2019年高考数学真题分类汇编 专题06 数列 文科及答案

2015年高考数学真题分类汇编 专题06 数列 文
1.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若
844S S =，则10a =（ ）
（A ）
172 （B ）19
2
（C ）10 （D ）12 【答案】B
【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +
⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =1
2
，∴101119
9922
a a d =+=
+=，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.
2.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5
【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以
15a =；
若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =；
故答案为5
【考点定位】等差数列的性质.
【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然
后利用等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.
3.【2015高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ． 【答案】1
【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2
551b ac ==+-=，因为
0b >，所以1b =，所以答案应填：1．
【考点定位】等比中项．
【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2G ab =．
4.【2015高考福建，文16】若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的
零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9
【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比
数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4
b a
=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4
a
是等差中项时，
8
2a a
=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 【考点定位】等差中项和等比中项．
【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．
5.【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】
2
,13
- 【解析】由题可得，2
111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3
d a =-=
. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以
及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.
6.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若
126n S =，则n = .
【答案】6
【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴2(12)
12612
n n S -==-，∴264n =，∴n=6.
考点：等比数列定义与前n 项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.
7.【2015高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，2
1
1+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27
【解析】∵2≥n 时，2
1,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首项，2
1
为公差的等差数列 ∴271892
1
289199=+=⨯⨯+
⨯=S 【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.
【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.
8.【2015高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．
【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．
由已知得()()11143615
a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，
解得13
1a d =⎧⎨=⎩
．
所以()112n a a n d n =+-=+． （II ）由（I ）可得2n n b n =+．
所以()()()()
231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++
()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
()()102121101012
2
-+⨯=
+
-
()112255=-+ 112532101=+=．
【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
【名师点睛】确定等差数列的基本量是1,a d ．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n 项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消）；
（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）． 9.【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，
432a a -=．
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（II ）先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.
又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.
（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.
【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，等比数列的通项公式：11n n a a q -=．
10.【2015高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（Ⅰ）1
2n n a -=（Ⅱ） 1122
21
n n ++--
【解析】
（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ， 又941=+a a ， 可解的⎩⎨
⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==18
4
1a a （舍去） 由3
14q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n q a a .
（Ⅱ）122
1211)1(1-=--=--=
n n n n q q a S 又11111
11
n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=
==-
所以1113221211
111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n n
n n S S S S S S S S b b b T
1
2
111
--
=+n .
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n 项和，以及利用裂项相消法求和.
【名师点睛】本题利用“若q p n m +=+，则q p n m a a a a =”，是解决本题的关键，同时考生发现11111
11
n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-
是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.
11.【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =
，35
4
a =，且当2n ≥ 时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；
（2）证明：112n n a a +⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．
【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()1
1212n n a n -⎛⎫
=-⨯ ⎪
⎝⎭
．
【解析】
试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为
2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列；
（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪
⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭
是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试
题
解
析
：（
1
）
当
2
n =时，
4231
458S S S S +=+，即
435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得：478a =
（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125
441644
a a a +=⨯
+==，所以21
44n n n a a a +++=，因
为
()212111111111
4242212142422222
n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====
----，所以数列
112n n a a +⎧
⎫-⎨⎬
⎩⎭
是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列 （3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以
1
11122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
即
11
41122n n n n
a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪
⎪⎪
⎨⎬⎛⎫⎪⎪
⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭
是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212n
n
a n n =+-⨯=-⎛⎫
⎪⎝⎭
，即()()1
11422122n
n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}
n a 的通项公式是()1
1212n n a n -⎛⎫
=-⨯ ⎪
⎝⎭
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.
【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题．
本题通过将n S 的递推关系式转化为n a 的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件“2n ≥”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义：
1
n n
a q a +=（常数）
，等比数列的通项公式：11n n a a q -=，等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-．
12.【2015高考湖北，文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）1
21,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),9
29().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩
；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.
【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.
【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.
13.【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，
（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。

【答案】（I ）略；(II) 2
*2*23
(531),(21,)2
3(31),(2,)2
n n n
n k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩ 【解析】
试题分析：（I ）当*
,2n N n ∈≥时，由题可得23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，
113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈，两式子相减可得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，然后验证当n=1时，命题成立即可； (II)通过求解数列{}n a 的奇数项
与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式.
试题解析：（I ）由条件，对任意*n N ∈，有23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈， 因而对任意*
,2n N n ∈≥，有113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈， 两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥， 又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=， 故对一切*n N ∈，23n n a a +=。

（II ）由（I ）知，0n a ≠，所以
2
3n n
a a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯， 于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=++
++++
+
1
1
1
3(31)
(133)2(133)3(133)2
n n n n ----=++
+++=++
=
从而1221223(31)3
23(531)22
n n n n n n S S a ----=-=-⨯=⨯-，
综上所述，2*2*23
(531),(21,)2
3(31),(2,)2
n n n
n k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩。

【考点定位】数列递推关系、数列求和
【名师点睛】已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.
14。

【2015高考湖南，文21】 （本小题满分13分）函数2
()cos ([0,)f x ae x x =∈+∞，记n
x
为()f x 的从小到大的第*
()n n N ∈个极值点。

（I ）证明：数列{()}n f x 是等比数列；
（II ）若对一切*
,()n n n N x f x ∈≤恒成立，求a 的取值范围。

【答案】（I ）略；
(II) 2,)π
-+∞
【解析】
试题分析：（I
）由题()cos()4
x f x x π
'=
+ ，令()0f x '= ，求出函数的极值点，根据
等比数列定义即可得到结果；(II)
由题意问题等价于
34
34
n e n ππππ-
≤-恒成立问题，设
()(0)
t
e g t t t
=>，然后运用导
数
知
识
得
到
2min 1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e ππ
πππ====
，所以24
e π
π
≤，求
得2a π
-≥，得到a 的取值范围；
试题解析：（I
）()cos sin cos()4
x x x f x ae x ae x x π
'=-=
+
令()0f x '=，由0x ≥，得42x m πππ+=-，即*3,4
x m m N π
π=-∈，
而对于cos()4
x π
+
，当k Z ∈时，
若22242k x k π
π
π
ππ-
<+
<+
，即32244k x k ππππ-
<<+，则cos()04x π
+>；
若322242k x k πππππ+<+<+，即52244k x k ππππ+<<+，则cos()04
x π
+<；
因此，在区间3((1),)4m m πππ--与3(,)44
m m ππ
ππ-+上，()f x '的符号总相反，于
是当*3,4x m m N ππ=-∈时，()f x 取得极值，所以*3,4
n x n n N π
π=-∈，此时，
334
43()cos()(1)4n n n n f x ae
n π
π
ππππ-
-+=-=-，易知()0n f x ≠，而
1()()n n f x e f x π+==-是常数， 故数列{()}n f x
是首项为41()f x ae π
=，公比为e π-的等比数列。

（II ）对一切*
,()n n n N x f x ∈≤
恒成立，即34
34n n π
πππ--≤恒成立，亦即
34
34
n e n π
πππ-
≤-恒成立，
设()(0)t e g t t t =>，则2
(1)
()t e t g t t -'=，令()0g t '=得1t =，
当01t <<时，()0g t '<，所以()g t 在区间(0,1)上单调递减； 当1t >时，()0g t '>，所以()g t 在区间(1,)+∞上单调递增； 因为(0,1)n x ∈，且当2n ≥时，1(1,),,n n n x x x +∈+∞<所以
2min
1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e ππ
πππ
====
因此，*
,()n n n N x f x ∈≤
恒成立，当且仅当24e ππ≤
，解得2a π
-≥，
故实数a
的取值范围是2,)π
-+∞。

【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质
【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．
15.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬∙⎩⎭
的前
n 项和为
21
n
n +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设()12n a
n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 1
4(31)4.9
n n n T ++-⋅=
【解析】
（I ）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得
1211
3
a a =，所以123a a =. 令2,n =得
12231125
a a a a +=，所以2315a a =. 解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-
（II ）由（I ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅
114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--
所以113144(31)44.999
n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=
【考点定位】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.
【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、“错位相减法”等，解答本题的关键，首先是注意运用从一般到特殊的处理方法，准确确定等差数列的通项公式；其次就是能对所得数学式子准确地变形，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数，或忘记从3n T -化简到n T .
本题是一道能力题，属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.
16.【2015高考陕西，文21】设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =++
+-∈≥
(I)求(2)n f '；
(II)证明：()n f x 在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233n
n a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.
【答案】(I) (2)(1)21n n f n '=-+ ；(II)证明略，详见解析.
试题解析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=++
+，
所以1(2)1222n n f n -'=+⨯+
+ ①
由 22(2)12222n n f n '=⨯+⨯++ ② ①-②得21(2)12222n n n f n -'-=+++
+-
2
122(1)2112
n n n n -=
-⋅=---， 所以 (2)(1)21n n f n '=-+ (II)因为(0)10f =-<
222133222()112120233313
n
n n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=
-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-，
所以()n f x 在2(0,)3
内至少存在一个零点， 又1()120n n f x x nx -'=++
+>
所以()n f x 在2
(0,)3
内单调递增，
因此，()n f x 在2(0,)3
内有且只有一个零点n a ，
由于1()11n
n x f x x -=--，
所以10()11n
n n n n
a f a a -==--
由此可得1111222
n n n a a +=+> 故
12
23
n a << 所以1
11112120222333n n
n n n a a ++⎛⎫⎛⎫
<-=<⨯=⨯ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【考点定位】1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.
【名师点睛】（1）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；（2）证明
零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；（2）有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域范围内的值域即可；（4）本题属于中档题，要求有较高逻辑思维能力和计算能力.
17.【2015高考四川，文16】设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且
a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1
{
}n
a 的前n 项和为T n ，求T n . 【解析】(Ⅰ) 由已知S n ＝2a n －a 1，有
a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)
即a n ＝2a n －1(n ≥2)
从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)
所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2
所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列 故a n ＝2n
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得112n n a =所以T n ＝211[1()]111122 (11222212)
n n n
-+++==-- 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.
【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是S n 与a n 关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，这种方法中一定要注意首项a 1是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.
18.【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式;
（II ）设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.
【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;（II ）()2323n
n S n =-+
【解析】
（I ）列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项;（II ）用错位相减法求和.
试题解析:（I ）设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,
q d q d ⎧-=⎨-=⎩
消去d 得4
2
280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ,
{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .
（II ）由（I ）有()1
212
n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则
()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯
两式相减得()()2
3
12222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-
所以()2323n
n S n =-+ .
【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力. 【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.
19.【2015高考浙江，文17】（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，
*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈
*1231111
1(n N )23
n n b b b b b n
++++
+=-∈. （1）求n a 与n b ；
（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)2;n
n n a b n ==；(2)1
*(1)22()n n T n n N +=-+∈
【解析】
(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和. 试题解析：(1)由112,2n n a a a +==，得2n
n a =. 当1n =时，121b b =-，故22b =. 当2n ≥时，
11n n n b b b n +=-，整理得11
n n b n b n
++=
， 所以n b n =.
(2)由(1)知，2n
n n a b n =⋅ 所以2
3222322n n T n =+⋅+⋅+
+⋅
2341222232(1)22n n n T n n +=+⋅+⋅+
+-⋅+⋅
所以2
3
11222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-⋅=--
所以1
(1)2
2n n T n +=-+.
【考点定位】1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和. 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点，以此得到数列的通项公式，利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力. 20.【2015高考重庆，文16】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =9
2
. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式，
(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）+1
=2
n n a ，（Ⅱ）21n n T =-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知及等差数列的通项公式和前n 项和公式可得关于数列的首项a 1和公式d 的二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式， （Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可求出b 1和b 4的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的
前n 项和公式1(1)
1n n b q T q
-=-即可求得数列{}n b 前n 项和n T ．
试题解析： （1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得
11329
22,3,22
a d a d ´+=+
= 化简得113
22,,2
a d a d +=+=
解得11
=1,2
a d =，
故通项公式1=1+2n n a -，即+1
=2n n a .
(2)由（1）得141515+1
=1==82
b b a =，. 设{}n b 的公比为q,则34
1
q 8b b ==,从而2q =. 故{}n b 的前n 项和
1(1)1(12)21112
n n n n b q T q -?===---.
【考点定位】1. 等差数列，2. 等比数列.
【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式，利用方程组思想求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
【2015高考上海，文23】（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n . （1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；
（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*
∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；
（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*
∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，
0n a ≠，且
1
(,6)6m n
a a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4
1
(-
. 【解析】（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ， 所以)(211n n n n b b a a -=-++6)5383(2=--+=n n ，
所以}{n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n . （2）由)(211n n n n b b a a -=-++，得n n n n b a b a 2211-=-++，
所以}2{n n b a -为常数列，1122b a b a n n -=-，即1122b a b a n n -+=， 因为n n a a ≥0，*∈N n ，
所以111122220b a b b a b n n -+≥-+，即n n b b ≥0， 所以}{n b 的第0n 项是最大项.
（3）因为n n b λ=，所以)(211n n n n a a λλ-=-++，
当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--- λλλλλλ
λ3)(2(2)(22211
+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n n
λλ+=n 2， 当1=n 时，λ31=a ，符合上式， 所以λλ+=n n a 2，
因为031<=λa ，且对任意*∈N n ，
)6,6
1
(1∈n a a ， 故0<n a ，特别地022
2<+=λλa ，于是)0,2
1
(-∈λ， 此时对任意*∈N n ，0≠n a ， 当02
1
<<-
λ时，λλλ>+=n n a 22||2，λλλ<+-=--1212||2n n a ， 由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为022
2<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，
n m a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及3
1212+=λa a ， 由
61312>+λ及6123<+λ，解得04
1<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,4
1
(-.
【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.
【名师点睛】数列是高中数学的重要内容之一，是衔接初等数学与高等数学的桥梁，在高考中的地位举足轻重，近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查，并且创意不断，
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