5------第三章 数据结构及其运算(二)

3.4 数组与矩阵
3.4.3 规则矩阵的压缩
a11 a a22 0 下三角矩阵的压缩存储 21 A a31 a32 a33 存储原则： 1）只需要存储左下三角元素， ... ... ... ... an1 an 2 an 3 ... ann 不需要存储右上三角的零 元素。 2）用一个一维数组以行（或列）为主顺序存放 三角矩阵中的所有左下三角元素。 压缩情况：n2个元素只需要n(n+1)/2个元素的存 储空间
3.4 数组与矩阵
3.4.1 数组概述
数组是在程序设计中，为了处理方便，把具有相同类 型的若干变量按有序的形式组织起来的一种形式。这些按 序排列的同类数据元素的集合称为数组。 根据下标的数量可将数组分为一维数组、二维数组及n 维数组。如一维数组a[10],二维数组a[4][5]，三维数组 a[3][4][6]。 数学中的矩阵在程序设计语言中用二维数组表示。本节 主要讨论二维数组，多维数组可由二维数组类推而得到。
21 22 31 32 33 n1 n2 n3 11 21 31 21 22 32 31 32 33 n1 n2 n3
11
12
21
22
23
32
33
34

0
...
...
... an 1,n 1 an,n 1
an 1,n 2
an 1,n an,n
3.4 数组与矩阵
3.4.3 规则矩阵的压缩
三对角矩阵的压缩存储
要访问三对角矩阵A的元素aij,分以下两种情况考虑。（以 行为主存储方式） 如果要访问的aij不在3条对角线上(j<i-1或j>i+1),则aij 为0； 如果要访问的aij在3条对角线上(j=i-1或j=i或j=i+1), 则该元素存放在B中，在B中存放的位置计算如下：第i-1 行最后一位非0元素存放的位置为3(i-1)-1,这样第i行第1 个非0元素(此时j=i-1)位置为3(i-1)-1+1=3(i-1),同样 j=i对应的元素位置为3(i-1)+1,j=i+1对应的元素位置为 3(i-1)+2,也就是说第i行第j行存放位置为：3(i-1)-1+ji+2=2i+j-2=2(i-1)+j
Байду номын сангаас
3.4 数组与矩阵
3.4.2 数组的顺序存储结构
二维数组以行为主的顺序存储
二维数组以行为主的顺序存储是指将数组中的元素一 行一行地顺序存储在计算的连续存储空间中，即先存储第 1行，再存储第2行，以此类推；每一行的元素以从左到右 的顺序存储。
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a21 a22 a23
3.4 数组与矩阵
3.4.2 数组的顺序存储结构
二维数组以行为主的顺序存储
对于二维数组{aij,1≤i≤m,1≤j≤n}，即n×m矩阵，如果 数组中第一个元素(a11)在计算机中的存储地址为Adr(a11), 且每个元素占L个字节，则数组中的元素aij在计算机中的 存储地址为 Adr(aij)=Adr(a11)+[(i-1)n+j-1]*L, 1≤i≤m,1≤j≤n 在程序设计语言BASIC、C中的多维数组在计算机中 是以行为主顺序存储的。
3.4 数组与矩阵
3.4.2 数组的顺序存储结构
二维数组以列为主的顺序存储
对于二维数组{aij,1≤i≤m,1≤j≤n}，即n×m矩阵，如果 数组中第一个元素(a11)在计算机中的存储地址为Adr(a11), 且每个元素占L个字节，则数组中的元素aij在计算机中的 存储地址为 Adr(aij)=Adr(a11)+[(j-1)n+i-1]*L, 1≤i≤m,1≤j≤n 在程序设计语言FORTRAN中的多维数组在计算机中 是以行为主顺序存储的。
a11 a 21 A a12 a22 a32 a23 a33 ... 0 a34 ... ... ... ... ... ... ... an 1,n 2 ... an 1,n 1 an,n 1 0 an 1,n an,n
3.4.3 规则矩阵的压缩
对称矩阵的压缩存储
a11 a 21 A a31 ... an1 a21 a22 a32 ... an 2 a31 ... an1 a32 ... an 2 a33 ... an 3 ... ... ... an 3 ... ann
规则矩阵是指矩阵中非零元素的分布有规律。如： a 上三角矩阵：非零元素只在矩阵的右上 A a a a 0 a a ... ... ... ... 三角出现，而左下三角的元素都为0； a a a ... 下三角矩阵：非零元素只在矩阵的左下 a a ... a a a a ... 三角出现，而右上三角的元素都为0； A a a a ... ... ... ... ... 对称矩阵：左下三角与右上三角的元素 a a a ... a a 是对称的； a a a 0 三对角矩阵：除了在3条对角线上 a a a ... ... ... A 的元素为非零外，其他元素都为0； ... ... ...
a11 a 21 A a12 a22 a32 a23 a33 ... 0 a34 ... ... ... ... ... ... ... an 1,n 2 ... an 1,n 1 an,n 1 0
an 1,n an,n
a11 a 21 A a31 ... an1 a22 a32 a33 0 ... ... ann
aij元素访问： ... ... an 2 an 3 当访问第i行第j列的元素时， 如果i<j,则该元素位于矩阵的右上三角区域，元 素值为0； 如果i≥j，元素值非0，需要计算压缩后aij会放在 一维数组B中的序号。首先需要计算第i-1行最后一 个元素放置的位置，为1+2+3+…+i-1=i(i-1)/2,则 aij在B中的位置为i(i-1)/2+j。即访问关系为：
三对角矩阵的压缩存储
n阶三对称矩阵的形式为，
a11 a 21 A a12 a22 a32 a23 a33 ... 0 a34 ... ... ... ... ... ... ... an 1,n 2 ... an 1,n 1 an,n 1 0 an 1,n an,n
3.4 数组与矩阵
3.4.2 数组的顺序存储结构
二维数组以列为主的顺序存储
二维数组以列为主的顺序存储是指将数组中的元素一 列接一列地顺序存储在计算机的连续存储空间中，即先存 储第1列，然后存储第2列，以此类推；每一列的元素以从 上到下的顺序存储。
a11 a a21 12 a13 a22 a23 a11 a21 a12 a22 a13 a23
3.4 数组与矩阵
3.4.3 规则矩阵的压缩
在规则矩阵中，由于非零元素有规律地分布在矩阵中， 因此，在存储一个规则矩阵时，只需存储非零元素，而对 于大部分的零元素或重复的非零元素不必存储，从而节省 存储空间。----压缩存储 问题：规则矩阵压缩存储后，如何能方便地访问矩阵中的 每个元素。以下以三角矩阵、对称矩阵与三对角矩阵为例 讨论。
3.4 数组与矩阵
3.4.2 数组的顺序存储结构
数组在计算机中是顺序存储的，也就是说是按一维线 性排列的。 如对于二维数组，虽然在概念上是二维的，其下标在 两个方向上变化 ，但按一维存储的 。 如何在一维存储 器中存放二维数组，可有两种方式：一种是以行为主的顺 序存储， 即放完一行之后顺次放入第二行。另一种是以 列为主的顺序存储， 即放完一列之后再顺次放入第二列。
a11 a 21 A a31 ... an1
a22 a32 ... an 2 a33 ... an 3
0 ... ... ann
在以列为主压缩存储的情况下，访问下 三角矩阵的元素其下标运算要比以行为 主压缩存储时要复杂一些。
3.4 数组与矩阵
3.4 数组与矩阵
3.4.3 规则矩阵的压缩
a11 A
11
a12 a22 0
a13 a23 a33
... a1n ... a2 n .. a3n ... ... ann ann an1 an 2 an 3 ... ann
3.4 数组与矩阵
3.4.3 规则矩阵的压缩
下三角矩阵的压缩存储
存储方法（以行为主）：对 于n阶下三角矩阵A，开辟一个 长度为n(n+1)/2的一维数组B, 然后一行接一行依次次存放A中 下三角部分的元素，存放在一 维数组B中的形式如右图。
3.4 数组与矩阵
3.4.3 规则矩阵的压缩
下三角矩阵的压缩存储
3.4 数组与矩阵
3.4.1 数组概述
二维数组的元素也称为双下标变量，其表示的形式为： 数组名[下标][下标] ，其中下标应为整型常量或整型表 达式。例如： a[3][4] 表示a数组三行四列的元素。 下标变量和数组说明在形式中有些相似，但这两者具 有完全不同的含义。 数组说明的方括号中给出的是某一 维的长度，即可取下标的最大值； 而数组元素中的下标 是该元素在数组中的位置标识。前者只能是常量， 后者 可以是常量，变量或表达式。
B[i(i 1) / 2 j ] i j aij i j 0
3.4 数组与矩阵
3.4.3 规则矩阵的压缩
下三角矩阵的压缩存储
同样，在以列为主压缩存储下三角矩阵 A的情况下（如右图），访问aij的公式为