河南理工大学 研究生数值分析试题
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】数值分析试题一、 填空题（2 0×2′） 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
数值分析试卷及答案
二1求A的LU分解，并利用分解结果求解由紧凑格式故从而故2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。
现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。
若A有LU分解，则故，而，显然不能同时成立。
这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，，4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。
5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）（3）由事后误差估计式，右端为而左端这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。
因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。
6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。
如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。
对高斯-赛德尔法，迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛。
因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。
8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。
解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。
高斯-赛德尔法的迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。
9设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。
证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
最新研究生数值分析考试试题汇总
2004年研究生数值分析考试试题2004年非数学类各专业研究生《数值分析》考试试题姓名 学院 专业 分数1. 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?2. 已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=-1210处的函数值 )(i x f , n i ,,2,1,0 =.1) 构造)(x f 在],[b a 上的分段线性插值多项式.2) 假定)(x f 在],[b a 上有连续的2阶导数, 试估计以上分段插值的误差.1) .3. 设],[2b a L ρ是],[b a 上的带权内积空间,)(x ρ是权函数. 又设)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 是],[2b a L ρ中一组线性无关的函数, 并记由它们所有的线性组合所组成的函数集合为)}(,),(),({21x x x Span X n ϕϕϕ =.对任意的函数],[)(2b a L x f ρ∈, 求)(x f 在],[b a 中的最佳平方逼近.4. 试给出],[b a 上复化梯形求积公式, 并描述其自适应算法.5. 试分别给出求解线性代数方程组B AX =的Jacobi 迭代、Gauss —Seidle 迭代及超松弛迭代格式。
6）试用有限差分方法求解2阶常微分方程边值问题：,)),(),(,()(b x a x y x y x f x y ≤≤'='' ,)()(,)()(1010ββαα=+'=-'b y b y a y a y.0,0000,0>+≥βαβα。
2015年 研究生数值分析试题A卷
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，1试题__2016_年~__2017__年第1学期课程名称： 数值计算方法 专业年级： 2016级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………注意：本试卷共八道大题，共100分。
一、选择题(5小题，每小题3分，共3*5=15分)1、设设()849310f x x x =++，则0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦L 为( )。
（A ）、9； （B ）、8； （C ）、1； (D ）、0。
2、设()(0,1,2,,)i l x i n =L 是1n +个互异节点(0,1,2,,)i x i n =L 的拉格朗日插值基函数，则下列选项中正确的是（ ）。
（A ）、()230ni ii x l x x ==∑； (B ）、()20ni i j i x l x x ==∑；（C ）、()01ni i l x ==∑； （D ）、()20ni i i x l x x ==∑。
3、设矩阵A=1002-⎛⎫⎪⎝⎭, 则Cond(A)∞为( )。
(A)、-2； (B)、1； (C)、0； (D)、2。
4、下列说法不正确的是（ ）。
(A)、2(31)/2x -是2次Legendre 多项式； (B)、()[()()]2bab af x dx f a f b -=+⎰余项为3(2)()()12b a f η--；注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，。
西安理工大学研究生《数值分析》复习题
1 1 1 2 1 3 1 x1 1 x 六 求解矛盾方程组 2 5 2 2 1 x3 2 3 1 5
七 已知初值问题 y ax b, y(0) 0 有精确解 y ( x)
2 1 5 10．设 A 3 1 4 ，则 || A ||1 2 7 8 2 x1 2 x2 3x3 12 二 给定线性方程组 4 x1 2 x2 x3 12 x 2 x 3x 16 2 3 1
1. 用列主元消元法求解所给线性方程组。 2. 写出 Gauss－Seidel 迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。 三 设 M 2 Span 1, x 四 对于积分
. 试在 M
2
2
中求 f ( x) | x | 在区间 [1,1] 上的最佳平方逼近元。
1
0
1 1 4 f ( x)dx ，若取节点 x0 , x1 , x2 , 试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求 5 2 5
e
0
1
x
dx 的值。
五 给定方程 x Lnx 2 0 （1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间； （2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。 六 已知观测数据（1，-5） ， （2，0） ， （4，5） ， （5，6） ，试用最小二乘法求形如 ( x) ax 七 已知初值问题 y ax b, y(0) 0 有精确解 y ( x)
x4 y4 . .
y m0 m1 m2 m3 m4 则可利用 插值，其插值多项式的次方为 3 2 4.设 f(x)=3x +2x +1,则差商 f [0,1,2,3,4]=
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高等数值分析 课程试题
（2004—2005学年第二学期）
1、（10分）设⎰
==
-1
1,...1,0,n dx e x I x n n ，
验证1111,1---=-=n n nI I e I 。
（1）使证明，若已知1
-e 的近似值，按上述递推公式计算n I I I ,...,,21的近似值，其误差是逐次递增的； （2）使建立一种递推公式，使得按该递推公式计算，其误差是逐次递增的。
2、（15分）设n x x x ,...,,10为相异的节点，)(x l i 为Lagrange 插值基多项式。
试证明 （1）
n k x
x l x k
n
i i k
i ,...,1,0,)(0
=≡∑=；
（2）设)(x y 是m 次多项式，)(x P n 是以(){}n
i i i x y x 0)(,=为插值数据点的n 次插值多项式，则当n m ≤时，)()(x y x P n =；
（3）设)(x P n 为任意一个首项系数为1的n+1次多项式，则 )()()()(0
x x l x P x P n
i i
i
ω=-
∑=，
其中)())(()(10n x x x x x x x ---= ω。
3、（10分）证明函数
⎩⎨
⎧<≤=0
,
00
,)(3x x x x s 是一个三次样条函数。
4、（15分）（1）已知{}∝
=0)(n n x T 是切比雪夫多项式序列，其中
1),arccos cos()(≤=x x n x T n 。
证明：
)()(2)(11x T x xT x T n n n -+-=；
（2）设13)(34-+=x x x f ，在[]1,1-上求)(x f 的三次最佳逼近多项式。
5、（10分）确定下面求积公式中的系数，使其代数精度尽量高，并指出所构造出的求积公式所具有的代数精度：
)()0()()(101h f A f A h f A dx x f h
h
++-≈--⎰。
6、（10分）已知初值问题
⎪⎩⎪⎨⎧=+=0
)0(y b
ax dx dy
，
有精确解bx x a x y +=2
2
)(，求证用Euler 法以h 为步长所的近似解n y 的整体截断误差为
n n n n ahx y x y 2
1
)(=
-=ε 7、（10分）应用Newton 法于方程03
=-a x ，导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛速度。
8、（10分）设A 是非奇异距阵，,0≠=b Ax 且x b x x A δδ+=+)(，证明：
b
b
A
A
x
x
δδ1
-≤。
9、（10分）设方程组 ⎩⎨⎧≠=+=+022112
2221211
212111a a b x a x a b x a x a
迭代公式为
,...,2,1)(1)(1)1(121222)
(2)
1(212111
)(1=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=--k x a b a x x a b a x k k k k
证明：由上述迭代公式产生的向量序列{}
)(k x 收敛的充分必要条件是 122
1121
12<=
a a a a r 。