离散数学问题
《离散数学》题库及问题详解
《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)是中华人民国的首都。
(2) 师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是述句，不能是疑问句或者祈使句。
）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A∩B是（）A. {1, 2, 3, 4, 5}B. {2, 4}C. {1, 3, 5}D. {2, 4, 6, 8}2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于关系B. 大于等于关系C. 模2同余关系D. 整除关系3. 设P(x)是谓词逻辑公式，下列哪个命题与∀xP(x)等价？（）A. ∃x¬P(x)B. ¬∀xP(x)C. ¬∃xP(x)D. ∃x¬P(x)4. 一个图的欧拉回路是指（）A. 经过每一条边的路径B. 经过每一个顶点的路径C. 经过每一条边的环D. 经过每一个顶点的环5. 设G是一个无向图，下列哪个说法是正确的？（）A. G的每个顶点的度数都相等B. G的每个顶点的度数都不相等C. G的任意两个顶点之间都有一条边D. G的任意两个顶点之间都不一定有边6. 下列哪个图是哈密顿图？（）A. K3,3B. K5C. K4,4D. K67. 设G是一个具有n个顶点的连通图，则G的最小生成树至少包含（）A. n个顶点B. n-1条边C. n+1条边D. 2n条边8. 下列哪个算法可以用来求解最短路径问题？（）A. Dijkstra算法B. Kruskal算法C. Prim算法D. Floyd算法9. 设P和Q是两个命题，下列哪个命题与(P→Q)∧(Q→P)等价？（）A. P∧QB. P∨QC. P↔QD. ¬P∨¬Q10. 设A是一个有限集合，A的幂集是指（）A. A的所有子集B. A的所有真子集C. A的所有非空子集D. A的所有非空真子集二、填空题（每题3分，共30分）11. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A-B=______。
12. 设P(x)是谓词逻辑公式，∃xP(x)表示“存在一个x使得P(x)成立”，那么∀x¬P(x)表示“______”。
离散数学p→q问题
离散数学p→q问题
摘要：
一、离散数学简介
二、p→q 问题的定义
三、p→q 问题的解决方法
1.直接证明法
2.反证法
3.数学归纳法
四、p→q 问题的应用领域
正文：
离散数学是一门研究离散对象的数学学科，它主要研究有限集合及其性质。
在离散数学中，p→q 问题是一个经典的问题，它涉及到命题逻辑的推理。
p→q 问题，即如果p 成立，那么q 也一定成立。
这个问题可以理解为一个充分条件和一个必要条件的判断。
对于这个问题，我们可以采用不同的证明方法来解决。
首先，直接证明法是一种常用的证明方法。
它通过直接证明p 成立能够导出q 成立，从而证明p→q 问题的正确性。
这种方法的优点是直观，易于理解，但缺点是可能不够简洁。
其次，反证法是另一种常用的证明方法。
它通过假设q 不成立，然后推导出矛盾，从而证明p→q 问题的正确性。
这种方法的优点是逻辑严密，但缺
点是可能较为复杂。
最后，数学归纳法是一种强大的证明方法。
它通过证明当p 成立时，q 一定成立，并且当q 成立时，p 也一定成立，从而证明p→q 问题的正确性。
这种方法的优点是简洁，全面，但缺点是可能较为复杂。
在实际应用中，p→q 问题广泛存在于计算机科学、逻辑学、人工智能等领域。
例如，在计算机科学中，它可以帮助我们理解和设计计算机程序的逻辑结构；在逻辑学中，它可以帮助我们理解和分析推理的逻辑过程；在人工智能中，它可以帮助我们设计和实现人工智能系统。
总的来说，p→q 问题是一个重要的离散数学问题，它有着广泛的应用和深远的影响。
离散数学常见问题
离散数学常见问题
1、命题的逆命题、反命题、否命题、逆反命题？
给定命题p->q，我们把q->p、┐p->┐q、┐q->┐p分别称为p->q的逆命题、反命题、逆反命题
逆命题
把一个复合命题的条件和结论互换位置得到的命题。
如：如果天不下雨，我将去公园
它的逆命题为：若我去公园，则天不下雨
否命题（反命题）p->q ┐p->┐q
如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题。
如：如果天不下雨，我将去公园
反命题为：若天下雨，则我没去公园。
逆反命题
逆命题的反命题
如：如果天不下雨，我将去公园
逆反命题：若我没去公园，则天下雨
举个例子：
原命题：男人是人。
（成立）
反命题：不是男人不是人。
（不成立）
逆命题：人是男人。
（不成立）
逆反命题：不是人，则不是男人。
（成立）
2、p仅当q，为什么q是p的必要条件？
答：p要成立，只有当q成立，也就是说q是p成立的必要条件。
如我去看电影仅当我有时间，我有时间是我去看电影的必要条件，至于我有时间，我则不一定去看电影，我可能去打球或干别的什么。
3、a能被2整除是a能被4整除的必要条件，为什么？
如a=10，10能被2整除，但10不能被4整除，说明、a能被2整除不是a能被4整除的充分条件。
而a能被4整除则是a能被2整除，如a=8,12只要a是4的倍数，那a一定是2的倍数。
离散数学难题七大题型解题技巧
离散数学难题七大题型解题技巧引言离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科。
在研究离散数学的过程中，难题是不可避免的。
本文将介绍离散数学中的七大题型，并提供相应的解题技巧，帮助读者更好地应对难题。
一、命题逻辑题命题逻辑题是离散数学中常见的题型，解题时可以采用以下技巧：1. 分析命题的结构：将复杂的命题拆分为简单的子命题，便于理解和处理。
2. 使用真值表：构建命题的真值表，列出所有可能的组合情况，以便确定命题的真假。
3. 应用逻辑运算规则：掌握逻辑运算的基本规则，如非、与、或等，并灵活应用在解题过程中。
二、关系与函数题关系与函数是离散数学中的重要概念，在解题时可以采用以下技巧：1. 确定关系的性质：分析给定关系的性质，如自反性、对称性、传递性等，以便判断关系的特点。
2. 寻找关系图或矩阵：将关系表示为图或矩阵的形式，有助于更直观地理解和分析关系。
3. 理解函数定义和运算规则：掌握函数的定义和运算规则，如复合函数、反函数等，以便在解题中灵活运用。
三、图论题图论是离散数学中的重要分支，解图论题时可以采用以下技巧：1. 确定图的类型：了解给定图的类型，如无向图、有向图、加权图等，以便选择合适的解题方法。
2. 使用图的表示方法：将图表示为邻接表或邻接矩阵的形式，便于分析和计算图的性质。
3. 掌握图的基本性质：了解图的度、连通性、割点、桥等基本概念和性质，以便在解题过程中应用。
四、组合数学题组合数学是离散数学中的重要分支，解组合数学题时可以采用以下技巧：1. 理解组合数学的基本概念：熟悉组合、排列、二项式系数等基本概念，以便在解题过程中正确运用。
2. 掌握组合数学的计算方法：熟悉组合数学的计算方法，如组合公式、排列公式等，以便进行计算和推导。
3. 运用组合数学的原理：灵活运用组合数学的原理，如鸽巢原理、容斥原理等，解决实际问题。
五、数论题数论是离散数学中研究整数的分支，解数论题时可以采用以下技巧：1. 理解数论的基本概念：了解质数、最大公约数、同余等基本概念，以便正确理解和处理题目。
离散数学的问题
离散数学的问题离散数学是计算机科学中一个关键的领域。
它用于解决计算机优化问题和理解计算机组成，它是一种重要的数学方法，用于处理问题。
离散数学是用于解决计算机问题的复杂数学方法。
它涉及计算机编程，数据结构，算法分析，离散数学结构以及如何使用这些概念来解决实际问题的技术。
一、什么是离散数学？离散数学是一种复杂的数学方法，用于解决计算机编程和数据结构问题。
它涉及离散结构，算法复杂性，离散关系，数据抽象，图论。
与其它数学分支不同，离散数学更多地关注如何使用数学工具来解决问题，而不是学习和推理的细节。
二、离散数学的用途1、软件工程。
离散数学被广泛应用于软件工程中。
它包括模型设计，项目计划，使用模型和控制工具以及模型的验证。
2、数据科学。
离散数学也被用于数据科学，其中它通常被用于处理大数据集。
它被用于机器学习，数据挖掘和模式识别，以及其他联系或推理问题。
3、优化。
离散数学也可以用于现实世界优化和自动控制。
它同样可以用来解决优化问题，保证最佳结果，并根据一组条件来提出最佳的可行解决方案。
三、离散数学的学习方法1、实践。
离散数学的最好方法是从实践中学习。
可以在练习中熟悉实际应用和应付实际的问题，从而充分理解理论知识。
2、学习算法。
离散数学涉及算法的使用，因此，学习如何设计有效的算法是必不可少的，以便在多个离散数学域中使用有效的技术。
3、学习数据结构。
数据结构是一种重要的工具，用于学习如何处理复杂问题，如何收集数据，以及如何从数据中收集有用的知识。
四、离散数学的未来趋势随着越来越多的计算云驱动的服务和应用程序，将继续推动离散数学发展。
随着对机器学习和大数据分析技术的需求，离散数学也将发挥它的作用。
离散数学将发挥重要作用，使得AI技术能够真正让人工智能发挥出它的潜力。
另外，贝叶斯网络技术也是一个重要的利器，因为它由大量隐含变量和模型定义，而离散数学能够帮助用户理解和导航贝叶斯网络以及其他机器学习技术。
数学中的离散数学问题
数学中的离散数学问题数学作为一门学科，涵盖了广泛的领域，包括连续数学和离散数学。
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散对象及其关系，与连续数学不同，离散数学强调离散性质的特点。
在这篇文章中，我们将探讨数学中的离散数学问题。
一、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究图及其性质和应用。
图是由节点和边组成的数学结构，节点代表对象，边代表对象之间的关系。
图论的应用十分广泛，包括社交网络分析、电力网络规划以及路线规划等。
例如，旅行商问题就是图论中的一个经典问题，目标是找到一条经过所有节点且路径长度最短的路径。
二、排列组合排列组合是离散数学中的另一个重要概念。
排列是将一组对象按照一定顺序进行排列，而组合则是从一组对象中选取若干个对象构成一个集合。
排列组合在概率论、统计学和密码学等领域中具有重要作用。
例如，在密码学中，排列组合用于生成密码和解密密文。
三、逻辑与命题逻辑与命题是离散数学中的基础概念。
命题是一个陈述性语句，可以为真或为假。
逻辑是研究思维与推理规律的学科，通过利用逻辑运算符（如非、与、或）对命题进行运算和推理。
离散数学中的逻辑与命题在计算机科学和人工智能领域中得到广泛应用。
例如，在人工智能领域，逻辑编程语言被用于表示知识和规则。
四、离散数学在计算机科学中的应用离散数学在计算机科学中具有重要的应用价值。
计算机科学是离散数学的一大应用领域，它涉及算法、数据结构、图论和逻辑等。
离散数学提供了一种抽象的数学模型，用于解决实际问题。
例如，图算法在计算机网络和社交网络中的应用得到广泛关注。
此外，离散数学的统计方法在数据分析和机器学习中起着重要的作用。
五、离散数学在密码学中的应用离散数学在密码学中扮演着重要的角色。
密码学是研究信息安全和加密技术的学科，它利用离散数学的排列组合、数论和代数等理论来设计和分析密码算法。
对称加密算法、非对称加密算法和哈希函数等密码学中的基本概念都依赖于离散数学的知识。
离散数学提供了一种数学基础，用于保护电子通信和数据传输的安全性。
离散数学——精选推荐
1.设G有16条边，有三个四度顶点，四个三度顶点，其余顶点的度数都小于3，问G中至少有几个顶点？答：总度数=16*2=323*4+4*3=24（32-24）/2=4 至少有3+4+4=11至少有11个顶点2．设9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G中至少有5个六度定点或者至少有6个5度顶点证明，因为：4*6+5*5=24+25=49不可能，所以当n6<4 时，n5>=6 满足条件当n6>=5时，满足条件得证3.空间不可能存在奇数个面而且每个面均有奇数条棱的多面体答：假如有奇数个面n 每个面都有奇数个棱mi(I=1,2,…n)，那么m1+m2+…+mn= D mi为奇数，n奇数，所以D为奇数但对于上式来说，每条棱都记了两次，那么D=2*(总棱数) 为偶数矛盾所以空间不可能存在奇数个面而且每个面均有奇数条棱的多面体4.在一次象旗比赛中，任意两个选手之间至多只下一盘棋，又每个人至少下一盘，证明总能找到两名选手，他们下过的盘数是相同的证明：建一个图的模型：每个选手相当于图的顶点，选手下的盘数相当于顶点得度数，两个选手的对局相当于两个顶点的边，已知顶点的度数是1----n-1, 选手有n个，根据鸽巢原理可知，比存在两个顶点的度数相同，也就是总能找到两名选手，他们下过的盘数是相同的。
5.设n阶无向简单图G为3次图(3-正则图)，边数m和n满足以下关系2n-3=m问G有几种非同构的情况？并证明你的结论解：3n=2m 2n-3=m => n=6 m=9所以G是6阶3正则图.设G1，G2均为无向简单图，G1同构于G2 等价于G1的补图同构于G2的补图。
所以可知有两种同构的情况6．下面给出的两个整数列，哪个是可图化的，对于可图化的请至少给出三个非同构的图1）d=(1,2,2,4,4,5) 可图化2）d=(1,1,2,2,3,3,5) 不可图化非同构的图，赫赫在BBS上没法画！7.判断下列三个整数列中哪些是可以简单图化的？对于可简单图化的试给出两个非同构的图.1)(6,6,5,5,3,3,2)(6,6,5,5,3,3,2)<=>(5,4,4,2,2,1)<=><3,3,1,1,0)<=>,<2,0,0,0> 显然不可以简单图化2）（5，3，3，2，2，1）<=>(2,2,1,1,0)<=>(1,0,1,0) 显然可以简单图化(赫赫，图在BBS没法画)3）（3，3，2，2，2，2）<=>(2,1,1,2,2)（不符合定理的条件,可先调整顶点次序）<=>(2,2,2,1,1)(根据课本例题）<=>(1,1,1,1)显然（1，1，1，1）是可简单图化的8.9题（略）大家一定要画呀，挺好的一道题呀！！！10,现有5个4阶的无向简单图，他们均有3条边，证明这5个图中至少有两个是同构的证明:可以得知，这样的非同构的图有3个，所以得证(图省略)11.设G为n阶自补图，证明n=4k或者n=4k+1其中k为正整数。
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离散数学问题
1.离散数学学的什么？
集合论、代数系统、图论、数理逻辑等。
2.什么是集合？
由离散个体构成的整体的称为集合，称这些个体为集合的元素。
集合元素的性质：无序性、相异性、确定性、任意性
3.什么是幂集？
集合的全体子集构成的集合叫做幂集。
∣P(A)=2n∣|P(A)=2^n|∣P(A)=2n∣
4.什么是笛卡尔乘积？
5.二元关系的定义
如果一个集合满足下列条件之一：
集合非空，且它的元素都是有序偶；
集合是空集；
则称该集合为一个二元关系，简称为关系，记作RRR.
6.等价关系和等价类的定义
等价关系：设RRR为非空集合AAA上的一个关系，如果RRR是自反的、对称的和传递的，则称RRR为AAA上的等价关系。
等价类：设RRR是集合AAA上的等价关系，与AAA中的一个元素aaa
有关系的所有元素的集合叫做aaa的等价类。
7.偏序关系的定义
设 R R R 为非空集合 A A A 上的一个关系，如果 R R R 是自反的、反对称的和可传递的，则称 R R R 是集合 A A A 上的偏序关系，简称偏序，记作“ ⩽ \leqslant ⩽”.
偏序关系⩽ \leqslant ⩽——自反性、反对称性、传递性
逆序关系<<<——反自反、反对称性、传递性
逆序关系的自反闭包是偏序关系。
8.空关系
空关系是一种特殊关系，指关系集 A × B A×B A×B 中的子集ϕ\phi ϕ。
非空集合中的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的；空集合中的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。
9.怎么判断两个无穷集合的大小？
对无限集，通过建立一一对应的方法可以比较它们元素个数的大小（在集合论中称为势），以整数集ZZZ和偶数集AAA为例，如果将ZZZ中的每一个元素都乘以222，则都可以在AAA中找到对应的偶数元素，即ZZZ和AAA中的元素是一一对应的，也就是说这两个集合是等势的。
值得注意的是，偶数集合是整数集合的一部分，但它包含的元素个数却跟整数集合一样多。
10.函数的概念
函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
【一个xxx只能对应一个yyy，但多个xxx可以对应一个yyy】
11.集合、关系与函数之间的关系？
集合是基础。
函数是一种特殊的关系。
12.单射、满射和双射的概念
设函数 f : X → Y , y = f ( x ) f: X \to Y, y = f(x)
f:X→Y,y=f(x)
单射：任给x1x_1x1和x2x_2x2属于XXX,若x1≠x2x_1≠x_2x1=x2,则f(x1)≠f(x2)f(x_1)≠f(x_2)f(x1)=f(x2)，称fff为单射。
满射：任给yyy属于YYY，都存在xxx属于XXX使得
f(x)=yf(x)=yf(x)=y，称fff为满射。
双射：若fff既是单射又是满射，称fff为双射，也叫一一对应。
或：
单射：若对XXX中任意两个不同元素x1、x2x_1、x_2x1、x2
,x1x_1x1不等于x2x_2x2，像f(x1)f(x_1)f(x1)不等于f(x2)f(x_2)f(x2 )。
满射：就是说YYY中的任何一个元素都是XXX中某元素的像。
双射：也叫一一映射，既满足单射又满足满射就叫双射。
或：
injective，单射。
指将不同的变量映射到不同的值的函数。
onto，满射。
指陪域等于值域的函数。
即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。
bijective，双射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。
直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。
13.代数系统的定义
非空集合 S S S 和 S S S 上 k k k 个一元或二元运算 f 1 , f 2 , . . . , f k f_1, f_2, ..., f_k f1,f2,...,fk 组成的系统称为代数系统，简称代数，记作 < S , f 1 , f 2 , . . . , f k > <S,
f_1, f_2, ..., f_k> <S,f1,f2,...,fk>.
14.代数系统同构
两个代数系统同构必须满足以下条件：
它们是同类型的代数系统；
它们的集合基数相等（等势）；
运算定义法则相同。
15.半群、群、交换群（阿贝尔群）
设 V = < S , ∘ > V=<S,\circ> V=<S,∘> 是代数系统，∘
\circ ∘为二元运算，如果∘ \circ ∘运算满足结合律，则称 V V V 是半群。
半群——满足结合律的代数系统
群——具有单位元素与逆元素的半群
交换群/阿贝尔群：群GGG中的二元运算可交换
16.格、有补格、布尔代数
格：设 L L L 是非空集合， + + + 和∘ \circ ∘是 L L L 上的两个二元运算，如果它们满足交换律、结合律和吸收律，则称代数系统 < L , + , ∘ > <L,+,\circ> <L,+,∘> 是格，也称代数格。
有补格：设< L , ∧ , ∨ , 0 , 1 > <L,\land,\lor,0,1>
<L,∧,∨,0,1> 是有界格，若 L L L 中所有元素都有补元存在，则称
L L L 为有补格。
如果一个格是有补分配格。
则称它为布尔格或布尔代数。
若代数系统 < B , ∗ , ∘ > <B,*,\circ> <B,∗,∘> 是代数系统，若∗ * ∗和∘ \circ ∘满足：[1] 交换律 [2]分配律 [3]同一律[4]互补律，则称 < B , ∗ , ∘ > <B,*,\circ> <B,∗,∘> 是一个布尔代数。
17.nnn阶完全图、nnn阶竞赛图、nnn阶kkk正则图
n ( n ⩾ 1 ) n(n\geqslant1) n(n⩾1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的无向简单图，记作 K n K_n Kn.
n ( n ⩾ 1 ) n(n\geqslant1) n(n⩾1) 阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的有向简单图。
n ( n ⩾ 1 ) n(n\geqslant1) n(n⩾1) 阶竞赛图——基图为 K n K_n Kn 的有向简单图。
n ( n ⩾ 1 ) n(n\geqslant1) n(n⩾1) 阶 k k k 正则图——每个顶点都有相同数目的邻居的图。
18.什么是哈密顿图？
能走出一条通过每个结点仅一次的回路。
平凡图是哈密顿图（平凡图：仅有一个结点的图）。
19.什么是欧拉图？
能走出一条通过每条边仅一次的回路。
20.命题
命题：能够判断真假的陈述句。
命题分类
原子（简单）命题——不能再分解为更简单命题的命题。
复合命题——由原子命题通过命题联结词构成的命题。
21.联结词
非¬ \lnot ¬
合取∧ \land ∧
析取∨ \lor ∨
蕴涵→ \to →。