高等数学(第七版·下册) 同济大学知识点
同济版高数知识点归纳总结大全
同济版高数知识点归纳总结大全# 同济版高数知识点归纳总结大全## 一、极限与连续1. 极限的定义：数列极限、函数极限、无穷小量。
2. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性、夹逼定理。
3. 无穷小的比较：高阶无穷小、同阶无穷小。
4. 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限。
5. 连续性：连续点、连续函数、间断点的分类。
6. 连续函数的性质：局部有界性、最值定理、零点定理。
## 二、导数与微分1. 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。
2. 基本初等函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。
3. 导数的运算法则：和差法则、积商法则、链式法则。
4. 高阶导数：二阶导数、三阶导数及其应用。
5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数求导、参数方程求导。
6. 微分：微分的定义、微分与导数的关系。
## 三、中值定理与导数的应用1. 罗尔定理：定理条件、几何意义。
2. 拉格朗日中值定理：定理条件、几何意义、应用。
3. 柯西中值定理：定理条件、应用。
4. 泰勒公式：泰勒展开、麦克劳林公式。
5. 导数在几何上的应用：曲线的切线、法线、弧长、曲率。
6. 导数在物理上的应用：速度、加速度、变速运动。
## 四、不定积分1. 不定积分的定义：原函数、积分号。
2. 基本积分公式：基本积分表。
3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法。
4. 分部积分法：分部积分公式、应用。
5. 有理函数的积分：部分分式分解、积分。
6. 三角函数的积分：正弦函数、余弦函数的积分。
## 五、定积分1. 定积分的定义：黎曼和、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分的应用：面积、体积、平均值、物理意义。
4. 反常积分：无穷区间上的积分、无界函数的积分。
## 六、多变量函数微分学1. 偏导数：偏导数的定义、高阶偏导数。
2. 全微分：全微分的定义、全微分与偏导数的关系。
3. 多元函数的极值：拉格朗日乘数法、条件极值。
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(重积分 下)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 10 章 重积分 下
10.2 课后习题详解
10．利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）
x2 y2 z2 dv ，其中Ω是由球面 x2＋y2＋z2＝1 所围成的闭区域；
4
4
1
0
z
1 0
1 8
（2）在球面坐标系中，球面 x2＋y2＋z2＝z 的方程为 r2＝rcosφ，即 r＝cosφΩ可表示
为 0≤r≤cosφ，0≤φ≤π/2，0≤θ≤2π（图 10-2-46），于是
2 / 56
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（1） xydv ，其中Ω为柱面 x2＋y2＝1 及平面 z＝1，z＝0，x＝0，y＝0 所围成的
在第一卦限内的闭区域；
（2）
x2 y2 z2 dv ，其中Ω是由球面 x2＋y2＋z2＝z 所围成的闭区域；
（3） x2 y2 dv ，其中Ω是由曲面 4z2＝25（x2＋y2）及平面 z＝5 所围成的闭区
（3） z x2 y2 及 z＝x2＋y2； （4） z 5 x2 y2 及 x2＋y2＝4z. 解：（1）解法一：利用直角坐标计算。由 z＝6－x2－y2 和 z x2 y2 消去 z，解得 x2 y2 2 ，即Ω在 xOy 面上的投影区域 Dxy 为 x2＋y2≤4。于是
x, y, z x2 y2 z 6 x2 y2 , x2 y2 4
x2 y2 dv
r2 sin2 r2 sindrdd
2 d
2 sin3 dA r4dr0来自0a2
2 3
A5
5
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
高等数学同济第七版下课后习题及解答
高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的逻辑思维和数学素养的培养起着至关重要的作用。
而《高等数学同济第七版》更是众多高校广泛采用的教材，其课后习题是巩固知识、提升能力的重要途径。
接下来，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。
下册的内容主要包括多元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、无穷级数等重要章节。
这些章节的知识点相互关联，构成了一个较为完整的高等数学知识体系。
在多元函数微积分学这一部分，课后习题涵盖了多元函数的概念、偏导数、全微分、多元函数的极值与条件极值等重要知识点。
例如，有这样一道习题：求函数＼（z ＝ x^2 ＋ 2y^2 4x ＋ 8y\）的极值。
解答这道题，首先需要求出函数的偏导数＼（z_x\）和＼（z_y\），分别为＼（2x 4\）和＼（4y ＋ 8\）。
令偏导数等于零，得到方程组＼（2x 4 ＝ 0\），＼（4y ＋ 8 ＝ 0\），解得＼（x ＝ 2\），＼（y ＝－2\）。
然后，计算二阶偏导数＼（z_{xx} ＝ 2\），＼（z_{yy} ＝4\），＼（z_{xy} ＝ 0\）。
由于＼（z_{xx} ＞ 0\），且＼（z_{xx}z_{yy} z_{xy}＾2 ＝ 8 ＞ 0\），所以函数在点＼（（2, －2) ＼）处取得极小值，极小值为＼（ 12\）。
向量代数与空间解析几何这一章节的习题则注重考查学生对向量运算、空间直线和平面方程的理解和掌握。
比如，给定两个向量＼（＼vec{a} ＝（1, 2, －1) ＼）和＼（＼vec{b} ＝（3, 1, 2) ＼），求它们的叉积＼（＼vec{a} ＼times ＼vec{b} ＼）。
首先，根据叉积的计算公式，得到＼（＼vec{a} ＼times ＼vec{b} ＝＼begin{vmatrix} ＼vec{i} ＆＼vec{j} ＆＼vec{k} ＼＼ 1 ＆ 2 ＆－1 ＼＼ 3 ＆ 1 ＆ 2 ＼end{vmatrix} ＝ 5\vec{i} 5\vec{j} 5\vec{k} ＝（5, －5, －5) ＼）。
同济第七版高等数学总复习ppt课件
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
高数同济第七版-高数第十二章重点内容
第十二章基本知识点一．判断数项级数的敛散性1. 正项级数∑∞=1nn u ,当n u →0时,（1） 用比较审敛法，比较判别法的极限形式 （2） 用比值审敛法⎪⎩⎪⎨⎧=><=+∞→失效1发散1收敛1lim1ρρρρnn n u u2. 交错级数n nn u ∑∞=-1)1(,用莱布尼茨判别法，若满足以下条件， 01>≥+n n u u则收敛0lim =∞→n n u3. 任意项级数∑∞=1设n n u 为收敛级数,收敛若1∑∞=n n u ∑∞=1称n n u 绝对收敛,发散若1∑∞=n n u ∑∞=1称n n u 条件收敛4.注意：对于常用的几何级数、调和级数、P 级数，要牢记其性质，对于一些比较复杂的题，要巧用拆项相消等技巧二．幂级数求收敛半径和收敛域（讨论端点）1. 对标准型幂级数)0(0≠∑∞=n n nn a x a 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2.对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 .三．把f(x)展开成幂级数1. 直接展开法：利用泰勒公式2. 间接展开法：利用幂级数的性质及已知展开式的函数3. 常用函数的幂级数展开式：)(!1∞<<-∞=•∑∞=x x n enn x)11()1(1)1()1(ln 111≤<--=+-=+•∑∑∞=-+∞=x x nx n x nnn n n n)()!12()1(sin 120∞<<-∞+-=•+∞=∑x x n x n n n)()!2()1(cos 20∞<<-∞-=•∑∞=x xn x nn n四．傅里叶级数1. 周期为 2π 的函数的傅里叶级数及收敛定理)sin cos (2)(1x n b x n a a x f n n n++=∑∞=)间断点(≠x⎰-=πππx x n x f a n d cos )(1...),2,1,0(=n其中⎰-=πππx x n x f b n d sin )(1...),2,1(=n注意:若0x 为间断点,则级数收敛于2)()(00+-+x f x f2. 周期为 2π 的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数→正弦函数 偶函数→余弦函数3. 在 [0, π] 上函数的傅里叶展开 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦函数4. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式=)(x f 20a()lxn b lxn a n nn ππsincos 1++∑∞= (x ≠间断点)=n a x lxn x f llld cos)(1π⎰-,...)1,0(=n 其中 =n b x lxn x f llld sin)(1π⎰-,...)2,1(=n 当f (x )为奇（偶）函数时,为正弦（余弦）级数.5.给出[-l ,l )上函数，函数展开成傅里叶级数（先做周期延拓，然后展开）。
高数同济第七版-第九章重点内容
第九章基本知识点1. 偏导数的定义及其计算方法（详细概念见书P65起，在此不再赘述）2. 全微分若函数 z = f (x , y ) 在点(x, y ) 可微 ,则该函数在该点偏导数yzx z ∂∂∂∂,必存在,且有y yzx x z z ∆∂∂+∆∂∂=d ，习惯上把自变量的增量用微分表示,于是y d yz x x z z ∂∂+∂∂=d d 3. 多元复合函数的求导法则（1）链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”若函数,可导在点)(,)(t t v t u ψϕ==),(v u f z =),(在点v u 处偏导连续,则复合函数))(),((t t f z ψϕ=在点 t 可导, 且有链式法则tvv z t u u z t z d d d d d d ⋅∂∂+⋅∂∂= （2） 全微分形式不变性,),(对v u f z =不论 u , v 是自变量还是因变量，v v u f u v u f z v u d ),(d ),(d +=4. 隐函数求导公式（1） 一个方程的情形yx F Fx y -=d d （隐函数求导公式） （2） 方程组的情形利用雅可比行列式求导（P88起）5. 多元函数微分学的几何应用（1）空间曲线的切线与法平面1) 参数式情况.空间光滑曲线⎪⎩⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z t y t x ωψϕ切向量))(,)(,)((000t t t T ωψϕ'''=，切线方程)(')(' )(' 000000t z z t y y t x x ωψφ-=-=-法平面方程))((00x x t -'ϕ)()(00y y t -'+ψ0))((00=-'+z z t ω2) 一般式情况空间光滑曲线⎩⎨⎧==Γ0),,(0),,(:z y x G z y x F 切向量⎝⎛=T ,),(),(M z y G F ∂∂,),(),(Mx z G F ∂∂My x G F ),(),(∂∂⎪⎪⎭⎫，切线方程与法平面方程利用点法式即可求之 （2）曲面的切平面与法线1) 隐式情况 .空间光滑曲面0),,(:=∑z y x F 曲面 ∑ 在点),,(000z y x M 的法向量)),,(,),,(,),,((000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =切线方程与法平面方程利用点法式即可求之 2)显式情况空间光滑曲面),(:y x f z =∑法向量)1,,(y x f f n --=，法线的方向余弦22221cos ,1cos yx y yx x f f f f f f ++-=++-=βα,2211cos yx f f ++=γ切平面方程：)(),()(),(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 法线方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x6. 多元函数的极值（1） 利用充分条件求极值（P113）第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点（2） 条件极值1) 简单问题用代入法，转化为无条件极值 2) 一般问题用拉格朗日乘数法（P116起）。
高等数学同济第七版下课后习题及解答
高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力起着至关重要的作用。
而《高等数学》同济第七版更是被广泛使用的经典教材之一。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、深化理解的重要环节。
下面，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。
首先，我们来了解一下这本教材下册所涵盖的主要内容。
下册主要包括多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等重要章节。
每个章节都配有丰富的习题，旨在帮助学生掌握相关的概念、定理和方法。
在多元函数微积分学部分，习题的类型多种多样。
有关于偏导数、全微分的计算，也有涉及多元函数极值和条件极值的问题。
例如，在计算偏导数时，学生需要熟练掌握对各个变量的求导法则，并且要注意函数的复合结构。
对于全微分的习题，需要理解全微分的定义以及其与偏导数的关系，通过练习能够准确地求出给定函数的全微分。
而在极值问题中，学生要学会运用拉格朗日乘数法，通过建立方程组来求解极值点。
无穷级数这一章节的习题则主要集中在级数的收敛性判别、函数展开成幂级数等方面。
对于级数的收敛性判别，需要掌握各种判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
在函数展开成幂级数的习题中，学生要熟悉常见函数的幂级数展开式，并能够运用相应的方法将给定的函数展开成幂级数。
常微分方程部分的习题包括一阶和二阶常微分方程的求解，以及线性微分方程解的结构等内容。
在求解一阶常微分方程时，要掌握分离变量法、一阶线性方程的求解公式等方法。
对于二阶常微分方程，要能够根据方程的特征根来确定通解的形式，并通过给定的初始条件求出特解。
接下来，我们谈谈如何有效地解答这些课后习题。
第一步，认真审题。
仔细阅读题目，理解题目所考查的知识点和要求。
明确题目中的已知条件和未知量，以及它们之间的关系。
第二步，回顾相关知识。
根据题目所涉及的知识点，迅速在脑海中回顾所学的概念、定理和方法。
如果对某些知识点感到模糊，应及时查阅教材进行复习。
高等数学同济第七版第三章学习指导
第三章 中值定理与导数的应用一、知识点梳理1.中值定理费马引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任一)(0x U x ∈，有))()(( )()(00x f x f x f x f ≥≤或，那么0)(0='x f .罗尔中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导;(3) 在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ'f .拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导；那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式))(()()(a b f a f b f -ξ'=- 或)()()(ξf ab a f b f '=-- （3-1） 成立.注意 式（3-1）称为拉格朗日中值公式，也可写为x x x f x f x x f Δ)Δ()()Δ(000⋅θ+'=-+ )10(<θ<称为函数的有限增量公式.定理 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零,那么)(x f 在区间I 上是一个常数. 柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续；(2) 在开区间),(b a 内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，0)(≠'x F ,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- （3-2） 成立.拉格朗日中值定理又称微分中值定理,在微积分学中占有重要的地位.（3-1）式表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形))()((b f a f =,而柯西中值定理又是它的推广.2． 洛必达法则定理1(00型) 设 （1）当a x →时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）在点a 的某去心邻域内,)(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ;（3）)()(lim x F x f a x ''→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.注意 （1）如果)()(x F x f ''当a x →时仍属00型，且这时)(x f '，)(x F '能满足定理1中)(x f ，)(x F 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x ''''=''=→→→. 且可以以此类推.（2）定理1中,将""a x →改为""+∞→x ,""-∞→x 或者""∞→x ,在相应的条件下,结论也成立. 例如，对于""∞→x 时的未定式00有以下定理. 定理2(0型) 设 （1）当∞→x 时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）当X x >||时, )(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ; （3）)()(limx F x f x ''∞→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→. 注意 对于""a x →或""∞→x 时的未定式∞∞型,也有相应的洛必达法则. 3.泰勒公式泰勒（Taylor ）中值定理1 如果函数)(x f 在0x 处具有n 阶导数，那么存在0x 的一个邻域)(0x U ，对任一)(0x U x ∈,有 +-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-3） 其中))(()(0n n x x o x R -= （3-4）公式（3-3）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有佩亚诺(Peano)余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-4）称为佩亚诺余项.泰勒（Taylor ）中值定理2 如果函数)(x f 在0x 的某个邻域)(0x U 内具有直到()1+n 阶导数,那么对任一)(0x U x ∈,有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-5） 其中10)1()()!1()()(++-+ξ=n n n x x n f x R (ξ介于0x 与x 之间). （3-6） 公式（3-5）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-6）称为拉格朗日余项.在泰勒公式（3-3）中，如果取00=x ，则有带有佩亚诺(Peano)余项的麦克劳林(Maclaurin)公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f )(!)0()(n n n x o x n f ++. （3-7） 在泰勒公式（3-5）中，如果取00=x ，则ξ介于0与x 之间.因此可以令()10<<=θθξx ，于是得到带有拉格朗日余项的麦克劳林公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f ()1)1()(!1)(!)0(+++++n n n n x n x f x n f θ ()10<<θ. （3-8）常用函数的n 阶麦克劳林展开式：)(!!212n n x x o n x x x e +++++= ; )()!12()1(!7!5!3sin 2121753n n n x o n x x x x x x +--++-+-=-- ; )()!2()1(!6!4!21cos 122642++-++-+-=n n n x o n x x x x x ; )()1(32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-+-+-=+- ; )(1112n n x o x x x x+++++=- ; +-++=+2!2)1(1)1(x x x αααα )(!)1()1(n n x o x n n ++--+ααα .4.函数的单调性与曲线的凹凸性（1）函数单调性的判别法定理1 设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.1）如果在),(b a 内0)(≥'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；2）如果在),(b a 内0)(≤'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么驻点和导数不存在的点有可能是函数单调区间的分界点.（2）曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x ,恒有 2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凹的（或凹弧）;如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凸的（或凸弧）.定理2 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有一阶和二阶导数,那么1）若在),(b a 内0)(>''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的.2）若在),(b a 内0)(<''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是I 的内点.如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时,曲线的凹凸性改变了,则称点))(,(00x f x 是这曲线的拐点.找区间I 上连续曲线)(x f y =的拐点可按以下步骤：1） 求)(x f ''；2） 令0)(=''x f ，解出该方程在区间I 内的实根，并求出在区间。
同济大学高等数学第七版极限的运算法则
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
11
极限的计算 一些基本极限（已经证明或明显的）
12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
lim x2 5x4 12 514
x1 2x3
213
0
lx i1mx22x5x34
24
练习3.
12 lxi m 1(1x1x2).
通分
解： lx im 1(11x12x2)
lx i1m 1 1x(1x)21 (x)
lx im 1(1xx)(11x)
lim 1 x11 x
1 2
.
x2
练习4
lim x01 1 x2
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
直观记忆：M*0=0 这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。 回忆一些重要的有界函数。
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
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高等数学（第七版·下册）同济大学知识点
一、多元函数微分学
多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，研究的是多元函数的导数、微分以及应用。
在本章中主要介绍了以下几个知识点：
1. 偏导数与全微分
•偏导数：多元函数的偏导数是指函数在某一点上某个自变量的变化率。
•全微分：多元函数的全微分是在某一点上，函数值关于自变量的微小变化量。
2. 高阶偏导数与多元函数的泰勒展开式
•高阶偏导数：多元函数的高阶偏导数是指对多个自变量进行重复求导的结果。
•多元函数的泰勒展开式：用多项式逐次逼近函数的方法，可以近似表示函数在某一点附近的取值。
3. 隐函数与参数方程的求导
•隐函数求导：对于由方程定义的函数，可以通过偏导数求导的方法来求解其导数。
•参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，可以通过链式法则将参数的导数转化为函数关于参数的导数。
4. 方向导数与梯度
•方向导数：多元函数在某一点沿着给定方向的变化率。
•梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数值增加最快的方向，模表示变化率最大的值。
5. 多元函数的极值与条件极值
•多元函数的极值：函数取得的最大值或最小值。
•条件极值：在满足一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
6. 格林公式与高斯公式
•格林公式：二维平面上的曲线积分与这个曲线所围成的区域上的面积分之间的关系。
•高斯公式：三维空间中，某个闭合曲面上的散度与这个曲面所围成的空间区域内的体积分之间的关系。
二、多元函数积分学
多元函数积分学是研究多元函数的积分以及应用的学科。
本章介绍了以下几个知识点：
1. 二重积分
•二重积分的概念：二重积分是将二元函数沿着某一平面区域上的小面积元素进行累加得到的量。
•二重积分的性质：二重积分具有线性性、可加性、保号性等性质。
2. 二重积分的计算方法
•基本的计算方法：可以通过把二重积分化为累次积分的形式进行计算。
•坐标变换法：通过变换坐标系，使得被积函数的形式更简单，从而更容易计算。
3. 三重积分
•三重积分的概念：三重积分是将三元函数沿着某一个空间区域上的小体积元素进行累加得到的量。
•三重积分的性质：三重积分具有线性性、可加性、保号性等性质。
4. 三重积分的计算方法
•直角坐标系中的计算方法：可以通过将三重积分化为多个累次积分的形式进行计算。
•柱坐标系和球坐标系中的计算方法：通过变换坐标系，使得被积函数的形式更简单，从而更容易计算。
5. 曲线、曲面与积分定理
•曲线积分：沿着曲线对函数进行积分的操作。
•曲面积分：对曲面上的函数进行积分的操作。
6. 曲线积分和曲面积分的计算方法
•参数方程法：通过曲线或曲面的参数方程，将积分转化为参数的积分。
•向量场法：通过向量场的性质，进行积分计算。
三、无穷级数
无穷级数是高等数学中一个重要的内容，研究的是无限个数的和。
在本章中主要介绍了以下几个知识点：
1. 数项级数的概念
•数项级数：无穷个数的和，可为无穷级数或级数。
•收敛和发散：如果数项级数的和存在有限的极限，称该级数收敛；否则称该级数发散。
2. 数项级数的性质
•级数的和与部分和的关系。
•级数的收敛性质和判定方法。
3. 收敛级数的审敛法
•比较审敛法：通过与其他已知的级数进行比较，判断级数是否收敛。
•极限审敛法：通过求级数中各个数项的极限，判断级数是否收敛。
4. 幂级数与函数展开
•幂级数：是无穷多项函数之和，其中每一项都是常数乘以自变量的幂。
•麦克劳林级数：是一种特殊的幂级数，用于近似表示函数的展开式。
5. 函数项级数
•函数项级数：是由函数组成的级数，其中每一项都是函数与自变量的幂的乘积。
6. 收敛函数项级数的性质
•省略法与绝对收敛：对于收敛的函数项级数，可以通过省略级数中的有限项来近似计算，同时也可以判断级数的绝对收敛性。
以上是《高等数学（第七版·下册）》同济大学课程的知识点概述。
通过学习这些知识点，可以对多元函数微分学、多元函数积分学以及无穷级数有更深入的理解，为更高级的数学学科打下坚实的基础。