高中数学 2.3函数的单调性教案 北师大版必修1
2.3函数的单调性 课件-北师大版高中数学必修1
单调性的定义
在函数y f (x)的定义域内的一个区间A 上，
y
抽
如果对于任意两数x1, x2 A, 当 x11 xx22 时，都有 ff((xx11)) ff((xx22)) ，
那么，就称函数y f (x)在区间A上是增加 的，
象
有时也称函数y f (x)在区间A上是递增 的. 区间A 称为函数的单调增区间.
一般地，对于函数y f (x),其定义域为D,如果存在x0 D, f (x0 ) N , 使得对于任意的x D，都有（f x) N ,那么，我们称N是函数y=f (x) 的最小值， 即当x x0时，f (x0 )是函数y f (x) 的最小值，记作ymin N.
导入课题 新知探究 例题讲解 课堂小结 布置作业
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最大值、最小值的定义
一般地，对于函数y f (x),其定义域为D,如果存在x0 D, f (x0 ) M , 使得对于任意的x D，都有（f x) M ,那么，我们称M 是函数y=f (x) 的最大值， 即当x x0时，f (x0 )是函数y f (x) 的最大值，记作ymax M .
y
4
例
3
分
2
析
1
二次函数y=x2 ,在区间( ，0)内，函数值
随着自变量的增大而 减小 ，从图像上看， 在y左侧,从左到右是 下下降降 的； 在区间(0, )内，函数值随着自变量的增 大而 增增大大 ，从图像上看，在y轴右侧，从
-2 -1
O 1 2x
左到右是 上升 的.
-1
导入课题 新知探究 例题讲解 课堂小结 布置作业
–2
–3
–4
导入课题 新知探究 例题讲解 课堂小结 布置作业
北师大版高中数学必修一：2.3函数的单调性.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作[读教材·填要点]1．函数在区间上增加(减少)的定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1x2∈A，当x1＜x2时：(1)都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的．(2)都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．2．函数的单调区间如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．3．函数的单调性如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．4．单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．[小问题·大思维]1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A”改为“存在x1，x2∈A”？提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1，2]上并不是增加的．2．函数f (x )＝1x 的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)?提示：不能，如x 1＝－1，x 2＝1满足x 1＜x 2， 但有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不符合减少的要求．3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．[研一题][例1] 试判断函数f (x )＝xx －1在其定义域上的单调性，并加以证明．[自主解答] 函数定义域为{x |x ≠1}，又f (x )＝xx －1＝（x －1）＋1x －1＝1x －1＋1，可由反比例函数y ＝1x图像得其图像如图所示：由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1.f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2（x 2－1）（x 1－1）.∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)． ∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 同理可证f (x )在(－∞，1)上为减函数． 综上f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．[悟一法]判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x 1，x 2为区间上的任意两个变量，且x 1＜x 2； (2)作差：计算f (x 1)－f (x 2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论．[通一类]1．试讨论函数f (x )＝ax (a ≠0)在其定义域内的单调性．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (1)设x 1<x 2<0，则由已知f (x )＝ax (a ≠0)，有f (x 1)－f (x 2)＝a x 1－a x 2＝a （x 2－x 1）x 1x 2.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0.当a >0时，有a （x 2－x 1）x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)；当a <0时，有a （x 2－x 1）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴当a >0时，f (x )＝ax (a ≠0)在(－∞，0)上是减函数；当a <0时，f (x )＝ax (a ≠0)在(－∞，0)上是增函数．(2)同理，f (x )＝ax (a ≠0)在(0，＋∞)上，当a >0时是减函数， 当a <0时是增函数． 综上所述，函数y ＝ax(a ≠0)，当a >0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数； 当a <0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.[研一题][例2] 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的增区间和减区间． [自主解答] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4（x ≥0），－（x ＋1）2＋4（x <0）. 函数图像如右图所示．由图像可知：函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数， 函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]， 单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞)．[悟一法](1)求函数单调区间的常用方法有：①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的单调性判断；②图像法；③定义法；(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．[通一类]2．求函数y ＝|x ＋1|＋|2－x |的单调区间． 解：函数可化为分段函数形式： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2，法一：由解析式可知函数的递增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)． 法二：作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2的图像，由图像观察得．单调增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．[研一题][例3] (1)已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小； (2)已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围． [自主解答] (1)∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34， ∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)；(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，∴x －2＜1－x .∴x ＜32.∴1≤x ＜32为满足题设条件的x 的取值范围．[悟一法](1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小，求函数的最值，求参数的范围．(2)利用函数的单调性求参数范围时，要注意数形结合思想的应用．[通一类]3．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减少的，求实数a 的取值范围． 解：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. (1)求f (8)的值；(2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集．[巧思] 解答本题关键是巧用f (xy )＝f (x )＋f (y )． (1)对x ，y 恰当赋值，用f (2)表示f (8)．(2)将不等式转化成f (x )＞f (g (x ))的形式．再利用单调性进一步转化成关于x 的不等式组． [妙解] (1)由题意得f (8)＝f (4×2) ＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3；(2)原不等式可化为：f (x )＞3＋f (x －2)， ∵f (8)＝3，∴3＋f (x －2)＝f (8)＋f (x －2) ＝f (8(x －2))．∴f (x )＞f (8(x －2))的解集即为所求． ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，8（x －2）＞0，x ＞8（x －2）， 解得2＜x ＜167.∴原不等式的解集为{x |2＜x ＜167}．1．下列函数中，在区间(0，3)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |解析：可知，y ＝3－x 在(0，3)上为减函数，y ＝1x 在(0，3)上为减函数，y ＝－|x |＝－x 在(0，3)上为减函数．答案：B2．函数f (x )＝－x 2的单调增区间为( ) A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：由f (x )＝－x 2的图像知，A 正确． 答案：A3．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在实数集上是减函数，则k 的范围是( ) A ．k >－2 B ．k ≤－2 C ．k ≥－2D ．k <－2解析：∵f (x )＝(k ＋2)x ＋1在R 上是减函数． ∴k ＋2<0，即k <－2. 答案：D4．如图所示是定义在[－5，5)上的函数y ＝f (x )的图像．则该函数的单调增区间是________________，减区间是____________． 答案：[－2，1]和[3，5) [－5，－2]和[1，3]5．若f (x )是R 上的增函数，且f (x －1)＞f (2)，则x 的取值范围是________． 解析：由题得x －1＞2，得x ＞3，故x 的范围为{x |x ＞3}． 答案：{x |x ＞3}．6．用增函数定义证明f (x )＝ax ＋b (a ＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数． 证明：设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋b －(ax 1＋b ) ＝ax 2－ax 1＝a (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，又a ＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＝a (x 2－x 1)＞0， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数．一、选择题1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( ) ①y ＝|x | ②y ＝|x |x ③y ＝－x 2|x | ④y ＝x ＋x|x |A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：当x ∈(－∞，0)时，y ＝|x |＝－x ，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A 、D.又y ＝|x |x ＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故B 不正确．答案：C2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )． 答案：D3．下列说法不．正确的有( ) ①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数； ②函数y ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是减函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①中函数y ＝x 2，在R 上不具有单调性，故①不正确；②中函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k ＝0时，其在R 上不具有单调性，故③不正确；④中由于x 1，x 2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．答案：D4．若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：∵f (－x )＝f (x )，∴f (2)＝f (－2)， 又∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数， 而－2<－32<－1，∴f (－2)<f (－32)<f (－1)，即f (2)<f (－32)<f (－1)．答案：D 二、填空题5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜x ＜1，x ，x ≥1的减区间是________．解析：函数f (x )的图像如图实线部分所示． 则减区间是(0，1]． 答案：(0，1]6．若函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1在[1，2]上单调递减，则a 的取值范围是______________． 解析：函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a ，可知其图像开口向下，∵f (x )在[1，2]上单调递减，∴a ≤1.答案：(－∞，1]7．函数f (x )＝xx ＋2在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2，∴函数f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12， f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23. 答案：23 128．已知y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<11－a >2a －1，，解得：0<a <23.答案：(0，23)三、解答题9．已知函数f (x )＝|－x 2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1，3]上的最值．解：函数f (x )＝|－x 2＋2|＝⎩⎨⎧x 2－2，x ∈（－∞，－2）∪（2，＋∞），2－x 2，x ∈[－2，2].作出函数的图像如图所示．由图可知函数f (x )＝|－x 2＋2|的单调增区间为[－2，0]和[2，＋∞); 单调减区间为(－∞，－2)和[0，2]．在区间[1，3]上，由图像可知函数的最小值为f (2)＝0，最大值为f (3)＝7. 10．已知f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在R 上的函数，且满足f (12)＝25，f (0)＝0.(1)求实数a 、b 的值，并确定f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增加的． 解：(1)由f (12)＝25，f (0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b （12）2＋1＝25，b ＝0，得a＝1，b＝0，∴f(x)＝xx2＋1.(2)证明：在(－1，1)上任取－1＜x1＜x2＜1，则f(x2)－f(x1)＝x2x22＋1－x1x21＋1＝x2x21＋x2－x1x22－x1（x22＋1）（x21＋1）＝x1x2（x1－x2）＋（x2－x1）（x22＋1）（x21＋1）＝（x2－x1）（1－x1x2）（x22＋1）（x21＋1）.∵－1＜x1＜x2＜1，∴－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0，1－x1x2＞0，x22＋1＞0，x21＋1＞0，∴f(x2)－f(x1)＞0.∴f(x)在(－1，1)上是增加的．。
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
北师大版必修一第二章2.3.1函数的单调性
当 a 0 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则 f (x) 在 (1,1) 上递减；
当 a 0 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则 f (x) 在 (1,1) 上不具有单调性；
当 a 0 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则 f (x) 在 (1,1) 上递增；
例 3、求下列函数的单调区间
（4）结论法：
（ⅰ）函数 y f (x) 与 y f (x) 在相应区间
上单调性相反；
（ ⅱ ） 若 函 数 y f (x) 恒 正 或 恒 负 ， 则 函 数 y 1 与 y f (x) 在相应区间上单调性相反；
f (x)
（ⅲ）在公共区间内，增 增=增，增 减=增，
减 减=减。
例 3、求下列函数的单调区间
利用定义证明(判断)函数f(x)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤：
1.任取 x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差 f(x1)－f(x2)； 3.变形（通常是因式分解和配方）； 4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5.结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
结论
§2.3.2函数的单调性（2）
复习回顾
1．函数单调性的定义
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 D . 如果对于定义域 D 内的某个区间 I 内的任意两个自
变量 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就
说 f (x) 在区间 I 上是增函数（increasing function）．
(1)如果y=f(x)在区间D上是增加的或是减小的，那 么称D为函数y=f(x)的单调区间.
(2)如果y=f(x)在定义域的某个区间I上是增加的或 是减小的,那么就称函数y=f(x)在这个区间I上具有单调 性.
新教材北师大版必修第一册 第二章函数3函数的单调性2函数的单调性的应用 课件(40张)
有
()
A.f(-2)<f(1)<f(3)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(3)<f(-2)<f(1)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2);当x1>x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3).
y
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( )
x－1
A.2 B. 1
2
C ．1
D．－1
3
2
【解析】选B.y= 1 在[2,3]上单调递减,
x 1
所以x=3时取最小值为 1 .
的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞), 由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以2x-4>2,解得x>3.
高中数学北师大版精品教案《函数的单调性和最值》
函数的单调性和最值【第一课时】 【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。
【教学目标与核心素养】1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法； （3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数y kx b =+的图象和性质，当0k ＞时，直线是向右上，即函数值y 随x 的增大而增大，当0k ＜时，直线向右下，即函数值y 随x 的增大而减小。
同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。
思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。
（2）如图，是函数()[] 6,9f x x ∈-（）的图象，说出在各个区间函数值()f x 随x 的值的变化情况。
提示：在区间[][][][]6,52,13,4.57,8---、、、上，函数值()f x 都是随x 的值的增大而增大； 在区间[][][][]5,21,3 4.5,78,9--、、、上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而减小。
北师大版数学必修一《函数的单调性》教学课件
证明：任意取 x1，x2∈［2,5］且 x1＜x 2， x1 x2 则 f(x1)＝ ，f(x2)＝ . x1－1 x2－1 f(x2)－f(x1)＝ x1－x2 x2 x1 － ＝ . x2－1 x1－1 (x2－1)(x1－1)
，
∵x1<x2<0， ∴x1－x2<0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 故 f ( x)
1 1 在区间(－∞，0)上是单调增函数. x
求函数的单调区间
如图所示的是定义在半开半闭区间［－5,5)上的函数y＝f(x)的图 象，根据图象写出y＝f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上y＝f(x)是 增函数还是减函数.
为几个最简因式的积或几个完全平方的形式.
1.证明函数 f ( x)
1 1 在区间(－∞，0)上是增函数. x
【证明】 设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1<x2.
则
1 1 1 1 x x f ( x1 ) f ( x2 ) 1 1 1 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
【思路点拨】 观察图象可知，函数y＝f(x)在区间［－5,5)上不具有单调 性，但在区间［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］，［3,5)上具有单调性. 【解析】 函数y＝f(x)的单调区间有［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］， ［3,5)， 其中y＝f(x)在区间［－5，－2］，［1,3］上是减函数，在区间［－2,1］，
［3,5)上是增函数.
(1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法.但要注 意函数的定义域. (2)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连 接它们.
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
北师大版数学必修一《函数的单调性》【第2课时】参考课件
结论:复合函数y=f(g(x))的单调性的判断 ⑴当内层函数与外层函数单调性相同时为增函数; ⑵当内层函数与外层函数单调性相反时为增函数.
可简记为口诀: “同增异减” .
★判定复合函数单调区间的四个步骤: ⑴确定内、外层函数的定义域; ⑵将复合函数分解成基本初等函数;
⑶分别判定基本初等函数的单调区间;
⑷利用“同增异减”法则判断复合函数的单调性 .
例4. 求函数 y x 2 2 x 3 的单调区间.
ax 作业: 讨论函数ຫໍສະໝຸດ f ( x ) 2 在(-1,1)上的 x 1
单调性.
§3
函数的单调性
第2课时
例1. 画出下列函数的图像,并指出函数的单调区间. ⑴y=-x2+2|x|+3 ⑵y=|x2-2x-3|
a 例2. 讨论函数 f ( x) x (a 0) 在(0, +∞) x
上的单调性.
例3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 求函数f(1-x2)的单调区间.
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
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– 二级
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9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
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– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
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• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
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15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
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江西省南昌市湾里区第一中学高中数学 2.3函数的单调性教案 北师大版
必修1
教
学
目
标
1.掌握增、减函数定义，理解函数的单调性与单调区间的含义.
2.掌握确定函数单调区间和分析函数单调性的方法.
3.培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力，渗透数形
结合的思想
教
材
分
析
教学重点：增函数和减函数的定义.
教学难点：用增减函数定义证明函数的单调性（通过初中学过的一次函数和反比例
函数突破）
课型 新授课 课时 1课时
教学方法 讲练结合法、演示图象法、观察法
教具 多媒体辅助教学课件、绘图工具
教学过程 双边活动及教学运用
一、新课导入 1、 画出一次函数xy2,xy2的图象 通过学生绘制函数图象,教师演示图象,师生观察
分析图象
要求学生绘图，然后老师用课件演示
教师从以下两方面引导学生观察图象
①图象自左向右的变化趋势
②函数值y随自变量x的增大而变化的情况.
教学过程 双边活动及教学应用
2、 函数2xy的图象
3、 教师总结图象引入增函数和减函数导入新课 当自变量x在),(上由小变大时,xy2 的图象逐渐上升，y随着x增大而增大,xy2的图象逐渐下降，y随着x增大而减小； 在区间)0,(上，函数 2xy 的图象逐渐下降，y随着x增大而减小， 在区间),0(上，函数 2xy的图象逐渐上升，y随着x增大而增大； 为了进一步研究函数的这种增、减性质，我们引入增函数和减函数的概念 当自变量x在),(上由小变大时, xy2 的图象逐渐上升，y随着x增大而增大,这种函数是增函数。 xy2的图象逐渐下降，y随着x增大而减小,这种函数是减函数。 教师用课件演示，学生观察 教师实例总结，函数图象性质
学生结合教师的讲解，看图总结函数性质
教师和学生一起总结所学知识，学生分组讨论2分钟
教学过程 双边活动及教法运用
二、讲授新课 1、演示增减函数图象 在函数 )(xfy 的图象上任取两点),(11yxA，),(22yxB x 表示自变量 x 的增量：12xxx， y 表示函数值 y 的增量：1212)()(yyxfxfy 2．讲授增减函数概念 一般地，对于函数 )(xfy 在给定区间上任意两个不相等的值1x、2x 当 0xy 函数 )(xfy 在这个 区间上是增函数 当 0xy 函数 )(xfy 在这个区间上是减函数 3．单调性的定义 如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有（严格的）单调性这个区间就叫做这个函数的单调区间
学生观察，教师引导分析，得出初步结论
教师通过图象分析x,y，进行讲评
教师通过图象引导分析0xy
教师通过图象引导分析0xy
教师举例xy2
学生观察理解
教学过程 双边活动及教学运用
4．总结判断函数单调性（增减函数）的方法
(1) 图象法：观察图象的上升和下降，一定要沿
着从左向右的方向和确定好自变量x的取值
区间。
(2) 定义证明法:用定义证明的步骤
教师举例2xy在区间)0,(和),0(的单
调性
在讲例2后师生总结
教师用课件演示图象，学生在教师的引导下自
三、讲解例题巩固新课
1、讲解例题1
练习1
2、讲解例题2
证明函数12)(xxf 在),(上是增函
数
练习2 证明函数12)(xxf在
),(
上是减函数
四、教师小结
增函数 ， 减函数 ， 单调性 ， 单调区间
四个概念
判断函数单调性的两种方法 （图象法，定
义证明法）
五、布置作业
用定义证明反比例函数的单调性和课后讨
论总结初中学过的几种函数的单调性
己完成
学生做练习1，师生评析
教师分析讲评，学生听讲理解
师生总结定义证明的步骤
一名学生板演，其他学生做练习2，
教师巡视指导，师生评析学生的板演
教师引导，师生共同总结
让学生明确初中学过的两种函数的单调性，一
次函数和反比例函数，同时巩固难点