ch2a单自由度系统受迫振动

(s)
1
(1s2)2(2s)2
(s)tg112ss2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
2020/10/6 8
若： F(t)F0cost
则： x(t)A co ts()
无阻尼情况：
x(t)
B 1s2
eit
F0 k
1 1s2
eit
2020/10/6 7
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
m xcx kx F 0eit
xF0 ei(t) Aie(t)
k
AF0
1
k (1s2)2(2s)2
受力分析
振动微分方程： m xcx kx F 0eit
2x02为0/10复/6 数变量，分别与 F0 cost 和 F0 sint 相对应 4 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： m xcx kx F 0eit 显含时间 t
非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1s2)2(2s)2
(s)
5Hale Waihona Puke Baidu
0
0.1
4
3
（2）当s>>1（ 0）
2
激振频率相对于系统固有频率很高 1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
0
1
2
3
结论：响应的振幅 很小
2020/10/6 <<振动力学>>
xF0 ei(t) Aie(t)
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
2020/10/6 9
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s) 曲线
x ( t) x 1 ( t) x 2 ( t) x 0 co 0 t x 0 s 0 si 0 t n 1 B s 2 ss i 0 t n 1 B s 2 si tn x 0 co 0 t x 0 0 s si 0 t n 1 B s 2 (s t i s s n i 0 t) n
1 1 2
s
0
0
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
xF0 ei(t) Aie(t)
k
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s) 180
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)tg112ss2
90
相频特性曲线
（1）当s<<1（ 0）
s
00
1
2
3
相位差 0 位移与激振力在相位上几乎相同
2020/10/6 12
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1s2)2(2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
（4）当 s 1 0
2
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
当 0
(s)
0 0
0.25 0.375
0.5 1
1
2
s
3
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，
k
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1s2)2(2s)2
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
(s)
5 4 3 2 1 0
0
0
0.1
0.25 0.375
0.5 1
1
2
s
3
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
(1) s < 1 (0) (T T0)
稳态受迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环
(2) s > 1 (0) (T T0)
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态受迫振动完成多个循环
受迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
受迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动
即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生
实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会 逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应
2020/10/6 27
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
例： 计算初始条件，以使 m xkx F0si nt
的响应只以频率 振动
(s)
5 4 3 2 1 0
0
0
0.1
0.25 0.375
0.5 1
1
2
s
3
xF0 ei(t) Aie(t)
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1s2)2(2s)2
(s)
5
0
0.1
4
（6）当 1/ 2
1
3
2
振幅无极值
1
0 0
0.25 0.375
0.5 1
x(0)c20
B 1s2
c2
x0
0
Bs
1
s2
x ( t) x 1 ( t) x 2 ( t) x 0 co 0 t x 0 s 0 si 0 t n 1 B s 2 ss i 0 t n 1 B s 2 si tn
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
2020/10/6 <<振动力学>>
增加阻尼使振幅明显下降
2020/10/6 <<振动力学>>
xF0 ei(t) Aie(t)
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1s2)2(2s)2
（5）对于有阻尼系统， max并不
出现在s=1处，而且稍偏左
d 0 ds
s 122
max 2
1
12
2020/10/6 <<振动力学>>
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应 本节内容
2020/10/6 5
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： m xcx kx F 0eit
设： xxeit
x ：稳态响应的复振幅
代入，有： xH()F0
H()
0
t
2/
2020/10/6 25
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解
m x(x0)kxx0，Fx0(s0i)ntx0＝
xx(0)02xx0，0x(0)
＋
x0
xx(0)02x0， xB(0)02si0nt
通解：
x x2 1((tt)) x1 0 cB so2 s ss0ti n 0 xt00 s1 iB ns2 0tsi n t
x(t)x1(t)x2(t) x 0co 0 t sx 0 0si0 n t 1 B s2ssi0 n t 1 B s2sitn
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
2020/10/6 26
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
m xkx F0si nt
x(0) x0 x(0) x0
B F0 k
解：
s 0
x m ( t) x x k 1 ( t) x F x 2 0( t s) ix n0 tc 的全o 0 t 解 ：x 0 s 0 si 0 t n 1 B s 2 ss i 0 t n 1 B s 2 s i tn
如果是零初始条件
x (t) x 1 (t) x 2 (t) 1 B s 2ssi0 tn 1 B s 2sitn
自由伴随振动 强迫响应
2020/10/6 23
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
零初始条件
Bs B
x (t) x 1 (t) x 2 (t) 1 s 2si0 tn 1 s 2sitn
从左到右：
0 .4 , 1 .0, 1 1 .6 0
0
0
2020/10/6 18
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
2020/10/6 19
<<振动力学>>
（2）当s>>1（ 0）
位移与激振力反相
（3）当 s 1
0
共振时的相位差为
2
，与阻尼无关
2020/10/6 <<振动力学>>
xF0 ei(t) Aie(t)17
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： 0 1
外部作用力规律：
F(t)F0cost
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加
回顾：
m xcx kx F 0eit 显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
齐次通解
非齐次特解
c1、c2 初始条件决定
2020/10/6 21
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
m xkx F0si nt
x(0) x0 x(0) x0
x(t) c 1co0 t sc2si0 n t 1 B s2sitn
x(0) x0 x(0) x0
c1 x0
2020/10/6 <<振动力学>>
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应
20
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
考虑无阻尼的情况
正弦激励
m xkx F0si nt
x(0) x0 x(0) x0
x0 2xB0 2si nt
B F0 k
s 0
通解： x(t) c 1co0 t sc2si0 n t 1 B s2sitn
2020/10/6 3
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t)
F (t)
x
弹簧－质量系统
设 F(t)F0eit F 0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
k x cx
实部和虚部分别与 F0 cost和 F0 sint 相对应
1
km2ic
复频响应函数
0
k m
c
2 km
振动微分方程：
x 20x 0 2xB0 2 ei t静变形
B
F0 k
引入：s 0
则：
H()1 k[(1 1 s2s)222(2ssi)2]
1 k
e i
(s)
1
(1s2)2(2s)2
(s)tg112ss2
2020/10/6 振幅放大因子
<<振动力学>>
x (t )
2 / 0
x (t )
2/
0
2/ 2020/10/6 <<振动力学>>
0
t
t
稳态响应
全响应
2 / 0
24
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
零初始条件
Bs B
x (t) x 1 (t) x 2 (t) 1 s 2si0 tn 1 s 2sitn
x (t )
2 / 0
1
2
s
3
2020/10/6 15
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1s2)2(2s)2
Q Q/ 2
记：
Q
s1
1
2
品质因子
2
在共振峰的两侧取与 Q/ 2
对应的两点 1 ， 2
21 带宽
Q与 有关系 ：
2020/10/6 <<振动力学>>
Q 0
(s)
1
(1s2)2(2s)2
(s)
5 4
3
0 0.1
0.25
幅频特性曲线
0.375
2
0.5
简谐激励作用下稳态响应特性： 1
1
s
（1）当s<<1（ 0）
0
0
1
2
3
激振频率相对于系统固有频率很低
1
2020/10/6 <<振动力学>>
结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当
xF0 ei(t) Aie(t10)
相位差 6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
m xcx kx F 0eit
xxeit xH()F0
B F0
(s) k 1 (1s2)2(2s)2
H ()k 1[(1 1 s2s)2 2 2 (2ss)i2]k 1ei
(s)tg112ss2
x F0 ei(t)
k
Aei(t)
AB 稳态响应的实振幅
单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
2020/10/6 2
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
特点：以系统
固有频率为振
动频率
22
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
x ( t) x 1 ( t) x 2 ( t) x 0 co 0 t x 0 s 0 si 0 t n 1 B s 2 ss i 0 t n 1 B s 2 si tn
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应