专题提升七 以圆的切线为背景的计算与证明
中考复习圆的切线的证明
中考复习圆的切线的证明圆的切线是一条与圆相切且只与圆相交于切点的直线。
下面我将为你展示圆的切线的证明。
设圆的半径为r，圆心坐标为(O,O)，切线与圆相切于点A，切点坐标为(a,b)。
我们需要证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。
O_______________________/\/\AB根据几何性质，切线与径线的夹角为90度，所以角AOB为直角。
根据直角三角形AOB的性质，我们可以得到以下两个等式：1.OA²+AB²=OB²（勾股定理）2.OA=r（圆的定义）再根据切线与直径线的性质，我们可以得到以下等式：3.AB⊥OA（切线与半径线垂直）由等式3，我们可以得到两个直角三角形OAB和OBA。
考虑到OA=r，我们可以用r来表示OA和OB。
根据等式1，我们可以得到：r²+AB²=(2r)²r²+AB²=4r²AB²=3r²再根据等式2，我们可以得到：OA=r将等式2代入等式1中，我们可以得到：r²+AB²=OA²3r²=OA²移项得：AB²=2r²现在，我们来计算切线的斜率。
设切线的斜率为k，OA的斜率为m。
由定义可知，斜率m为切点A处切线的斜率，其值等于切线过切点A 和圆心O的直线的斜率。
而且，切线与直径OB垂直，垂直线的斜率之积为-1，即斜率k和斜率m之积为-1所以，我们可以得到以下等式：k×m=-1另外，我们可以计算切点A到圆心O的距离的平方。
根据点到点的距离公式，我们可以得到：OA²=(a-O)²+(b-O)²将具体的坐标代入上式，并将OA²替换为r²，我们可以得到：r²=(a-O)²+(b-O)²综上所述，我们可以得到以下两个等式：AB²=2r²k×m=-1现在我们来证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。
中考数学专题--切线的相关证明及计算
授课时间年月日总课时数：总序数：
课题
切线的相关证明及计算
教学
目标
1、掌握圆的切线的性质和判定，并会进行相关的计算和证明。
2、掌握切线长长和切线定理
重点
切线的判定和切线长定理
难点
常添加辅助线
教学准备
教学过程
教学环节
教学内容
二次备课
导
入
新
授
新
授
一、知识点梳理
1、切线的性质：
（1）数量关系：圆心到切线的距离等于半径；
通过本节课的学习，你对圆的基本性质又有哪些认识呢？你还有什么收获？
板书
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设计
教学
反思
围绕教学方式、学习方式、课程资源的开发与利用、成功与不足……进行反思
巩
固
检
测
1、如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一点，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为10，圆心O到AD的距离为4，求AE和ED的长度．
（2）位置关系：切线________于过切点的半径。
2、切线的判定：
(1)“连半径，证垂直”
(2)“作垂直，证半径”
3、切线长和切线长定理
（1）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角。如图，PA=PB，∠APO=∠BPO.
三、典例分析
1、如图，线段AB为⊙O的直径，点C、E在⊙O上， = ，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
圆的切线的证明与计算
1、证明相切的基本思路：
无已公知共半径点---------直-“接证连直半线与径半，径垂证直垂； 直” 有常公 用方共法：点 - - -“作垂直，证半径”
证平行、证全等、计算角度、运用角平分线 的性质…… 2、根据切线的性质，构造相似三角形，利
用相似三角形对应边成比例的性质，建 立方程求解，运 用勾股定理，三角函 数……
已知：A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B 在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的 切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径， 证垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】
如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO＝BD＝ BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
中考数学专题 复习
圆的切线的证明与计算
第四中学
杨琴
一、本课主要知识梳理 1. 定义：与圆只有一个__公__共__点__的直线叫做圆的切线，这个
公共点叫做切点.
O
A CB
2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过__切__点__的半径.
3. 切线的判定定理：经过半径的外端点并且_垂__直___于这条半 径的直线是圆的切线.
4. 证明一条直线是圆的切线方法：
主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于_半__径___，
二 是利用切线的__判__定__定__理__。
常作的辅助线：有切点，连__半__径____证__垂__直__，
无切点，作__垂__直__证__半__径__. 2
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【教材原型】
【中考预测】
如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交 AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线， 交AC的延长线于点F. (1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF的度数；
(完整word)证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径，证垂直”2、作垂直,证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点,点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数;（2）求证：PA是⊙O的切线；（3)若PD＝5,求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E。
求证:DE是⊙O的切线;方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．且︒=E,点B是的中点∠30（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由;（2）求证CF=OC（2）若半圆O的半径为6，求DC的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图,AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上,且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线,交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。
类型二、无公共点:做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ,以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ,AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线;（2）求线段AC 的长．O D C F方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中,∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。
中考数学专题复习---圆的切线有关的证明与计算
与圆的切线有关的证明与计算
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
对应训练
4. 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD ， 设⊙O是△BDE的外接圆。 求证：AC是⊙O的切线。
对应训练 5．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD，
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
有交点，连半径，证垂直
例1
对应训练 1.如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. （1）求证：直线PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3， PC=4.求弦CE的长．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.
∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， OD 为半径作圆。
12 ∴ CF 5
9 在Rt△COF中， OF CO CF 5
圆中的切线证明及计算(提高篇)
圆中的切线证明及计算
一、证明直线是圆的切线
例1、已知如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且
，过D 作DE ⊥AC 于点E ，
求证：DE 是⊙O 的切线.
例2、如图所示，△ABC 内接于⊙O ，如果过点A 的直线AE 和AC 所成的角∠EAC=∠B ，那么EA 是⊙O 的切线.
例3、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，D 为BC 中点，DE ⊥AC 于E.
求证：DE 为⊙O 的切线；
二、用切线证明结论
例4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 切⊙O 于点C ，交AB?的延长线于点D ，∠ACD=120°，BD=10．
（1）求证：CA=CD ；
（2）求⊙O 的半径．
例5、已知：如图所示，AB 为半圆O 的直径，直线MN 切半圆于点C ，
AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，BE 交半圆于点F ，AD=3cm ，BE=7cm ，
（1）求⊙O 的半径；
（2）求线段DE 的长.
练习题：
1、如图，AB 是半圆O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A ．
（1）求证：BC 是半圆O 的切线；
（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长．
2、已知：AD 是∠BAC 的平分线，BC 切⊙O 于点D ，AB 、AC 分别交⊙O 于点E 、F.
（1）求证：EF ∥BC ；
（2）连DE ，若BE=2，AF=4，求DE 的长. E O D
C B A B C
D O
E A
F。
圆的切线的证明与计算中考复习课件
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且 与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB.
(3)若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与小圆围成的圆环的面 积。(结果保留π)
解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10， ∴AC＝6.∵BC＝AC＋AD， ∴AD＝BC－AC＝4.
∵△ODC∽△OAP, 10
即 OC
OP
OD OA
，∴OD= 5
回顾与思考
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D， 且∠DPC=∠DCO。
（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PA=6，tan∠PCA=3/4 ，求OD的长。
（1）求证：PC是⊙O的切线；
证明：过点O作OE⊥PC于点E， ∵PA⊥AB，CD⊥PO, ∠AOP=∠COD, ∴∠OPA=∠DCO,∵∠DPC=∠DCO, ∴∠OPA=∠DPC, ∵OA⊥PA,OE⊥PC,∴OE=OA, ∴PC是⊙O的切线;
9
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延 长线于点D，且∠DPC=∠DCO。
11
二、例题讲解 例2、如图， AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，
点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC。
(1)求证：DE与⊙O相切； (2)若BF＝2，DF＝ 10 ， 求⊙O的半径．
12
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且 与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB.
数学专题-切线的证明与圆的计算
专题一:圆的切线直线与圆相切是圆的重点，也是中考的热点．证明、判断或探究直线与圆相切的题目虽然很多，但是在这些众多的题目中，只有两个类型．►类型之一有公共点时，连接圆心与公共点，证垂直当要证明的直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，证明此半径与直线垂直，利用“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可证明直线是圆的切线．1．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，点O在AB上，BD ⊥AB，B是垂足，OD∥AC，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．证明：如图，连接CO.∵OD∥AC，∴∠COD＝∠ACO，∠CAO＝∠DOB.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠COD＝∠BOD.又∵OD＝OD，OC＝OB，∴△COD≌△BOD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．2.如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．[解析]要证明直线AB是⊙O的切线，由于直线AB与⊙O已有公共点C，所以连接OC，只需要证明OC⊥AB即可．证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线，∴OC ⊥AB.∵AB经过半径OC的外端点C，∴AB是⊙O的切线(经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．3．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．证明：(1)如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.(2)如图，连接OD.∵点O，D分别是AB，BC的中点，∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．4．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD.又∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．5．如图所示，设AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B.求证：直线CD与⊙O相切．证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB ＝90°.∵∠CDA＝∠B＝∠BDO，∴∠ADO＋∠ADC＝90°，即OD ⊥CD.∵CD经过半径OD的外端点D，∴CD是⊙O的切线(经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．6．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 为直径作半圆交AC 于点D，点E 为BC 的中点，连接DE.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD 的长．解：(1)证明：如图，连接OD，OE，BD.∵AB为⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt△BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴DE＝BE.在△OBE 和△ODE∴△OBE≌△ODE(SSS)，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，即OD⊥DE，故DE 为⊙O 的切线．(2)在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∴BC＝12AC.∵BC＝2DE ＝4，∴AC＝8.又∵∠C＝90°－∠A＝60°，∠BDC＝90°，∴∠DBC＝30°，∴DC＝12BC＝2，则AD＝AC－DC＝6.►类型之二无公共点时，过圆心作垂线，证相等欲证直线与圆相切，当直线与圆无公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于圆的半径，利用“到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线”可以证明直线是圆的切线．7．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定()A．与x 轴相离，与y 轴相切B．与x 轴、y 轴都相离C．与x 轴相切，与y 轴相离D．与x 轴、y 轴都相切[答案]A8．如图，在直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y ＝－2x＋5与⊙O 的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法确定[解析]C 如图1－ZT－11所示，过O 作OC⊥直线AB，垂足为C，对于直线y＝－2x＋5，令x＝0，解得y＝5；令y＝0，解得x＝52，∴A(52，0)，B(0，5)，即OA＝52，OB＝5，∴在Rt△AOB 中，根据勾股定理得AB＝OA 2＋OB 2＝52.又S △AOB ＝12AB·OC＝12OA·OB，∴OC＝OA·OB AB ＝52×552＝1.又⊙O的半径为1，∴直线y＝－2x＋5与圆O的位置关系是相切．9．如图所示，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．证明：如图，连接OD，则OD⊥AB.过点O作OE⊥AC于点E.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵O是BC的中点，∴OB＝OC.又∵∠BDO＝∠CEO＝90°，∴△BDO≌△CEO，∴OD＝OE，∴AC与⊙O相切(到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线)．专题二:不规则图形的面积及曲线长的求法►类型之一用覆盖法求阴影图形的面积1．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是________．[答案]π－2[解析]∵在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影部分＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC ＝12π×(22)2＋12π×(222－12×2×2＝π－2.2.如图所示，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(结果用π表示)．[答案]8－2π[解析]用四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝π2×4－2×2＝2π－4，阴影部分的面积＝2×2－(2π－4)＝4－2π＋4＝8－2π.►类型之二用旋转求阴影图形的面积3．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为BB′︵，若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是()A.π2B.π3C.π4D．π[解析]A ∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴BC＝ACtan60°＝1×3＝3，AB＝2AC＝2.根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S △ABC ＝S △AB′C′，AB ＝AB′，∴S 阴影＝S 扇形BAB′＋S △AB′C′－S △ABC ＝45π×22360＝π2.4．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的转动示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，雨刷CD 扫过的面积如图所示，现量得：CD＝80cm，∠DBA＝20°，AC＝115cm，DA ＝35cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．解：由题意可知：△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，且大扇形半径AC＝115cm，小扇形半径AD＝35cm，且圆心角都为直角，所以雨刷CD 扫过的面积为S 扇形CAC′－S 扇形DAD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4×(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm 2)．答：雨刷扫过的面积为3000πcm 2.►类型之三用平移求阴影图形的面积5．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，求图中阴影部分的面积．[解析]将小圆向右平移，使之与大圆的圆心重合，阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图2－ZT －6所示，连接OB，过点O 作OC⊥AB 于点C，则AC＝BC＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影部分＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB 2－12π·OC 2＝12π(OB2－OC 2)＝12πBC 2＝72π.►类型之四用等积变形求阴影图形的面积6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分图形的面积为()A．4πB．2πC．πD.2π3[解析]D 连接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12CD＝3，故S △OCE ＝S △ODE ，则阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积．又∵∠CDB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OB＝2，故S 扇形BOD ＝60π×22360＝2π3，即阴影部分的面积为2π3D.►类型之五用割补法求阴影图形的面积7.如图所示，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为________．[答案]2π－4[解析]连接AB.由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形AOB－S △OAB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.8．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC 为直径作半圆，圆心为O.以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________．[答案]5π33[解析]连接CE.由题意，得∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD ＝2，BC＝CE＝4.又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°，∴在Rt△OEC 中，OE＝23，cos∠OCE＝OC CE ＝24＝12，∴∠OCE＝60°.∴S 阴影＝S 扇形BCE －S 扇形BOD －S △OCE ＝60π×42360－14π×22－12×2×23＝5π3－23.9．如图所示，OC 平分∠MON，点A 在射线OC 上，以点A 为圆心，半径为2的⊙A 与OM 相切于点B，连接BA 并延长交⊙A 于点D，交ON 于点E.(1)求证：ON 是⊙A 的切线；(2)若∠MON＝60°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．解：(1)证明：过点A 作AF⊥ON 于点F.∵⊙A 与OM 相切于点B，∴AB⊥OM.∵OC 平分∠MON，∴AF＝AB＝2，∴ON 是⊙A 的切线．(2)∵∠MON＝60°，AB⊥OM，∴∠OEB＝30°.∵AF⊥ON，∴∠FAE＝60°.在Rt△AEF 中，EF＝23，∴S 阴影＝S △AEF －S 扇形DAF ＝12AF·EF－603602＝23－23π.►类型之六用圆的周长公式计算曲线长10．如图所示，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是()A．2πcm B．4πcmC．8πcm D．16πcm[解析]B∵一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，∴圆心移动的距离等于圆的周长，即2π×42＝4π(cm)．►类型之七用弧长公式计算曲线长11．如图所示，△ABC 的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在三角形的相邻两边上)，则这三条弧的长度之和是()A．4πB．3πC．6πD．5π[解析]D 三个圆的圆弧缺少的部分之和是∠A＋∠B＋∠C 360·2π·1＝180360三个圆的周长为2π×1×3＝6π，则这三条弧的长度之和是6π－π＝5π.12．如图所示，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6.三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边上时立即停止转动，则点B转过的路径长为________．[答案]2π►类型之八用分步求和计算曲线长13.[安徽模拟]如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为________．[答案]4π3[解析]从图中发现，B 点从开始至结束所走过的路径长度为两段圆弧，第一段长120π×1180，第二段长120π×1180.故B 点从开始至结束所走过的路径长度＝120π×1180＋120π×1180＝4π3.14．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆做如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O 所经过的路线长是________m(结果用π表示)．[答案](2π＋50)[解析]由图2－ZT－16可知，圆心先向前走O 1O 2的长度，即14圆的周长，然后沿着O 2O 3︵旋转1450m，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半(即半圆)加上50m，由已知得圆的半径为2m，则半圆的弧长l＝（90＋90）×π×2180＝2π(m)，∴圆心O 所经过的路线长＝(2π＋50)m.15．如图所示，将一长为4cm，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动翻滚(顺时针方向)，木板上点A 的位置变化为A→A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时总共走过的路径长为多少？解：由图形知AA 1︵的圆心角为90°，半径为长方形的对角线长，为32＋42＝5(cm)，从而求出AA 1︵的长为90π×5180＝52π(cm)．同理，A 1A 2︵的圆心角为60°，半径为3cm，从而求出A 1A 2︵的长为60π×3180＝π(cm)，从而得点A 翻滚到A 2位置时总共走过的路径长为52π＋π＝72►类型之九用转化的方法求曲线长16．如图所示，已知圆柱体底面的半径为2π，高为2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD，BC 是母线．若一只小虫从点D 出发，从侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．[答案]22[解析]沿AD，BC 将圆柱侧面剪开，并展开得到矩形B 1C 1D 1A 1，如图2－ZT－19所示，B 1C 1＝BC＝2，A 1B 1＝2×2π×π×12＝2，B 1D 1＝22＋22＝2 2.即小虫爬行的最短路线的长度是22.。
切线有关的证明与计算
切线有关的证明与计算一、 回顾切线判定的方法：(1) 若切点明确，则“连半径，证垂直”常见的方法有：全等转化、平行转化、中线转化、直径转化 （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；二、与切线有关的证明与计算：圆中的证明或计算线段长，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等等知识的结合，形式复杂，无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有：如：①构建矩形转化线段；②构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；三、例题讲解基本图形：如图：AB 是⊙O 的直径，点D 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有：（1） 在①“AD 平分∠BAC ”； ②“AE ⊥ED ”； ③“DE 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。
（请完成证明过程）例1如图，⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点F ，DE ⊥AC 。
（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）EF=EC ；变式1在例1的条件下，连接DF 。
若5 DF =，5AB =（1）求DE 的长：（2）求AF 的长BBA例2 如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，AC DE 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线与点F 。
a) 求证:DE 是⊙O 的切线；b) 若DE=3，⊙O 的半径为5，求BF 的长四、练习1、（2011贵州安顺，）已知：如图，在△ABC 中，BC =AC点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ．⑴求证：点D 是AB 的中点；⑵判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； ⑶若⊙O 的直径为18，DE =6，求CE 的长． 2、（2011湖北十堰，）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 为半径OB 上一点，过点C 作CD ⊥AB 交半圆O 于点D ，将△ACD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 交半圆于点F ，连接DF 。
中考数学复习与圆的切线有关的证明与计算课件
∴∠OAD＝∠ODA.
∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，
∴∠ODA＋∠OFD＝90°，
∴∠OAD＋∠OFD＝90°.
∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠AFC＝90°.
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
预测答图
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵BF＝8，DF＝ 40，⊙O 的半径为 r，
∴OF＝BF－OB＝8－r. ∵在直角三角形 OFD 中，OD2＋OF2＝DF2，
∴r2＋(8－r)2＝( 40)2，
解得 r＝6 或 r＝2(不合题意，舍去)， ∴⊙O 的半径 r＝6.
(1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C 时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
(2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F 时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
图Z12－2
解：(1)如图(1)，连结OC.
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，
∴∠OCD＝90°.
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.
教材母题答图 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过 切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得 到切线与半径垂直．
[2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径， AD⊥l于点D.
[2013·防城港]如图Z12－7，以△ABC的BC边上一点 O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为 BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若 BF＝8，DF＝ 40，求⊙O 的半径 r.
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A．6
B．2 13＋1
C．9
D.322
4．如图，若以平行四边形一边AB为 直径的圆恰好与对边CD相切于点D， 则∠C＝ 45 度．
5．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相 切于E，F，G.且AB∥CD.BO＝6cm， CO＝8cm，则BE的长为 3.6 cm.
6．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、 BC于点D、E，点F在AC的延长线上， 且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB.
(3)填空：在(2)的条件下，如果以点C为圆心，r为 半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则 r的取值范围为____________．
(3)如图，连结OC.则OC是Rt△ABF的中位线， ∵由(2)知，BF＝10 3， ∴中位线OC＝5 3， ∵⊙O半径OA＝5. ∴5 3－5＜r＜5 3＋5.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7．(2017·玉林)如图，AB是⊙O的直径，AC是上半 圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E， 过点A作切线DE的垂线，垂足为D， 且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA 的度数分别是α，β.
(1)用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范
围；
【答案】(1)连结OC.∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAE＝2α， ∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠E＝90°， ∴2α＋β＝90°(0°＜α＜45°)．
(2018·绍兴市柯桥区模拟)如图，已知AB是⊙O的直
径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.
(1)求证：BC是∠ABE的平分线； 【(2答)若案D】C＝(81， )∵⊙DOE的是半切径线O，A＝∴6O，C⊥求DCEE，的长． ∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE， ∵ (2O)C在＝ROt△ B，C∴ DO∠中O，CB∵＝D∠ C＝OB8C，，OC＝OA＝6，∴OD＝ ∴C∠D2C＋BEO＝C2＝∠1C0B，O，∴BC平分∠ABE.
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
【答案】(1)如图，∵∠CBF＝∠CFB，∴CB＝CF.
又∵AC＝CF，∴CB＝12AF，
∴△ABF是直角三角形， ∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF. 又∵AB是直径，∴直线BF是⊙O的切线．
(2)若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5 时，求BF的长； (2)如图，连结DO，EO， ∵点D，点E分别是弧AB的三等分点， ∴∠AOD＝60°. 又∵OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝OD＝5，∠OAD＝60°，∴AB＝10. ∴在Rt△ABF中，∠ABF＝90°， BF＝AB·tan60°＝10 3；
∵OC∥BE，∴DCCE＝ODBO，∴C8E＝160，∴CE＝4.8.
1．(2018·湖州模拟)如图，在⊙O的内接四边形ABCD
中，AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与直
线AB交于点P，则∠ADP的度数为( C )
A．40°
B．35°
C．30°
D．45°
2．(2018·台湾)如图，I点为△ABC的内心，D点在BC 上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝ 56°，则∠AID的度数为何？( A )
A．174° B．176° C．178° D．180°
【解析】连结CI，如图所示．在△ABC中，∠B＝44
°，∠ACB＝56°，∴∠BAC＝80°.∵I点为△ABC的内 心，∴∠CAI＝12∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝12∠ACB ＝28°，∴∠AIC＝180°－∠CAI－∠ACI＝112°，又
ID⊥BC，∴∠CID＝90°－∠DCI＝62°，∴∠AID＝∠
AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.故选：A.
3．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边
AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是
边BC和半圆上的动点，连结PQ，则PQ长的最大值与最
小值的和是( C )
(2)连结OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时， 求α，β的值． (2)连结OF交AC于O′，连结CF. ∵AO′＝CO′，∴AC⊥OF，∴FA＝FC， ∴∠FAC＝∠FCA＝∠CAO，∴CF∥OA， ∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形， ∵OA＝OC，∴四边形AFCO是菱形， ∴AF＝AO＝OF，∴△AOF是等边三角形， ∴∠FAO＝2α＝60°，∴α＝30°， ∵2α＋β＝90°，∴β＝30°，∴α＝β＝30°.