数值分析第章插值法

an x0n an x1n
y0 , y1 ,
a0
a1 xn
an
x
n n
yn ,
（1.4）
系数矩阵为
1
A
1
x0
x1
x0n x1n
,
1
xn
xnn
1
A
x0
x0n
11
x1 （1.5x）n
x1n
x
n n
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称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,由 xi (i 0,1,, n)
an 0,
有理插值：有理分式函数 P( x) Pm ( x)
Qn ( x)
三角插值：三角函数
2.1.2 多项式插值/* Polynomial Interpolation */
➢多项式插值问题 设在区间 [上a,给b]定 个n点 1
a x0 x1 xn b
上的函数值 yi f ( xi )(i ,求0,1次,数, n不) 超过 的多项式n
➢历史背景
插值法是数值分析中的一个古老的分支。
等距节点内插法—隋朝数学家刘焯(公元544-610年) 首先提出的 不等距节点内插法—唐朝数学家张遂(公元683-727年) 首先提出的
插值法在数值积分、数值微分、微分方程数值解、曲 线曲面拟合、函数值近似计算中有着广泛的应用。
以近似计算函数值为例说明插值法的应用。
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2.2 拉格朗日多项式
求 n 次多项式 Pn ( x) a0 a1 x an xn 使得
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j
xi x j
2.1.1 线性插值与抛物插值
➢线性插值 n = 1 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
(x x0 )
y0
f ( xx11)fx(0x0)( x x0 )
两点式
P1( x) =
x x1 x0 x1
y0 +
x x0 x1 x0
y1
我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式.
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基函数法 首先, 线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次
式的一种线性组合.
插值法就是一种最简单的重要方法
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➢插值法
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点 a≤x0 < x1 < … < xn ≤b 处的函数值 y0 = f(x0), y1 = f(x1), … yn = f(xn)，若存 在一简单的函数 P(x)，满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0,1, … n)， 就称P (x) 称为f(x) 的插值函数。
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/* Chapter 2 Interpolation */
2.1 引言 2.2 Lagrange插值 2.3 差商与 Newton插值 2.4 带导数条件的Hermite插值
2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值
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2.1 引言
2.1.1 插值法的提出
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➢函数的插值法的提出背景
实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题： （1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计 算时，计算量会很大； （2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而 我们需要的函数值不在该表格中。
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表 达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
点斜式 P1 ( x)
y0
y1 y0 x1 x0
(x x0 )
y0
f ( xx11)fx(0x0)( x x0 )
两点式
P1( x) =
x x1 x0 x1
点x0 , x1 , … , xn 称为插值节点，区间[a,b]称为插值区 间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
几何意义： P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
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➢插值函数的类型
代数插值：多项式插值
常用
P( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 ,
数≤n的多项式P (x)满足
P (xk)= yk, k=0,1,…,n。
P(x)
但遗憾的是方程组(1.4)是病态方程组,阶数n越高，病态 越严重。为此我们从另一途径寻求获得P(x) 的方法---Lagrange插值和Newton插值。（这两种方法称为基函数法）
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Interpolation polynomial
y0 +
x x0 x1 x0
y1Biblioteka Baidu
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➢抛物插值 二次插值 n = 2
已知 x0 , x1 , x2; y0 , y1 ,y2 , 求 P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使得 P2( x0 ) y0 , P2( x1 ) y1 , P2( x2 ) y2
y0 a0 a1 x0 a2 x02 y1 a0 a1 x1 a2 x12
方程组求解麻烦
y2 a0 a1 x2 a2 x22
➢ 思路：对于线性插值的两种形式解进行适当的分析, 从
中寻求规律得到拉格朗日插值(公式)和牛顿插值(公式).
点斜式 P1 ( x)
y0
y1 y0 x1 x0
基函数的线性组合
对称式L1P(1x()x) =
x x1 x0 x1
y0 +
互异，故
n1
det A ( xi x j ) 0. i, jo i j
因此线性方程组（1.4）的解 a0 , a1 , 存在, a且n 唯一.
➢ 结论
定理1 设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节
点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的，那么存在唯一的次
P (，x ) 使
P( xi ) yi (i 0,1,, n),
（1.3）
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➢ 问题： P(x)是否存在？若存在，是否唯一？如何求？
P( x) a0 a1 x an xn
由插值条件得关于系数 a0 , a1 ,的, an元线n 性 1方程组
a0 a0
a1 x0 a1 x1