高一数学第四章不等式
高一数学不等式知识点归纳
高一数学不等式知识点归纳数学不等式是高中数学中重要的一部分内容。
在高一数学学习中，了解不等式的概念、性质以及解不等式的方法，对于学习数学和解决实际问题都有着重要的作用。
下面将对高一数学不等式知识点进行归纳和总结。
一、不等式的概念不等式是一种数学关系式，它表达了两个数的大小关系。
一般形式为a ≠ b或a < b或a > b，其中a、b为实数。
不等式中的关系符号有"≠"、“<”、“>”分别表示不等、小于和大于的关系。
二、不等式的性质1. 传递性：如果a < b且b < c，则有a < c。
类似的，大于的情况也满足这个性质。
2. 加减性：对于不等式，可以同时加上一个数或减去一个数，不等号的方向不变。
例如，如果a < b，则有a + c < b + c。
减法的情况也类似。
3. 倍乘性：对于正数k，不等式中的关系符号不改变。
例如，如果a < b，则有ka < kb。
当k为负数时，不等号的方向改变。
4. 乘方性：对于正实数k，不等式中的关系符号不改变。
例如，如果a < b，则有a^k < b^k。
当k为负数时，不等号的方向改变，但必须保证a和b皆大于0。
三、不等式的解集表示方法1. 用图形表示：可以通过将不等式转化为坐标系中的区域表示来解释和表示不等式关系。
2. 用集合表示：通过列举满足不等式的所有实数，将这些实数写成一个集合的形式来表示不等式的解集。
3. 用不等式表示：将不等式的解集写成一个由不等号和式子组成的不等式形式，来表示不等式的解集。
四、不等式的求解方法1. 加减法解不等式：利用加减性质，将不等式中的常数项移到一边，以求得未知数的范围。
2. 乘除法解不等式：利用倍乘性质，将不等式中的系数移到一边，并对系数符号进行考虑，以求得未知数的范围。
3. 绝对值不等式的解法：分为绝对值大于、小于和大于等于、小于等于两种情况，根据不等式的形式分别求解。
高一数学知识点不等式
高一数学知识点不等式不等式是数学中的一个重要概念，它在高一数学学习中占据着重要的地位。
本文将讨论高一数学中的不等式知识点，包括不等式的基本概念、解不等式的方法等内容。
1.不等式的基本概念不等式是指包含不等号（>、<、≥、≤）的数学表达式。
它描述了两个数之间的相对大小关系。
在不等式中，我们称表达式的两边为左边和右边，其中，不等号左侧的表达式通常称为不等式的“左端”，不等号右侧的表达式通常称为不等式的“右端”。
2.不等式的表示形式不等式可以有多种表示形式，下面是一些常见的表示形式：- 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b为已知实系数，x为未知实数。
- 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b和c为已知实系数，x为未知实数。
- 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b为已知实系数，c为已知正实数，x为未知实数。
3.不等式的解集表示解不等式是指找出满足不等式条件的数的集合。
解集可以使用不等式符号表示，也可以使用区间表示。
下面是一些常见的解集表示形式：- 不等式符号表示：例如，解集{x | x>2}表示满足不等式x>2的所有实数x的集合。
- 区间表示：例如，解集(-∞, 2)表示所有小于2的实数的集合。
4.不等式的性质和运算规则不等式有一些特殊的性质和运算规则，包括以下几点：- 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式方向改变。
- 对于绝对值不等式，需要考虑绝对值的正负情况来确定解集。
5.不等式的解法方法解不等式的方法主要包括代入法、图像法和数轴法等。
在解题过程中，我们可以运用不等式的性质和运算规则，根据具体题目的要求采取不同的解题方法。
6.不等式的应用不等式在高一数学中有广泛的应用，常见的应用场景包括以下几个方面：- 解决实际问题中的数量关系，如寻找最大值、最小值等。
高一数学函数不等式知识点
高一数学函数不等式知识点在高一数学课程中，函数不等式是一个重要的知识点。
函数不等式主要涉及到函数的不等关系及其在数轴上的图像表示。
以下是关于高一数学函数不等式的一些基本知识点：一、函数的不等关系函数的不等关系是指函数值之间的大小关系。
在数学中，有几种常见的不等关系，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。
二、一次函数不等式一次函数不等式是指函数中只包含一次项的不等式。
对于一个一次函数f(x) = ax + b，可以利用其函数图像以及不等式的性质来求解不等式。
三、二次函数不等式二次函数不等式是指函数中含有二次项（x²）的不等式。
对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c，可以通过求解二次方程来确定函数的零点，并利用零点将函数的图像分为不同的区间进行讨论。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指函数中含有绝对值符号（|x|）的不等式。
对于一个绝对值不等式|f(x)| < a（或> a），可以通过拆分成两个不等式进行求解，包括当f(x) > 0或f(x) < 0时的情况。
五、函数不等式的解集表示当求解函数不等式时，我们通常需要表示其解集。
解集可以通过数轴上的图像表示，或使用区间表示。
在数轴上，解集可以用开区间、闭区间、半开半闭区间等形式表示。
六、函数不等式的解法对于不同类型的函数不等式，我们可以采用不同的解法。
常用的解法包括代入法、分析法、图像法等。
通过选择合适的解法，能够更快速地求解函数不等式问题。
总结：高一数学函数不等式是数学课程中的一个重要知识点，涉及到函数的不等关系、一次函数不等式、二次函数不等式、绝对值不等式等内容。
通过掌握函数不等式的基本知识，我们能够更好地理解和解决相关的数学问题。
在实际应用中，函数不等式也经常被用于解决各种实际问题，对培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的作用。
高一数学知识点总结不等式
高一数学知识点总结不等式高一数学知识点总结——不等式不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数之间的大小关系。
在高一数学中，我们学习了各种类型的不等式及其解法。
本文将对高一数学中的不等式知识点进行总结，包括线性不等式、二次不等式和绝对值不等式等。
一、线性不等式线性不等式是指不等式中只包含线性函数的不等式。
一般形式为ax + b > c 或 ax + b < c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解线性不等式的关键是确定不等式的符号和解集，具体步骤如下：步骤1：将不等式中的x移到一边，得到ax > b 或 ax < b。
步骤2：确定不等式的符号，根据a的正负情况进行判断。
当a > 0时，不等式形式为ax > b 或 ax < b，解是x > b/a 或 x < b/a。
当a < 0时，不等式形式为ax < b 或 ax > b，解是x < b/a 或 x > b/a。
二、二次不等式二次不等式是指不等式中包含二次函数的不等式。
一般形式为ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解二次不等式的关键是确定不等式的符号和解集，具体步骤如下：步骤1：将二次不等式化为标准形式，即将不等式右边移至左边，得到ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。
步骤2：求解二次函数的零点，即将ax^2 + bx + c = 0转化为一元二次方程，并求出x的解。
步骤3：通过零点将实数轴分成若干个区间，并在每个区间内进行符号判断，确定不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指不等式中包含绝对值函数的不等式。
一般形式为|f(x)| > a 或 |f(x)| < a，其中f(x)为一个实数函数，a为正实数。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值函数的性质进行分类讨论，具体步骤如下：步骤1：根据不等式的形式，将绝对值不等式分为两种情况，即|f(x)| > a 和 |f(x)| < a。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结
嘿，同学们！今天咱就一起来聊聊高一数学的不等式知识点，这可太重要啦！
先来说说不等式的基本性质。
就好比搭积木，每一块都有它固定的位置和作用。
比如给一个不等式两边同时加或减同一个数，不等式还是成立的。
举个例子，5＞3，两边同时加上 2，不就变成了 7＞5 嘛。
还有不等式的移项，哎呀呀，就跟乾坤大挪移似的。
看这个例子哦，3x + 5＜14，把 5 移过去不就变成 3x＜14 - 5 嘛。
咱再来瞧瞧不等式的求解。
这可就像走迷宫，得找到正确的路。
比如说解一个一元一次不等式 2x - 3＞5，先把-3 移过去变成 2x＞8，然后两边同时除以 2 得到 x＞4 啦。
不等式组那就更有趣啦，好像是一场团队合作！比如求解这个不等式组{x + 3＞5，x - 2＜3}，先分别解出来，第一个得出 x＞2，第二个得出 x＜5，那综合起来不就是 2＜x＜5 嘛。
不等式的应用那可多了去了，像我们买东西算钱的时候，就可以用不等式来算怎么买最划算呀。
哎呀，说了这么多，咱高一数学的不等式知识点可真像个宝藏库呀！学会了这些，那解决问题不就像囊中取物一样简单啦！所以同学们，一定要好好掌握这些知识点哦！我觉着呀，这么重要又有趣的不等式知识，大家可得认真学，学会了那可真是受益无穷呀！。
高一数学不等式知识点
高一数学不等式知识点在高一数学的学习中，不等式是一个重要的内容。
不等式不仅在数学中有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
比如说，5 ＞ 3 ，那么 3 ＜ 5 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
例如 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 。
3、加法性质：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
比如 8 ＞ 6 ，那么 8 ＋ 2 ＞ 6 ＋ 2 。
4、乘法性质：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
举个例子，若 4 ＞ 2 ，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3；当 c ＝－3 时，4×（－3) ＜ 2×（－3) 。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）：根据不等式的性质，在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，去掉分母。
但要注意，当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项：将同类项合并，化简不等式。
5、系数化为 1 ：在不等式两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集。
例如，解不等式 2(2x 1) 3(x ＋ 1) ＜ 5 ，首先去括号得 4x 2 3x 3 ＜ 5 ，然后移项得 4x 3x ＜ 5 ＋ 2 ＋ 3 ，合并同类项得 x ＜ 10 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
高一数学不等式知识点总结
二.知识要点
两实数大小的比较
不等式的性质
基本不等式定理
重要结论
公式
反证法：正难则反
证明不等式的主要方法
放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的
比较法：
综合法：由因导果
分析法：执果索因
构造法：构造函数或不等式证明不等式
STEP3
STEP2
STEP1
判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系求解问题.
不等式知识点总结 （一）
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不等式知识要点
一.知识网络
不等式
不等式性质
绝对值不等式的基本性质
证明不等式主要方法
比较法
综合法
分析法
其它重要方法
反证法
放缩法
判别式法
解不等式
整式不等式
可化为整式不等式的不等式
不等式的应用
换元法
重要不等式： 定理：
数学归纳法：
换元法：三角换元，增量换元 ， 均置换元.
绝对值的定义 绝对值的性质
9.绝对值的解法
解不等式 一元二次不等式： 一元一次不等式
(3)高次不等式：
分式不等式：
Hale Waihona Puke 无理不等式 不等式的分类（按所连接的解析式类型分类）
不等式
再见
演讲人姓名
高一不等式的知识点及解法
高一不等式的知识点及解法高中数学中，不等式是一个重要且常见的数学概念。
不等式是数学中表示两个数或两个函数之间大小关系的一种符号表达方式。
在高一阶段，学生将开始接触到不等式的知识，并学习如何解决不等式的问题。
本文将介绍一些高一不等式的基本知识点和解题方法。
一、基本概念和符号首先，我们需要了解不等式的基本概念和符号。
不等式可分为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”四种类型。
分别用符号“>”、“<”、“≥”、“≤”表示，例如“a > b”表示a大于b。
在解不等式时，我们需要用到一些基本的性质。
例如，如果a > b，那么对于任意的正整数c，我们有a + c > b + c。
另外，如果a > b且b > c，那么a > c，这是不等式的传递性。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数的一次方程。
例如，2x + 3 > 5是一个一元一次不等式。
解一元一次不等式可以通过图像法或代数法。
图像法是通过绘制函数的图像来确定不等式的解集。
以2x + 3 > 5为例，我们首先将其转化为等式2x + 3 = 5，得到x = 1。
然后，在数轴上标出1，再根据函数的斜率和截距，判断解集在1的左边或右边。
代数法是通过一系列的变换，将不等式转化为更简单的形式。
对于2x + 3 > 5，我们可以进行如下的代数变换：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1因此，不等式的解集为x > 1。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指包含一个未知数并且最高次幂为2的不等式。
例如，x^2 - 4x + 3 > 0是一个一元二次不等式。
解一元二次不等式可以通过图像法或代数法。
图像法同样是通过绘制函数的图像来确定不等式的解集。
以x^2 - 4x + 3 > 0为例，我们先将其转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0，然后求得方程的根x = 1和x = 3，并且找到抛物线在x轴上的开口方向。
不等式数学知识点高一
不等式数学知识点高一一、不等式的概念和性质1. 不等式的定义不等式是数之间不相等关系的表示形式，可分为大于、小于、大于等于、小于等于四种不等式类型。
2. 不等式的解集表示法当不等式成立时，将满足不等式的数值表示为解集，用集合的形式表示。
3. 不等式的性质（1）对于同一不等式，两边同时加（减）同一个数，不等式的成立关系不变。
（2）对于同一不等式，两边同时乘（除）同一个正数，不等式的成立关系不变，但若同除，需考虑除数不能为零。
（3）对于同一不等式，两边同时乘以同一个负数，不等式的成立关系改变。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法针对一元一次不等式，通过图像法或数值法求解。
2. 一元一次不等式的图像法（1）将一元一次不等式转化为方程，得到直线的方程。
（2）绘制直线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。
3. 一元一次不等式的数值法（1）根据不等式的性质，将x的系数乘以-1，使其系数为正数。
（2）列出方程，求解x的值，并根据解的大小关系确定不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法针对一元二次不等式，通过图像法或配方法（改变形式法）求解。
2. 一元二次不等式的图像法（1）将一元二次不等式转化为方程，得到抛物线的方程。
（2）绘制抛物线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。
3. 一元二次不等式的配方法（1）根据不等式的性质，将一元二次不等式化为标准形式。
（2）通过配方法（改变形式法）将不等式化简为平方项的形式。
（3）根据不等式的解集性质，确定不等式的解集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法针对绝对值不等式，通过正负号讨论法求解。
2. 绝对值不等式的正负号讨论法（1）根据绝对值的性质，将绝对值不等式拆分为正负号的形式。
（2）分别讨论正负号情况下的不等式，并求解不等式的解集。
五、不等式的运算和复合不等式1. 不等式的运算法则（1）对于同一不等式，两边同时加、减、乘、除同一个数，不等式的成立关系不变。
高一数学不等式核心知识点
高一数学不等式核心知识点不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题、研究问题的范围和推论等方面发挥着重要作用。
作为高一学生，掌握不等式的核心知识点对于今后学习数学和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍高一数学不等式的核心知识点，让我们一起来学习吧！1. 不等式基本概念不等式是指两个数之间存在大小关系的表示形式。
常见的不等式形式包括“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。
例如，a>b表示a大于b，a≥b表示a大于等于b。
在解不等式时，需要确定未知数的取值范围，使不等式成立。
2. 不等式的性质不等式具有一些特殊的性质，包括保持不等号方向性、对不等式两侧同时加减相等数保持不等号方向性、对不等式两侧同时乘除正数保持不等号方向性、对不等式两侧同时乘除负数改变不等号方向性等。
这些性质在解不等式时起到重要的指导作用。
3. 不等式的解集表示形式解不等式时，可以通过图像、集合、区间等方式表示解集。
图像表示方式以数轴上的点、线段表示解集，集合表示方式使用大括号{}将解集中的元素列举出来，而区间表示方式则采用小括号()、中括号[]等符号表示解集的开闭性。
在解不等式时，我们可以根据具体的问题和要求选择适合的解集表示形式。
4. 不等式的解法在解不等式时，可以使用不等关系的性质，通过逐步变换将不等式转化为简单形式。
重要的解法包括加减法变形法、乘除法变形法、取绝对值法等。
需要注意的是，变形过程中需要保持不等式的等价性，即不改变不等式的解集。
5. 一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一。
对于一元一次不等式，我们可以使用加减法变形法和乘除法变形法进行解题。
例如，3x-4>7，我们可以通过不等式两侧同时加4，得到3x>11，再除以3，得到x>11/3，解集为开区间(11/3, +∞)。
6. 一元二次不等式一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二。
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第四章不等式3.1不等式的性质第一课时学习目标1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；3．强调数形结合思想.学习重点、难点比较两实数大小；理解实数运算的符号法则。
学习建议一、复习回顾我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在右图中，点A表示实数，点B表示实数,点A在点B右边，那么.我们再看右图，表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：若，则是正数；逆命题也正确.类似地，若，则是负数；若，则.它们的逆命题都正确.这就是说：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容.二、讲授新课1．比较两实数大小的方法——求差比较法比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.2．例题讲解例1 比较与的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.解：∴例2已知,比较（与的大小.分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.由得，从而请同学们想一想，在例2中，如果没有这个条件，那么比较的结果如何？为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习.三、课堂练习1．比较的大小.2．如果，比较的大小.3．已知,比较与的大小. 课堂小结通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则，掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.第二课时学习目标1．理解同向不等式，异向不等式概念；2．掌握并会证明定理1，2，3；3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.学习重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程难点：理解证明不等式的逻辑推理方法学习建议一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式.2．不等式的性质：定理1：若，则定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.证明：∵，∴由正数的相反数是负数，得说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2：若，且，则.证明：∵∴根据两个正数的和仍是正数，得∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3：若，则定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.证明：∵∴说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即.定理3推论：若.证明:∵,∴①∵∴②由①、②得说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；（4）定理3的逆命题也成立.三、课堂练习1．证明定理1后半部分；2．证明定理3的逆定理.说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.第三课时学习目标1．熟练掌握定理1，2，3的应用；2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；3．掌握反证法证明定理5.学习重点：定理4，5的证明.难点：定理4的应用.学习建议一、复习回顾上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法.我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.二、讲授新课定理4：若若证明：根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.推论1：若证明：①又∴②由①、②可得.说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.推论2：若说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；（2）应强调学生注意n∈N的条件.定理5：若我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.说明：假定不大于，这有两种情况：或者，或者.由推论2和定理1，当时，有；当时，显然有这些都同已知条件矛盾所以.接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.例2已知证明：由例3已知证明：∵两边同乘以正数说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.课堂小结通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.3.1.3 不等式的性质不等式的几个性质不等式的性质是后继学习的基础，熟练掌握并能灵活运用不等式的性质，是提高解题准确性和快捷性的关键。
1．乘方、开方性质1）若，则有：①；②。
2）若，则。
3）若，则或。
2．取倒数性质1）若或，则。
2）若或，则。
3．取绝对值的性质1）。
2）若，且，①当时，有；3）当时，有。
4．有关分数的性质若，且，则1）真分数的性质：①；②。
2）假分数的性质：①；②。
说明：1）是真分数的性质，可简述为：真分数越加越大，越减越小。
2）是假分数的性质，可简述为：假分数越加越小，越减越大。
以上性质都可由基本不等式或绝对值的定义，通过简单推导而得到，作为练习，其证明均留给读者。
对以上不等式，建议大家熟练掌握，这对加快解题速度有帮助。
探究关系式是否成立的问题题目当成立时，关系式是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。
解：因为，所以，所以，所以，所以或所以或所以或所以不可能成立。
说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。
不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论1．比较两式的大小比较下列各式的大小。
（1）与（2）与（）（3）与（）解法1：当时当时当时（2）∵当时当时（3）∴解法2：（1）、（2）得，现解（3）注意此题在于巩固读者学过的乘法公式。
2．判断命题真假的题目例1 判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（）解答：（1）命题成立，可由性质直接推出。
（2）命题不成立，因为不成立。
如，显然有，但推不出（3）命题不成立。
当时，有（4）命题成立。
可由性质（5）命题不成立。
其中，可由性质直接推出，而则不成立，例如：时就不成立。
（6）命题不成立，例如时就不成立。
（7）命题成立。
由性质，可直接证得；而由性质可以证得（8）命题成立。
由性质可直接证得点评关于基本性质方面的总量主要有三类：一类是基本性质，包括互逆性和传递性类是与加减运算有关的性质；另一类是与乘、除、乘方、开方运算有关的性质。
3．求代数式范围的题目设，那么的范围是（）（A）（B）（C）（D）答案 D4．考查不等式性质的选择题综合运用不等式的性质，请完成以下题目：（1）若，则下列不等关系中不能成立的是（）A．B．C．D．（提示：是一个有用的小结论。
）（2）如果，那么下列不等式①；②；③；④其中恒成立的是（）A．①②B．①③C．①④D．②③（3）若、是任意实数，且，则（）A．B．C．D．（4）若且，则下面的不等式中正确的是（）A．B．C．D．（5）若和是实数，是有理数，满足下面哪个条件必有（）A．B．C．D．5．应用不等式的性质解题的综合题目题目设且，比较与的大小。
分析：待比较两式带有绝对值符号，因此应设法去掉绝对值，才能便于作差或商的变形。
解法1：当时，由知，∴∵∴，从而故解法2：平方作差：∴故解法3：作商比较∵∴，∴，故由知及∴，故∴评注：本例含有两个变元，乍一看必须要对进行分类讨论，如解法1；然而再通过多角度审视却回避了讨论，得到了巧妙的解法2与解法3。
3.2算术平均数与几何平均数第一课时学习目标：1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2．理解定理的几何意义；3．能够简单应用定理证明不等式.学习重点：均值定理证明难点：等号成立条件学习建议一、复习回顾上一节，我们完成了对不等式性质的学习由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.二、讲授新课1．重要不等式：如果证明：当所以，即由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果是正数，那么证明：∵即显然，当且仅当说明：ⅰ）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数.ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，.过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即时，等号成立.在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.4．例题讲解：例1 已知都是正数，求证：（1）如果积是定值P,那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S,那么当时，积有最大值证明：因为都是正数，所以（1）积xy为定值P时，有上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值.（2）和为定值S时，有上式当时取“=”号，因此，当时，积有最大值.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在.接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件.第二课时学习目标：1．进一步掌握均值不等式定理；2．会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.学习重点：均值不等式定理的应用难点：解题中的转化技巧学习建议一、复习回顾上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，利用这一定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来继续这方面的训练.二、讲授新课例2 已知都是正数，求证：分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由都是正数，得即例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习.课堂小结：通过本节学习，要求大家进一步掌握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并认识到它在实际问题中的应用.3．2算术平均数与几何平均数（第一课时）（一）导入新课提出问题：某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？［讨论］①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：方案甲：（元）；方案乙：（元）；方案丙：（元）．故降价最少的方案是丙．②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】如果，那么（当且仅当时取“=”号）．［点评］①强调的充要条件是②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．③几何解释，如图。