三角恒等式证明专题
第5章三角恒等变换复习课件-湘教版必修2
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos
三角恒等式证明
三角恒等式证明三角恒等式是指由三角函数之间的关系衍生出的等式。
在解决三角函数问题时，常常会使用到这些恒等式来化简和推导表达式。
本文将介绍三角恒等式的定义及相关证明。
一、基本的三角恒等式1. 正弦函数的恒等式对于任意角度 x，有以下恒等式成立：1) 正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这一恒等式是三角恒等式中最基本的一个，称为正弦-余弦恒等式。
其证明如下：根据单位圆的定义，我们知道在单位圆上，点 (cos(x), sin(x)) 的横坐标为 cos(x)，纵坐标为 sin(x)。
那么，这个点到原点的距离即为：r = sqrt((cos(x))^2 + (sin(x))^2)同时，根据勾股定理，我们知道单位圆的半径为1，即 r = 1。
将这两个等式联立起来，得到：1 = sqrt((cos(x))^2 + (sin(x))^2)两边同时平方，即可得到正弦-余弦恒等式。
2) 正弦函数的倒数是余弦函数：sin(x) / cos(x) = tan(x)这一恒等式称为正切函数的定义。
其证明可以通过正弦函数和余弦函数的定义相除得到。
2. 余弦函数的恒等式与正弦函数类似，对于任意角度 x，以下恒等式成立：1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方之差等于1：cos^2(x) - sin^2(x) = 1这一恒等式称为余弦-正弦恒等式。
其证明可以通过正弦-余弦恒等式变形而来：1 = sin^2(x) + cos^2(x)= cos^2(x) - cos^2(x) + sin^2(x) + cos^2(x)= (cos^2(x) - sin^2(x)) + 2cos^2(x)= cos^2(x) - sin^2(x) + cos^2(x)= cos^2(x) - sin^2(x)二、加减角公式在三角恒等式中，加减角公式是十分重要的一类恒等式。
它们将一个角的正弦、余弦、正切函数表达为另一个角度的三角函数的表达式。
三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。
根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。
例2 设AB A tan )tan(-+A C22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。
思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。
3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。
如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。
如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。
例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。
三角恒等式的证明方法
三角恒等式的证明方法本篇文章主要介绍了三角恒等式的证明方法，包括余弦定理和正弦定理两种方法。
三角恒等式是数学中一个非常重要的公式，它表示了三角形中三条边和三个角的关系。
在数学中，证明三角恒等式是非常重要的，下面将介绍两种证明方法：余弦定理和正弦定理。
余弦定理证明方法:余弦定理表示为:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA，其中 a、b、c 为三角形的三条边，A 为夹在 b、c 两边之间的角。
根据余弦定理，可以求出三角形中任意一个角的余弦值，从而证明三角恒等式。
具体证明过程如下:设三角形 ABC 的三个角分别为 A、B、C，则有:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC将上述三个式子相加，得到:a^2 + b^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab cosC + ac cosB + bc cosA)化简后得到:ab cosC + ac cosB + bc cosA = a^2 + b^2 + c^2根据余弦定理，cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc,cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac,cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab，代入上式得到:(b^2 + c^2 - a^2) / 2bc * b + (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac * c + (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab * a = a^2 + b^2 + c^2整理得到:a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2因此，三角恒等式得证。
正弦定理证明方法:正弦定理表示为:a / sinA = b / sinB = c / sinC，其中 a、b、c 为三角形的三条边，A、B、C 为三角形的三个角。
三角恒等式的证明与应用
三角恒等式的证明与应用三角恒等式是数学中的重要概念，它们在解决三角形相关问题和进行三角函数的化简时起着关键的作用。
本文将重点介绍一些常见的三角恒等式，并给出其证明及应用。
一、正弦、余弦和正切的基本关系在直角三角形中，我们知道正弦、余弦和正切的定义如下：正弦（sin）：给定一个角θ，其中θ的对边为a，斜边为h，则正弦可以定义为sinθ = a/h。
余弦（cos）：给定一个角θ，其中θ的邻边为b，斜边为h，则余弦可以定义为cosθ = b/h。
正切（tan）：给定一个角θ，其中θ的对边为a，邻边为b，则正切可以定义为tanθ = a/b。
基于上述定义，我们可以得到一个基本的三角恒等式：sin^2θ + cos^2θ = 1。
证明：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其对边的平方与邻边的平方之和。
即 h^2 = a^2 + b^2。
将正弦和余弦的定义代入上述等式，得到 (a/h)^2 + (b/h)^2 = 1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个三角恒等式是三角学中最基础且重要的恒等式之一，它表明在任意直角三角形中，正弦的平方与余弦的平方之和始终等于1。
二、同角三角函数的互相关系除了基本的三角恒等式外，同角三角函数之间还存在着其他重要的关系，它们可以帮助我们简化三角函数的计算和求解。
1. 余弦和正弦的关系：cosθ = sin(90° - θ)。
证明：考虑一个直角三角形，其中一个角度为θ。
根据三角形角度和为180°，可得另一个角度为90° - θ。
根据余弦的定义，cosθ = b/h，同时根据正弦的定义，sin(90° - θ) = b/h。
由此可得，cosθ = sin(90° - θ)。
这个关系表明，余弦和正弦是互相关于90°对称的。
在一些三角函数的计算中，我们可以利用该关系将问题转化为更简单的计算形式。
2. 正切、余切和正弦、余弦的关系：tanθ = sinθ/cosθ，cotθ =cosθ/sinθ。
三角恒等式理解三角恒等式的证明与应用
三角恒等式理解三角恒等式的证明与应用三角恒等式是指在三角函数中，存在一些特定的等式关系。
这些等式在解决三角函数相关问题时经常被使用，因此理解三角恒等式的证明与应用对于学习和应用三角函数非常重要。
本文将对三角恒等式的证明与应用进行详细的探讨。
一、三角恒等式的定义和基本形式三角恒等式是指在三角函数中满足特定关系的等式。
常见的三角恒等式有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数之间的等式关系。
1. 正弦函数与余弦函数的恒等式正弦函数与余弦函数最常见的恒等式是正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
2. 正切函数与余切函数的恒等式正切函数与余切函数最常见的恒等式是正切函数与余切函数的倒数的平方等于1，即tan^2θ + 1 = sec^2θ。
3. 正弦函数与余切函数的恒等式正弦函数与余切函数的恒等式是正弦函数与余切函数的倒数之积等于1，即sinθ * cscθ = 1。
二、三角恒等式的证明方法三角恒等式的证明可以通过几何证明、代数证明和三角恒等式的性质来完成。
下面以sin^2θ + cos^2θ = 1为例进行证明。
1. 几何证明对于sin^2θ + cos^2θ = 1，可以通过单位圆的概念来进行几何证明。
假设在单位圆上取点P(x, y)，则此时P点到圆心的距离为1，可以得到x^2 + y^2 = 1。
而根据三角函数的定义，sinθ = y，cosθ = x，代入原等式即可得证。
2. 代数证明代数证明通常采用数学运算的方法来推导等式的成立。
对于sin^2θ + cos^2θ = 1，可以通过将右边的1展开成sin^2θ + cos^2θ的形式来证明。
具体步骤如下：s in^2θ + cos^2θ = (sin^2θ + cos^2θ)(1)= sin^2θ + sin^2θcos^2θ + cos^2θsin^2θ + cos^2θ= sin^2θ(1 + cos^2θ) + cos^2θ(1 + sin^2θ)= sin^2θ + cos^2θ= 1因此，通过代数运算可以证明sin^2θ + cos^2θ = 1。
高考数学一轮总复习第五章三角函数第四节三角恒等变换课件
最小值为(
A.2
)
4 3
B. 3
8 3
C. 3
D.8 3
1
+
的
cos sin
答案 (1)4
解析(1)
(2) C
3cos20 °-sin20 °
cos20 °cos70 °
=1
2
2sin (60°-20°)
×2sin20 °cos20 °
π
(2)∵α+β= ,∴sin(α+β)=sin
3
=
αcos β+cos αsin
增素能 精准突破
考点一
三角函数式的化简与证明(多考向探究)
考向1.三角函数式的化简
典例突破
例1.化简下列各式:
(1) 2 + 2cos2 +
π
π
1-sin2 − 1 + sin2(其中 <α< );
4
2
2 (π+)
2tan(π
-)sin
4
4
(2)
.
1-cos2
2
解
π
π
(1)因为4<α<2,所以
π π
例如:α=(α+6)-6=(α-3)+3,α=(α+β)-β=β-(β-α),
2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α,
+ -
+ -
α= 2 + 2 ,β= 2 − 2 等.
(2)两角互余与互补关系
π
π
高中数学三角恒等式证明技巧总结
高中数学三角恒等式证明技巧总结在高中数学中，三角恒等式证明是一个重要的考点，也是学生们经常遇到的难题之一。
掌握一些证明技巧，能够帮助我们更好地理解三角函数的性质和运算规律。
本文将总结一些常见的三角恒等式证明技巧，并通过具体题目进行举例，帮助读者更好地掌握这些技巧。
一、利用基本恒等式在三角恒等式的证明中，我们可以利用一些基本的恒等式来推导其他的恒等式。
例如，我们知道sin²θ + cos²θ = 1，这是一个非常基本的三角恒等式。
通过这个恒等式，我们可以推导出其他的恒等式，比如tan²θ + 1 = sec²θ，cot²θ + 1 = csc²θ等等。
下面我们通过一个具体的例子来说明这个技巧。
例题：证明恒等式tan²θ + 1 = sec²θ解析：我们可以利用基本恒等式sin²θ + cos²θ = 1来推导这个恒等式。
首先，我们将sec²θ用sin和cos表示：sec²θ = 1/cos²θ。
然后，我们将1/cos²θ用tan表示：1/cos²θ = 1/(1 - tan²θ)。
接下来，我们将1/(1 - tan²θ)用sin表示：1/(1 - tan²θ) =sin²θ/(1 - sin²θ)。
最后，我们将sin²θ/(1 - sin²θ)用tan表示：sin²θ/(1 - sin²θ) = tan²θ。
因此，tan²θ + 1 = sec²θ成立。
通过这个例题，我们可以看到，利用基本恒等式可以帮助我们推导其他的恒等式，从而简化证明过程。
二、利用对称性质在三角恒等式的证明中，有时候我们可以利用三角函数的对称性质来推导恒等式。
例如，我们知道sin(π/2 - θ) = cosθ，cos(π/2 - θ) = sinθ。
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课 题三角恒等式证明专题 教学目标通过对三角函数的综合知识整理及复习达到熟练掌握基础知识，及灵活运用三角函数公式。
提高利用数型结合思想分析题意的能力， 重点、难点 三角函数图像及其性质，三角恒等式的证明考点及考试要求特点一:考小题,重在于基础.有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,三角函数的解析式,图象和图象变换,两域(定义域,值域),四性(单调性,奇偶性,对称性,周期性),反函数, 以及简单的三角变换,(求值,化简,及比较大小),都突出了对三角函数基础知识的考查.特点二:考大题,难度略有降低.由于高中数学教材内容的重新修订,对三角函数的整体要求有所降低,体现在高考中对有关三角函数的大题(解答题),通过三角公式变形,转换等手段来考查学生思维能力的题目,其难度有所下降,而比较突出地考查了学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.特点三:考应用,常融于三角形之中.高考中此类题型的考查既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来备受命题者的青睐,主要解法是充分利用三角形的内角和定问题时,常常体现了三角的工具性作用。
教学内容知识框架 （1）公式的变形及应用运用三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。
（iii ）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如:()()()()()()()()。
，，，βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos ，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=。
例1、求)3tan(tan 3)3tan(tan απααπα-+-+=____________ 分析:将公式 ()βαβαtan tan tan +=+变形为:()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+即可得出答案3,故原式等于3 （2）角的变换解决三角变换问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再确定如何利用已知条件,采用哪些公式,避免盲目处理相关角的三角函数式,以免造成不必要的麻烦,要整体地把握公式,认真考虑角的整体运用,这往往要用到常见角的变换,即拼角与拆角，常见的变换如下:如()++=βαα2()βα-，()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，()()()()αβαβαβαβββααββαα+--=-+=+-=-+=，，，()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+44πββαπα等。
例2、已知13543sin ,534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βπαπ,其中40,434πβπαπ<<<<,求()βα+sin 的值 分析:已知角βπαπ+-43,4,与所求角βα+的关系是()βαπαπβπ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+2443,要求()βα+sin ,即求()]2cos[βαπ++- 解: 40,434πβπαπ<<<< πβππαππ<+<<-<-∴4343,042 131243cos ,544sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴βπαπ ∴()]2cos[βαπ++=cos ]443[⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απβπ=6556- ()βα+∴sin =()]2cos[βαπ++-=6556- （3）函数名的变换对于函数名的变换主要是用诱导公式六“函数名改变，符号看象限”即：;sin 2cos ;cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-就可实现函数名的改变， 同时还要同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 也是常用的三角变换。
（i ）熟悉常数“1”的各种三角代换，，常用的有αα22cos sin 1+==6sin 23cos 22sin 4tan ππππ===；|cos sin |2sin 1ααα±=+，|cos |22cos 1α=α+，|sin |22cos 1α=α-。
(ii)三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)x sin(b a 22φ++（取ab arctan=φ）是常用变形手段。
特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±3cosx ，要熟练掌握这两个变换技巧，在解题中将起到事半公倍的效果，同时还要熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。
例3、化简)cos 1(2sin 12α++α+，α∈（π，2π）分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式∵ 222)2cos 2(sin 2cos 2sin 22cos 2sin sin 1α+α=αα+α+α=α+ 2cos 4)12cos 21(2)cos 1(222α=-α+=α+ ∴ 原式=|2cos |2|2cos 2sin |2α+α+α ∵ α∈（π，2π）∴ ),2(2ππ∈α ∴ 02cos<α 当π≤α<ππ≤α<π23,4922时，02cos 2sin >α+α ∴ 原式=2sin2α 当π<α<ππ<α<π223,243时，02cos 2sin <α+α ∴ 原式=)2arctan 2sin(522cos 42sin 2+α-=α-α- ∴ 原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π<α<π+α-π≤α<πα223)2arctan 2sin(52232sin 2知识概括、方法总结与易错点分析 （1）三角函数中的求值问题三角函数的求值就是利用题中的已知条件，正确、合理地应用三角恒等变形公式，也即同角关系，诱导公式，两角和差、倍角公式等三角函数公式，把角变化为特殊角，或三角函数化为同名、同角三角函数进行合并与化简，最后求出三角函数（式）的值。
掌握几种主要题形的思路与方法：给角求值、给值求值、给值求角等。
知角求值问题是三角变换中的难点之一，常见问题中角多为非特殊角，那么要解决这类问题，首先认真观察角的特点；其次从函数名的角度去思考，如切化弦，化同名等手段也是解决问题的途径；第三，看其结构符合不符合我们学过的公式或公式变形。
给值求值也就是条件求值问题，即由给出的一些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数，关键在于“变角”使“目标角”变换成“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用，变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用。
给值求角实质也是转化为“”给值求值“关键也是变角，反所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合角的范围求得角。
（2）三角函数中的化简化简是三角函数式求值与证明的基础，即通过一系列的恒等变形变异为同，化繁为简，以达到简化运算的目的，原则是形式简单，函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值，化简过程要注意角的范围，难点在于众多的三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，认真分析所化简式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活运用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。
（3）三角恒等式的证明三角恒等式的证明的思路是利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式，常用的方法是：（i ）从等式一边推出另一边；（ii ）证明等式都等于同一个式（或值）也就是两边夹法则；（iii ）比差法，即证明等式左、右两边之差为零。
（iv ）运用综合法、分析法证明。
针对性练习一、填空题1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．3．已知sin2α+cos 2α=－53，且2π5＜α＜3π，则cot 4α的值为____________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________二、解答题6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．13． 求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos2x 的值．15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．课后作业 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα （ ） A. 1325 B. 1327 C. 26217 D. 2627 2.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A. 552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552- 3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ（ ） A. 23-B. 21-C. 21D. 23 4.=-+0000tan50tan703tan50tan70 （ ）A. 3B. 33 C. 33- D. 3- 5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D. 21 6.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ）A. x sin 2B. x sin 2-C. x cos 2D. x cos 2-7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103- 8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）A. 6π-B.6π C. 65π D. 65π- 9. 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A ．89- B ．21- C ． 21 D ．89 10. 已知2cos 23θ=，则44cos sin θθ-的值为（ ） A ．23-B ．23C ．49D ．1 11. 求=115cos 114cos 113cos 112cos11cos πππππ（ ） A. 521 B. 421 C. 1 D. 0 12. 函数sin 3cos 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=- D ．3x π=- 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ． 14．在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．15.若542cos ,532sin -==αα，则角α的终边在 象限． 16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ．三．解答题（共6个小题，共74分）17．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．18．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．19．（12分）已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．20. （12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且， 求)2tan(βα-的值及角βα-2．21．（12分）已知函数2()cos 3sin cos 1f x x x x =++，x R ∈.（1）求证)(x f 的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．.。