人教数学必修三课件-22用样本估计总体三
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最新-2021年高中数学人教A版必修三课件：2.2 222 用样本的数字特征估计总体的数字特征 精品
第二章 统 计
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数 字特征
第二章 统 计
1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差． 2. 理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法． 3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：在一组数据中，出现_次__数__最多的数据(即频率分布最 大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数． 若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样， 则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样 多，则没有众数．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的 平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的 面积求和即可． 所 以 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.024×10) ＋ 95×(0.016×10)＝76.2.
1.样本数为 9 的四组数据，它们的平均数都是 5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )
A．第一组
B．第二组
C．第三组
D．第四组
解析：选 D.法一：第一组中，样本数据都为 5，标准差为 0；
第二组中，样本数据为 4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差
为 36；第三组中，样本数据为 3，3，4，4，5，6，6，7，7， 标准差为235；第四组中，样本数据为 2，2，2，2，5，8，8， 8，8，标准差为 2 2，故标准差最大的一组是第四组．
【解】 (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17
10 ＝15(岁)，
中位数为 15 岁，众数为 15 岁．
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数 字特征
第二章 统 计
1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差． 2. 理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法． 3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：在一组数据中，出现_次__数__最多的数据(即频率分布最 大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数． 若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样， 则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样 多，则没有众数．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的 平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的 面积求和即可． 所 以 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.024×10) ＋ 95×(0.016×10)＝76.2.
1.样本数为 9 的四组数据，它们的平均数都是 5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )
A．第一组
B．第二组
C．第三组
D．第四组
解析：选 D.法一：第一组中，样本数据都为 5，标准差为 0；
第二组中，样本数据为 4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差
为 36；第三组中，样本数据为 3，3，4，4，5，6，6，7，7， 标准差为235；第四组中，样本数据为 2，2，2，2，5，8，8， 8，8，标准差为 2 2，故标准差最大的一组是第四组．
【解】 (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17
10 ＝15(岁)，
中位数为 15 岁，众数为 15 岁．
人教A版高中数学必修三课件高一：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征.pptx
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
-2-
目标导航
Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
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题型一 题型二 题型三 题型四
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Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
-2-
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典例透析
IANLITOUXI
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
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方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
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典例透析
IANLITOUXI
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?
【精编】人教A版高中数学必修三课件第1部分第二章2.22.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件-精心整
答案：B
6．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如 下的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数． (2)这50名学生的平均成绩．
解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的 数．在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为75. 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线 所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为0.3.
(2)中位数： 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最位中置间的 那个数称为这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中 位数左边和右边的直方图的面积． 相等 ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排 列的那中个间数． ②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两 个数的．平均数
(3)平均数：
管理 高级
人员 经理
工人 学徒 合计
人员 技工
周工资 2 200 250 220 200 100 2 970
(元)
人数 1
6 5 10 1 23
合计 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数． (2)这个问题中，平均数能客观地反映该公司的工资水平 吗？为什么？ [思路点拨] 由平均数的定义 → 计算平均数 → 已知数据从小到大排列 → 得中位数、平均数 → 结论
如果有 n 个数 x1、x2、…、xn，
那么 x ＝
1 n
(x1＋x2＋…＋xn) ，叫做这
n
个数的平均
数．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的 面积 乘以小矩形底边中点横坐标之和.
6．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如 下的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数． (2)这50名学生的平均成绩．
解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的 数．在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为75. 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线 所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为0.3.
(2)中位数： 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最位中置间的 那个数称为这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中 位数左边和右边的直方图的面积． 相等 ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排 列的那中个间数． ②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两 个数的．平均数
(3)平均数：
管理 高级
人员 经理
工人 学徒 合计
人员 技工
周工资 2 200 250 220 200 100 2 970
(元)
人数 1
6 5 10 1 23
合计 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数． (2)这个问题中，平均数能客观地反映该公司的工资水平 吗？为什么？ [思路点拨] 由平均数的定义 → 计算平均数 → 已知数据从小到大排列 → 得中位数、平均数 → 结论
如果有 n 个数 x1、x2、…、xn，
那么 x ＝
1 n
(x1＋x2＋…＋xn) ，叫做这
n
个数的平均
数．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的 面积 乘以小矩形底边中点横坐标之和.
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》人教版高中数学必修三PPT课件(第2.2.2课时)
知识探究
知识迁移
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性. 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
s甲=2，s乙=1.095.
人教版高中数学必修3
第2章 统计
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知识探究
知识探究（二）：标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算， 不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息， 但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时， 使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样 本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
平均数是2.02. 平均数与中位数相等，是必然还是巧合？
知识探究
思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973， 这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？ 频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关. 注:在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并 由此估计总体特征.
分情况如下：
甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，
36，36，37，39，44，49.
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，
28，38，39，51，31，29.
问题提出
甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，
人教A版高中数学必修三课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1.pptx
s甲=1.73，s乙=1.10.
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙<s甲，这表 明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可
以选乙参赛。 （3）标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差得0， 这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与 平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波 动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述了数 据对平均数的离散程度。
解2：打开Excel工作表，在一列输入数据，如将10个数据输入A1 到A10单元格中.（1）利用求和∑计算它们的和；（2）用函数 AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数；（3）用函数VARPA(A1:A10) 求它们的方差；（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们的标准差.
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；
二、众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩 形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题 中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均 用水量的众数是2.25t.如图所示：
频率分布直方图如下：
频率 组距
众数（最高的矩形的中点）
计算标准差的算法：s
1 n
[( x1
x
)2
(
x2
x
)2
(xn x )2 ]
S1算出样本数据的平均数x； S2算出每个样本数据与样本平均数的差 xi x
（i=1，2，……，n）； S3算出（(ix=i 1，x )22 ，…，n）； S4算出（i( x=i1，x2) 2，…，n）这n个数的平均数，即为样本方 差s2；
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙<s甲，这表 明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可
以选乙参赛。 （3）标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差得0， 这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与 平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波 动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述了数 据对平均数的离散程度。
解2：打开Excel工作表，在一列输入数据，如将10个数据输入A1 到A10单元格中.（1）利用求和∑计算它们的和；（2）用函数 AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数；（3）用函数VARPA(A1:A10) 求它们的方差；（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们的标准差.
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；
二、众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩 形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题 中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均 用水量的众数是2.25t.如图所示：
频率分布直方图如下：
频率 组距
众数（最高的矩形的中点）
计算标准差的算法：s
1 n
[( x1
x
)2
(
x2
x
)2
(xn x )2 ]
S1算出样本数据的平均数x； S2算出每个样本数据与样本平均数的差 xi x
（i=1，2，……，n）； S3算出（(ix=i 1，x )22 ，…，n）； S4算出（i( x=i1，x2) 2，…，n）这n个数的平均数，即为样本方 差s2；
人教版高中数学必修三课件：2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
频率分布直方图如图所示.
考点类析
(3)分析频率分布直方图,你能得出什么结论? (3)从频率分布直方图可以看出,这50名学生的智力测验成绩大体上呈两头低、中间高, 左右基本对称,说明这50名学生中智力特别好或特别差的占极少数,而智力一般的占多 数,这是一种最常见的分布.
考点类析 变式 从某校随机抽取100名学生, 获得了他们一周课外阅读时间 (单位:小时)的数据,整理得到数 据分组及频数分布表和频率分 布直方图(如图2-2-5):
解:不能.由于频率分布折线图是随着随机抽取的样本、样本容量和分组情况的 变化而变化的,因此不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线.
预习探究
知识点三 茎叶图
1.茎叶图的概念 顾名思义,茎是指 中间 的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.当数据是
两位有效数字 时,用中间的数字表示 十位数 ,即第一个有效数字,旁边的数字表 示 个位数 ,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物的茎上长 出来的叶子,因此,通常把这样的图叫作茎叶图.
预习探究 [讨论] 某中学高三年级从甲、乙两 个班各选出8名学生参加数学竞赛,他 们取得的成绩(满分100分)的茎叶图 如图2-2-3所示,其中甲班学生成绩的 平均分是86,乙班学生成绩的中位数 是83,求x+y的值.
图2-2-3
备课素材
备课素材
(4)频率分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数,而频率分布直方图 则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律,它可 以使我们看到整个样本数据的频率分布. 2.几种表示频率分布的方法的优点与不足 (1)频率分布表在数量表示上比较确切,但不够直观、形象,分析数据分布的总体态势 时不太方便.
高中数学(人教版A版必修三)配套课件：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)
知识点二 中位数 定义 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或 最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 特点 (1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组 数据中的数.(4)在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个 体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值.(5)中位数是样本数据 所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，能更好地反映一组数 据的中等水平， 当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该 组数据的集中趋势比较合适.
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数
都不具有的性质.也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反
映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响
较大，使平均数在估计时可靠性降低.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 众数、中位数和平均数的计算
例 1 样本(x1，x2，…，xn)的平均数为 x ，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为
高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教A版
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
【做一做 4】 一组数据的单位是 m,平均数是������, 标准差为������ , 则( )
A. ������ 与������的单位都是 km B. ������与������的单位都是 cm C. ������与������的单位都是 m D. ������ 与������的单位不同
-5-
2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
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Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
4.标准差 (1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表 示,通常用以下公式来计算.
s=
1 ������
[( ������1 -������ )2 + (������2 -������ )2 + … + (������������ -������)2 ].
������ 1
(2)特征:与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动程 度的大小. (3)取值范围:[0,+∞).
-8-
2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
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Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
知识拓展
数据 x1,x 2,x 3,… ,xn x1+b,x 2+b,… ,xn+b(b 为常数 ) ax1,ax2,… ,axn(a 为常数 ) ax1+b,ax2+b,… ,axn+b (a,b 为常数 )
人教A版高中数学必修三课件2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》(2课时)
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2.2用样本估计总体
2.2.1用样本的数字特征估计总体的数字特征
第2课时标准差
本课主要学习用样本的数字特征估计总体的数字特征的 相关内容，具体包括标准差的意义与计算方法。 本课开始提出问题“只有平均数还难以概括样本数据的 实际状态”，引发学生思考，接着以一个射击案例作为 课前导入，引导学生用平均数以外的量来估计总体，从 而引出标准差的概念以及计算方法。然后通过两个例题 进行系统讲解，并通过一系列习题进行加深巩固。
x5 S=2.83
12 3 45678 (4)
四组数据的平均数都是5.0,标准差分别0.00,0.82,1.49,2.83. 虽然它们有相同的平均数,但是它们有不同的标准差,说明数据 的分散程度是不一样的.
从数学的角度考虑 ， 人们有时用标准差的平 方s2 方差
来代替标准作为测量样 本数据分散程度的工具 :
解:依题意计算可得
=90X01=900
X2
s1≈23.8s2≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但甲的标准差比乙的 小,所以甲的生产比较稳定.
2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋的标准 重量是500g，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白糖的 重量（单位：g）如下：
486 495 496 498 499 498 484 497 504 489 499 503 509 498 487
解:用计算器计算可得: x甲 25.4005, x乙 25,4008;
s甲 0.038, s乙 0.074
1.农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年 的平均产量如下（单位是：500g）：
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2.2用样本估计总体
2.2.1用样本的数字特征估计总体的数字特征
第2课时标准差
本课主要学习用样本的数字特征估计总体的数字特征的 相关内容，具体包括标准差的意义与计算方法。 本课开始提出问题“只有平均数还难以概括样本数据的 实际状态”，引发学生思考，接着以一个射击案例作为 课前导入，引导学生用平均数以外的量来估计总体，从 而引出标准差的概念以及计算方法。然后通过两个例题 进行系统讲解，并通过一系列习题进行加深巩固。
x5 S=2.83
12 3 45678 (4)
四组数据的平均数都是5.0,标准差分别0.00,0.82,1.49,2.83. 虽然它们有相同的平均数,但是它们有不同的标准差,说明数据 的分散程度是不一样的.
从数学的角度考虑 ， 人们有时用标准差的平 方s2 方差
来代替标准作为测量样 本数据分散程度的工具 :
解:依题意计算可得
=90X01=900
X2
s1≈23.8s2≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但甲的标准差比乙的 小,所以甲的生产比较稳定.
2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋的标准 重量是500g，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白糖的 重量（单位：g）如下：
486 495 496 498 499 498 484 497 504 489 499 503 509 498 487
解:用计算器计算可得: x甲 25.4005, x乙 25,4008;
s甲 0.038, s乙 0.074
1.农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年 的平均产量如下（单位是：500g）：