 4 sin cos 2 cos2 ， 2
足方程 M1 (R r)2
M2 r2
(R
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M1 R3
。设= r R
。由于
的值很小，因此在近似计算中
3 3 +3 4 5 （1 ）2
3 3 ，则 r 的近似值为（
2019年山东省高考数学真题(理科)及答案
数学试卷绝密★启用并使用完毕前2019 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷 )理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共 4 页，满分150 分。
考试用时150 分钟 .考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答题前，考试务必用0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案 ,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤 .参考公式 :如果事件 A ， B 互斥，那么 P（ A+B ） =P(A)+P(B) ；如果事件 A ， B 独立，那么 P （AB ） =P(A)*P(B)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1z为（）、复数 z 满足 (z 3)(2 i) 5(i 为虚数单位），则 z 的共轭复数（ A ） 2+i（B ） 2-i（ C） 5+i（D ） 5-i2、已知集合 A { 0,1,2} ，则集合B{ x y | x A, y A} 中元素的个数是（）（A）1（B）3（C） 5（D）93、已知函数 f (x) 为奇函数，且当x0 时， f ( x)x21，则 f ( 1) =（）x（A）-2（B）0（C）1（D）24、已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9，底面是边长为 3 的正三角4形，若 P 为底面A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（）5（ B）（ C）（ D）（ A ）312465、若函数f (x)sin( 2x) 的图像沿x轴向左平移个单位，得到一个偶函数的图像，8则的一个可能取值为（）3（A）（B）（C）0（D）444数学试卷2x y206、在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组x 2 y10 ，所表示的区域上一动点，3x y80则直线 OM 斜率的最小值为A 2B 11D1 C2 37、给定两个命题p、q，若p 是 q 的必要而不充分条件，则p 是q 的（A ）充分而不必要条件（ B ）必要而不充分条件（C）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8、函数y x cos x sin x 的图象大致为yyy yππππO xO x O x O x(A)(B)(C)(D)9、过点（ 3， 1）作圆( x1) 2y21作圆的两条切线切点为A，B，则直线AB的方程（A ）2xy30（B ）（C）4xy30（D ）2x y 304x y 3010、用 0,1，， 9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为（A ） 243（ B）252（ C）261（ D） 279C1 : y1x2 ( p 0)C2: x2y21C1 于11、抛物线2 p的焦点与双曲线3的右焦点的连线交第一象限的点 M ，若C1在点 M 处的切线平行于C2的一条渐近线，则p3323436（B）8（ C）3（ D）312、设正实数x, y, z满足x24y 2xy2123xy z，则当 z取最大值时，xyz的最大值为9（A ）0（B）1（C）4（D）3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分13、执行右面的程序框图，若输入的值为0.25，则输出的 n 的值为______________14、在区间3,3 上随机取一个数 x ，使得 x 1x 21 成立的概率为 ______________.15 、已知向量AB 与 AC 的夹角 120 0 ，且| AB |=3 ，|AC |=2 ，若AP ABAC，且 APBC ，则实数的值为 ____________.16、 定义“正对数 ” : lnx0,0 x 1ln x, x, 现有四个命题：1①若 a 0, b 0, l n a bb l n a;②若 a0, b0, ln abln a ln b;③若 a 0, b 0, l naln al n b;b④若 a 0, b0, ln a b ln a ln b+ ln 2;其中真命题有 ____________. （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分。
2019年高考理数全国卷2及答案解析
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}2–56|0A x x x =+＞，{}–10|B x x =＜，则A B =I( )A .(–1)∞，B .(–2)1，C .(–3)–1，D .(3)+∞，2.设–32z i =+，则在复平面内z 对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.已知()2,3AB =u u u r ，(3)AC t =,uuu r，1BC =uu u r ，则AB BC =⋅uu u r uu u r( ) A .–3 B .–2 C .2D .34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rR α=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为( ) ABCD5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 ( ) A .中位数 B .平均数 C .方差 D .极差 6.若a b ＞，则 ( ) A .0()ln a b -＞ B .33a b ＜ C .330a b -> D .a b >7.设α，β为两个平面，则αβP 的充要条件是 ( )A .α内有无数条直线与β平行B .α内有两条相交直线与β平行C .α，β平行于同一条直线D .α，β垂直于同一平面 8.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =( ) A .2 B .3 C .4D .89.下列函数中，以2π为周期且在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增的是( )A .()cos 2f x x =B .()sin 2f x x =毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）C .()cos f x x =D .()f x sin x =10.已知π20a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），2sin2cos2+1αα=，则sin α=( ) A .15 BCD11.设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为( )ABC .2D12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是( )A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D.22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.300.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26261105x x y +==+，得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以c o s θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D.A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2s i n fx x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i nfx xx x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R == 3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D .【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。