超几何分布的期望和方差详细证明
超几何分布方差推导
超几何分布方差推导在证明结论前，我们先来证明两个恒等式。
说明： (ab)=Cab ,这是国际通用的组合数的符号。
当两者都为整数的时候，且上面比下面小，约定组合数为0，约定下面为负整数的时候组合数为0.（Vandermonde's Identity）我们注意到有 (1+x)n(1+x)m=(1+x)m+n ，展开左右两式可以得到，LHS=∑k=0n+m(n+mk)xk ,右式会稍微复杂，根据上面的约定可以得到：(1+x)n(1+x)m=∑k=0m(mk)xk∑j=0n(nj)xj=∑k=0m+n∑j=0k(mk−j)xk−j(nj)xj=∑k=0m+nxk∑j=0k(mk−j)(nj)其中求和上标是无所谓的，我们也可以用无穷来代替上标。
因为在这求和中，如果mn不是整数，那么上标自然是无穷，如果mn 都是整数，根据约定它会自动断成多项式。
这样对比红色块，我们得到(n+mk)=∑j=0k(mk−j)(nj) ,这就是范德蒙恒等式。
第二个恒等式是一个很显然的恒等式，因为只不过进行了一次小小的变形。
(nk)(km)=n!k!(n−k)!k!(k−m)!(m)!=n!(m)!(n−m)!(n−m)!(n−k)!(k−m)!=(nm)(n−mk−m)我们将这个恒等式记做Basic Identity 1.另外还有计算方差的一个小技巧:∑k=0npk(xk−E(x))2=∑k=0npk(xk2+E2(x)−2xkE(x))=∑k=0npkxk2+E2(x)∑k=0npk−2E(x)∑k=0npkxk=∑k=0npkxk2+E2(x)1−2E(x)E(x)=E(x2)−E2(x)现在预备知识已经结束了，可以开始计算方差[3][4]了。
需要注意，本文中的超几何分布字母符号和数学课本上略有不同，采用的是Wolfram MathWorld里面的mnNp，即总量为m+n,从中一共选出N个。
D(x)=E(x2)−E(x)2=−N2p2+∑k=0Nk2(nk)(mN−k)(n+mN)=−N2p2+(n+mN)−1∑k=0N(2(k2)+(k1))(nk)(mN−k)=−N2p2+Np+2(n+mN)−1∑k=0N(nk)(k2)(mN−k)=−N2p2+Np+2(n+mN)−1∑k=0N(n2)(n−2k−2)(mN−k)(Basic Identity 1)=−N2p2+Np+2(n+mN)−1(n2)∑k=0N−2(n −2k)(mN−k−2)=−N2p2+Np+2(n+mN)−1(n2)(n+m−2N−2)(Vandermonde′s Identity)根据 p=nm+n ，即可计算得上式为N(N−1)n(n−1)(n+m)(n+m−1)+(n+m)Nn−N2n2(n+m)2=(n+m)N(N−1)n(n−1)+(n+m−1)((n+m)Nn−N2n2)(n+m)2(n+m−1)=mnN(m+n−N)(n+m)2(n+m−1)=Np(1−p)m+n−Nn+m−1。
超几何分布方差D(X)公式
超几何分布方差D(X)公式超几何分布是概率论与数理统计中常用的离散概率分布之一，用于描述从有限总体中抽取样本的情况。
在统计学中，我们经常需要根据样本来推断总体的特征，并通过分布的参数来描述样本的随机性。
超几何分布就是一种能够帮助我们解决这个问题的概率分布。
超几何分布可以用来描述以下情形：有一个总体，总共有N个元素，其中有M个属于某一类别，而其余的N-M个属于另一类别。
我们从中随机抽取n个元素，其中我们想知道有多少个属于第一类别。
超几何分布就是用来描述这个抽样过程中抽到第一类别元素的个数的概率分布。
超几何分布的方差可以通过以下公式来计算：D(X) = [N * M * (N - M) * (N - n)] / [(N^2 * (N - 1))]其中，D(X)表示超几何分布的方差，X表示抽样过程中抽到第一类别元素的个数，N表示总体中元素的总数，M表示总体中属于第一类别的元素个数，n表示我们抽取的样本中元素的个数。
通过这个公式，我们可以计算出超几何分布的方差，从而了解抽样过程中抽到第一类别元素的个数的随机性。
我们需要明确超几何分布的特点。
超几何分布是一种离散概率分布，其取值范围为0到n之间的整数。
当n远小于N时，超几何分布可以近似为二项分布。
当n趋近于N时，超几何分布的方差趋近于0，即样本中抽到第一类别元素的个数接近于总体中第一类别元素的个数。
我们先计算样本中抽到第一类别元素的概率。
根据超几何分布的定义，我们可以知道样本中抽到第一类别元素的个数的概率是：P(X=k) = (M choose k) * [(N-M) choose (n-k)] / (N choose n)其中，(a choose b)表示从a个元素中选择b个元素的组合数。
在计算中，我们可以使用组合数的性质，将上述计算简化为以下形式：P(X=k) = (M * (M-1) * ... * (M-k+1)) * [(N-M) * (N-M-1) * ... * (N-M-(n-k)+1)] / (N * (N-1) * ... * (N-n+1))然后，我们再计算样本中抽到第一类别元素的个数的平均值μ。
超几何分布期望与方差的证明
超⼏何分布期望与⽅差的证明超⼏何分布是概率与统计⾥⾯常见的分布，但有许多⾼中⽣朋友对这个名称很陌⽣。
其实在⾼中数学中概率与统计部分涉及到超⼏何分布的⾮常多，⼏乎有50%的题型都和它有关。
常见的就是⼩球的问题，⼀共有某某个球，有某某个红球和某某个⽩球，随便拿出⼏个球等等，类似的问题求期望与⽅差，⼤多关系到超⼏何分布……最开始超⼏何分布是由产品抽样调查引出的，⽐如有N件产品，其中有M件不合格，现随便抽出n件做检查，发现其中有x件不合格，那么x就服从超⼏何分布。
由于决定该分布的有N、M、n，所以为了简单起见，⼈们把这样的x服从超⼏何分布记做x～H(n，M，N)。
因此，有些⽼师就根据产品检验的问题编出⼩球的问题，⽐如，今有球N个，其中有M个红球，N-M个⽩球，任意取n个球，⼀系列的问题就来了，先问问取到1个红球的概率，再问问取到x个红球的概率的公式，后来⼜让你把x所有可能的情况列个表，最后⼀个问就是算算期望与⽅差，当然这⾥M、N都给的是具体的数据，这样就能⽅便的算出期望与⽅差，毕竟数据不只⼀个，算错的可能性还是⽐较⾼的，还是研究研究期望与⽅差的具体公式吧。
今天我要把期望与⽅差的公式计算出来，省着⼀个个算，既⿇烦有费⼒……⾸先，不厌其烦地说⼀下期望与⽅差的关系，以便清晰思路。
期望⽤E表⽰，⽅差⽤D表⽰，⼀般把⾃变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，⽅差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有⼀个常见的量叫做标准差，⼀般⽤σ表⽰，σξ=√Dξ，根据⽅差的概念，可知：Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ因为∑Pξ=1⽽且Eξ=∑ξ*Pξ所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2⽽∑ξ^2*Pξ，表⽰E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2根据题意，如果所得到的次品数(或者说取到红球的个数)为ξ，很容易算出这种情况的概率Pξ=C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}，因为不清楚n与M哪个⼤，也就是不知道ξ的最⼤值应该是多少，所以“∑”的上标还须要讨论，如果n＞M，那么，这种情况ξ的最⼤值是M，如果n≤M，那么，这种情况ξ的最⼤值是n，可以发现ξ的最⼤值是min(n，M)，所以，数学期望应该是，Eξ=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}=1/C{n，N}*∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}=1/C{n，N}*∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*M!/ξ!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}=1/C{n，N}*∑{ξ=1，min(n，M)}M!/(ξ-1)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}=M/C{n，N}*∑{ξ=1，min(n，M)}C{ξ-1，M-1}*C{n-ξ，N-M}其他先不考虑，⾸先观察⼀下右⾯的和式，发现每项都是两个组合数的积，⽽且两个组合数中所选的数之和都等于n-1，该和式有⼀定意义，它表⽰在N个球中拿⾛⼀个红球，再在剩下的球中任取n-1个球，看看取到红球的个数有多少种情况，红球的个数可能是0、1、2、…、min(n，M)-1，把以上所有可能的情况数都加到⼀起，根据分类计数原理，所有的情况数加到⼀起就等于在N-1个球中任取n-1个球的情况总数，即C{n-1，N-1}所以，Eξ=M/C{n，N}*C{n-1，N-1}=M*n!*(N-n)!/N!*(N-1)!/(n-1)!/(N-n)!=M*n/N如果要计算⽅差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，问题就在于E(ξ^2)的计算，根据题意，E(ξ^2)=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ^2*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}当然，有E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ^2*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}－∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N} E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，min(n，M)}ξ*(ξ-1)*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}E(ξ^2)－M*n/N=1/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}(ξ-1)*M!/(ξ-1)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}E(ξ^2)－M*n/N=1/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}M!/(ξ-2)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}(M-2)!/(ξ-2)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}C{ξ-2，M-2}*C{n-ξ，N-M}同理，观察右边的和式，也同样有⼀定的意义，它表⽰先在N个球中拿⾛2个红球，之后再在其中取n-2个球，计算⼀下取到红球个数的情况总数之和，同样红球个数可以是0、1、2、…、min(n，M)-2，根据加法原理，这些情况总数就等于在N-2个球中任取n-2个球的情况总数，即C{n-2，N-2}，那么就有，E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}E(ξ^2)=M*n/N＋M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}所以，根据⽅差公式，Dξ = M*n/N＋M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}－M^2*n^2/N^2= M*n/N－M^2*n^2/N^2＋M*(M-1)*n!*(N-n)!*(N-2)!/N!/(n-2)!/(N-n)!= M*n/N－M^2*n^2/N^2＋M*(M-1)*n*(n-1)/N/(N-1)= M*n(N－M*n)*(N-1)/N^2/(N-1)＋M*N*(M-1)*n*(n-1)/N^2/(N-1)=M*n*[(N－M*n)*(N-1)＋N*(M-1)*(n-1)]/N^2/(N-1)=M*n*(N^2－N－M*N*n＋M*n＋M*N*n－M*N－n*N＋N)/N^2/(N-1)=M*n*(N^2－M*N－n*N＋M*n)/N^2/(N-1)=M*n*(N－M)*(N－n)/N^2/(N-1)看似⽅差⾮常不好记，其实只需记住⼀部分就可以了，因为超⼏何分布的极限可以看成是⼆项分布，如果不合格率是p，合格率是q(p+q=1)，那么p=M/N，q=(N－M)/N，那么超⼏何分布的⽅差可以写作n*p*q*(N－n)/(N-1)。
超几何分布的计算公式
超几何分布的计算公式1 超几何分布的定义超几何分布是概率论中一种离散型随机变量分布，它描述了在不放回地从总体中抽取特定数量的物品中，成功（或有利结果）的数量的分布情况。
通俗地讲，当从总体中抽取 $N$ 个物品进行检测时，若总体中成功（有利结果）的物品数量为 $M$，则超几何分布可以描述在 $N$ 个物品中，有 $k$ 个成功（有利结果）的概率。
因此，超几何分布是研究有限总体的抽样问题的理论基础之一。
2 超几何分布的计算公式超几何分布的概率质函数为：$$P(X=k)=\frac{{M\choose k}{N-M\choose n-k}}{{N\choose n}}$$其中，$X$ 是成功（有利结果）的数量，$k$ 取值范围为 $0\sim \min(M,n)$，$N$ 是总体中物品的总数，$M$ 是总体中成功（有利结果）的物品数，$n$ 是从总体中抽取的物品数。
3 超几何分布的性质超几何分布具有以下性质：- 具有离散型随机变量的基本性质，即 $P(X=k)\ge 0$，$\sum_{k=0}^{\min(M,n)}P(X=k)=1$。
- 数学期望为 $E(X)=\frac{nM}{N}$。
- 方差为 $Var(X)=\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$。
在实际应用中，如果 $N$ 很大，而 $M$ 很小，则可以将超几何分布近似为二项分布。
当 $n$ 远小于 $N$ 时，超几何分布也可以近似为泊松分布。
4 超几何分布的应用超几何分布在实际应用中广泛存在，如在质量控制中，使用超几何分布来确定从批次中抽取多少个样本以检测不良产品的数量，从而达到充分的检验效果。
在遗传学分析中，超几何分布可以用于描述一个群体中某种基因变异的出现情况。
此外，超几何分布还在可靠性分析、金融学等领域有着重要的应用。
超几何分布方差D(X)公式
超几何分布方差D(X)公式1 超几何分布的简介超几何分布是概率论和数理统计中的一种离散随机变量分布，它描述的是从有限个物品中抽取出若干次取出含有指定属性的物品的个数。
这是一个非常重要的概率分布，广泛应用于各个领域，如生物统计、工程、金融等。
2 超几何分布的含义超几何分布的含义是指在总体中，假设有m个元素含有属性A，有n-m个元素不含属性A。
从n个元素中取出k个元素，其中k<=n。
那么超几何分布描述的是这k个元素中，有多少个元素含有属性A的情况。
超几何分布的随机变量X的取值范围是0 ~ min(k,m)。
3 超几何分布的概率质量函数超几何分布的概率质量函数为：P(X=k) = (C(m,k) * C(n-m,n-k)) / C(n,k)其中，C(m,k)表示从m个元素中取k个元素的组合数，C(n-m,n-k)表示从n-m个元素中取n-k个元素的组合数，C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。
4 超几何分布的期望和方差超几何分布的期望为E(X) = km / n，方差为D(X) = (n-k)km(n-m) / n^2(n-1)。
其中，k表示从n个元素中取出k个元素，m表示总体中含有属性A的元素的个数。
5 超几何分布方差公式的推导超几何分布的方差计算和期望的计算方法类似，都是通过计算X 的一阶和二阶矩来求得。
首先，根据定义，超几何分布的期望为：E(X) = Σ[k=0,min(k,m)] k * P(X=k)然后，我们求X的二阶矩：E(X^2) = Σ[k=0,min(k,m)] k^2 * P(X=k)方差的定义为D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，因此只需将以上两个式子代入即可：D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2= Σ[k=0,min(k,m)] k^2 * P(X=k) - [E(X)]^2= Σ[k=0,min(k,m)] k^2 * (C(m,k) * C(n-m,n-k)) /C(n,k) - (km/n)^2上式的求和可以化简为较简单的形式。
超几何分布方差公式
超几何分布方差公式超几何分布是一种离散概率分布，与二项分布有一定的相似之处，但在具体应用场景上有所不同。
超几何分布通常用于描述抽样实验中的情况，其中涉及到有限总体内的有限样本。
在理解超几何分布的方差公式之前，我们先来了解一下超几何分布的基本特点和性质。
假设有一个有限总体，其中包含着两种不同类型的元素。
例如，我们可以考虑一批产品中的良品和不良品，或者一个集合中的男性和女性成员等。
设总体中第一类元素的个数为N1，第二类元素的个数为N2，总体大小为N = N1 + N2。
我们现在进行一个抽样实验，从总体中随机抽取n个元素，其中有m个属于第一类元素（成功事件），并且有n-m个属于第二类元素（失败事件）。
超几何分布的概率质量函数可以表示为：P(X = k) = (C(N1, k) * C(N2, n-k)) / C(N, n)其中，X表示在抽样中成功事件发生的次数，k为成功事件的数量，C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
超几何分布的期望值和方差可以通过概率质量函数的公式推导得到。
在这里，我们将关注超几何分布的方差公式，即Var(X)。
方差是对随机变量分布的离散程度的度量，它描述了随机变量与期望值之间的差异程度。
为了推导超几何分布的方差公式，我们先计算X的期望值E(X)，然后计算E(X^2)。
最后，利用方差的定义，可以得出方差公式为：Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2首先，我们计算E(X)，即期望值。
E(X) = Σ(k * P(X = k))其中，k为成功事件的数量。
代入超几何分布的概率质量函数，可以得到：E(X) = Σ(k * (C(N1, k) * C(N2, n-k)) / C(N, n))注意到组合数C(N1, k)可以表示为N1个元素中选择k个元素的方式的数量。
同样，C(N2, n-k)表示N2个元素中选择n-k个元素的方式的数量。
我们可以进一步展开计算E(X)：E(X) = Σ(k * [(N1! / (k! * (N1 - k)!)) * (N2! / ((n - k)! * (N2 - n + k)!)) / (N! / (k! * (N - k)!))])经过简化，上述等式可以进一步化简为：E(X) = Σ(k * (N1! * N2! * (N - k)! * (n - k)!)) / (k! * (N1 - k)! * (n - k)! * (N - n + k)! * N!)接下来，我们计算E(X^2)，即随机变量X的平方的期望值。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。
本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。
一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。
1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。
超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。
2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。
超几何分布——精选推荐
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这种抽样检查⽅法等于⽆放回抽样。
数学上不难证明，N--⽆穷，limC(k,M)*C(n-k,N-M)/C(M,N)=B(n,p) (⼆项分布) 因此，在实际应⽤时，只要N>=10n，可⽤⼆项分布近似描述不合格品个数。
也就是已经知道某个事件的发⽣概率，判断从中取出⼀个⼩样本，该事件以某⼀个机率出现的概率问题。
例⼦：假设细胞中有某种现象以90%的⼏率在发⽣着，被我们的三次实验抓到三次的⼏率是多⼤呢？不过可惜的是我们往往不能知道某个事件发⽣的先验的概率。
不过⾄少可以拿来做假设检验吧。
编辑本段定义在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k 则P(X=k)此时我们称随机变量X服从超⼏何分布（hypergeometric distribution）1）超⼏何分布的模型是不放回抽样2）超⼏何分布中的参数是M,N,n上述超⼏何分布记作X~H(n，M，N)。
编辑本段应⽤例：在⼀个⼝袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为⽩球，这些球除颜⾊外完全相同.游戏者⼀次从中摸出5个球.摸到4个红球就中⼀等奖，那么获⼀等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超⼏何分布模型。
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超几何分布的期望和方差
山西大学附属中学 韩永权 **************
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件
{}X k =发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M
n
N
C C P X k k m C --===,
其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *
≤≤∈．称分布列
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布，记作：(,,)X
H n N M 口诀记忆： 总N ，次M ， 取n
1 求证：X 的数学期望()M
E X n
N
= 0
()k n k
m
M N M
n
k N
k E X C C C
--=⋅=∑
11
1
(01)n n k n k
m n m
n M N M M N M M N M M N M N
k m C C C C C C C C C
-------=
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+
⋅⋅
（ 由1
1k k M M k
M C
C --=⋅得）
1
1
2
1111111
()
n n k n k
m n m
n M N M M N M M N M M N M N
M M M M C C C C C C C C C
--------------=
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+
⋅⋅ 0
1
1
2
1
1
1111()n n k n k
m n m
n M N M M N M M N M M N M
N
M
C C C C C C C
C C
--------------=
⋅+⋅+
+⋅+
⋅ 11n n
N N
M
C
C
--=
(由
01
1
n n m
n m
n
M N M M N M M N M N C C C C C C C -----++
+=得)
M n
N = ∴()M
E X n N
= 和二项分布的期望()E X np =一致 2 X 的数学方差:()(1)1M M N n D X n N N N -=-- 证明：由22
()()D X EX EX =-22
()k n k
m
M N M
n
k N
k M n
N
C C C
--=⋅=
-∑
011
222221
(01)
n n k n k
m n m
n M N M M N M M N M M N M N
EX k m C C C C C C C C C
-------=
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+
⋅⋅0
1
1
2
1
1
11111
(12)
n n k n k
m n m
n M N M M N M M N M M N M N
M M k m C C C C MC C MC C C --------------=
⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+
⋅⋅0112
1
1
1111[()n n k n k
m n m
n M N M M N M M N M M N M N
M
C C C C C C C C C
--------------=
⋅+⋅+
+⋅+
⋅
1
1
2
1
11111(01(1)(1))
n n k n k
m n m
M N M M N M M N M M N M k m C C C C C C C C --------------+⋅⋅+⋅⋅+
+-⋅⋅+
-⋅⋅（由
011
n n m
n m
n
M N M M N M M N M N C C C C C C C -----++
+= 和1
1k
k M M k M C C --=⋅得 ）
12
12[(1)]n n n N N N
M
M C C C
----=
+-(1)(1)
(1)
nM n n M M N N N --=
+- ∴22()()D X EX EX =-2(1)(1)()(1)nM n n M M M n N N N N --=
+--(1)1
M M N n n N N N -=-- 和二项分布的方差()(1)D X np p =-相比，多了一项1
N n
N --，当n →∞时，11N n N -→-。