数学物理方程学习指导书第6章拉普拉斯方程的格林函数法

第6章 拉普拉斯方程的格林函数法

在第4、5两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法.本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法.先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式.

6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法

在第3章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程

2222

2220.u u u

u x y z

????≡++=???

作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件.至于边界条件，如第

一章所述有三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题.

（1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ (或记作Ω)上连续，在Ω内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即

.u f Γ= (6.1)

第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题，或简称狄氏问题.4.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题.

拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知.

（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数

(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任一点处法向导

数

u

n

??存在，并且等于已知函数f 在该点的值： .u

f n Γ

?=? （6.2） 这里n 是Γ的外法向矢量.

第二边值值问题也称牛曼（Neumann ）问题.

以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解.这样的问题称为内问题.

在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法.例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件,u f Γ=这里Γ是

Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布，象这样的定解解问题称为拉普拉斯方程的外问题.

由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于在电学上总是假定在无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加一个条件*）

lim (,,)0

(r u x y z r →∞

==

（6.3）

（3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，当点(,,)x y z 趋于无穷远时，(,,)u x y z 满足条件(6.3)，并且它在边界Γ上取所给的函数值

.u f Γ= （6.4）

（4）牛曼外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数

(,,)u x y z ，它的闭曲面Γ的外面部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，在无穷远处满足条

件(6.3)，而且它在Γ上任一点的法向导数

'

u

n ??存在，并满足 ,'u

f n Γ

?=? （6.5） 这里n '是边界曲面Γ的内法向矢量.

下面我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题.

6．2 格林公式

为了建立拉普拉斯方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则线面积分中奥-高公式的直接推论.

设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 是在

Ω+Γ上连续的，在Ω内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立如下的奥-高公式

*）从数学角度讲，补充了这个条件就能保证外问题的解是唯一的，如果不具有这个条件，外问题的解

可能不唯一.例如，在单位圆Γ外求调和函数，在边界上满足1

=Γu

.容易看出，及1),,(1≡z y x u

2

2

2

21),,(z

y x z y x u ++=

都在单位圆外满足拉普拉斯方程，并且在单位圆Γ上满足上述边界条件.

P Q R d x y z Ω??

???++Ω ?????

???? [cos(,)cos(,)cos(,)],P n x Q n y R n z dS Γ

=++?? (6.6)

其中d Ω是体积元素，n 是Γ的外法向矢量，dS 是Γ上的面积元素.

下面来推导公式(6.6)的两个推论.

设函数(,,)u x y z 和(,,)v x y z 在Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的二阶偏导数.在(6.6)中令

,,,v v v P u

Q u R u x y z

???===??? 则有

2

()u v u v u v u v d d x x y y z z ΩΩ?????????Ω+++Ω ????????

??????? ,v

u

dS n

Γ

?=??? 或

2().v

u v d u dS grad u grad v d n Ω

Γ

Ω

??Ω=-?Ω????????? （6.7） (6.7)式称为第一格林(Green)公式.

在公式(6.7)中交换,u v 位置，则得

2().u

v u d v dS grad u grad v d n Ω

Γ

Ω

??Ω=-?Ω????????? （6.8） 将(6.7)与(6.8)式相减得到

22

().v u u v v u d u v dS n n ΩΓ

?????-?Ω=- ?????????? （6.9） (6.9)式称为第二格林公式.

利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质. (i)调和函数的积分表达式

所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域边界Γ上的法向导数沿Γ的积分来表达调和函数在Ω内任一点的值.

设0000(,,)M x y z 是Ω内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值，为此，构造一个函数

1v r =

= （6.10）

函数

1

r

除点0M 外处处满足拉普拉斯方程，这函数在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用，通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解.由于1

v r

=

在Ω内有奇异点0M ,我们作一个以0M 为中心，以充分小的正数ε为半径的球面,εΓ在Ω内挖去,εΓ所包围的球域K ε得到区

域K εΩ-（图6-1），在K εΩ-内1

v r

=

是连续可微的.在公式(4.9)中取u 为调和函数，而

图6-1

取1

v r

=

，并以K εΩ-代替该公式中的Ω，得 221111(),K u r u u d u dS r r n r n εεΩ-Γ+Γ????? ?????????-?Ω=-????????

????? （6.11） 因为在K εΩ-内2210,0.u r

?=?

=而在球面εΓ上221111,r r n r r ε?????? ? ?

????=-==?? 因此

22

2

111

44,r u dS udS u u n ε

ε

πεπεεΓΓ??

? ?

??==

?=?????

其中u 是函数u 在球面εΓ上的平均值.

同理可得

22211144,r u dS udS u u n εε

πεπεεΓΓ??? ?

??==?=????? 此外u n ??? ????

是

u

n ??在球面εΓ上的平均值，将此两式代入(6.11)可得 11440.u u u dS u n r r n n εππεΓ????

?????-+-= ? ? ??????????

?? 现在令0,ε→由于00

lim ()u u M ε→=（因为(,,)u x y z 是连续函数），0

lim 40u n επε→??

?=

????

（因为(,,)u x y z 是一阶连续可微的，故

u

n

??有界）则得 0001

11()()(),4MM MM u M u M u M dS n r r n π

Γ??

??????=-

-

? ?????????

?? (6.12)

此外为明确起见，我们将r =

记成0MM r .

(6.12)说明，对于在Ω+Γ上有连续一阶偏导数的调和函数u ，它在区域Ω内任一点0

M 的值，可通过积分表达式(6.12)用这个函数在区域边界Γ上的值及其在Γ上的法向导数来表

示*）.

(ii)牛曼内问题有解的必要条件

设u 是在以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取u 为所给的调和函数，取1v =，就得到

0u

dS n

Γ

?=???

(6.13) 由(6.13)可得牛曼内问题u f n

Γ??

?=

????

有解的必要条件为函数

f 满足

*）上面的推导是假定点

),,(0000z y x M 在区域Ω内，如果0M 在Ω外或0M 在边界Γ上，我们也

可用同样方法推得另外两个式子，把它们合并在一起可得

??Γ??

?

??

ΩΓΩ=???? ????-??? ????-。

M M u M M u M dS n u r r n u 内在若上在若外在若00000),(4,

),(2,,011ππ 同样，若u 不是调和函数，只要它在Γ+Ω上有一阶连续偏导数，而在Ω内F u =?

2

，我们可以

得到类似的公式

.)

(41

)(11

)(41

)(0

000

Ω-???

??

?????-????

?

???-

=?????

Γ

Ω

d r m F dS n M N r r n M u M u MM MM MM ππ

0.fdS Γ

=?? (6.14)

事实上，这个条件也是牛曼内问题有解的充分条件，证明见A.H.吉洪诺夫，A.A.萨马尔斯基著《数学物理方程》中册（黄克欧等译，人民教育出版社出版）.

(iii) 平均值公式

设函数()u M 在某区域Ω内是调和的，0M 是Ω内任一点，a K 表示以0M 为中心，以

a 为半径，且完全落在区域Ω内部的球面，则成立下列平均值公式

02

1().4a

K u M udS a π=

?? （6.15）

要证明这个公式，只要将公式(6.12)应用于球面a K ，并注意在a K 上

211111,,r a n r r r a

??????===- ? ??????? 以及

110a

a K K u u

dS dS r a n ??==?????? 即可.

(iv)拉普拉斯方程解的唯一性问题

现在我们利用格林公式讨论拉普拉斯方程解的唯一性问题，将证明如下的结论：狄利克莱问题的解是唯一确定的；牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的.

以12,u u 表示定解问题的两个解，则它们的差12v u u =-必是原问题满足零边界条件的解，对于狄氏问题，v 满足

在内2

0,;

0,

v v Γ??=Ω??

=?? （6.16） 对于牛曼问题，v 满足

在内20,;0,v v n Γ

??=Ω?

??=??? （6.17）

下面来说明满足条件(6.16)的函数在Ω内恒为零；满足条件(6.17)的函数在Ω内为一常数.

事实上，在公式(6.8)中取12u v u u ==-则得

20().v

v

dS gradv d n Γ

Ω

?=-Ω?????? 由条件(6.16)或(6.17)得

2

()0,gradv d Ω

Ω=??? 故在Ω内必有

0,gradv ≡

即

0,v v v x y z

???==≡??? 或 .v C ≡ 对于狄氏问题，由

得故0,0.0.u C v Γ===

6．3 格林函数

公式(6.12)说明了一个调和函数可以用这个函数在边界上的值及其在边界上的法向导数来确定它在区域Ω内的值.查这个公式不能直接提供狄氏问题或牛曼问题的解，因为公式中既包含了又包含了

u n Γ??.所以要想从(4.12)得到狄氏问题的解，就必须消去u

n Γ

??，这就需要引进格林函数的概念.

在格林公式(6.9)中取,u v 均为调和函数，则得

0.u

v v u dS n n Γ????=- ????

??? (6.18)

将(6.12)与(6.18)相减得

00011

1().44MM MM v u u M u v dS n n r r n

ππΓ?????????????

??=-+-

?

??? ? ???????????????

?

?? (6.19) 如果能选取调和函数v ，使满足

1,4MM v r πΓΓ

=

(6.20)

则(6.19)中的

v

n Γ

??项就消失了，于是有 001

().4MM u M u v dS n r πΓ???=-- ? ????

?? (6.21)

令

01

(,),4MM G M M v r π=

- (6.22)

则(6.21)可表为

0().G

u M u

dS n

Γ

?=-??? 0(,)G M M 被称为拉普拉斯方程的格林函数.如果格林函数一经求得，并且它在闭区域Ω内

存在连续的一阶偏导数，则狄氏问题

在内20,;

()v v f M Γ

??=Ω??

=?? 的解若存在，这个解必然能表示为

0()().G

u M f M u

dS n

Γ

?=-??? （6.23） 对于泊松方程的狄氏问题

2,;

v F u f

Γ??=Ω??

=??在内 而言，若存在解，这个解必可表示为

0()()

.G

u M f M dS GFd n Γ

Ω

?=--Ω?????? 这样一来，对任意函数f 求解拉普拉斯方程或泊松方程的狄氏问题就转化为求此区域内的格林函数.从(6.22)可知，确定格林函数又必须解一个特殊的狄氏问题

020,;

1,4MM v u r

πΓΓ

??=Ω??

?

=???在内 （6.24） 虽然对于一般的区域，求解问题(6.24)也不是一件容易的事，但公式(6.23)还是有重要意义的，

因为：(1)格林函数仅依赖于区域，而与原定解问题中所给的边界条件无关，只要求得了某个区域的格林函数，就能一劳永逸地解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题；（2）对于某些特殊的区域，如球、半空间等，格林函数可以用初等方法获得.

格林函数在静电学中有明显的物理意义.设在闭曲面Γ内一点0M 处放一个

1

4π

单位正电荷，则它在Γ面内侧感应有一定分布密度的负电荷，而在Γ外侧分布有相应的正电荷.如果曲面Γ是导体并接地，则外侧正电荷就消失，且电位为零.这时Γ内任意一点M 的电位是由二种电荷产生的，一是在点0M 处

14π单位正电荷，由它产生的电位为0

1

4MM r π，二是在Γ内感应的负电荷，由它产生的电位为v ,v 是定解问题(6.24)的解.因此格林函数就是导电曲面

Γ内的电位.

6．4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解

从(6.23)可知，对于一个由曲面Γ所围成的区域Ω，只要求出了它的格林函数，则在这个区域内狄氏问题的解就能以积分形式表示出来.对于某些特殊的区域，它的格林函数可以用电象法求得.所谓电象法就是在区域Ω外找出0M 关于边界Γ的象点，然后在这个象点放置适当的负电荷，由它产生的负电位与0M 点

1

4π

单位正电荷所产生的正电位在曲面

Γ上互相抵消，此时二者所形成电场在Γ内的电位就相当于所要求的格林函数，下面以半空间、球域为例说明电象法的应用. 6.4.1 半空间的格林函数

求解拉普拉斯方程在半空间0z ≥内的狄氏问题，就是求函数(,,)u x y z ，使之适合

2222220

0,0;

(,).z u u u

z x

y z u f x y =????++=>??????=? （6.25）

图6-2

首先找格林函数0(,)G M M ，在半空间0z >的0000(,,)M x y z 点置

1

4π

单位正电荷，并找出0000(,,)M x y z 关于0z =平面的对称点1000(,,)M x y z -（图6-2），在

1000(,,)M x y z -点置

14π单位负电荷，则它与0000(,,)M x y z 点的1

4π

单位正电荷所产生的电位在平面0z =上互相抵消，因此

010111(,)4MM MM G M M r r π

??

=

-??????

（6.26） 就是半空间0z >的格林函数.

为了求得(6.25)的解，计算0

z G n

=??，由于在平面0z =上的外法线方向是oz 轴的负向，

所以有

z z G G n

z

==??=-

??

03

2222

00014()()()z z x x y y z z π?

-?

=???

?-+-+-??? 0322220000()()()z z z x x y y z z =?

+?

-?

???-+-++??? 0

3

222

2

0001,2()()z x x y y z π

=-

??-+-+?

? (6.27)

将(6.27)代入(6.23)中，得到问题(6.25)的解*)为 000(,,)u x y z 0

3

2222

2

0001(,),2()()z f x y dxdy x x y y z π

∞∞

-∞

-∞

=-

??-+-+??

??

(6.28)

6.4.2 球域的格林函数

设有一球心在的原点，半径为R 的球面Γ.在球内任取一点0

00(),OM M r ρ=连0OM 并

延长至1M 使01

2,OM OM r r R ?=点1M 称为0M 关于球面Γ的反演点（图6-3），以1ρ表示

1OM r ，

*)

这里所考虑的区域为无限域，只要函数(,

,)u x y z 在无穷远处满足如下条件：当0r r ≥时，

222,,,,A

u A u A u A

u r x r y r z r

???<

<<

图6-3

则2

01.R ρρ=在0M 放置

1

4π

单位正电荷，在1M 放置04R πρ单位的负电荷，则可以证明这

两个电荷所产生的电位在球面Γ上相互抵消.

事实上，设P 是球面Γ上任一点，考虑1OM P ?与0OM P ?，由于在点O 它们有公共角，且夹这角的两边成比例

1

R

R

ρρ=

. 因此这两个三角形是相似的，从而有

10

,PM PM r R

r ρ=

即

0101

10.4PM PM R r r π

ρ??

-=?????? （6.29） 由(6.29)可知，球域的格林函数为

01

001

1(,).4PM

PM R

G M M r r π

ρ??

=

- ? ???

（6.30） 现在利用格林函数求球域内的狄氏问题

u f Γ=

的解，为此，我们要算出

G

n Γ

??，注意到 0

22

0012cos MM r ρρρργ

=

+-

1

22

1112cos MM r ρρρργ

=

+-

其中,OM r ργ=是0OM 与OM 的夹角（当然也是1OM 与OM 的夹角），于是

2 001 1

(,)(), 4

G M M R

ρρ

π

??

==

在球面Γ上，

()

()

()

22

33

222224

22

0000

cos

cos

1

4

2cos2cos

R

R

R R

G G

n

R R

ρ

ρ

ρρργ

ρργ

ρπ

ρρρργρρρργ

=

=

??

-

-

????==-

??

????

+--+

??

()

22

3

222

00

1

,

4

2cos

R

R

R R

ρ

π

ρρργ

-

=

+-

代入(6.23)可得球内狄氏问题的解为

()

22

03

222

00

1

(),

4

2cos

R

u M fdS

R

R R

ρ

π

ρρργ

Γ

-

=

+-

??(6.31) 或写成球坐标的形式

000

(,,)

uρθ?

()

22

2

3

00

222

00

1

(,,)sin,

4

2cos

R

f R d d

R

R R

ππρ

θ?θθ?

π

ρρργ

-

=

+-

??（6.32）

其中

000

(,,)

ρθ?为点

M的坐标，(,,)

Rθ?是球面Γ上点的坐标，cosγ是

OM与

1

OM夹

角的余弦，因为向量

OM，OM的方向余弦分别为

00000

(sin cos,sin sin,cos)

θ??θθ

与(sin cos,sin sin,cos),

θ?θ?θ

所以

0000

cos cos cos sin sin(sin sin cos cos)

γθθθθ????

=++

000

cos cos sin sin cos().

θθθθ??

=+-

公式(6.31)或(6.32)称为球的泊松公式.

以上的推导都是形式上的，即在假定定解问题有解的条件下得到解的表达式，至于(6.28)与(6.32)是否就是相应定解问题的解，还应加以验证.这个验证过程我们就略去了，有兴趣的读者可查阅其他的书籍.

习题六

1、证明平面上的格林公式

22

(),

D C

u v

v u u v d v u ds

n n

σ

??

??

?-?=-

?

??

??

???

其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧微分. 2、验证1

ln

u ρ

=是二维拉普拉斯方程的解（称为基本解），其中

ρ=3、在二维情况，建立调和函数类似于公式(6.12)的积分表达式.

4、试定义平面上的格林函数，并导出类似于(6.23)的平面上狄氏问题解的表达式.

5、求证圆域222x y R +≤的格林函数为

0001111(,)ln ln ,2R G M M M M M M π

ρ??=

-????

并由此推出圆内狄氏问题的泊松公式（2.35）.