高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业(含
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复数的乘法规定按照以下的法则进行：
设z1 a bi, z2 c di是任意两个复数，那么它们的积
(a bi)(c di) ac bci adi bdi2
(ac bd) (bc ad)i.
两个复数的积仍然是一个复数. 复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对任何
z1 , z2 , z3 C , 有
i 4501 i 45011 i 45012 1 i i2 i .
一般地，如果 n N ，有
i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
例6. 计算: z 1 i i 2 i 3 i 2006 解： i 4n i 4n1 i 4n2 i 4n3
1 i i2 i31i 1i 0 ,
z 501(1 i i 2 i 3 ) i 2004 i 2005 i 2006
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
知识回顾
两个复数相加（减）就是把实部与实部、 虚部与虚部分别相加（减），即
(a bi) (c di) (a c) (b d )i
y Z2(c,d)
O
Z : z1 z2
Z1(a,b)
x
y
Z2(c,d)
z1 z2
Z1(a,b)
O
x
复数的乘法、除法法则
说明：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个 复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭 复数也叫做共轭虚数。
设复数 z a bi ，则 z a bi ，
z z (a bi)(a bi) a2 b2 .
即 z z | z |2 | z |2 . 其中| z | 叫做复数z的模 .
[(1 [(1
i i
)2 )2
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对于z1、z2、z3 C
交换律：a b b a 类比 推理 z1 z2 z2 z1
结合律：(a b) c a (b c)
(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)
（你会证明吗？）
（2）复数加法的几何意义：
向量加法的平行四边形法则：
D
b ab
A
aB
C 类比
y z2 c di z (a c) (b d)i
3
3 2 4 6 12
3、设z1 3 4i, z2 2 3i,则z1 z2在复平面内 对应的点位于（D）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
4、设o是原点，向量OA,OB对应的复数分别为2 3i, 3 2i，那么向量BA对应的复数是（B）
A、 5 5i B、 5 5i C、 5 5i D、 5 5i
6.堂上小结：
（1）复数加法、减法的代数运算：
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
（2）复数加法的几何意义： 按照向量的平行四边形法则进行 课后作业：P58页：第1题
谢谢！
§3.2.1复数代数形式 的加减法运算及其 几何意义
前面我们学习了复数的概念及其几何意义： 1.复数代数形式：Z___a__b_i(_a_、_b___R；) 向量表示：_O__Z__;
2.复数的模：|Z|=|_a__b_i_| =___a_2 __b_2 __;
3. a bi与c di 相等的充要条件是_a___c_且_b___d_。
c d
xa y b
x
y
a b
c d
x yi (a c) (b d)i
即： (a bi) (c di) (a c) (b d)i
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例3．计算 (1 2i) (3 4i)
(1 2i) (3 4i) 1 2i (1 2i)(3 4i) 3 4i (3 4i)(3 4i0
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
（第一课时）
隆安县第三中学 韦贞平
教学目标：
（1）知识目标：能进行复数代数形式的乘除运算 （2）过程与方法目标：从实数的乘除运算及其运算
律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律， 通过实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。 （3）情感与能力目标：通过复数的乘除法的学习，
(4)若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数
x=______,y=________.
(5)设复数z满足 1 2i i,则z _____. z
课后作业
课本第61页 习题3. 2 A组4，5
(2) 共轭复数:实部相等，虚部互为相反数的两个复数， 叫做共轭复数。
(3)复数代数形式的除法运算法则:通常先将除法写成分式 的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化 简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
三、巩固练习：
(1)(3 4i)(2 3i)
(2) 2i 2i
(3)(1 i)( 1 3 i)(1 i) 22
通常记复数z=a+bi的共轭复数为 z a 。bi
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数
1 2i,3 4i,3 i,1 3i,i,3.
③计算 1
2
2, 3
而1 2 怎样算呢？ 2-i
试比较写出复数的除法法则。
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3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计教学目标：1.类比多项式乘法，掌握复数乘法法则；类比根式除法分母有理化，掌握复数除法法则。
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。
3.理解共轭复数的概念学情分析:本节课是学生在学习了复数代数形式的加减运算，对复数的四则运算有了理性的一些认识后，学生可通过类比来进一步学习复数代数形式的乘除运算，复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则。
教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性。
重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点：复数除法的运算法则．教学过程：一、知识回顾：1.已知两复数12,()zabizcdiabcR、、，那么（1）、加法法则：12()()zzacbdi（2）、减法法则：12()()zzacbdi即：两个复数相加（减）就是类比多项式加（减）法，按i 合并同类项2.复数加法运算的几何意义——向量加法的平行四边形法则3.复数减法运算的几何意义——向量减法的三角形法则二、新课导入：根据以前所学知识，完成下题()()?abxcdx类比多项式乘法，尝试完成下题()()?abicdi（一）复数乘法法则：总结出复数乘法法则：类比多项式乘法法则展开，看到2i换成1，再按i合并同类项说明：（1）两个复数的积仍然是一个确定的复数（2）复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对于任何123zzzC、、，有1221zzzz123123()()zzzzzz1231213()zzzzzzz例1.(12)(34)(2)iii练习1.计算(2)(32)(13)iii例2.（1）(34)(34)ii（2）2(1)i说明：类比多项式的乘法法则用乘法公式可迅速展开运算，复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算例2（1）中，34i和34i有一定的关系，即实部相等，虚部互为相反数，那这样的两个复数有怎样的名称呢？共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数。
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运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 复：数设的Z加1=a法1+满b1i足，交Z2=换a2律+b、2i，结Z合3=a律3+，b3i即(a对1，任a2，
a意3，Zb1∈1，Cb，2，Zb23∈∈RC)，Z3∈C
则Z1+Z2=（aZ1+1+a2Z)+2=(bZ1+2+b2Z)i1，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就
是复数加法的几何意义
课堂练习
• 2 已知 OA, AB对应复数是 3 2i,2 i, 求向
量OB 对应的复数. 解：OB=OA+AB即对应(-3+2i)+(2+i)=-1+3i
思考？ 类比复数加法如何规定复数的减法？
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的差：
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 3.复数加、减的几何意义
设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应.
bi
及复数 c + di对应，则uuOuuZr 1,= (a,b)
Z2 (c, d )
Z
uuur
OZ
uuur
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i
c2 d2 c2 d2
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以 分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).
例4.计算 (1+2i) ÷(3-4i) 解:
计算： (1)(7-6i)(-3i) (2)(1+2i)(3-4i)(-2-i)
(3)(1 i)2
(5) 1 i
（4）i 2018
高二数学 依巴代提·吾买尔
复数加减法的运算法则： 设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚 部与虚部分 别相加(减).
加法运算规律：对任意z1,z2,z3∈C.有
z1 + z2 = z2 + z1
应的点关于实轴对称。
(2)任意两个互为共轭复数的乘积是一个 实数.
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数（或其 共轭复数）模的平方.
特殊的有：
i1 i
i2 1
i3 i i4 1
i i5 __ , i6 _-_1 , i7 _-_i , i8 _1_
一般地，如果 n N ，有
i4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i
(交换律)
（z1 + z2 ）+ z3 = z1+（ z2 +z3） （结合律）
复数计算:
(1)（6-5i)+(3+2i)= 9-3i
(2)5i-(2+2i)= -2+3i
1.复数乘法运算： 我们规定，复数乘法法则如下：
设z1=a+bi , z2=c+di 是任意两个复数，那么
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探求 新知
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C ，有
乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律
z1·z2＝__z2_·_z_1 (z1·z2)·z3＝_z_1_·(_z2_·_z3_) z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋_z_1_z3_
例题 讲解
例2.计算：互为相反数 （1）(3 4i)(3 4i)
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
温故 夯基
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i （2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
1 3i1 2i 1 2i1 2i
5 5i 方法总结： 5
1 i
1、先写成分式形式
2、然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以
分母的共轭复数)
3、化简成代数形式就得结果.
课堂 小结
1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？ 2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数 之间有什么性质？ 3、复数除法的运算法则是什么？
（2）(1 i)2
解： 相等 （1）(3 4i)(3 4i)
（2）(1 i)2
32 3 4i 4i 3 (4i)2
1 2i i2
32 (4i)2
1 2i 1
9 (16)
2i
25
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例题
例1 计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)。
巩固训练
： 1、计算： ⑴(2＋4i)＋(3－4i) ⑶(－3－4i)＋(2＋i)-(1－5i)
－(2＋3i)＋4i
⑵5－(3＋2i) ⑷(2－i)
例2.课本
练习：课本
作业：课本
课堂总结
①因为实数是复数的特殊情况，那么实数是如何进行加 减运算的呢？2+3=？这个式子能不能写成复数形式呢？ 若能，从复数的概念角度如何解释？
②复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加 法，你有什么想法？举例说明。
③你对一般的两个复数相加有什么猜想？
结论：复数的加法法则如下：
设z1＝a+bi，z2=c+di是任意两个复数，那么
（a+bi)+(c+di)＝
。
两个复数的和仍然是一个？
对于任意z1，z2，z3 ∈C，有
z1+z2=
(z1+z2)+z3=
学习探究
复数与复平面内的向量有一一对应关系。 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由 此出发讨论复数加法的几何意义吗？
3.2.1复数代数形式的加减运算 及其几何意义
复习
我们把z=a+bi(a、b∈R)叫做复数的
，
其中 是实部， 是虚部。当且仅当 时，
z是实数；当且仅当 时，z为虚数；当且仅 当 时，z为纯虚数
两个复数相等的条件是 果a，b，c，d ∈R，那么
，即：如
a+bi=c+di
，
学习探究
问题一：两个实数可以进行加法运算，两个向量也可以 进行加法运算，根据类比推理，两个复数也可以进行加 法运算，试猜想复数的加法运算法则是什么？
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13.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义教材分析：本课是高中数学选修2－2第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触复数集中的运算。
学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的加减运算与平面向量的加减法具有完全等价的法则。
在教学中，既要求学生掌握复数代数形式的加减运算法则，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义奠定基础教学目标：一，知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
二，过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
三，情感、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。
教学难点：复数加减法的几何意义及其应用教法：阅读、理解、类比教具：多媒体、实物投影仪，课件教学过程：课前德育教育：(爱国主义的具体表现）1.平时努力学习。
2.守法本身3.爱护公物4.养成节约不浪费的习惯5.乐于助人一、引入新课1.虚数单位i：它的平方等于1,即2i1;2.对于复数i,zababR：2当且仅当0b时,z是实数a;当0b时,z为虚数;当0a且0b时,z为纯虚数;当且仅当0ab时,z就是实数0.3.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.4.复数几何意义：我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.二、教授新科探究一:复数的加法1.复数的加法法则我们规定,复数的加法法则如下:设1izab,2i(,,,)zcdabcdR是任意两个复数,那么：12(i)(i)()()izzabcdacbd2.复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?对任意的123,,zzzC,有1221zzzz（交换律）,123123()()zzzzzz（结合律）.【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．3.复数加法的几何意义复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗?设12,OZOZ分别与复数i,iabcd对应,则有12(,),(,)OZabOZcd,由平面向量的坐标运算有2(,)Zcd复数i,zababR复平面内的点,abZ一一对应一一对应复数i,zababR复平面内的向量=,OZabZOyx2(,)Zcd312(,)OZOZacbd.这说明两个向量12OZOZ与的和就是与复数()+()iacbd对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：由图可以看出,以1OZ、2OZ为邻边画平行四边形12OZZZ,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数()+()iacbd对应的向量.探究二:复数的减法类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?1.复数的减法法则我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)icdxyab的复数ixy叫做复数iab减去icd的差,记作(i)(i)abcd.根据复数相等的定义,有,cxadyb,因此,xacybd,所以i()()ixyacbd,即(i)(i)()()iabcdacbd.这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.2.复数减法的几何意义设12,OZOZ分别与复数i,iabcd对应,则这两个复数的差12zz—与向量12OZOZ—（即21ZZ）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.【设计意图】两个复数的差12zz—（即12OZOZ—）与连接两个终点1Z,2Z,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时, 其终点才能对应该复数.理解新知1.复数的加减法法则:设1izab,2i(,,,)zcdabcdR是任意两个复数,规定：yx2Z1ZO412()()izzacbd;12()()izzacbd.其中12,zz是复平面内的两点1Z和2Z所对应的复数,d为点1Z和点2Z间的距离.即两个复数差的模的几讲解例题：计算(5-6i)+(-2-i)-(解：巩固练习：1.1、设O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是()A.-5+5i，B.-5-5i，C.5+5i，D.5-5i.2.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限，B.第二象限，C.第三象限，D.第四象限.(1)(23i)(5i);(2)(12i)(12i);(3)(23i)(52i);(4)(56i)(2i)(34i);解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i;(2)(12i)(12i)(11)(22)i0;(3)(23i)(52i)(25)(32)i35i;(4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i.例4.已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2－z1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i5课堂小结(一)知识:1.复数代数形式的加法、减法的运算法则;12(i)(i)()()izzabcdacbd复数的加法法则:实部与实部,虚部与虚部分别相加2.复数加法、减法的几何意义.12()()izzacbd复数的减法法则:实部与实部,虚部与虚部分别相减3.复数加法，减法的几何意义就是复数的加法可以按照向量的加法，减法来进行复数减法的几何意义就是复数的减法可以按照向量的减法来进行板书设计：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、复习引入二、探究新知三、理解新知四、运用新知例1变式训练例2变式训练例3变式训练五、课堂小结六、作业布置作业：同步练习册104页-105页课后反思：。
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复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
2.探究：
复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘 法对加法的分配律？
请验证乘法是否满足交换律?
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
A.-5
B.5
C.-4+i
D.-4-i
【课堂小结】
⑴复数乘法的运算法则与运算律 (2)两个复数的积仍然是一个复数；
(3)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.
A.-2 B. 1
C.1
D.2
2
2
• 2.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限. C.第三象限 D.第四象限
• 3.若i(x+yi)=3+4i,x,y R,则复数x+yi的模是（ ）
A . 2 B .3
C. 4
D. 5
• 4.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i,则z1z2=( )
解：
（2）(1 i)2
（1）(3 4i)(3 4i)
32 (4i)2 9 (16) 25
（2）(1 i)2
1 2i i2 1 2i 1 2i
我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
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四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业（含解析）新
人教A版选修12
课时作业41
一、选择题
1．[2013·湖南高考]复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于
( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：z＝i＋i2＝－1＋i的对应点为(－1,1)，此点位于第二象限，故选B.
答案：B
2．设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为( )
A．2 B．－2
C．－12 D.12
解析：法一：1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝
2－a＋2a＋1i
5
为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.
法二：1＋ai2－i＝ia－i2－i为纯虚数，
所以a＝2，故选A.
答案：A
3．[2013·课标全国卷Ⅱ]设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )
A. －1＋i B. －1－i
C. 1＋i D. 1－i
解析：z＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，故选A.
答案：A
4．[2012·课标全国卷]下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：
p1：|z
|＝2，
p2：z
2
＝2i，
p3：z
的共轭复数为1＋i，
p4：z
的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A. p2，p3 B. p1，p2
C. p2，p4 D. p3，p4
解析：z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－1－i，所以|z|＝2，p1为假命题；
z
2
＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．[2012·上海高考]计算：3－i1＋i＝________(i为虚数单位)．
解析：3－i1＋i＝3－i1－i1＋i1－i＝2－4i2＝1－2i.
答案：1－2i
6．若n∈N*，则(1＋i2)4n＋(1－i2)4n＝__________.
解析：∵(1＋i2)4＝i2＝－1，
(1－i2)4＝(－i)2＝－1，
∴(1＋i2)4n＋(1－i2)4n＝(－1)n＋(－1)n.
(1)当n是奇数时，原式＝－2.
(2)当n是偶数时，原式＝2.
答案： －2 n是奇数2 n是偶数
7．若z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根，则实数a，b的值分别为__________，
__________.
解析：把z＝i－1代入方程z2＋az＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，即 －a＋b＝0，a－2＝0，
解得a＝2，b＝2.
答案：2 2
三、解答题
8．计算－23＋i1＋23i＋(21＋i)2014＋4－8i2－－4＋8i24＋3i.
解：原式＝i23i＋11＋23i＋(22i)1007＋
4－8i2－4－8i
2
4＋3i
＝i＋(－i)1007＋04＋3i
＝i＋i＋0＝2i.
9．复数z＝1＋i2＋31－i2＋i，若z2＋az<0，求纯虚数a.
解：z＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
z
2＋az＝(1－i)2
＋mi1－i＝－2i＋mi－m2
＝－m2＋m2－2i<0，
∴ －m2<0，m2－2＝0，∴m＝4.∴a＝4i.