竞赛数学
奥林匹克数学竞赛试题
奥林匹克数学竞赛试题一、问题描述奥林匹克数学竞赛被广泛认为是世界上最具挑战性的数学竞赛之一。
这个国际性的竞赛每年都吸引了来自世界各地的数学好手参与。
在为期两天的竞赛中，选手们需要面对一系列难度高、逻辑复杂的数学题目。
本文将给出一些典型的奥林匹克数学竞赛试题，旨在帮助读者了解奥林匹克数学竞赛的难度与风格。
这些试题涵盖了数论、代数、几何、概率等多个数学领域，每个试题都要求解题者具备深入的数学思维和分析能力。
二、试题一：数论问题：证明：存在无限多个素数，使得p和2p+1都是素数。
解答提示：在数论中，关于素数的问题一直是热门研究领域。
本题要求证明存在无限多个素数，同时使得p和2p+1都是素数。
首先，我们可以尝试通过假设存在有限个这样的素数来推导出矛盾的结论，从而推断存在无限多个这样的素数。
三、试题二：代数问题：已知a，b，c是实数，且满足abc = 1。
证明：a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac。
解答提示：这是一个代数学中的不等式证明题。
首先，利用已知条件abc = 1，可以尝试将不等式中的二次项化简为一次项，进而简化证明过程。
四、试题三：几何问题：平面上有一个三角形ABC，过点A作边BC的垂线交BC于点D，过点B作边AC的垂线交AC于点E，过点C作边AB的垂线交AB于点F。
证明：三角形DEF的内心和三角形ABC的内心重合。
解答提示：这是一个几何学中的证明题。
我们可以利用几何图形的性质，如垂线的性质、三角形内心的定义等，来研究三角形DEF和三角形ABC的关系。
五、试题四：概率问题：有一枚袋中有10个红球和10个蓝球。
现从袋中无视颜色连续取5个球，记该过程为一次实验。
试计算：至少有一种颜色的球被取到的概率。
解答提示：这是一个概率学中的计算题。
我们可以利用概率的计算公式和排列组合的知识，计算至少有一种颜色的球被取到的概率。
六、总结本文给出了一些典型的奥林匹克数学竞赛试题，涵盖了数论、代数、几何和概率等多个数学领域。
全国数学能力竞赛试题及答案
全国数学能力竞赛试题及答案试题一：代数基础题目：解下列方程组：\[ \begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases} \]答案：将第一个方程乘以2得到 \( 2x + 2y = 10 \)，然后将其与第二个方程相加，得到 \( 3x = 11 \)，解得 \( x = \frac{11}{3} \)。
将 \( x \) 的值代入第一个方程，解得 \( y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{4}{3} \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。
答案：根据勾股定理，AB的长度可以通过以下公式计算：\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]试题三：概率统计题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有1个红球的概率。
答案：首先计算没有红球的概率，即两个球都是蓝球的概率，为\( \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} \)。
因此，至少有1个红球的概率为 \( 1 - \frac{6}{56} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28} \)。
试题四：数列与级数题目：数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} = 2a_n \)，求 \( a_5 \) 的值。
答案：根据数列的递推关系，可以依次计算出：\[ a_2 = 2a_1 = 2 \]\[ a_3 = 2a_2 = 4 \]\[ a_4 = 2a_3 = 8 \]\[ a_5 = 2a_4 = 16 \]试题五：组合数学题目：从10个人中选出3个人组成一个委员会，求不同的委员会组合数。
全国高中数学竞赛考试范围
全国高中数学竞赛考试范围全国高中数学竞赛考试范围包括但不限于以下内容：1. 代数部分：包括数列、函数、不等式、解析几何等。
2. 几何部分：包括平面几何、立体几何等。
3. 组合数学部分：包括组合数学的基础知识、组合应用等。
4. 概率与统计部分：包括概率论的基础知识、统计应用等。
5. 数学分析部分：包括极限、导数、微积分等。
一、函数与方程1. 函数性质：包括奇偶性、单调性、周期性、对称性等，能够根据函数图像进行判断和分析。
2. 函数方程：了解函数方程的概念，掌握求解方法，如换元法、待定系数法等。
3. 函数不等式：能够根据函数的性质求解不等式，如一元二次不等式、高次不等式等。
二、数列与数学归纳法1. 数列概念：了解数列的定义、分类和表示方法，能够判断数列的类型。
2. 等差数列与等比数列：掌握等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质。
3. 数列求和：掌握数列求和的方法，如裂项相消法、错位相减法等。
4. 数学归纳法：掌握数学归纳法的原理和步骤，能够证明简单的数学归纳法命题。
三、解析几何1. 直线与圆：掌握直线和圆的方程及其性质，能够求解直线与圆的位置关系。
2. 椭圆、双曲线与抛物线：掌握椭圆、双曲线和抛物线的方程及其性质，能够求解相关的几何问题。
3. 坐标变换：了解坐标变换的概念和方法，能够进行坐标变换的求解问题。
四、立体几何1. 平面几何：掌握平面几何的基本定理和证明方法，能够证明简单的几何命题。
2. 空间几何体：了解空间几何体的结构特征和性质，能够进行相关的计算和证明。
3. 空间位置关系：掌握空间点、线、面之间的位置关系及其性质，能够进行相关的证明和求解。
五、排列组合与概率初步1. 排列组合：掌握排列组合的定义、公式和性质，能够求解相关的计数问题。
2. 概率初步：了解概率的基本概念和计算方法，能够求解随机事件的概率和分布。
3. 统计初步：了解统计的基本概念和方法，如样本均值、标准差等，能够进行简单的数据分析。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
竞赛数学知识点总结
竞赛数学知识点总结竞赛数学，是指各种数学竞赛中需要掌握的一些数学知识和解题技巧。
同时，竞赛数学也是一种对数学思维和解题能力的锻炼。
通过参加竞赛数学的学习和训练，可以提高学生的数学水平，培养学生的数学兴趣和数学思维能力。
下面，我将对竞赛数学常用的知识点进行总结，供学生参考。
一、基本数学知识1. 数论数论是研究整数性质的学科。
在数学竞赛中，常常会涉及到数论知识。
比如，质数、合数、最大公因数、最小公倍数、同余数、循环小数等知识点都是数论中的重要内容。
掌握这些知识对于解决一些数论题目是非常有帮助的。
2. 代数代数是数学的一个重要分支，它研究的是数与文字之间的相互关系。
在数学竞赛中，代数知识通常包括多项式、方程、不等式、函数、数列等内容。
解决代数题目需要熟练掌握各种代数知识，灵活运用各种代数运算法则。
3. 几何几何是研究空间和图形的形状、大小、相对位置等性质的学科。
在数学竞赛中，几何题目通常涉及到直角三角形、相似三角形、圆的性质、平行四边形、多边形等几何图形的性质和计算。
解决几何题目需要清楚地掌握几何图形的性质和变换规律。
4. 概率与统计概率与统计是数学中的一门新兴学科，它研究的是随机事件的规律性和统计数据的分析方法。
在数学竞赛中，通常会涉及到概率的计算、统计数据的分析、抽样调查等内容。
了解概率与统计知识对于解决一些概率与统计题目是很有帮助的。
二、解题技巧1. 分析题目解决数学竞赛题目的第一步是分析题目。
要仔细阅读题目，理解题目的要求，确定题目的难点和重点。
分析题目的条件和限制，清楚题目的求解目标。
2. 形成思路在分析题目的基础上，要形成解题思路。
可以通过举例、画图、列式等方法进行思维导图，找到解题的突破口。
在形成解题思路之前，可以适当进行头脑风暴，提出不同的解题思路。
3. 灵活运用知识在解题的过程中，要灵活运用所学的数学知识。
可以根据题目的要求，适当地引入数论、代数、几何、概率与统计等相关知识，使解题过程更加得心应手。
2024全国初中数学竞赛试题
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，下列关于f(x)的描述正确的是：A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)的图像关于x=1对称D. f(x)的图像关于y轴对称答案：C2. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a5的值：A. 31B. 63C. 127D. 255答案：C3. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i答案：B4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的零点个数：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, -1)，求向量a与向量b的夹角θ：B. π/3C. π/2D. 2π/3答案：D6. 若直线l：y = 2x + 3与圆C：x^2 + y^2 = 9相交于点A和点B，求|AB|的长度：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：A7. 已知抛物线y^2 = 4x的焦点为F，点P(1, 2)在抛物线上，求点P到焦点F的距离：A. 1C. 3D. 4答案：C8. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值：A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A9. 已知等差数列{an}的前三项和为6，且a2 = 2，求数列的公差d：A. 0B. 1C. 2答案：B10. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值：A. √2B. √2/2C. 1D. 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)的表达式：__________。
答案：3x^2 - 6x + 212. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 3an - 2，求a3的值：__________。
奥林匹克数学竞赛试题
奥林匹克数学竞赛试题奥林匹克数学竞赛是全球最重要的数学竞赛之一，每年都吸引了数以万计的学生参加。
竞赛试题涵盖了数学的各个领域，要求参赛者具备扎实的数学基础和创造性的思维能力。
本文将介绍一些典型的奥林匹克数学竞赛试题以及解题思路，帮助读者更好地了解数学竞赛的难度和魅力。
一、代数题1. 设正整数a,b满足a^2 + b^2 = 2022. 请问a * b的最大可能值是多少？解析：观察到2022是一个偶数，而平方数只可能是偶数或者奇数。
若a,b都是偶数或都是奇数，那么a^2 + b^2一定是偶数，不可能等于2022。
所以我们可以推测a和b的奇偶性不同，即一个是奇数一个是偶数。
根据这个思路，我们可以列出一些满足条件的a和b的组合：a=1, b=45; a=45, b=1; a=5, b=43; a=43, b=5; ...计算出这些组合对应的a * b的值，可以发现最大可能值是43 * 5 = 215。
二、几何题2. 在平面直角坐标系中，点A(0,6)和点B(0,0)之间有一条线段AB，点C在线段AB上，且AC:CB = 1:3。
同时点C到x轴的距离为2。
求点C的坐标。
解析：由题意可以得到BC的长度为4，AC的长度为12。
我们可以设点C的坐标为C(x, y)。
根据AC:CB = 1:3，我们可以得到以下两个方程：(0 - x)^2 + (6 - y)^2 = 144x^2 + y^2 = 4^2解方程得到x = -2，y = 2。
所以点C的坐标为C(-2, 2)。
三、组合数学题3. 设S为一个由正整数组成的集合，满足集合中任意两个不同的元素a，b都满足a*b + a + b是一个完全平方数。
求S中最大的元素。
解析：设S中最大的元素为x，则根据题意可以得到以下关系：(x - 1) * x + (x - 1) + x = k^2 （k为正整数）化简得到 x^2 - x + 1 = k^2。
我们可以将左边表达式写成完全平方形式：(x - 1/2)^2 + 3/4 = k^2进一步化简得到 (2x - 1)^2 + 3 = (2k)^2。
大学数学竞赛试题及答案
大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. iC. √2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-4, -1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C3. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。
A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A4. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含答案：C5. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式。
A. 0B. 1C. 7D. 8答案：C6. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数g(x) = 2x - 3，求g(4)的值：________。
答案：58. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度：________。
答案：59. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x的极小值点：________。
答案：x = 110. 已知一个球的体积是(4/3)π，求该球的半径：________。
答案：1三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1始终成立。
证明：略12. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求该函数的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1, 3。
通过二阶导数检验，可知x = 1为极大值点，x = 3为极小值点。
全国高中生数学竞赛试题
全国高中生数学竞赛试题一、选择题1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5，那么x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且有a>0，b>0，c>0，那么a+b+c的值是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个圆的半径是5cm，圆心位于坐标系的原点，那么圆上一点（3，4）到圆心的距离是：A. 5cmB. 5√2cmC. 2√5cmD. 10cm4. 以下哪个三角形的内角和不是180°？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若a、b、c是等比数列，且abc=8，a+b+c=6，那么b的值是：A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题6. 一个等差数列的前四项之和为26，首项为2，公差为3，求该等差数列的第四项。
7. 已知一个圆的周长为4πcm，求该圆的面积（π取3.14）。
8. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6有唯一的零点，求该零点的值。
9. 一个直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。
10. 一个等比数列的前三项分别是2，6和18，求该数列的公比。
三、解答题11. 已知一个等差数列的前五项和为35，且第五项是首项的三倍。
求该等差数列的首项和公差。
12. 一个圆与直线y=2x+3相交于点A，且圆心到直线的距离为2√2cm。
若圆的半径为5cm，求圆心的坐标。
13. 证明：若n是正整数，且n^2 + 3n + 2是一个完全平方数，则n 也是正整数。
14. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为x，且周长为30cm。
求x的值。
15. 一个等比数列的前五项之和为31，首项为2，求该等比数列的公比和最后一项的值。
请注意，以上题目仅供参考，实际的全国高中生数学竞赛试题可能会有所不同。
在解答时，考生需要仔细审题，合理运用数学知识和解题技巧，力求准确、高效地完成题目。
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深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号
课程名称 竞赛数学
课程类别 综合选修
教材名称 竞赛数学的原理和方法
制 订 人 张文俊
审 核 人 胡鹏彦
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：综合选修课
2．适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向）
3．开设学期：第六学期
4．学时安排：周学时3，总学时54
5．学分分配：3学分
（二）开设目的
拓宽学生的初等数学知识面，加深学生对初等数学的本质理解，培养学生提高初等数
学的解题能力，以便他们在毕业后的工作岗位上指导中小学生参加各种数学竞赛。
（三）基本要求
在学习本课程过程中，学生应特别注意学习竞赛数学的基本原理与方法。
（四）主要内容
介绍中小学数学竞赛中所涉及到的基本数学原理、方法及其应用，内容包括：抽屉原
理、容斥原理、极端原理、相似原理、对称原理等基本原理；不等式解题方法、数论方法、
递归方法、图论方法、组合论方法、组合几何方法等基本方法。
（五）先修课程
中学数学
（六）考核方式
开卷考查
（七）参考教材
柳柏濂等编．竞赛数学的原理和方法[M]．广州：广东高等教育出版社，2002年，第
二版．
二、教学内容
第一章 数学竞赛与竞赛数学
教学目的
通过本章的系统学习，使学生了解数学竞赛活动概况。
主要内容
1. 数学竞赛活动
2. 竞赛数学
教学要求
了解数学竞赛活动概况。
第二章 抽屉原理
教学目的
通过本章的系统学习，使学生掌握抽屉原理基本形式及其推广形式，并能用抽屉原
理解决一些实际问题。
主要内容
1. 抽屉原理基本形式
2. 抽屉原理应用技巧
教学要求
1. 掌握抽屉原理基本形式及其推广形式；
2. 会用抽屉原理解决一些实际问题。
第三章 容斥原理
教学目的
通过本章的系统学习，使学生掌握容斥原理基本形式，并能用容斥原理解决一些实
际问题。
主要内容
1. 容斥原理基本形式
2. 容斥原理应用技巧
教学要求
1. 掌握容斥原理基本形式；
2. 会用容斥原理解决一些实际问题。
第四章 不等式解题方法
教学目的
通过本章的系统学习，使学生能运用序轴法解不等式，并掌握平均不等式、柯西不
等式、排序原理。
主要内容
1. 不等式基础解法
2. 排序原理
教学要求
1. 掌握序轴法解不等式，掌握平均不等式、柯西不等式；
2. 掌握排序原理及其推广，掌握排序原理的应用技巧。
第五章 数论方法
教学目的
通过本章的系统学习，使学生能掌握整除性理论在数学竞赛中的运用方法及奇偶性
分析与同余方法的运用。
主要内容
(1) 奇偶性分析与同余方法
(2) 数谜与不定方程
教学要求
1. 掌握整除性理论在数学竞赛的运用方法，掌握奇偶性分析与同余方法的运用；
2. 掌握存在性问题与整除性问题的证明思路；
3. 掌握一些特殊性质的整数特点及其应用。
第六章 递归方法
教学目的
通过本章的系统学习，使学生能建立与求解递归关系的方法，以及函数迭代和函数
方程的方法。
主要内容
1. 递归关系应用方法
2. 线性递归关系解法
教学要求
掌握建立与求解递归关系的方法，以及函数迭代和函数方程的方法。
第七章 组合计数方法
教学目的
通过本章的系统学习，使学生能依据加法原理、乘法原理、容斥原理，或建立递归
关系、一一对应关系等，求出精确的计数式。
主要内容
1. 一一对应方法
2. 组合恒等式证法
教学要求
掌握依据加法原理、乘法原理、容斥原理，或建立递归关系、一一对应关系等，以
求出精确的计数式，并通过组合恒等式证明结果的方法。
第八章 图论方法
教学目的
通过本章的系统学习，使学生能应用图论思想把实际问题转化为数学问题的原则与
技巧，并会利用图论理论解决实际问题。
主要内容
1. 图论基本知识
2. 应用图论解决实际问题
教学要求
掌握应用图论思想把实际问题转化为数学问题的原则与技巧，会利用图论理论解决
实际问题。
第九章 组合几何方法
教学目的
通过本章的系统学习，使学生能用组合几何的原理进行计数。
主要内容
1. 组合几何计数方法
2. 整点问题
教学要求
掌握组合几何的原理进行计数的方法。
第十章 若干重要的解题原理与方法
教学目的
通过本章的系统学习，使学生掌握极端原理、相似原理与对称原理。
主要内容
1. 极端原理
2. 相似原理与对称原理
教学要求
掌握极端原理、相似原理与对称原理。
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、教学要求、主要内容。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为54学时，安排在第六学期，每周3学时，上课18周。具体分
配如下：
第一章 数学竞赛与竞赛数学 2学时
第二章 抽屉原理 4学时
第三章 容斥原理 4学时
第四章 不等式解题方法 6学时
第五章 数论方法 6学时
第六章 递归方法 6学时
第七章 组合计数方法 6学时
第八章 图论方法 8学时
第九章 组合几何方法 6学时
第十章 若干重要的解题原理与方法 6学时
（二）考核要求
1. 成绩评价
平时成绩（含考勤、课堂表现、作业）占30%，期末（卷面）成绩占70%。
2. 命题说明
题型应多样化，设计适当的开放性问题。计算题(主要考查学生对竞赛数学基本方
法的具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对竞赛数学基本理论、基本方法的综合运
用能力)的比例约为1/1。难、易题的比例约为20％难、80％适中。涉及课堂内容的100％。
试卷采用A、B卷。
注：必须写明各学期教学的总时数及各章学时数。