椭圆的标准方程教学设计
《椭圆及其标准方程的教学设计》_李忠娟
《椭圆及其标准方程》教学设计吉林省通化市靖宇中学:李忠娟一、教材分析(一) 教材的地位和作用本节是继直线和圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练。
椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
（二）教学重点、难点：1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程2. 教学难点：椭圆标准方程的推导（三）三维目标：三个维度中你中有我，我中有你，不可分割。
1. 知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。
2. 过程与方法：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、类比、归纳问题的能力.3、情感、态度、价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，对知识的归纳总结，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生学习的信心。
二、学情分析与学法指导：在此之前,学生已经初步掌握了坐标法解决几何问题的基本步骤，从研究圆到椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题。
因此，本节课注意面向全体学生，发挥学生主体性，引导学生积极观察，分析问题，激发学生求知欲。
三、教学方法和手段：采用启发式教学,在课堂教学中坚持以教师为主导,学生为主体,思维训练为主线,能力培养为主攻的原则。
"授人以鱼，不如授人以渔."要求学生动手实验,自主探究,合作交流,抽象出椭圆定义,并用坐标法探究椭圆的标准方程,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
充分体现新课标中让学生自主学习的教学理念.四、教学程序：1.创设情境，认识椭圆：通过实验探究，认识椭圆，引出本节课的教学内容，激发了学生的求知欲。
2.画椭圆：通过画图给学生一个动手操作，合作学习的机会，从而调动学生的学习兴趣。
3.教师演示：通过多媒体演示，再加上数据的变化，使学生更能理性的理解椭圆的形成过程。
椭圆及其标准方程 教学设计-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
椭圆及其标准方程教学设计一、教学目标1.知识目标：（1）理解并掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程；（2）能运用“先定位，后定量”的方法求解椭圆的标准方程。
2.能力目标：通过“先定位，后定量”求解方法，培养学生分析探索能力。
3.学科渗透：通过椭圆标准方程的教学，提高学生对知识的综合运用能力。
二、教材分析1.重点：椭圆的标准方程的求解方法。
2.难点：运用“先定位，后定量”求椭圆。
三、教学过程（一）复习回顾1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
设轨迹上任一点M到两定点F1,F2的距离和为常数2a，两定点间的距离为2c，由椭圆的定义，椭圆就是集合：M P={|MF1|+|MF2|=2a}(2a>2c=|F 1F2|)2.椭圆的标准方程焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆的标准方程比较：标准方程x2a2+y 2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)不同点图形焦点坐标F1(−c,0),F2(c,0)F1(0,−c),F2(0,c)相同点定义平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
a,b,c关系a2=b2+c2焦点位置判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上。
（二）精准释难已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0)，并且经过P(52,−32),求它的标准方程。
法一:解:椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)∵c=2，且c2=a2−b2∴a2−b2=4……①又∵椭圆经过点P(52,−32)∴(52)2a2+(−32)2b2=1 ……②xyMOxyMOxyF1F2P联立①②可求得：a 2=10,b 2=6 ∴椭圆的标准方程为x 210+y 26=1法二: 解:椭圆的焦点在x 轴上， 设它的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)由椭圆的定义知，2a =√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2∴ a =√10 又∵ c =2∴ b 2=a 2−c 2=10−4=6 ∴所求椭圆的标准方程为x 210+y 26=1（三）课堂小结求椭圆的标准方程的步骤：（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程:先定位 （2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b :后定量（四）课后作业写出适合下列条件的椭圆的标准方程1.a =4,b =1,焦点在x 轴上;2.a =4,c =√15,焦点在y 轴上;3.a +b =10,c =2√5.4.求满足下列条件的椭圆的标准方程：xyF 1F 2P（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）和（4，0），且经过点（5，0）.（2）焦点在y轴上，且经过点（0，2）和（1，0）.（五）教学反思对学生的指导不够，有一个同学没有没有合作对象。
椭圆及其标准方程一优秀教学设计精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版教学设计(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．（二)椭圆标准方程的推导13分钟1．标准方程的推导.教师引导学生得出椭圆方程，由a、b的关系判定焦点在哪一个坐标轴上。
2.教师给出表格和学生一起总结椭圆的方让学生自己去推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。
教师结合猜想加以引导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与8分钟，练习12分钟例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：1.教师引导学生得学生自己写解题过程 2.学生板演 3.学生讨论4.老师出示练习题（课件）学生做练习题（1）掌握椭圆方程a、b之间的关系 (2)掌握运用椭圆定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。
椭圆及其标准方程教学设计(第一课时)
《椭圆及其标准方程》教学设计（第一课时）一、课标要求理解掌握椭圆的定义，标准方程及其推导过程，会求一些简单的椭圆的标准方程．二、教学设计思想《椭圆及其标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线,因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础,所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1)通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力．（2）由演示出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题,充分调动学生学习自主性和积极性,并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．一位教育学家说过:“不能只向学生奉献真理,而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学,正是本着这样的教学思想去设计的．三、教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；2、掌握椭圆标准方程的推导过程；3、会求一些简单的椭圆的标准方程．（二）过程与方法通过数形结合，让学生观察猜想归纳，培养学生自主地获取知识的能力，开拓学生探究发现能力．（三）情感态度、价值观1、通过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度．四、教学重点与难点重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．难点:椭圆标准方程的推导．五、教学基本流程→→→→→→→几点说明：(1）本节课容量大，建议采用信息技术创设教学情景．（2）教学中教师应该注意少讲，还应力求克服单纯展示课件的教学形式，使计算机辅助教学的作用得以充分发挥，应该给学生充分的时间去尝试、思考、交流、讨论和表述，从而使学生想象、发现问题的空间更加广阔．。
人教A版数学高中选择性必修一《3.1.1椭圆及其标准方程》教学设计
课题：椭圆及其标准方程【教学内容分析】本节课是人教版选择性必修一第三章的第一课时，属于新授概念课。
本课作为圆锥曲线的第一课时，也是利用坐标法研究轨迹问题的起始课。
从圆锥曲线的发展史入手，让学生了解什么是圆锥曲线，再通过大量的圆锥曲线在科技、生产生活中的应用，解释学习圆锥曲线的必要性。
椭圆是圆锥曲线，通过类比学习圆的经历过程，继而对椭圆定义的探究和标准方程的推导，无不体现代数特征与几何特征互化的思想,而这种思想也是圆锥曲线整章内容的核心思想，为后续学习抛物线、双曲线提供了基本模式和理论基础。
通过本节内容的学习，可以为培养学生的动手操作、自主探究、归纳推理能力提供良好的素材。
学生已经在生活中掌握了一些椭圆图形，只是停留在感性没有上升到理性层面。
如何从数学的角度给椭圆以“定量”的描述正是本节课要解决的问题。
【学生情况分析】从基础能力看：物化生组合的学生基础相对较好，通过对圆的知识学习，已初步了解曲线轨迹的思想。
从认知的现状看：学生对双根式的处理比较陌生，如何化简问题通过教师的引导值得期待。
【教学目标分析】椭圆的定义及标准方程的推导。
“直观感知、操作确认”的过程，从而让学生亲身经历知识的形成，由感性认知升华到理性认知。
4.通过学生的自主探究、课堂的讨论、归纳总结、品味寻找表象世界背后规律的乐趣，特别是标准方程的推导，让学生感受数学中的对称美。
【教学重点、难点】教学重点：（1）椭圆的定义（2）椭圆标准方程（3）会根据条件求椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的推导【教学方法分析】用生活中学生感兴趣的实例引入，遵循：“直观感知—操作确认“的认识过程，用问题引领学生自主探究，形成感性认识与理性认知。
【教具准备】图钉、画板、纸张、多媒体课件【教学过程】（一）创设情境，导入新课情景一：介绍圆锥曲线发展史情景二：展示生活中的有关圆锥曲线应用的图片设计意图：通过对圆锥曲线史介绍，可以让学生了解圆锥曲线由来，再通过科技、生产、建筑等有关圆锥曲线的应用图片加以介绍，让学生理解研究圆锥曲线的必要性，为引入本节课课题做好铺垫。
高中数学教学课例《椭圆的标准方程》课程思政核心素养教学设计及总结反思
在推导出椭圆的标准方程后及时安排一组简单的 练习之感受、理解，让学生“小试牛刀”以巩固探究成 果。
（4）解决问题、加深理解 接下来就可以来解决引出课题的两个问题了，同样 让学生讨论解决．教师可以适时引导学生总结所采用的 方法---定义法、坐标转移法．并在第二个问题的研究 中让学生认识到椭圆与圆的区别与联系。 （5）巩固练习、思考实践 练习之思考、运用篇是这样安排的 1、若方程表示的曲 线是焦点在 y 轴上的椭圆，求 k 的取值范围．（变：若 是取值范围为-4<k<0）2、求适合下列条件的标准方程： 两个焦点坐标分别是、，且过（,）.第一题解决后，采 用，变题来增强学生学习的内在活力使之成为自觉主动 学习的主体．而第二题引导学生一题多解以优化学生的 思维．由学生的思考、讨论与练习，总结有两种求法： 其一，由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程； 其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆 方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方 程．在利用待定系数法求椭圆的标准方程中的时，得到 以为未知数的方程组，并且未知数在分母上，初中学过 用换元法解方程组，这样问题便能够解决，这个问题解
教学目标 2.过程与方法：（1）使学生进一步体会数形结合的思
想；（2）渗透转化的思想；（3）培养学生分类讨论的
思想。
3.情感态度与价值观：（1）培养学生自主学习的
能力；（2）提高学生的逻辑思维能力；（3）培养学生
的观察、猜想能力；（4）提高学生的应用能力。
本班学生基础尚可，但理解能力、思维能力的方面 参差不齐，因此我在速度和难度上取适中水平，在教学 中注意面向全体，采用启发式教学，鼓励学生积极参与， 主动探索，布鲁纳曾经说过“探索是数学教学的生命 学生学习能 线”，通过学生自主学习，可以培养其分析问题、解决 力分析 问题的能力，具体做法是课前让学生做好预习，在教学 的各个环节中，在知识的引发点和关键点上不断向学生 提出适当的问题，给出“思考指向”，让学生去思考去 讨论，这样全体学生的思维活动就能始终处于积极状 态。
人教版高中数学选修2《2.1.1 椭圆的定义与标准方程》教学设计
2.1.1椭圆的定义与标准方程一、教材分析1、地位与作用本章《圆锥曲线》主要研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质，以及它们在实际中的简单应用。
它是继前面《必修二》解析几何初步研究直线和圆之后，用坐标法研究曲线问题的又一次实际演练。
椭圆是三种圆锥曲线中最重要的一种，教材中以椭圆为例，研究定义，推导方程，利用方程研究几何性质，从方法上，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；因此起着承前启后的作用。
学习本节内容有利于培养学生数形结合思想，转化思想，类比思想及分类讨论思想，有利于提高学生的数学思维能力，因此本节的内容既是本章的重点，也是本节的重点.2、教学目标：本着以“知识为载体、注重学生的能力、合作学习的精神的培养”的教学理念，教学目标制定如下：1）、知识与技能：掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，会根据条件确定椭圆的标准方程，用待定系数法求椭圆的标准方程。
2）、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力3）、情感、态度和价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生自主学习的能力，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，增强学生的数学应用意识，扩展学生的数学视野.3、教学重点与难点根据教学大纲，学生学习实际情况，结合以上分析.本节教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的建立和推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因关键：坐标系的建立和根式的化简难点突破策略：引导学生类比建立圆的方程的方法，经过学生独立思考与交流讨论，在椭圆上建立恰当的直角坐标系；化简动点满足的代数方程时，引导学生注意观察方程的特点，对其进行移项变形后再通过平方运算进行化简，配合多媒体演示。
二、学生情况分析学生已经学习了圆的概念及其方程，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，初步认识了解析几何课程的特征，即是一门借助坐标法研究几何的学科，并且已经初步体验到了数形结合的基本思想，在实际教学中，由于学生对解析几何的学习程度较浅，再加上文科学生的数学思维和计算能力相对较弱，学生难免会遇到障碍，如椭圆的定义表述不精准，和含有两个根式的方程化简问题。
高中数学_椭圆的定义和标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
课题: 椭圆的定义和标准方程教学设计学情分析授课对象为高三第一学期一轮复习的学生，已经学习了椭圆的相关知识，已具备了对几何图形的想象水平，具备一定的逻辑推理水平和分析问题的水平。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
故仍然需要以基础为原则，适当练习，然后才能拓展。
一、在学习本节内容以前，学生已经复习了直线和圆的方程，了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步研究椭圆及其标准方程奠定了基础。
二、经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容更易上手。
但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生仍然是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
效果分析通过对这节课的教学,现浅谈一下本课的课堂效果,我从教室的教和学生的学两方面的效果展开分析。
在教学的初始阶段通过对课标的了解和高考考点考频的分析，让学生对本节课知识充分重视，根据课标要求制定了本节课的学习目标。
让学生用自己的话描述椭圆的定义，引导学生推导椭圆的标准方程,真正体现了学生的主体地位和老师的主导地位。
上课后在前黑板，板书了基础知识的梳理，帮助学生回忆并夯实了本节的基础知识，课件中呈现了几个小的题目加以检验，通过检验效果来看，同学们的基础知识掌握得不错。
有了扎实的基础，顺利的进行到下一步，学生自主探究学案中的题目，有三位同学到黑板进行展示，事实证明在本环节中,学生很自然的,很顺畅的解决了有关椭圆定义和椭圆标准方程的题目。
对于学案中存在疑惑的题目，小组内通过合作探究加以解决。
通过自主探究和合作探究后，引导学生进入迁移提升环节，由两位优秀的同学做了分享交流，带领同学们总结了规律方法，总体符合了学生的认知规律,也达成了教师的预期效果。
《椭圆及其标准方程》优秀教学设计
§2.1.1椭圆及其标准方程一、教学背景分析（一）教材地位分析：《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是对坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用．（二）重点、难点分析：本节课的重点是椭圆的定义及其标准方程，标准方程的推导是本节课的难点，要突破这一难点，关键是引导学生正确选择去根式的策略．（三）学情分析：在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难．如：由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍．二、教学目标设计：（一）知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程及其几何图形；会根据条件写出椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法．（二）能力目标：学生通过动手画椭圆、分组讨论探究椭圆定义、推导椭圆标准方程等过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力．（三）情感目标：在形成知识、提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神．三、教学重点、难点：（一）教学重点：①．了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆的过程，理解椭圆标准方程的推导与化简；②．掌握椭圆的定义、标准方程及其几何图形；③椭圆标准方程的形式与图形、焦点坐标的对应关系；④根据条件求椭圆的标准方程。
（二）教学难点：①椭圆标准方程的推导与化简；②应用标准方程的形式与图形、焦点坐标对应关系解题。
《2.1.1 椭圆的定义与标准方程》教案
《椭圆的定义与标准方程》教案一、教学目标：1、知识与技能目标（1）掌握椭圆的定义及焦点、焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程．（2）掌握求椭圆标准方程的定义法和待定系数法．2、过程与方法目标（1）经历椭圆的形成过程，培养学生运动变化的观点，训练学生的动手的能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．（2）通过联系曲线方程的求法，推导椭圆的标准方程，培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感态度与价值观目标（1）通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神，体验成功的快乐.（2）激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．二、重点、难点：重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；难点：椭圆标准方程的推导与化简.三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．四、教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．五、教学设计教学环节教学过程师生互动设计思想情景引入多媒体展示：材料1：材料2：地球围绕着太阳旋转；材料3：“嫦娥三号”升空录像.引入课题：椭圆及其标准方程.师：引导学生观察：椭圆在实际生活中是很常见师：引导学生观察动画，地球运行轨道是椭圆；问“嫦娥三号”的运行轨道是什么？生：嫦娥三号着陆先是按椭圆轨道运行，再直线着陆.师：板书课题.利用学生熟知的地理规律：地球围绕太阳转引入，让学教学环节教学过程师生互动设计思想学习探究（二）如图：12MF MF a==，21OF OF c==则22,MO a c=-令22b a c=-，则222b a c=-，那么方程变为：22221x ya b+=（a>b>0）.师：请同学们在图中找出长度等于a,c的线段，则?OM=师：引导学生推出椭圆的标准方程.师：指出其焦点在x轴上，坐标为F1（－c,0）,F2(c,0)生：观察图像，识记方程.活动过程:点拨----- 板演-----点评椭圆的标准方程的导出，放手给学生F1F2M六、板书设计：七、布置作业：同步作业：2.2.1椭圆及其标准方程班别________________ 姓名_______________单一选择题：1．椭圆5522=+ky x 的一个焦点坐标是)2,0(，那么k 等于（ B ） A.-1 B.1C.5D.5-2．椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ A ）A.5B.6C.4D.103.椭圆11692522=+y x 的焦点（ C ）A.(±5，0)B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)4.已知椭圆的方程为18222=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ A ）A.228m - B.2m-22 C.282-m D.222-m5.设α∈(0,2π)，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈（ D ）A.(0,4π]B. ［4π,2π)C.(0,4π)D. (4π,2π)二、填空题：6 椭圆364922=+y x 的焦点坐标为 ； 答案：4;722==a c7 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为答案：4;722==a c8.方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______.分析：据题意⎪⎩⎪⎨⎧>--><-m m m m 2)1(0201，解之得0＜m ＜31三、解答题：（30分）9．1． 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a b y a x∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14a 1101022222222b b a b a 故所求椭圆的标准方程为1422=+y x（２）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a b x a y∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上， ∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2，∴－c －（－１０）＝２， 故c=8.∴36222=-=c a b . ∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y .2． 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n m n m ，解得 10,6==n m ∴所求椭圆的标准方程为110622=+y x10．1． 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10 再根据椭圆定义得4,3,5===b c a∴ 顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验)因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件2. 在△ABC 中，BC=24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB|+|MC|=32×39=26.根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为12516922=+y x (y≠0)ACB xOy。
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椭圆的标准方程
宿迁市中小学教学研究室 卓斌
教学目标：
1．通过数学实验与动手作图，利用椭圆的定义，从几何直观上对于曲线类型进行
判断；
2．通过阅读自学与问题驱动，领会建立椭圆方程的必要性，掌握椭圆的标准方程
的建立过程；
3．通过椭圆各种语言的转化，经历数学知识的发生发展过程，通过椭圆方程的运
用，展现运用方程研究曲线的解析几何本质，进一步领悟数形结合思想．
教学重点：
学会建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法．
教学难点：
椭圆的标准方程的推导过程．
教学方法与教学手段：
1．教学方法：采用数学实验，动手做数学，阅读自学，问题驱动等方式，引导学
生自主探索；
2．教学手段：使用实物展台、几何画板、多媒体等现代教育技术手段，调动学生
主动探索问题，感受知识的生成过程．
教学过程：
一、概念回顾——温故知新
请你复述一下椭圆的定义．
（1）椭圆定义中的关键词有哪些？
（2）你能把椭圆定义用数学符号语言来表示吗？
设计意图：温故知新，为利用定义进行几何推证和研究方程做好铺垫．
二、观察操作——直观感知
1．观察所给的图形，从中你能看到什么曲线吗？
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设计意图：提供数学材料，激发学习兴趣与好奇心，让学生处于愤悱状态！
2．按照以下步骤操作，你能发现其中隐藏着的曲线吗？
S1 选择一个曲边菱形区域，将其涂黑；
S2 选择已经涂黑的曲边菱形区域，将其一组对顶的曲边菱形区域涂黑；
S3 重复S2，注意选取对顶区域的方向要一致；
S4 将涂黑区域的公共顶点连接成一条光滑的曲线．
设计意图：设计数学实验，自主发现图中蕴藏着的平面曲线，通过实物展台呈现学
生作品．
三、理性思考——几何判断
1．如果将图中涂黑区域的公共顶点连接成一条光滑的曲线，那么这条曲线上的点具
有怎样的特征呢？
设计意图：先通过几何画板演示，动态生成椭圆，并度量椭圆上点的特征，再让学
生进行理性分析，自主得出结论：12PFPF常数．
2．现有一根长度大于12FF的细绳，试用适当的方法画出以12，FF为焦点的一个椭
圆．
设计意图：请两位同学在黑板上演示，对椭圆定义进行操作，且为后续研究方程提
供椭圆图形．
四、理性探究——建立方程
1．椭圆在现实生活、生产、科技中有着广泛的运用，神舟八号运行轨迹也是椭圆，
怎样才能精确地制造它们呢？
设计意图：数无形时少直觉，形无数时难入微．需要进行定量刻画，从代数角度进
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行突破，即研究椭圆的方程．
2．怎样建立椭圆的方程？
设计意图：需要引进平面直角坐标系，实现椭圆方程的坐标化．
3．对于椭圆这种平面曲线，怎样建立坐标系才能使得它的方程最为简单呢？为什
么要这样建立坐标系呢？
设计意图：让学生对于如何建系进行理性分析：
椭圆关于x轴对称，方程中y的一次项系数为0；
椭圆关于y轴对称，方程中x的一次项系数为0；
类比圆的方程，猜想椭圆的方程中只有x，y的二次项与常数项．
4．阅读教科书：思考下面问题：
（1）化简椭圆的坐标化方程：2222()()2xcyxcya的算理是什么？
设计意图：方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边
只有一项，再平方；
方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一
边，再平方；
（2）引进字母b的好处是什么？b的几何意义是什么？
设计意图：数学上追求简洁美与对称美的需要，采用补美法．b的几何意义是与
常数,ac构成直角三角形的三边，表示椭圆的短半轴的长．
（3）焦点在y轴上的椭圆，它的方程该是什么样子呢？为什么？
设计意图：培养学生类比推理能力．因为2222()()2xycxyca，只是x，
y互换位置，根据对称变换思想，焦点在y
轴上的椭圆的方程应该是
F
1
F2
P
x
y
O
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22
22
1(0)yxab
ab
．
（4）确定椭圆的标准方程需要几个条件？
设计意图：需要两个相互独立条件，确定,ab的值．
五、学以致用——运用方程
例1 将圆224xy上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，试判断
所得的曲线是什么曲线．
（1）几何画板演示，直观感知；
（2）教师板书解题过程，给予解题示范．
反思：
①采用了什么方法求变换后曲线的方程？
坐标转移法
②怎样证明曲线的类型？
模式识别法
③怎样画出这个椭圆呢？
回归定义
设计意图：培养学生数学阅读能力与抽象概括能力，并借助几何画板演示，给学生
留下一个动态变换过程．
例2 已知一个储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2．4米，外轮廓线
上的点到两个焦点的距离和为3米，求这个椭圆的标准方程．
师生共同完成解题过程并思考：
（1）采用了什么方法求椭圆的标准方程？
待定系数法．
F
1
F2
P
x
y
O
P
x
y
O
P
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（2）若储油罐车在一个加油站放油后，油面水平线距离油罐顶部1.5米，问油面
水平线的长度是多少米？
设计意图：师生共同完成，展示规范的解题过程，提炼解题方法．同时追问（2），
实现了利用方程解决问题的目标．简解：由题意，把0.6y代入椭圆方程
22
12.250.81
xy
，得52x，所以油面水平线的长度是5米．
六、回顾反思——小结收获
通过本节课学习，我们是怎样研究椭圆的？
（1）根据椭圆的定义，从几何直观上进行推证；
（2）利用椭圆的定义，建立椭圆的方程，运用方程进行识别．
设计意图：让学生畅所欲言，进行学习后的反思，总结活动经验．
七、反馈训练——课后作业
课本P30-31习题2．2（1）：1，2，4，9．
设计意图：课后作业目的是巩固新知，达标反馈．