奥赛讲义——几 何 光 学
2024_小学奥数精华讲义汇总
2024_小学奥数精华讲义汇总小学奥数是指在小学阶段进行的面向全国的数学竞赛，旨在培养学生的数学思维和解题能力。
以下是2024年小学奥数精华讲义的汇总。
1.整数加减法：小学奥数中常见的题型之一是整数加减法。
学生要掌握正负数的概念和表示方法，并能够灵活运用加减法的规则。
教师可以通过游戏、实例演示等形式帮助学生理解和掌握这些概念和规则。
2.分数运算：分数运算也是小学奥数中的重要内容。
学生要学会分数的基本运算，包括分数的加减乘除。
教师可以通过直观的图形表示和实例演示，帮助学生理解分数的意义和运算规则。
3.几何思维：小学奥数中的几何题目要求学生具备空间想象和空间推理的能力。
教师可以通过绘制图形、拼凑模型等活动，培养学生的几何思维能力。
同时，教师还可以引导学生发现几何规律，培养学生的归纳和推理能力。
4.逻辑推理：小学奥数中常见的逻辑推理题目也需要学生具备较强的逻辑思维能力。
教师可以通过解析例题，讲解解题思路和技巧，帮助学生掌握逻辑推理的方法和技巧。
5.密码破译：小学奥数中的密码破译题目要求学生熟练掌握加密和解密的方法，在推理和逻辑基础上进行分析和计算。
教师可以通过生活中的实例，引导学生发现加密和解密的规律，提高学生的解题能力。
6.数列与推理：小学奥数中的数列题目要求学生能够找出数列的规律，并进行推理和计算。
教师可以通过练习题，帮助学生掌握数列的表示方法和计算规律。
同时，教师还可以引导学生发现数列的规律，培养学生的归纳和推理能力。
7.单位换算：小学奥数中的单位换算题目要求学生能够熟练进行长度、面积、体积等单位的换算。
教师可以通过实际生活中的例子，帮助学生理解单位换算的概念和方法。
同时，教师还可以引导学生进行实践活动，提高学生的换算能力。
以上是2024年小学奥数精华讲义的汇总，希望对学生和教师有所帮助。
通过系统的学习和实践，相信学生的数学思维和解题能力将会得到显著提高。
小学奥数是培养学生数学兴趣和能力的重要途径，希望学生能够积极参与并取得好成绩。
人教七年级上学期竞赛入门辅导讲义,共十讲,很实用
又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除
如1001100－1＝99（能11整除）
又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）
二、例题
例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除．求x，y
第一讲数的整除
一、内容提要：
如果整数A除以整数（B≠0）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除．
0能被所有非零的整数整除．
一些数的整除特征
除数
2或5
4或25
8或125
3或9
11
能被整除的数的特征
末位数能被2或5整除
末两位数能被4或25整除
末三位数能被8或125整除
各位上的数字和被3或9整除（如771，54324）
数和最犬的公约数．
6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．
7．在有余数的除法中，
被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．
二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：
9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个．
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不
能被3整除的数共有几个？为什么？
11己知五位数1234A能被15整除，试求A的值．
高中物理竞赛讲座17(光学1word)
l x （2） sin i sin i l 2 R2 x2 2Rx cos i （3） 由式（1）和式（2）得 x nl 再由式（3）得 x2 n2 (R2 x2 2Rx cosi ) 设 M 点到 Ox 的距离为 h ，有 h R sin i
在 OMP 中
R cos i R2 R2 sin 2 i R2 h2 x2 得 2 R 2 x 2 2 x R 2 h2 n 1 x 2 (1 2 ) 2 x R 2 h2 R 2 0 n
光在两种介质的界面会发生反射和折射现象，分别符合反射定律和折射定律。 光在不均匀介质中要发生弯曲现象。研究办法：可以将介质分为很多薄层，每层的折 射率认为为定值，利用折射定律进行研究。 题、如图所示，一半径为 R 、折射率为 n 的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径 为 h0 的区域被涂黑． 一平行光束垂直入射到此平面上， 正好覆盖整个表面．Ox 为以球心 O 为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴 Ox 上玻璃半球右边有光线通过的 各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．
的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。 x0 与 xC 就是所要求的分界点，如图 评分标准：本题 20 分。求得式（7）并指出在 Ox 轴上 x x0 处无光线通过，给 10 分； 求得式（8）并指出在 Ox 轴上 x x0 处无光线通过，给 6 分；得到式（9）并指出 Ox 上有 光线段的位置，给 4 分。 题、如图所示，一个三棱镜 ABC 的顶角 α 小于 90°。假设光线在纸面内以任意入射 角入射到 AB 面上的 D 点，经一次折射后，又入射到 AC 面上，且能在 AC 面上发生全反射。 已知光线在 AC 面上发生全反射的临界角为θ（θ<45°） ，AC 边足够长。试求下列两种情 形下分别求三棱镜顶角 α 的取值范围： 2 （1）如果光线仅从 AB 面上法线的下方入射 900 （2）如果光线仅从 AB 面上法线的上方入射
小学一年级奥数讲义1-24
【例2】(★★★)小猫钓鱼，算出小鱼身上算式的结果小鱼就被钓看谁钓的又快又多！小动物教你学减法，一起来练一练。
】(★★★★★)小朋友，小兔的皮球不见了，你能按照得数是10的线路帮小兔找到它吗？请画出找球的线路。
【例2】(★★★)★★★)看图填空，并列出算式 。
⑵草地上原来有15只白兔子和只灰兔子，后来又跑来了4只灰兔子，跑走了5只白兔子。
你能跟据下面不同的问题列出不同的算式吗？草地上原来共有几只兔子？草地上现在有几只灰兔子？比一比，算一算。
⑴小明折了多少架纸飞机？他们三人一共折了多少架纸飞机？【例1】(★★)【拓展】(★★★★)聪明的小朋友，你能把小熊照的照片上的时间和相应的钟表连起来吗？】(★★★★)你能写出下面的时钟分别是几时几分的吗？★★★★)你能将时间大约相同的钟表连在一起吗？【本讲总结】一、认识钟面数：1-12(12个)针：时针、分针、秒针格：12个大格，60个小格二、时间换算小时=60分钟1分钟=60秒三、认识时刻：几时整分针：指向12【例2】(★★★)看图回答问题。
统计一天，打一个“√”， 画一笔(画正字)。
看图回答问题。
请你根据下面的统计表制作条形统计图】(★★★★★)统计下列图形的个数。
统计表⑴(图形的个数最多，()图形的个数最少。
⑵比多比少【例2】(★★)脑筋转转转二有1堆香蕉，．小红参加自行车比赛，和参加比赛的每个小朋友握了一次手，小蜗牛爬井小蜗牛从井底向上爬，白天往上爬2米，晚上往下滑落问：小蜗牛几天才能爬出这口井？。
小学数学奥数方法讲义40讲(二)之欧阳光明创编
第十一讲份数法欧阳光明（2021.03.07）————————————————姚老师数学乐园广安岳池姚文国把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。
（一）以份数法解和倍应用题已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。
例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。
求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。
因此，得：320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树80×3=240（棵）…………………杨树答略。
例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。
甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度）解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。
因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。
所以乙场存煤：（490+10）÷（1+4）=500÷5=100（吨）甲场存煤：490-100=390（吨）答略。
例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。
李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。
求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。
把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。
五年级数学奥数精品讲义1-34讲
五年级数学奥数精品讲义1-34讲(总87页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录第一讲消去问题（一）第二讲消去问题（二）第三讲一般应用题第四讲盈亏问题（一）第五讲盈亏问题（二）第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试（一）第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题（一）第十二讲周期问题（二）第十三讲巧算（一）第十四讲巧算（二）第十五讲数阵问题（一）第十六讲数阵问题（二）能力测试（二）第十七讲平面图形的计算（一）第十八讲平面图形的计算（二）第十九讲列方程解应用题（一）第二十讲列方程解应用题（二）第二十一讲行程问题（一）第二十二讲行程问题（二）第二十三讲行程问题（三）第二十四讲行程问题（四）能力测试（三）第二十五讲平均数问题（一）第二十六讲平均数问题（二）第二十七讲长方体和正方体（一）第二十八讲长方体和正方体（二）第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数（一）第三十三讲分解质因数（二）第三十四讲牛顿问题能力测试（四）2第一讲消去问题（一）在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。
我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。
这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。
例题与方法在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。
(1)买1个皮球和1个足球共用去40元，买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？（3）6行桃树和6行梨树一共120棵，照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯，一共用去172元，每个水瓶18元，每个茶杯多少元？例1学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯，共用去118元。
小学数学奥数方法讲义40讲
小学数学奥数方法讲义40讲(总84页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一讲观察法————————————————姚老师数学乐园广安岳池姚文国在解答数学题时，第一步是观察。
观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。
小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道思考题。
书中除图1-1的图形外没有文字说明。
这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。
这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。
实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。
从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
几何光学学竞赛讲座
高二年级物理竞赛选修课程（光学）第一讲 光的反射和折射Sunday, June 29, 2003一、光的直进性光的直进性只是在通光孔或障碍物的线度比光的波长大的多的情况的一种近似。
光程是指光在相同时间内实际路程所折合成光在真空中的路程。
光若在折射率为n 的介质中传播l 的路程，则这段时间内光程就是nl 。
二、光的反射与折射1、反射定律2、折射定律3、绝对折射率与相对折射率当光从媒质1射向折射率不同的另一种媒质2时，媒质2相对媒质1的相对折射率用n 12表示，有：211221121sin sin n n n v v ri n ====例1：极限法测液体折射率的装置如图所示，ABC 是直角棱镜，其折射率n g 为已知。
将待测液体涂一薄层于其上表面AB ，覆盖一块毛玻璃，用扩展光源在掠入射方向照明毛玻璃，从棱镜的AO 面出射的光线的折射角将有一下限i 0/ （用望远镜观察，则在视场中出现有明显分界线的半明半暗区）。
试求待测液体的折射率n 。
用这种方法测液体折射率，测量范围受什么限制？解：自扩展光源发出的光经毛玻璃以各种角度射入待测液体，再由上表面AB 射入棱镜，从AC 面出射，设自液体射入棱镜的光线的入射角为i ，折射角为r ,则由折射定律，有：例2：竖直向下观察游泳池的深度，试求目测深度与实际深度的关系。
解：设想游泳池底A 点竖直向上发光，如图所示．A 点发出的光束经水面折射后射入人的眼睛，由于折射，眼睛接受到的光犹如从另一点A / 发出，这就是目测深度与实际深度不同的原因。
现考察从A 点发出光束中的某一条光线AB ，设入射角为i 经折射后，折射角为r ，由折射定律：例11 某水池的实际深度为h ，垂直于水面往下看， 水池底的视深为多少？（设水的折射率为n ）解析 如图14—11所示，设S 为水池底的点光源， 在由S 点发出的光线中选取一条垂直于面MN 的光线， 由O 点垂直射出，由于观察者在S 正方，所以另一条光 线与光线SO 成极小的角度从点S 射向水面点A ，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小， 进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S ′，该点即为我们看到水池底光源S 的像，像点S ′到水面的距离h '，即为视深.由几何关系有,/tan ,/tan h AO i h AB r ='=所以h h i r '=/tan /tan ，因为r 、i 均很小，则有i i r r sin tan ,sin tan ≈≈，所以h h i r '≈/sin /sin 又因ir n sin sin =所以视深n h h /='三、全反射当光从光密煤质射向光疏煤质，即当n 1＞n 2时，由折射定律可知，折射角将大于入射角。
高中化学奥林匹克竞赛培训讲义(全).doc
2009年云南师大附中高中化学奥赛培训■理论部分初赛基本要求1.有效数字。
在化学计算和化学实验中正确使用有效数字。
定量仪器（天平、量筒、移液管、滴定管、容量瓶等）的精度与测量数据有效数字。
运算结果的有效数字。
2.理想气体标准状态。
理想气体状态方程。
气体密度。
分压定律。
气体相对分子质量测定。
气体溶解度（亨利定律）。
3.溶液浓度与固体溶解度及其计算。
溶液配制（浓度的不同精确度要求对仪器的选择）。
重结晶及溶质一溶剂相对量的估算。
过滤与洗涤操作、洗涤液选择、洗涤方式选择。
溶剂（包括混合溶剂）与溶质的相似相溶规律。
4.容量分析的基本概念。
被测物、基准物质、标准溶液、指示剂、滴定反应等。
分析结果的准确度和精密度。
滴定曲线与突跃（酸碱强度、浓度、溶剂极性对滴定突跃影响的定性关系）。
酸碱指示剂的选择。
高猛酸钾、重铅酸钾、硫代硫酸钠、EDTA为标准溶液的滴定基本反应与分析结果计算。
（缓冲溶液）？5.原子结构。
核外电子运动状态，用s、p、d等来表示基态构型（包括中性原子、正离子和负离子）核外电子排布。
电离能和电负性。
6.元素周期律与元素周期系。
主族与副族。
过渡元素。
主、副族同族元素从上到下性质变化一般规律；同周期元素从左到右的性质变化一般规律；$、d、ds. p、f•区。
元素在周期表中的位置与核外电子结构（电子层数、价电子层与价电子数）的关系。
最高化合价与族序数的关系。
对角线规则。
金属性、非金属性与周期表位置的关系。
金属与非金属在周期表中的位置。
半金属。
主、副族重要而常见元素的名称、符号及在周期表中的位置、常见氧化态及主要形态。
钳系元素的概念。
7.分子结构。
路易斯结构式（电子式）。
价层电子对互斥模型对简单分子（包括离子）立体结构的预测。
杂化轨道理论对简单分子（包括离子）立体结构的解释。
共价键。
b键和兀键。
大兀键。
共轨（离域）的一般概念。
等电子体的一般概念。
8.配合物。
配合物与配离子的基本概念。
路易斯酸碱的概念。
重要而常见的配离子的中心离子（原子）和重要而常见的配体（水、轻离子、卤离子、拟卤离子、氨分子、酸根离子、不饱和炷等）。
江苏省南京师范大学附属中学物理竞赛讲义-10.1光的反
10.1光的反射和折射一、光的直线传播1、光在均匀媒质中沿直线传播2、真空中的光速为 c = 3*108m/s其它媒质中的光速小于真空光速cvn，其中n为折射率。
3、影和日食、月食当光经过不透光的物体时会在后面留下影子。
完全没有光照的区域叫本影，有部分光照的叫半影。
（1）日食思考：右图中，地球（未画出）处于哪些区域时，会出现日全食？哪些区域出现日偏食？哪些区域出现日环食？（2）月食思考：右图中，月球（未画出）处于哪些区域时，会出现月全食？哪些区域出现月偏食？是否会出现月环食？例1、如图，L是一水平放置点亮的8W日光灯管，T是一藤椅的竖直靠背，横的藤条与日光灯管平行，竖的与日光灯管垂直，横竖藤条间都是透空方格。
P是与藤椅背平行的很大的白屏，现将白屏从紧贴椅背的地方慢慢向远处（图中右方）平移，在屏上会陆续看到什么图像？4、小孔成像像的上下左右都和物相反像的形状与小孔的形状无关5、影的速度（1）光源转动（2）反射面转动等效于光源以两倍角速度转动（3）光源平动[1]运动方向与接收屏方向平行[2]运动方向与接收屏方向不平行计算方法：相似三角形或利用角速度相同（4）物体运动例2、小石头A位于光源S和竖直墙壁之间，而且紧靠光源，若石头以水平初速抛出，则它在墙上的影子做什么运动？二、光的反射入射光线、反射光线和法线在同一平面，分别位于法线两侧，入射角等于反射角。
1、可以将光源等效到反射面的另一侧2、也可以将像等效到反射面的另一侧三、光路可逆四、光的独立传播例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO 和BO ，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照相机，如图(1)所示，图中带箭头的圆圈P 代表一个人的头部(其尺寸远小于OC 的长度)，白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子．图(2)为俯视图．若两平面镜的夹角么AOB ∠=720，设人头的中心恰好位于AOB ∠的角平分线上，且照相机到人的距离远大于人到平面镜的距离．（1）试在图中标出P 的所有的像的方位示意图．（2）在方框中画出照片上得到的所有的像(分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子)．例4、两平面镜夹角为15°，OA=10cm ，A 点发出的垂直于L2的光线射向L1后在两镜之间反复反射。
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高中物理竞赛辅导讲义 第[1]几 何 光 学基本知识一、几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。
2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。
3、光的反射定律：①反射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②反射光线和入射光线分居法线两侧； ③反射角等于入射角。
4、光的折射定律：①折射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②折射光线和入射光线分居法线两侧；③入射角1i 与折射角2i 满足2211sin sin i n i n =；④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C 时，将发生全面反射现象（折射率为1n 的光密介质对折射率为2n 的光疏介质的临界角12sin n n C =）。
二、组合平面镜成像：1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。
先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O 点）镜间放一点光源S （图1-2-1），S 发出的光线经过两个平面镜反射后形成了1S 、2S 、3S 三个虚像。
用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O 为圆心、OS 为半径的圆上，而且S 和1S 、S 和2S 、1S 和3S 、2S 和3S 之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着对称关系。
2.双镜面反射。
如图1-2-3，两镜面间夹角a =15º,OA =10cm ，A 点发出的垂直于2L 的光线射向1L 后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A 点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？如图1-2-4所示，光线经1L 第一次反射的反射线为BC ，根据平面反射的对称性,BC C B ='，且∠S S 2图1-2-1图1-2-4αL 1Oa C BO ='。
上述D C B A '',,,均在同一直线上，因此光线在1L 、2L 之间的反复反射就跟光线沿C AB '直线传播等效。
设N '是光线第n 次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则n 值应满足的关系是na <90ºa n )1(+≤，6900=<a n 。
取n=5，∠075='OA N ，总路程cm OAtg N A 3.375=='α。
三、全反射全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角211sin n a -=时，光线发生全反射。
全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分——光导纤维，就是利用光的全反射现象。
图1-2-5是光导纤维的示意图。
AB 为其端面，纤维内芯材料的折射率3.11=n ，外层材料的折射率2.12=n ，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？四、多层介质折射如图：多层介质折射率分别为 321,,n n n 则由折射定律得：k k i n i n i n sin sin sin 2211===五、平面折射的视深在水中深度为h 处有一发光点Q ，作OQ 垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ 交点Q '的深度h '与入射角i 的关系。
六、棱镜的折射与色散入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知)()(2121i i i i '-'+-=δ图1-2-51i 2i 3i 1n 2n 3n Rn 图1-3-1D G图1-3-4α-'+=11i i 其中 21sin sin i n i = 12s i n s i ni n i '=' ①当1i ，α很小时，1221,i i n ni i '='≈即 δ=（n-1）α厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-3-5。
设物点S 离光楔L 则像点S '在S 的正上方。
l l 1)-(n h ασ==h=l δ=（n-1）αl 。
②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，i i '=1，22i i '=。
2sin sin sin 11αn i i ='=ααδ-=)2sin arcsin(2n或者2sinαδn =+这为棱镜的最小偏向角δ，此式可用来测棱镜的折射率。
图1-3-5图1-3-6图1-3-7由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。
虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。
阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图1-3-6。
形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7，形成内红外紫的霓。
由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。
七、费马原理费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。
费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。
例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。
如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。
此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。
例题分析例1、如图1-2-6所示，AB 表示一平直的平面镜，21P P 是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN 是屏，三者相互平行，屏MN 上的ab 表示一条竖直的缝（即ab 之间是透光的）。
某人眼睛紧贴米尺上的小孔S （其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。
试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在21P P 上把这部分涂以标志。
P 1 P 2 M N abABS 图1-2-6例2、两个平面镜之间的夹角为45º、60º、120º。
而物体总是放在平面镜的角等分线上。
试分别求出像的个数。
例3、两面平面镜AO 和BO 成60º角放置，试用上述规律确定像的位置。
例4、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO 和BO ，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。
图中带箭头的圆圈P 代表一个人的头部（其尺寸远小于OC 的长度），白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72º，设人头的中心恰好位于角平分线OC 上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。
1、试在图1-2-11中标出P 的所有像的方位示意图。
2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。
3、例5、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。
棱镜用玻璃制成，BC 、CD 两平面高度抛光，AB 、DE 两平面高度抛光后镀银。
试证明：经图1-2-11BC 面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB 与DE 面上），与之相应的由CD 面出射的光线，必与入射光线垂直。
例6、给定一厚度为d 的平行平板，其折射率按下式变化r xn x n -=1)(0一束光在O 点由空气垂直入射平板，并在A 点以角α出射（图1-3-14）。
求A 点的折射率n A ，并确定A 点的位置及平板厚度。
（设30,13,2.10===αcm r n ）。
同步练习1．如图所示，空气中有一横截面为半圆环的均匀透明柱体，其内圆半径为r ，外圆半径为R ，R=r 2．现有一束单色光垂直于水平端面A 射入透明柱体，只经过两次全反射就垂直于水平端面B 射出．设透明柱体的折射率为n ，光在透明柱体内传播的时间为t ，若真空中的光速为c ，则( )． A ．n 可能为2 B ．n 可能为2 C ．t 可能为c r22D ．f 可能为cr8.42．竖直向下观看水塘中的一条金鱼Q ，给人的感觉似乎此鱼在水中Q '处，如图所示。
试求此鱼的实际深度与目测深度的关系。
设水的折射率为n=34。
CAEBD112.5º112.5º112.5º90º图1-2-14图1-3-143．如图所示，由表面镀银的玻璃立方体切下一角，得到一四面直角体棱镜。
试证从斜面射人的光线经其它三面反射后，出射光线的方向总是与入射光线的方向相反。
4．光导纤维是利用全反射传导光信号的装置。
图所示为一光导纤维，它由折射率为n1=1.3的玻璃芯和折射率为n2=1.2的同轴外套构成。
横截端面外的媒质折射率为n=1.0。
试求能使。
光线在纤维内传输的入射光束的最大孔径角15．光线在垂直于玻璃半圆柱轴线平面内，与半圆柱的平面法向成450的方向射到此面上，如图所示。
已知玻璃的折射率为n=2，试问光线将在哪些地方离开半圆柱体柱表面射出?6．一个半导体砷化镓发光管，它发出波长为0．9微米的红外光，发光区为直径AB=3毫米的圆盘，发光面上覆盖一折射率n=3．4的半球形介质，如图所示。
试问：要使发光区发出的全部光线在球面上都不发生全反射，介质半球的半径R至少应该多大?7．如图所示，有一棱镜，顶角为2ϕ，折射率为n1，棱镜外透明介质折射率为n2。
试证明光线对棱镜的偏向角取极值的条件是光线相对于棱镜对称，并且，当n1>n2时，偏向角取极小值，当n1<n2时，偏向角取极大值。
8．试作图说明，为什么在发生日食时，有的地方能看到偏食，有的地方能看到全食．在什么情况下能看到日环食．9．如图，两平面镜A和B的镜面分别与图中纸面垂直，两镜面的交线过图中的O点，两镜面间夹角为α=150，今自A镜面上的C点处沿与A镜面夹角β=300的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜面间经多次反射后而不再与镜面相遇．设两镜面均足够大，CO=1m，试求：（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上?（2）光线自C点出发至发生最后一次反射，共经历多长的时间?10．设有一块透明光学材料，由折射率略有不同的许多相互平行、厚度为d=0．1mm 的薄层密接构成．如图表示与各薄层垂直的一个截面，AB 为此材料的端面，与薄层界面垂直，O O '表示截面的中心线．各薄层的折射率n k 的数值为n k =n 0-kv ，其中n 0=1．4142，v=0．0025．今有一光线PO 以入射角0θ=300射向O 点．求此光线在材料内能够到达的，离O O '最远的距离．11．光导纤维是利用全反射传导光信号的装置．如图所示为一光导纤维，AB 为其端面，纤维内芯材料的折射率n 1=1．3，外层材料的折射率n 2=1．2，在如图所示的情况下，试求人射角i 在什么范围内的光线都可在此纤维内传递．12．横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图所示的形状，一束平行光垂直地射入水平表面A 上，要使通过表面A 射人的光全部从表面B 射出，比值dR最小是多少?(玻璃的折射率n=1．5)。