导数计算(1)
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，导数的计算方法对于求解各种问题具有重要的意义。
本文将介绍导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的几何意义以及常见函数的导数计算方法。
首先，我们来看一下基本的导数公式。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，即函数f(x)的导数。
常见的基本导数公式包括：1.常数函数的导数，如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
2.幂函数的导数，对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数，指数函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的导数为f'(x)=a^x ln(a)。
4.对数函数的导数，对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))。
5.三角函数的导数，常见三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
这些基本的导数公式是我们计算导数时的基础，掌握这些公式能够帮助我们更快更准确地计算各种函数的导数。
其次，我们来谈谈导数的几何意义。
在几何学中，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
具体地说，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么它在该点的导数f'(x)就是函数图像在该点处切线的斜率。
这意味着导数可以帮助我们理解函数图像在不同点处的变化情况，从而更好地理解函数的性质和特点。
最后，我们来讨论一些常见函数的导数计算方法。
对于常见的函数，我们可以利用基本导数公式和导数的性质来计算它们的导数。
例如，对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以根据它们的导数公式来计算它们的导数。
此外，我们还可以利用导数的性质，如导数的和、差、积、商规则，来简化导数的计算过程，从而更快更准确地求得函数的导数。
总之，导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的计算公式
导数的计算公式
导数的计算公式是微积分中的重要概念之一。
导数描述了函数在某一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
对于函数f(x)，它的导数可以用以下公式表示：
f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h
其中，f'(x) 表示函数f(x) 的导数，h 表示自变量x 的增量。
这个公式也可以写成更常见的形式：
f'(x) = df(x) / dx
其中df(x) 表示函数f(x) 在微小增量dx 内的变化量。
除了上述基本的导数计算公式，还有一些常见函数的导数公式可以简化计算。
以下是一些常见函数的导数公式：
1. 常数函数：
如果f(x) = c（其中c 是常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数：
如果f(x) = x^n（其中n 是常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：
如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
4. 对数函数：
如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5. 三角函数：
- sin(x) 的导数为cos(x)。
- cos(x) 的导数为-sin(x)。
- tan(x) 的导数为sec^2(x)（sec(x) 是secant 函数，为1/cos(x)）。
这些是一些常见函数的导数公式，还有更多函数的导数公式，可以通过微积分教材或在线资源进一步学习。
导数的定义及计算
导数的定义及计算导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在某一点的变化率或斜率。
在本文中，我们将介绍导数的定义及计算方法，并通过一些具体的例子来加深理解。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以用以下极限定义表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限操作，h表示自变量x的变化量，也可以解释为一个无限小的增量。
根据这个定义，我们可以得出导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率。
二、导数的计算方法1. 基本导数公式导数有一些基本的计算公式，这些公式可以帮助我们计算各种类型函数的导数。
下面是一些常用的基本导数公式：- 常数函数导数：常数函数的导数为0。
- 幂函数导数：幂函数f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = n*x^(n-1)。
- 指数函数导数：指数函数f(x) = a^x（其中a>0且a≠1）的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。
- 对数函数导数：对数函数f(x) = ln(x)（其中x>0）的导数为 f'(x) = 1/x。
- 正弦函数导数：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为 f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数导数：余弦函数f(x) = cos(x)的导数为 f'(x) = -sin(x)。
通过运用这些基本导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的运算法则导数还具有一些运算法则，这些法则可以简化导数的计算过程。
下面是导数的运算法则：- 和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。
- 积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) +f(x)·g'(x)。
导数的概念与计算
专题五 导数及其应用
1.求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)
(2) y＝csions xx；
(3) y＝exln x；
(4) y＝(1＋sin x)2.
解：(1) y＝6x3－5x2－4x，所以 y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝－sins2ixn－2xcos2x＝－sin12x.
A．y＝0
B．y＝2x
C．y＝x
D．y＝－2x
3．已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)
的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为________．
4．若函数 f(x)＝lnxx，则 f′(2)＝___________．
5．若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐 标是_______________．
(3)0gf（3（xx））u对′x ＝f_′__（__x_）__g_（_[_gx_（）__x－_0）_f4_（]_2_x_）y_u_g′_·′u（_x_′x_）(g(x)≠0)．
4．复合0函5 数y的对u导数
06
专题五 导数及其 应用
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间
作业：
1．(选修 2-2 P18 练习 T2(4)改编)函数 y＝xcos x－sin x 的导
数为( )
02
A．xsin x
专题五 导数及其应用
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
01
解析：y′＝xB′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos
高考数学计算题型精练(新高考通用版)专题03 导数计算(解析版)
导数计算1．求下列函数的导数：(1)cos sin cos xy x x -=；(2)221e x y x +=.【答案】(1)()21sin cos x x --；(2)()222141exx ++【详解】（1）()()()()22sin sin cos cos sin cos 1sin cos sin cos x x x x x xy x x x x ---+'==---；（2）()()22221221221e 21e 41e xx x y x x x +++''=++=+.2．求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=；(4)()f x =；【答案】(1)84x -(2)441x -(3)3232ln2x +⨯【详解】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '==3．求下列函数的导数：(1)32235y x x =-+；(2)241y x x =++；(3)2log y x =；(4)e n xy x =；(5)31sin x y x-=；(6)sin sin cos xy x x=+．【答案】(1)266x x -(2)()22241x x ----+(3)1ln 2x (4)()1e n xx n x -+(5)()2323sin 1cos sin x x x x x--(6)11sin 2x+【详解】（1）()()32223566y x x x x ''''=-+=-.（2）()()()22242411y x x x x ''--'=+=+++()22241x x --=--+.（3）()21log ln 2y x x ''==.（4）()()()11e e e e e n x n x n x n x n x y x x nx x x n x --'''=+=+=+.（5）()()()()33321sin 1sin 1sin sin x x x x x y x x '''---⎛⎫-'== ⎪⎝⎭()2323sin 1cos sin x x x x x --=.（6）()sin sin cos x y x x ''=+()()()()2sin sin cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x ''+-+=+()()()2cos sin cos sin cos sin sin cos x x x x x x x x +--=+()2111sin 2sin cos x x x ==++．4．求下列函数的导数：（1）1)1y ⎫=+-⎪⎭；（2）3ln (0,1)x y x a a a =+>≠；（3）sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）2ln(23)1x y x +=+.【答案】（1）11y x ⎫'=+⎪⎭；（2）3ln (0xy a a a x '=+>且1)a ≠；（3）1sin 42cos 42y x x x --'=；（4）y '()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++【详解】（1）1)11y ⎫==-=⎪⎭，11y x '⎛⎫'∴===+⎪⎭⎝.（2）()'33ln ln (0,1)xxy x aa a a a x=+=+>≠'.（3）11sin 2cos 2sin(4)sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，111sin 44cos 4sin 42cos 4222x x x x x x y '∴=--⋅=--.（4）()()()2222[ln(23)]1ln(23)11x x x x y x ''++-++'=+()()222(23)12ln(23)231x x x x x x '+⋅+-++=+()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++.5．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；（3）sin cos 22x y xx =-；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln +='+x y x x ；（3）11cos 2y x '=-.【详解】（1）因为23cos =+y x x ，所以6sin =-'y x x ；（2）因为()1ln =+y x x ，所以1ln +='+x y x x；（3）因为1sin cos sin 222y x x x x x =-=-，所以11cos 2y x '=-；6．求下列函数的导数．（1）22y x x -=+；（2）2ln 1xy x =+【答案】（1）322y x x -=-'；（2）()()22112ln 1x x xy x-+'=+【详解】（1）322y x x -=-'；（2）()()()()()22222212ln ln 1ln 111x x xx x x x x y xx ⎛⎫+-'' ⎪+-+⎝⎭'==++()()()2222112ln 12ln 11x x x x x x x x x -+-+==++.7．求下列函数的导数：（1）2()(1sin )(1)f x x x =+-；（2）()31x xf x x =-+.【答案】（1）()2cos 12(1sin )x x x x --+；（2）213ln 3(1)x x -+.【详解】（1）22()(1sin )(1)(1sin )(1)f x x x x x '''=+-++-2cos (1)(1sin )(2)x x x x =-++-()2cos 12(1sin )x x x x =--+（2）()((3)1x xf x x '''=-+2()(1)(1)3ln 3(1)x x x x x x ''+-+=-+213ln 3(1)x x =-+.8．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x =（2）cos(21).x y x+=【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+（2）()22sin 21cos(21).x x x y x -+-+'=【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x xx =+22log (3)ln 2xx x =+.(2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.9．求下列函数的导数：(1)111x y x x+=+-；(2)ln(21)y x x =+．【答案】(1)22221(1)x x y x x +-'=-(2)2ln(21)21xy x x '=+++．【详解】(1)2222(1)(1)(1)121(1)(1)x x y x x x x --+⨯-'=-=---22221(1)x x x x +-=-；(2)12ln(21)2ln(21)2121xy x x x x x '=++⋅⋅=++++．10．求下列函数的导数：(1)()ln 21x y x+=；(2)()ln 25y x =-；(3)sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)()()()2221ln 2121x x x y x x-++'=+(2)225y x '=-(3)1sin 42cos 42y x x x --'=【详解】（1）()()()()()2221ln21ln 21ln 21ln 2121x x x x x x x x x y x x x '+'⋅-+''+-+⎡⎤+⎡⎤⎣⎦+'===⎢⎥⎣⎦()()()()222ln 21221ln 212121xx x x x x x x x -+-+++==+．（2）令25u x =-，ln y u =，则()112ln 222525y u u u x x '''=⋅=⋅=⋅=--．（3）因为()11sin 2cos 2sin 4sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11111sin 4sin 4sin 44cos 4sin 42cos 422222y x x x x x x x x x x''⎛⎫⎛⎫=-+-=--⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'．11．求下列函数的导函数．(1)324ln 1y x x x =+-+；(2)24cos 2xy x -=+；(3)21e sin +=x y x ．【答案】(1)21122x x x +-(2)()()2222sin 2cos 82x x x x x x ++-+(3)()212sin cos e x x x ++【详解】（1）'21122y x x x=+-；（2）()()()()()22'2222sin 224cos 2sin 2cos 822x x x x xx x x xy xx+--++-==++；（3）()'2121212e sin e cos 2sin cos e x x x y x x x x +++=+=+.12．求下列函数的导数.（1）(11y⎛=+ ⎝；（2）ln xy x=.【答案】（1）'y =，（2）'21ln x y x -=【详解】解：（1）因为(11221111y x x-⎛=+==- ⎝，所以31'22211111)22222x y x x x --+=--=-=-，（2）由ln x y x =，得'21ln x y x -=13．求下列函数的导数：(1)5log 2y x =；(2)8x y =；(3)cos 2y x =；(4)()432y x =．【答案】(1)1ln 5y x '=(2)8ln8x y '=(3)2sin 2y x '=-(4)1013323y x =【详解】（1）555log 2log 2log x x =+ 1ln 5y x '∴=（2）8ln8x y '=（3）令2,t x =则cos y t =()()()cos 2cos 2sin 22sin 2x t x y y t x t x t x''''''∴=⋅⇒=⋅=-⨯=-，故2sin 2y x '=-（4）()10444414313333334222233y x x y xx -'==⋅∴=⨯= 14．求下列函数的导数：（1）8y x =；（2）4x y =；（3）3log y x =；（4）sin(2y x π=+；（5）2e y =.【答案】（1）'78y x =；（2）'4ln 4x y =⋅；（3）'1ln 3y x =⋅；（4）'sin y x =-；（5）'0y =.【详解】（1）8y x =,'78y x =；（2）4x y =，'4ln 4x y =⋅；（3）3log y x =,'1ln 3y x =⋅；（4）sin()cos 2y x x π=+=，'sin y x =-；（5）2e y =，'0y =.15．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)ln y x =；(5)cos y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x'=-(3)3ln 3xy '=(4)1y x '=(5)sin y x '=-【详解】（1）()121112y x x ''==（2）()4545144y x x x x --'⎛⎫''===-=- ⎪⎝⎭（3）()ln 333x x y ''==（4）()1ln y x x''==（5）()cos sin y x x''==-16．求下列函数的导函数(1)4235+6y x x x =--；(2)21y x x=+；(3)2cos y x x =；(4)tan y x =【答案】(1)3465y x x =--'；(2)321y x '=-；(3)22cos sin y x x x x -'=；(4)21cos y x'=【详解】（1）由4235+6y x x x =--，则3465y x x =--'；（2）由21y x x =+，则321y x '=-；（3）由2cos y x x =，则22cos sin y x x x x -'=；（4）由sin tan cos x y x x ==，则2222cos sin 1cos cos x x y x x+'==.17．求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+；（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈；（4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x =；（6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+(2)2()2f x x x a'=-+(3)()sin 1f x x '=-+(4)1()23f x x x'=--+(5)cos y x '=(6)22(1)y x '=--【详解】解：（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.18．求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）cos x y e x =；【答案】（1）y ′＝18x 2＋4x －3；（2）y ′＝ex (cos x －sin x ).【详解】（1）2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843y x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=+-，（2）()cos (cos )cos sin (cos sin )x x x x x y e x e x e x e x e x x '''=+=-=-.19．求下列函数在指定点处的导数．(1)()πf x x =，1x =；(2)()sin f x x =，π2x =．【答案】(1)π(2)0【详解】(1)解：因为()πf x x =，所以()1f x x ππ-'=，所以()1f π'=.(2)解：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭.20．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)5log y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x '=-(3)3ln3xy '=(4)1=ln5y x '【详解】（1）12y x =，则1112y x '=（2）441y x x -==，则41544y x x --'-==-（3）3x y =，则3ln3x y '=（4）5log y x =，则1=ln 5y x '21．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln 1y x x'=++【详解】解：（1）因为23cos =+y x x所以()()23cos 6sin y x x x x '''=+=-，即6sin =-'y x x（2）因为()1ln =+y x x所以()()()()111ln 1ln ln 1ln 1y x x x x x x x x x '''=+++=++⋅=++，即1ln 1y x x'=++22．求下列函数的导数.(1)()()22331y x x =+-；(2)1sin 1cos xy x-=+.【答案】(1)21849y x x '=-+(2)21cos sin (1cos )'--+=+x x y x 【详解】（1）解：因为326293y x x x =-+-，所以21849y x x '=-+（2）()()2cos (1cos )1sin sin (1cos )x x x x y x -+---=+'，21cos sin (1cos )x xx --+=+.23．求下列函数的导数.(1)()()ln sin f x x x x =+；(2)()()521exx f x +=.【答案】(1)()ln sin cos 1f x x x x x '=+++(2)()()()42192e xx x f x +-'=【详解】（1）()()()1ln sin ln sin ln sin cos f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+++=+++ ⎪⎝⎭ln sin cos 1x x x x =+++.（2）()()()()()()454525e 212121e 102121e e x x x xx x x x x f x '++-++-+'==()()()()442110212192e ex xx x x x +--+-==.24．求下列函数的导数：(1)()2sin 2x f x x x=+(2)()()3e ln 24xf x x =+【答案】(1)()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x x x +-+'=+(2)()()33e 3e ln 224xxf x x x =+++'【详解】（1）()2sin 2xf x x x=+，()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x xx +-+'=+（2）()()3e ln 24xf x x =+，()()()3333e 3e ln 242242e 3e ln 24x xxxx f x x x x '=++++=++.25．求下列函数的导数：(1)()f x =(2)()cos 21x y x+=.【答案】(1)21x x +(2)()()22sin 21cos 21x x x x -+-+（2）求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+ .【详解】（1）因为()f x =所以()()122'211221x x x f x x -+⋅===+'.（2）()()()'2cos 21cos 21x x x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦''=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.26．求下列函数的导函数.(1)()()22331y x x =+-；(2)233x y x +=+.【答案】(1)21849x x -+(2)()222633x x x--++【详解】（1）()()22331y x x =+- ，()()()()()()2222233123314313231849y x x x x x x x x x '''∴=+-++-=-++=-+；（2）233x x y +=+ ，()()()()()()()()()2222222222333332363333x x x x x x x x x xxxy ''∴++-+++-+--+=='=+++.27．求下列函数的导数:(1)32234y x x =--；(2)ln xy x=.【答案】(1)266x x -(2)21ln x x -【详解】（1）322(2)(3)(4)66y x x x x ''''=--=-（2）()2221ln ln ln ()1ln x xx x x x x x y x x x ⋅-''⋅-⋅-'===28．求下列函数的导数：(1)31x x y e-=(2)ln(52)y x =+(3)cos(21)x y x +=【答案】(1)3231e x x x y -+'+=(2)552y x '=+(3)22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-【详解】（1）∵31xx y e-=，则()()()()()()''333232221e 1e 31e 31e e e x xxxx xx x xx x x y ----++-++==='，故3231e xx x y -+'+=.（2）设52u x =+，则ln ,52u y u u x ==+，则()()()()''''15ln 52552u y y u u x u x '==+=⨯=+，故552y x '=+.（3）∵cos(21)x y x+=，则[]()2222sin(21)cos(21)2sin(21)cos(cos(21)cos 2121)x x x x x x y x x x x x x x ''+⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'==-+-++++=-，故22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-.29．求下列函数的导数.(1)n 1l y x x =+;(2)sin cos 22x y x x =-；(3)cos ex xy =【答案】(1)211y x x '=-.(2)11cos 2y x '=-(3)sin cos e x x x y +'=-.【详解】（1）22111(ln )(y x x x x''=+=-；（2）由已知1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-；（3）22(cos )e cos (e )sin e cos e sin cos (e )e e x x x x x x xx x x x x xy ''--⋅-⋅+'===-．30．求下列函数的导数：(1)21y x x=+；(2)e sin x y x =；(3)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()e sin cos x y x x '=+(3)y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x（2）解：()()()e sin e sin e sin e cos e sin cos x x x x x y x x x x x x '''=+=+=+（3）解：()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .31．()2ln 3=+y x x x ．【答案】y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】()()22ln 3ln 3y x x x x x x '⎡⎤''=+++⎣⎦()()221ln 3233x x x x x x =++⋅⋅++()223ln 33x x x x +=+++.32．21y x x =+；【答案】312y x -=-'【详解】221y x x x x-=+=+，()2312y x x x --'''=+=-.33．求下列函数的导数(1)2(2)(31)y x x =-+；(2)2cos 2x y x=【答案】(1)2272411y x x '=--(2)y '222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=【详解】（1）因为2232(2)(31)(2)(961)912112y x x x x x x x x =-+=-++=---，所以()()()32291211272411y x x x x x ''''=--=--（2）222222()cos 2(cos 2)2cos 2(2sin 2)cos 2(cos 2)(cos 2)x x x x x x x x x y x x x '''⎛⎫---'=== ⎪⎝⎭222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=34．求下列函数的导数(1)()2112f x x x x=--；(2)()e ln sin x f x x x =++【答案】(1)()3221x x f x x -+'=；(2)()1e cos xf x x x '=++【详解】（1）解：因为()2112f x x x x =--，则()3222111x x f x x x x -+=-+='.（2）解：因为()e ln sin x f x x x =++，则()1e cos xf x x x'=++.35．求下列函数的导数.(1)ln(21)y x =+；(2)sin cos x y x=；(3)()2ln 1y x x =+；(4)1()23()()y x x x =+++.【答案】(1)221y x '=+；(2)21cos y x ='；(3)()2222ln 11x x xy +++'=；(4)231211y x x =++'.【详解】（1）函数ln(21)y x =+，所以()12212121y x x x '=⋅+=++'.（2）函数sin cos x y x =，所以()()''22222sin cos sin cos cos sin 1cos cos cos x x x x x x y x x x -+=='=.（3）函数2)ln(1y x x =+，所以22222212ln(1(1)())ln 111x x x x x x y x '++⋅⋅+=++++'=.（4）依题意，32123()()()6116y x x x x x x ==++++++，所以231211y x x =++'.36．求下列函数的导函数．(1)()4ln =+f x x x ；(2)()sin cos =-x f x x x；(3)()21e xf x -=．【答案】(1)31()4f x x x '=+；(2)()2cos sin sin x x xf x x x'-=+；(3)21()2e x f x '-=.【详解】（1）31()4f x x x '=+；（2）()2cos sin sin x x xf x x x'-=+.（3）2121(21()e )e 2x x x x f --'==⋅-'.37．求下列函数的导数.(1)y =(2)()()()123y x x x =+++；(3)y =【答案】(1)52322332sin cos 2x x x x x x y ---=-+-+'；(2)231211y x x =++'；(3)()221y x '=-【详解】（1） 13523222sin sin x x x x y x x x x -++==++∴()()3322sin y x x x x --'⎛⎫'''=++ ⎪⎝⎭52322332sin cos 2x x x x x x ---=-+-+.（2） ()()2323236116y x x x xx x =+++=+++，∴231211y x x =++'.（3）21y x===-∴()()()222122111y x x x '-'⨯-⎛⎫=== ⎪-⎝⎭--.38．求下列函数的导数：(1)()()311y x x =--；(2)sin 3y x =；(3)21ex x y +=．【答案】(1)32431y x x =--'；(2)3cos 3y x ='；(3)221e xx x y -+'=-【详解】（1）()()()()()()''3332321111131431y x x x x x x x x x =--+--=-+--'=-；（2）令3u x =，则sin y u =，所以()()''3sin 3cos 3cos3y x u u x =⋅=='；（3）()()()()()()''2222221e 1e 2e 1e 21e e e x xx xxx xxx x x x x y +-+-+-+=='=-．39．求下列函数的导数：(1)πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()2ln 35y x =+．【答案】(1)21πcos 0,cos 2y x x x ⎛⎫'=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()2223563535x x y x x '+'==++【详解】（1）πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22cos cos sin sin sin 1πsin cos cos ,0,cos cos 2cos x x x x x y x x x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫⎛⎫''=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2ln 35y x =+()2223563535x xy x x '+'==++40．求下列函数的导数：(1)21y x x =+；(2)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x ；（2）()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .41．求下列函数的导数．(1)()2ln 2xx f x x +=；(2)()()3ln 45f x x =+．【答案】(1)()312ln ln 222xx x x -+-；(2)1245x +【详解】（1）函数()2ln 2xx f x x +=的定义域为()0+∞，.所以()()()()()()22232ln 2ln 212ln ln 222xxxx x x x x x f x x x ''+-+-+-'==（2）函数()()()3ln 453ln 45f x x x =+=+的定义域为54⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.所以()()'345124545x f x x x +==++'42．求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)2y =(3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【答案】(1)()2(62)cos 321sin x x x x x +-++；(2)132291122x x --+；(3)17118cos x x x+-；(4)()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x ---；(5)()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x +-⋅；(6)21e cos e sin cos x xx x x-+.【详解】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x -==+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x'⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3x xy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.43．求下列函数的导数：(1)2e axbxy -+=；(2)2sin(13)y x =-；(3)y(4)y =(5)2lg sin 2x y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(6)221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【答案】(1)2(2)eax bxax b -+-+(2)6cos(13)x --(3)()()()231cos 2sin 22ln 213x x x x x --+⋅+⋅+(4)cos 2(1sin )x x +(5)22cos 122lg e 2sin 2x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭(6)22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为函数2e axbxy -+=可以看做函数e u y =和2u ax bx =-+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2e u ax bx ''=⋅-+()e 2u ax b =⨯-+2(2)e axbxax b -+=-+；（2）因为函数2sin(13)y x =-可以看做函数2sin y μ=和13u x =-的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2sin 13x μ''=⋅-()2cos 3μ=⨯-6cos(13)x =--；（3）因为函数y =y =()cos 2xu x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅，又因为函数()cos 2xu x =+可以看做函数cos t μ=和2x t x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xt x t μμ'''=⋅所以x u t xy y u t ''''=⋅⋅()()cos2xt x'''=⋅⋅+()()231sin2ln213xtμ-⎛⎫=⨯-⨯+⎪⎝⎭()()()231cos2sin22ln213x x xx x-⎡⎤=+-+⨯+⎣⎦()()()231cos2sin22ln213x x xx x-=-+⋅+⋅+；（4）函数y=()1ln1sin2y x=+因为函数()1ln1sin2y x=+可以看做函数1ln2yμ=和1sinu x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，所以x u xy y u'''=⋅()1ln1sin2xμ'⎛⎫'=⋅+⎪⎝⎭1cos2xμ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭cos2(1sin)xx=+；（5）因为函数2lg sin2xy x⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可以看做函数lgy u=和2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，又因为函数2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭可以看做函数sin tμ=和22xt x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x t xtμμ'''=⋅所以x u t xy y u t''''=⋅⋅()()2lg sin2xt xμ'⎛⎫''=⋅⋅+⎪⎝⎭()11cos2ln102t xμ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22cos122lg e2sin2x xxx x⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅⋅⎪⎛⎫⎝⎭+⎪⎝⎭；（6）函数221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可化为211cos 2e 2x x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，因为函数2221cos e 2xx y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=可以看做函数1cos 2y μ+=和222e xx u +=的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u x y y u '''=⋅，所以xu x y y u '''=⋅21cos 222e xx μ''⎛⎫++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()224e e 221sin 2e x x x x x μ⎡⎤-+⎢⎥=-⋅⎢⎥⎣⎦21242sin 2e x x x μ⎛⎫-+-=-⋅ ⎪⎝⎭22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.44．求下列函数的导数.(1)()()1ln 2y x x =+；(2)21e x y x+=.【答案】(1)y '()1ln 21x x =++(2)212122e ex x x y x ++-='【详解】（1）()()()()()()()111ln 21ln 2ln 21ln 21y x x x x x x x x x'=+++=++⋅=++⎡⎤⎣'⎦'（2）()2121212122e e 2e e x x x x x x x y x x ++++'⋅-⋅-==''45．求下列函数的导数．(1)y =(2)()621e 1x y x -+=-【答案】(1)()241y x -'=-；(2)()()521e 182x y x x -+'=--【详解】（1）2211221x y x ++===-()()()()()22212212211x x x x x y x x '''+--+-+⎛⎫'== ⎪-⎝⎭-()()()()222122411x x x x --+-==--（2）()()()()666212121e 1e 1e 1x x x y x x x -+-+-+'''⎡⎤⎡⎤'=-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()()6552121212e 1e 61e 182x x x x x x x -+-+-+=--+⋅-=--46．求下列函数的导数.(1)52234y x x =--；(2)e sin xy x=.【答案】(1)4106y x x '=-；(2)2e sin e cos sin x x x xy x-'=【详解】（1）()()()5252423423106y x x x x x x ''''-==--=-（2）()()2e sin sin e e sin sin x x xx x y x x '''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭2e sin e cos sin x x x x x -47．求下列函数的导数：(1)2sin y x x =；(2)n 1l y x x=+；(3)tan y x x =⋅；(4)()()()123y x x x =+++；(5)()()22332y x x =+-；(6)cos e xxy =．【答案】(1)22sin cos y x x x x '=+(2)211y x x'=-(3)2tan cos x y x x '=+(4)231211y x x =++'(5)21889y x x '=-+(6)sin cos e xx xy +'=-【详解】（1）()()()2222sin sin sin 2sin cos y x x x x x x x x x x ''''==+=+；（2）()21111ln ln y x x x x x x''⎛⎫⎛⎫''=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222sin cos sin tan tan tan tan tan cos cos x x x y x x x x x x x x x x x x '+⎛⎫'''=⋅=+=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭2tan cos x x x =+；（4）()()()()()()123123y x x x x x x '''=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()123123123x x x x x x x x x '''=+++++++++++()()()()()()231312x x x x x x =++++++++231211x x =++.（5）()()()()()()2222233223324323231889y x x x x x x x x x '''=+-+++=-++=-+；（6）()2cos 1111sin cos cos cos sin cos e e e e e e e x x x x x x xx x x y x x x x ''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫''==+=-⋅+⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
导数的计算公式
导数的计算公式导数是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点的变化率。
它可以通过计算函数的导数来获得，而导数的计算可以通过一些公式来简化。
一、导数的定义设函数 y=f(x)，当自变量 x 在某一点 a 处有定义时，函数 f(x) 在该点的导数可以通过以下极限来定义：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中 h 称为自变量的增量，表示自变量 x 在点 a 处的一个微小变化量。
导数 f'(a) 描述了函数 f(x) 在点 a 处的斜率，即函数图像在该点附近的切线的斜率。
二、常见导数的计算公式在微积分中，有一些常见函数的导数计算公式可以帮助简化导数的计算。
下面列举一些常见导数的计算公式：1. 常数函数导数公式:如果 y=c 是一个常数，那么它的导数为 f'(x)=0，即常数函数的导数为 0。
2. 幂函数导数公式:如果 y=x^n 是一个幂函数，那么它的导数为 f'(x)=nx^(n-1)，即幂函数的导数等于指数与幂减一的乘积。
3. 指数函数导数公式:如果 y=a^x 是一个指数函数，且 a>0 且a≠1，那么它的导数为f'(x)=a^xln(a)，即指数函数的导数等于函数值乘以底数的自然对数。
4. 对数函数导数公式:如果 y=loga(x) 是一个对数函数，且 a>0 且a≠1，那么它的导数为 f'(x)=1/(xln(a))，即对数函数的导数等于常数 1 除以函数自变量 x 与底数的乘积。
5. 三角函数导数公式:(1) sin 函数的导数：f'(x)=cos(x)(2) cos 函数的导数：f'(x)=-sin(x)(3) tan 函数的导数：f'(x)=sec^2(x)(4) cot 函数的导数：f'(x)=-csc^2(x)(5) sec 函数的导数：f'(x)=sec(x)tan(x)(6) csc 函数的导数：f'(x)=-csc(x)cot(x)这些导数的计算公式在微积分中是经常使用的，可以帮助简化复杂函数的求导过程。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念之一，用于研究函数的变化率和曲线的切线斜率。
本文将从导数的定义入手，介绍导数的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义在数学上，给定一个函数y=f(x)，其导数定义为函数在某一点x处的变化率。
导数可以用极限来表示，即：f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，Δx为自变量的增量。
导数的值可以表示函数在该点的切线斜率，即函数曲线在该点处的速率。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面列举几种常见的：1. 基本导数公式对于常见的基本函数，存在一些导数的基本公式，如：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0，其中c为常数；- 幂函数导数为功率减一：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数导数等于自身：d/dx(e^x) = e^x；- 对数函数导数为倒数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
通过应用基本导数公式，可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算规则对于已知的函数f(x)和g(x)，导数的四则运算规则如下：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2以上规则为导数的基本运算规则，可以根据需要进行组合和推广。
3. 链式法则如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以用链式法则来计算。
链式法则可以表示为：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，可以求解更复杂的复合函数的导数，进一步扩展了导数的计算方法。
求导基本公式表
导数是微积分学中的重要概念，它表示一个函数在某一点处的变化率。
导数公式是微积分学中的基本公式之一，用于计算函数的导数。
以下是导数的基本公式表：
1.函数y=kx的导数为y′=k，其中k为常数。
2.函数y=axn的导数为y′=naxn−1，其中a为常数，n为正整数。
3.函数y=loga(x)的导数为y′=x ln a1，其中a为常数且a>0且a=1。
4.函数y=ex的导数为y′=ex。
5.函数y=sin(x)的导数为y′=cos(x)。
6.函数y=cos(x)的导数为y′=−sin(x)。
7.函数y=tan(x)的导数为y′=(sec(x))2。
8.函数y=cot(x)的导数为y′=−(csc(x))2。
9.函数y=sec(x)的导数为y′=tan(x)sec(x)。
10.函数y=csc(x)的导数为y′=−cot(x)csc(x)。
这些公式可以在求解函数的导数时提供帮助。
但是需要注意，对于复杂的函数，可能需要使用更高级的导数公式才能求解其导数。
此外，导数的计算还涉及到一些基本的微积分知识和技巧，例如链式法则、乘法法则、指数函数求导法则等等，需要在学习微积分的过程中逐步掌握。
导数计算
看常见导函数的计算●交流与展示1（1）定义法求导数的步骤（2）导数和导函数的定义2用定义法求一下函数的导函数（1）y=x （2）y=x 2(3)y=x -1(4)y x = (5)2y kx =归纳（1）n y x =的导数（2）y=kf （x ）的导数(3)常数函数的导数●知识梳理法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数等于常数与函数的积的导数．即[]()'()'cf x cf x =法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方， 即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭●精讲点拨，凸显重点例1：求下列函数的导数：（1）37x y = （2）43x y -=（3）3534x x y +=（4）b a b ax x f 、()()(2+=为常数)例2：已知曲线331x y =上一点)382(，P ，求：（1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程.●巩固案，温故知新1、求下列函数的导数：（1）1452+-=x x y （2）333x x y -+=（3）453223-+-=x x x y （4）)3)(2()(x x x f -+=2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。
3若直线y x b =-+为函数1y x=图象的切线,求b 的值和切点坐标.4已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式5 知函数f （x ），g （x ）满足f （5）=5，'f (),()x g x 满足f （5）=5，'(5)3f = g （5）=4，'(5)g =1，求y=()2()f xg x +的图像在x=5处的切线方程。
导数的概念及运算知识点讲解(含解析)
导数的概念及运算一、知识梳理1.函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y x ′＝y u ′·u x ′.知识点小结：1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3C.9D.15解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9. 答案 C3.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ，则f ′(1)＝e.答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e xx ＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12， ∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1. ∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x三、课后练习1.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案 D2.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]3.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 224.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。
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（理）1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式 （文）3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式 ［素养目标］ 1．能根据定义求几个常用函数的导数，从而培养逻辑推理的核心素养． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用，培养数据分析，数学运算的核心素养。 【课前·预习案】 [问题导学] 知识点1. 几个常用函数的导数 [思考1] 用导数的定义求导数的步骤是怎样的？ 【提示】①求函数值的变化量； ②求平均变化率； ③取极值，得导数．
[思考2] 根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x
的导数． 【提示】根据定义可求得几个函数的导数，分别是
y′＝0，y′＝1，y′＝2x，y＝－1x2. 〖梳理〗几个常用函数的导数
知识点2. 基本初等函数的导数公式 [思考3]你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？ 【提示】能，归纳可得y＝xα的导数是y′＝αxα－1.
〖梳理〗 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝α·xα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a>0且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax f′(x)＝1xln a(a>0且a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝1x [达标自评] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)常数函数的导数为它本身．( ) (2)指数函数的导数还是指数函数. ( ) (3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数．( ) 解析：常数函数的导数为0．(1)错；（2）错；指数函数f(x)＝ax (a>0且a≠1)的导数f′(x)＝axlna(a>0且a≠1)，当a＝e时，f′(x)＝ex是指数函数，当ae时f′(x)＝axlna不是指数函数．（3）错. 正弦函数的导数是余弦函数，但余弦函数的导数是正弦函数的相反数．
答案：（1）× （2）× （3）×
函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝1x f′(x)＝－1x2
f(x)＝x f′(x)＝12x 2.下列结论不正确的是( ) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若y＝x12，则y′＝12x12 解析：当y＝x12时，y′＝(x12)′＝(x)′＝12x
＝12x－12. D不正确． 答案：D
3．若y＝cos2π3，则y′＝( )
A．－32 B．－12 C．0 D．12 解析：常数函数的导数为0. 答案：C 4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1 5.曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是________． 解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，∴y＝0，即切点为(0,0)． 答案：(0,0)
【课堂·探究案】 探究一 用求导公式求函数的导数
【例1】求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝xxx；(4)y＝log5x；
(5)y＝cosπ2－x；(6)y＝sin π6；(7)y＝ln x；(8)y＝ex. 【分析】解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导．
(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝1xln 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex. 【方法总结】求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算
难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 【跟踪训练1】给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；②sinπ3′＝cosπ3；
③若y＝1x2，则y′＝－1x；④－1x′＝12xx. 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析： 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sinπ3＝32，而32′＝0，所以②错误；
1x2′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
－
1
x′＝(－x－12 )′＝12x－32 ＝12xx，所以④
正确. 答案：B 探究二 利用导数公式求切线方程 [例2](1)（2018·高考全国高考卷II）曲线2lnyx
在点(1,0)处的切线方程为__________．
(2)在曲线y＝f(x)＝1x2上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解析： (1)由2lnyfxx，得2fxx，
则曲线2lnyx在点1,0处的切线的斜率为12kf，
则所求切线方程为021yx，即22yx． 答案：2x－y－2＝0. (2)设切点坐标为P(x0，y0)，f′(x0)＝－2x－30＝tan 135°
＝－1，即－2x－30＝－1，∴x0＝213 .
代入曲线方程得y0＝2－23， ∴点P的坐标为213 ， 2－23. 【方法总结】利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
【跟踪训练2】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1) 求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
解：（1）∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(2)＝1. 又∵f(2)＝－2， ∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0. （2）设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4). ∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2). 又∵切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)， ∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2).
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1. 当x0＝2时，f′(x0)＝1， 此时所求切线方程为x－y－4＝0； 当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0. 故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0. 探究三 导数的简单综合应用
[例3](1)质点的运动方程是S＝sin t，则质点在t＝π3
时的速度为_____；质点运动的加速度为_____． (2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解析：(1)v(t)＝S′(t)＝cos t，∴vπ3＝cos π3＝12，
即质点在t＝π3时的速度为12. ∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
答案：12 －sin t (2)由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1， 也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 【方法总结】导数的简单应用 (1)导数在物理中的应用：位移对时间t的导数就是速度，速度对时间t的导数即为加速度． (2)导数在函数中的应用：利用导数的几何意义，即切线的斜率建立切点的横坐标与切线斜率之间的关系解决问题. 【跟踪训练3】如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝x(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标及a的值．
解：设切点P(x0，y0)，由直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，得切线l的斜率为 f ′(x0)＝4x0. 由直线l与曲线y＝g(x)也相切于点P，得切线
l的斜率为g′(x0)＝12x0.
由f ′(x0)＝g′(x0)，得4x0＝12x0，解得x0＝14. ∴y0＝x0＝12，即点P的坐标为(14，12)． 由点P(14，12)在曲线y＝f(x)上，得2×(14)2＋a＝12，解得a＝38.
∴点P的坐标为(14，12)，a的值为38.