第二篇第六章(第十章) 应力状态与强度理论
第六章应力应变分析强理论
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1.最大切应力的方位（The direction of maximum shearing
stress ）
令
d d
2[
x
y cos 2
2
xy sin 2 ]
0
tan 21
x 2 xy
y
11 90
化简以上两个平衡方程最后得
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
不难看出 90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位
（Maximum normal stress and it’s direction）
e
x
xy
α
α n
α
α
e
dA
dAcos α
ayx
f
y
t
a dAsin f
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为
dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
y
e xy x
解:（1）求 e-f 截面上的应力
f
30°
30
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
C07应力状态和强度理论
x平面上有正应力sx, 切 应力txy, 和txz。切应力
的两个下标中, 第一个 下标表示切应力所在 平面, 第二个下标表示 切应力的方向。
同理y平面上有正应力
sy, 切应力tyx, 和tyz; z 平面上有正应力sz, 切 应力tzx, 和tzy。
7.5 三向应力状态
在一般的空间应力 状态的9个应力分量 中, 根据切应力互等 定理, 在数值上有txy ＝tyx, txz＝tzx, tyz＝ tzy, 因 而 , 独 立 的 应 力分量是6个, 即sx, sy, sz, txy, tyz和tzx。
G
,
g yz
t yz
G
,
g zx
t zx
G
7.8 广义虎克定律
一般空间应力状态下, 在线弹性范围内、小变形 条件下各向同性材料的广义胡克定律:
ex
1 E
[s x
m(s
y
sz
)]
e
y
1 E
[s
y
m(s z
s x )]
ez
1 E
[s
z
m(s x
s y )]
g xy
t xy
G
,
g yz
t yz
G
,
g zx
s3
O
s3
s
O
z
x
s2
s1
整个单元体内的最大切应力为:
t max
s1 s3
2
7.5 三向应力状态
t
y
s2
tmax
s3
O z
D
s1
O
s
s3
x
s2
s1
第十章应力状态和强度理论-深入学习实践科学发展观
第十章 应力状态和强度理论【能力目标、知识目标与学习要求】本章学习内容主要是帮助学生进一步理解、掌握应力状态和强度理论的概念，介绍应力状态的基本概念、平面应力状态、复杂应力状态以及强度理论的基本知识，重点是培养学生应用强度理论解决实际问题的能力（即作材料在复杂应力状态下的强度计算的能力）。
第一节 应力状态的概念一、点的应力状态前面已经知道，当求杆件内任意一点的应力时，若用不同方位的截面截取，其应力是不同的。
例如欲求图10-1a 所示受轴向拉伸的杆件内A 点的应力，如果用横截面m-m 过A 点截取（图10-lb ），则该截面上有正应力σ，其值为σ=1A F(a) 式中A 1为横截面面积。
nmnFmFFFnm1A F =σa (a)(b)(c)图 10-1若用斜截面n-n 过A 点截取，则该截面上既有正应力ασ，又有切应力ατ（图10-lc ），其值为ασσα2cos = （b ）αστα2sin 2=（c ）式中α为斜截面与横截面的夹角。
又如对受扭转的圆轴（图10-2a ）内任一点，若以横截面过该点截取一单元体，则该点在横截面上只有切应力（图10-2b ），其大小为ρταpI T=。
但若以斜截面m-m 过该点截取一单元体，则在斜截面上既有正应力ασ，又有切应力ατ（图10-2c ），它们的大小为ατσα2sin -= （d ） αττα2cos = （e ）由上可知，要了解一点的全部应力情况，必须研究该点在所有斜截面上的应力情况，找出它们的变化规律，从而求出最大应力值及其所在截面的方位，为强度计算提供依据。
实践也证明了这一工作的必要性，例如，图10-3所示的钢筋混凝土梁破坏时，除了在跨中底部会发生竖向裂缝外（该处横截面上由弯矩引起的水平正应力最大），在其他部位还会发生斜向裂缝。
又如铸铁试样受压缩而破坏时（图10-4），裂缝的方向与杆轴成斜角。
这些实例也说明，只有全面地研究了每一点的所有截面上的应力情况，才能知道构件在什么地方和什么方向图 10-2MmmmmασFFF应力最大，因而最危险。
第六章 应力状态与强度理论3(1)
断裂破坏时的极限应变 1u 。
断裂条件 强度条件
1 E
1 1u
[ 1 ( 2 பைடு நூலகம்3 )]
b
E
/n
第二强度理论
即 r 2 1 ( 2 3 ) [ ] 强度条件
实验表明：该理论可以较好地解释岩石类脆性材料在
单向压缩时，经常沿纵向开裂的实验现象。
铸铁：
单向受拉时，脆性拉断 三向受压时，产生屈服破坏
3、如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂力 学中的脆性断裂准则进行计算。
强度理论的统一形式
第一强度理论 第二强度理论
r1 1
r2 1 ( 2 3 ) [ ]
第三强度理论
第四强度理论
单元体侧面上的力所做的功：
dW 1 2 1
1dydz 1dx 2 dxdz 2dy 3dxdy 3dz
2 2
1
1
2
11 2 2 3 3 dxdydz
（2）应变比能(Strain-Energy Density)
于微元内的最大切应力达到了单向拉伸时的屈服应力s t 。
屈服条件 强度条件 强度条件 第三强度理论
实验表明：此理论适合于塑性材料的屈服失效。并且，
还能解释，塑性材料在三向压应力下不易发生失效的实
验事实。 (t max 0)
局限性：
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%； 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象； 3、不适用于脆性材料的破坏。
畸变能理论（第四强度理论）
无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于
微元的形状改变比能(即畸变能)达到材料在单向拉升屈服时 的极限值。
应力状态和强度理论23
7.5.1 材料破坏的基本形式
在前面的实验中，曾接触过一些材 料的破坏现象，如果以低碳钢和铸铁两 种材料为例，它们在拉伸(压缩)和扭转试 验时的破坏现象虽然各有不同，但都可 把它归纳为两类基本形式：塑性屈服和 脆性断裂。
7.5 材料破坏的形式
低碳钢在拉伸、压缩和扭转时，当试件中的应 力达到屈服点后，就会发生明显的塑性变形， 使其失去正常的工作能力，这是材料破坏的一 种基本形式，叫做塑性屈服。
=
50MPa
所以，该零件是安全的。
例7-11 图(a)所示为承受内压的薄壁容器。为测 量容器所承受的内压力值，在容器的表面用电 阻应变片测得环向应变为 y 350106 。若已知
容器的内直径D=500 mm，壁厚 10mm，容 器材料的E=210 GPa， =0.25。
1、导出容器横截面及纵截面上正应力表达式。 2、计算容器所受的内压力。
1
1 E
1
2
3
b
E
1、破坏依据：1 2 3 b
2、强度准则：1 2 3
3 、应用情况：符合表面润滑石料的轴向压 缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。
混凝土压缩时的破坏解释
7.6.3 最大切应力（第三强度）理论
认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最
大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，
试验证明，同一种材料在不同的应力状态下， 会发生不同形式的破坏。也就是说，不同的应 力状态将影响材料的破坏形式。
7.5 材料破坏的形式
带尖锐环形深切槽的 低碳钢试样，由于切 槽根部附近材料处于 接近三向等值拉伸的 应力状态而发生脆性 断裂。对于像低碳钢 一类的塑性材料，除 了处于三向拉伸应力 状态外，一般不会发 生脆性断裂。
理论力学第十章强度理论
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
最大切应力是引起材料屈服的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力
达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈
服。
max 0
max －构件危险点的最大切应力
max( 13)/2
0 －极限切应力，由单向拉伸实验测得
0 s /2
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性 变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面 上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和最大畸变能密度理论
最大正应力
最大线应变
引起破坏 的某一共同
因素
最大切应力
118
z 10
13 250
(d)
σmax
(e)
τmax
F q
F
(a)
A C
E
B D
0.2m
0.2m
2m
Fs/kN
210 208
(b)
A8
C
E
DB x
C
E
(c) A
41.8
45 M./kN.m
DB x
118
z 10
13 250
(d)
σmax
(e)
τmax
(f)
τσ
F
q
F
(a)
A C
E
DB
0.2m 0.2m
2m
Fs/kN
210 208
(b) A 8 C
E
DB x
C
E
(c) A
理论力学12应力状态和强度理论
ζ min = −80MPa α 0 = 116.56
ο
ζ max = 20MPa
26
例
３
可用同种方法求出其他点的 主应力和主平面位置。由此可得 梁内主应力特点：除上、下边缘 外，其他点处的主应力，必有一 主拉应力和一个主压应力。主拉 应力的方位角由９０度连续减到 ０度。
主拉应力迹线：各点的切线方 向为该点处的主拉应力方向。 实线表示 主压应力迹线：各点的切线方 向为各点的主压应力方向 虚线表示 对于钢筋混凝土梁，纵向钢筋 大体按主拉应力方向布置。
25
例
tg2α 0 = −
３
2η xy
2 × 404 ==− − 60 − 0 3
ζ x −ζ y
ο
α 0 = 26.56
+
ο
116.56
ο
将 α 0 = 26.56 代入 ζ α =
ζ x +ζ y
2
ζ x −ζ y
2
cos 2α − η xy sin 2α
ζ α = −80MPa
α 0 = 26.56
z
θ ζt
ζt
p
D
7
应力状态和强度理论
三、应力状态的分类
对于受力构件内任一点，总可以找到三个相互垂直 的平面，这些面上只有正应力而没有切应力，这些切应 力为零的平面称为主平面。作用在主平面上的正应力称 ζ为主应力。三个主应力分别用 ζ 1 ζ 2 ， 3 ， 并按代数值 ， 大小排列， 1 ≥ ζ 2 ≥ ζ 3。围绕一点按三个主平面取出的 ζ ζ2 单元体称为主应力单元体。 主应力
x
)
在坐标系内画出点 A(ζ x ,η xy ，B (ζ y ,η yx ) AB与横轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆
知识资料材料力学知识资料应力状态分析和强度理论(三)组合变形压杆稳定(新版)
需要课件请或强度理论（一）强度理论的概念1．材料破坏的两种类型材料破坏型式不仅与材料本身的材质有关，而且与材料所处的应力状态、加载速度温度环境等因素有关。
材料在常温、静载荷下的破坏型式主要有以下两种：脆性断裂材料在无显然的变形下骤然断裂。
塑性屈服(流动) 材料浮上显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。
2．强度理论在复杂应力状态下关于材料破坏缘故的假设，称为强度理论。
研究强度理论的目的，在于利用容易应力状态下的实验结果，来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。
（二）四个常用的强度理论四个常用强度理论的强度条件可以统一地写成式中σr称为相当应力，其表达式为最大拉应力理论σr1＝σ1(第一强度理论)最大拉应变理论σr2＝σ1－ν(σ1+σ2)(第二强度理论)最大剪应力理论σr3＝σ1－σ3(第三强度理论)形状改变比能理论(第四强度理论)[σ]为材料的许用应力。
第1 页/共18 页对于工程上常见的一种二向应力状态如图5—9—3所示，其特点是平面内某一方向的正应力为零。
设σy=0，则该点的主应力为代入(5—9-15)式得：第三强度理论(最大剪应力理论)的相当应力为第四强度理论(形状改变比能理论)的相当应力为最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大剪应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。
强度理论的选用在三向拉应力作用下，材料均产生脆性断裂，故宜用第一强度理论；而在三向压缩应力状态下，材料均产生屈服破坏，故应采用第三或第四强度理论。
当材料处于二向应力状态作用下时：脆性材料易发生断裂破坏，宜用第一或第二强度理论；塑性材料易发生塑性屈服破坏，宜用第三或第四强度理论。
[例5-9-1] 已知构件上某点的应力单元体如图5-9-4(a)，(b)所示(图中应力单位为MPa)。
试求指定斜截面上的应力。
[解] 图示单元体处于平面应力状态。
(1)在图示坐标中代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得σα、τσ方向如图中所示。
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第十章 应力状态与强度理论 第一节 概述 前述讨论了构件横截面上的最大应力与材料的试验许用应力相比较而建立了只有正应力或只有剪应力作用时的强度条件。但对于分析进一步的强度问题是远远不够的。实际上，不但横截面上各点的应力大小一般不同，即使同一点在不同方向的截面上，应力也是不同的。 例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截面上的应力. 上例说明构件在复杂受力情况下，最大应力并不都在横截面上，从而需要分析一点的应力状态。 一、 一点的应力状态 凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为不但受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的。即使通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。一点处的 应力状态就是指通过一点不同截面上的应力情况的总和。或者说我们把过构件内某点所有方位截面上应力情况的总体称为一点的应力状态。下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（方向）截面上的应力情况。而本章就是要研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。并以此为基础建立复杂受力(既有正应力，又有剪应力)时的强度条件。
二、 一点应力状态的描述 1、微元法：在一般情况下，总是围绕所考察的点作一个三对面互相垂直的微正六面体，当各边边长充分小并趋于零时，六面体便趋于宏观上的“点”，这种六面体称为“微单元体”，简称“微元”。当微元三对面上的应力已知时，就可以应 用截面法和平衡条件，求得过该点任意方位面上的应力。因此，通过微元及其三对互相垂直的面上的应力情况，可以描述一点的应力状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表一个材料点）各微面上应力特点如下： （1） 各微面上应力均匀分布； （2） 相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反； （3）互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等定律。（在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且大小相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。） 2、微元体的常用取法 矩形截面杆：一对面为杆的横截面，另外两对面为平行于杆表面的纵截面。dx、dy、dz。 圆截面杆：一对面为横截面，一对面为过杆轴线的纵截面，一对面为同轴圆柱面。dx、dr、dθ。 3、例：①受轴向拉伸或压缩的杆上任意点
②受弯构件内的点
③受扭构件表面上的点
4、几种应力状态的概念 平面应力状态：如果微元各个面上所受应力的作用线都处于同一平面内。 单向应力状态：平面应力状态中，只受一个方向正应力作用的。 纯切应力状态：只受切应力作用的。 第二节 平面应力状态中任意方向面上应力分析 一、分析微元斜截面（方向面）上的应力的基本方法---截面法：当微元三对面上的应力已经确定时，为求某个斜面（即方向面）上的应力，可用一假想截面将微元从所考察的斜面处截为两部分，考察其中任意一部分的平衡，即可由平衡条件求得该斜截面上的正应力和切应力。 二、平面应力状态中任意方向面上应力分析 1.方向角与应力的正负号规则 方向角θ---用方向面法线n与水平坐标轴x正向的夹角θ来定义方向面的位置。并叫方向角。我们规定从x正方向逆时针转至n正方向者为正；反之为负。 正应力---拉为正；压为负。 切应力---使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。 2.平面应力状态中任意方向面上应力分析
于是根据力的平衡方程∑Fn=0 、∑Ft=0
2cos2sin2
2sin2cos22
xyyxxy
yxyx
例 MPax20 MPay30
oo12060或 0
xy
代入公式得
)(5.172cos2302023020MPa
)(322534502sin23020MPa
第三节 应力状态中的主应力与最大切应力 一. 主平面 主应力与主方向
2cos2sin2
2sin2cos22
xyyxxy
yxyx
1、讨论：
yxxypyxxyptgtgdd220220令令
2、结论： （1）正应力取极值的方向面上剪应力为零。 （2）正应力取极值的方向面有两个且相互垂直。 3、几个概念： 由以上讨论可知在应力状态中，存在着某方向面（其方向角为θP），在这个面上，切应力等于零，这样的面称为“主平面”。主平面上的正应力称为“主应力”。主平面法线方向即主应力作用线方向称为“主方向”。主方向用方向角θP来表示。并且主应力具有极值的性质。 主应力表达式；
由 pppptgctg2112cos2112sin22 得到： 22''22'42124212xyyxyxxyyxyx 主方向角表达式：
xyxptg'' xyxptg'''' 4、最后结论： 在平面应力状态中，有一对面即平行于xy坐标面的平面上既无正应力也无剪应力作用，这一对面也是主平面，只是其上之主应力等于零。所以，应力状态中，有三个主应力，我们一般按其代数值大小排列: 321。而平面应力状态中，有一个主应力为零。
例.习11.4 解： MPax40 MPay20
MPaxy40
则 346080220yxxytg 则 o13.5320 o57.260 则MPaxyyxyx602sin2cos22000 MPaxyyxyx40)2(2sin)2(2cos220020
二.面内最大切应力与一点处的最大切应力
1、讨论： 令02sin22cosxyyxdd 由此可得取极值的角，用θS表示，即
xyyxstg22
同理可得：22'minmax421xyyx 2、结论：'min'max与作用在互相垂直的平面上，且最大(或最小)切应力作用在与主平面夹π/4角的平面上。但需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的极值。
考察空间应力状态 22221'''max31''max32'max 则一点应力状态中的最大切应力，必然是上述三 者中的最大的，即 ：231max 6.4 应力状态分析的图形解析法——应力圆及其应用 应力圆方程：222224212xyyxyx
例 P305 习11.5 解：在横截面上 123bhIz 则
0)(10062121MPa
bh
MhIM
)(30230max22MPabh
Q
)(5.224123)(503422323MPahybh
Q
MPabh
MhIM
0)(10044MPa
则1点：MPax100 0y 0xy
MPa50210050500100215031max''2'
2点：0yx MPaxy30 MPa30230303042131max''2'
3点：MPax50 0y MPaxy5.22 MPa6.336.86.585.2245021250max''22'