电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析.
由高斯定理可知电场强度的散度:，这是真空中的情况，为闭合 面包围的自由电荷密度。
当有电介质存在时，将高斯定理定理推广为，是极化电荷体密度。 的旋度：
由电荷激发的电场是无旋场，旋度为零，由变化磁场激发的电场 是有旋场，一般来说，空间电场是库伦电场和感应电场的叠加， 根据 法拉第电磁感应定律和安培环路定理可求得 在真空中的电场强度旋度为: ，表明静电场是无旋场。 在时变的电磁场中：，表明时变磁场产生时变电场。 的边界条件：
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向 的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁 化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量 的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于 闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不 随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从 而得到：。 的旋度：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢 量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强 度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度 和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助 于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
通过积分形式的麦克斯韦第三方程可以得到磁感应强度矢量的边 界条件：，表明磁感应强度的法向分量在分界面上式连续的。 4.磁场强度 的散度：
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有： 。 的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中 某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变 的位移电流之和。 的边界条件：
电解质表面上的极化电荷面密度为，在分界面上的边界条件有，是 分界面上的极化电荷面密度，上式表明极化强度的法向分量是不连续 的。 6.磁化强度 的散度：
对于各向同性和线性介质，由上边的，可以知道。 的旋度：
由磁介质中的任一个由边界回路限定的曲面，穿过整个曲面的磁化 电流为，将磁化电流表示为磁化电流密度的积分，即，比较上面两个式 子得到：。 的边界条件：
根据欧姆定理的微分形式，又因为库伦电场的旋度恒为零，则。 的边界条件：
类似上边讨论的方法，在分界面上的边界条件为，这表明若存在随 时间变化的自由面电荷，那么传导电流密度的法向分量是不连续的。
通过积分形式的麦克斯韦第二方程，可以得到电场强度的边界方 程：，设分界面的法向单位矢量为，切向单位矢量为。上式表明电场强 度的切向分量是连续的。 2. 电位移矢量 的散度：
由带入电场强度的散度公式中，得到电位移矢量的散度表达式：。 式中为闭合面包围的自由电荷体密度，这个式子表明电解质内任一点的 电位移矢量的散度等于该点的自由电荷体密度。 的旋度：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的 散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。 的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒 定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密 度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。 的边界条件：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为 的边界条件：
通过积分形式的麦克斯韦第四方程可以得到的边界条件： ，为分界面上存在的自由电荷面密度，这个式子表明电位移矢量的法向 分量在分界面上是不连续的。
对于各向同性的介质，由于，且由于电场强度的切向分量是连续
的，又分界面上两种介质的介电常数大小是不确定的，因此电位移矢量 的切向分量连续与否也是不确定的。 3. 磁感应强度矢量 的散度：
由麦克斯韦方程组的第一方程的积分形式得到磁场强度的边界条 为： ，为分界面上存在的自由面电流，表明磁场强度在穿过存在面电流的分 界面时，切向分量是不连续的。
同理，由于分界面的磁介质大小不确定，而且，则在垂直分界面方 向上连续性是不确定的。 5.极化强度 的散度：
在电介质中的任意闭合曲面上取一个面积元，其法向单位矢量为， 近似认为上的不变。在电解质极化时，设每个分子的正负电荷的平均相 对位移为，则分子电偶极矩为。以为底，为斜高构成一个体积元。设电 解质单位体积中的分子数为，穿出面积元的正电荷为。
从闭合面穿出的正电荷为。留在闭合面内的极化电荷量为。因为闭 合面是任意取的，故限定的体积内的极化电荷体密度应为:，则的散度 是，是体积内的极化电荷体密度。 的旋度：
对于各向同性的线性介质，有，是合成电场强度，是由自由电荷 产生的外电场和极化电荷产生的附加电场的叠加。由于两种电场的旋度 都为零，因此有。 的边界条件：
电磁场与电磁波(第1章 矢量分析)(14-15-1)
d Sx eˆx d yd z d Sy eˆ y d x d z d Sz eˆz d x d y
z d Sz eˆz d x d y
dz
d S y eˆ y d x d z
dx
o dyd Sx eˆx d yd z y
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电磁场与电磁波
矢量场的圆柱坐标系分量： A(r) A (r)ˆ A (r)ˆ Az (r)zˆ ˆ ˆ zˆ，ˆ zˆ ˆ，zˆ ˆ ˆ
圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系中的单位
矢量的转换：
ˆ xˆ cos yˆ sin
y
ef
ey e
f
ˆ xˆ sin yˆ cos
ex
xˆ ˆ cos ˆ sin yˆ ˆ sin ˆ cos
f
单位圆
o
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
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电磁场与电磁波
1.2.3 圆球（球面）坐标系
在球面坐标系中，P点的三个坐标是r、、。
rˆ ˆ ˆ，ˆ ˆ rˆ，ˆ rˆ ˆ
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电磁场与电磁波
r 常数 ——以原点O为球心的球面。
常数 ——以Oz轴为轴的圆锥面。
常数 ——以Oz轴为界的半平面。
rˆ xˆ sin cos yˆ sin sin zˆ cos
zˆ rˆ cos ˆ sin
A
rˆArrˆrˆAr
ˆA
f f0（半平面）
球坐标系
第矢量分析
b. 按场量与时间的关系分：
静态场：场量不随时间发生变化的场。 动态场：场量随时间的变化而变化的场。
动态场也称为时变场。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
则： 2a b 2c 3 a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例3： 已知 A 2aˆx 6aˆy 3aˆz B 4aˆx 3aˆy aˆz
求：确定垂直于 A、B所在平面的单位矢量。
面元： dSr rddzar dS drdza dSz rddraz
体元： dV rdrddz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元：
dl dRaR Rda Rsinda
面元：
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A| aˆ
其中： |
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
系数，若已知其拉梅系数 h1, h2, h3，就可正确写出其线元、
面元和体元。 •线元： dl h1du1aˆu1 h2du2aˆu2 h3du3aˆu3
矢量场的散度和旋度
2. 方向导数 定义：
Δl
M0
r l
M
| lim u
u(M ) u(M0)
l M0
l 0
l
方向导数的概念
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
• • •
u
l u
l
u
l
r —0— u(M)沿 方向l 增加；
r —0— u(M)沿 方向l 减小；
r —0 — u(M)沿 方向l 无变化。
计算公式：
erxdlydlz
erxdydz
r dSy
r eydlxdlz
r eydxdz
r dSz
erzdlxdly
erzdxdy
z dSz ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
体积元
dV dxdydz
2. 圆柱坐标系 坐标变量
,, z
| 概该点念的：g等ra值du面的erl法ul线m方，ax 向其的中单erl位矢量ul，取且得规最定大等值值的面方的向值,增即加过
的方向为正法线方向。
意义：描述标量场在某点的最 大变化率及其变化最大的方向
梯度的表达式：
直角坐标系
gradu
erx
u x
er y
u y
erz
u z
哈密顿算符
r ex
x
A B B A
若
A
B
，则
A B AB
若
A //
B
，则
AB 0
A B
B
AB sin
电磁场与电磁波复习重点
梯度: 高斯定理:A d S ，电磁场与电磁波知识点要求第一章矢量分析和场论基础1理解标量场与矢量场的概念；场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。
2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公 式和方法(限直角坐标系)。
:u；u；u e xe ye z ，-X；y: z物理意义：梯度的方向是标量u 随空间坐标变化最快的方向;梯度的大小：表示标量 u 的空间变化率的最大值。
散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度,旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值， 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向。
斯托克斯定理：■ ■(S?AdS|L )A d l数学恒等式：' Cu )=o ,「c A )=o3、理解亥姆霍兹定理的重要意义：a时，n =3600/ a , n为整数，则需镜像电荷XY平面, r r r.S(—x,y ,z)-q ■严S(-x , -y ,z)S(x F q R 1qS(x；-y ,z )P(x,y,z)若矢量场A在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。
A八F u第二、三、四章电磁场基本理论Q1、理解静电场与电位的关系，u= .E d l，E(r)=-V u(r)P2、理解静电场的通量和散度的意义，「s D d S「V "v dV \ D=，VE d l 二0 ' ' E= 0静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。
3、理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题;唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯一地确定的镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。
关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷，使求解区域内的实际电荷与虚拟电荷共同产生的场满足实际边界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能满足求解区域内的微分方程。
电磁场电磁波-第一章矢量分析(14-5)解读
矢量线不能定量描述矢 量场的大小，但过单位 曲面积的矢量线的根数 描述了矢量线的多少。 引入通量的概念。在场 区域的某点选取面元， 穿过该面元矢量线的总 数称为矢量场对于面积 ds 元的通量。
ds
F x , y , z
ˆ s dψ F x, y, z n
电磁场与电磁波
S V
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.5 矢量场的环流与旋度
1.5.1 矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。
存在另一类不同于通量源的矢量源，它所
激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任 何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的 空间中闭合路径的积分不为零。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
性质：
rot n F en F
◇ 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 ◇ 点M的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 ◇ 点M的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。
物理意义 ◇ 环流面密度矢量→旋涡源密度矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
•
直角坐标系中 rot x F 、rot y F 、rot z F 的表达式
Fx Fy Fz S F dS x xyz y xyz z xyz
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为 F dS F F F S y F lim x z V 0 V x y z
dr ex dx ey dy ez dz
dx dy dz dř在点M处与失量线相切， 则它与F共线。 Fx ( x, y, z ) Fy ( x, y, z ) Fz ( x, y, z )
电磁场与电磁波
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
电子科技大学电磁场与电磁波课件第一章+矢量分析1
思考：计算圆柱、球的表面积、体积？
球坐标系中的线元、面元和体积元
14
线元矢量 d l e d r e r d e r sin d r
面元矢量 2 d S e d l d l e r d d r r rsin
d S e d l d l e r d r d r
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A A 矢量 与B 的叉积
叉积仅服从分配律。
9
混合运算： —— 标量三重积 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B ) A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C —— 矢量三重积
( A B ) C A C B C —— 分配律 ( A B ) C A C B C —— 分配律
10
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系；
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
sin cos 0
ex
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
0 0 1
ey
z
ez
er
e
直角坐标与 球坐标系
电磁波的矢量分析
B
A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz A B B A ——矢量的标积符合交换律 A B 0 A // B A B AB AB
A
矢量 A与 B 的夹角
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
18
梯度的性质： • 标量场的梯度是矢量场，它在空间某 点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上 场的空间变化率。
•
•
标量场在某个方向上的方向导数，是
梯度在该方向上的投影。 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
C 0 (Cu ) Cu 梯度运算的基本公式： (u v) u v (uv ) uv vu f (u ) f (u )u
方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值
作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
2 2 P (e x x + e y y + e z z )( x y z ) P (e x 2 x e y 2 y e z ) ex 2 e y 2 ez
y y y0（平面）
x
x x0 （平面）
直角坐标系
面元矢量
dS x exdl y dlz exdydz
dS z ez dlxdl y ez dxdy
dS y ey dl x dl z ey dxdz
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
o
第1章矢量分析
电磁场与电磁波
北京邮电大学
32
如何记忆？
笛卡儿坐标系中微分长度
dl
axdx
ay
dy
azdz
ax
x
ay
y
az
z
柱面坐标系中微分长度
dl
ar
dr
a
(r
d
)
azdz
ar
r
a
1 r
az
z
电磁场与电磁波
北京邮电大学
33
球坐标系中微分长度
dl
aRdR
a
(
R
d
)
a
(1) C长度~矢量C的“模”：C C C • C
(2) 矢量C是矢量A和B的矢量和：C A B
电磁场与电磁波
北京邮电大学
8
解题：
C
B
A
C A2 B2 2 A B cos
C C C•C C AB
C •C (A B)•(A B)
A• A B•B2 A•B
a
(R
d
)
a
(R
sin
d
)
z
d dR
R sin
R
R d
y
x
d
电磁场与电磁波
北R京s 邮i n电大 学d
24
微分面积
aRdR
a (R d )
a (R sin d)
z
d
dS
dSR dS dS
aR
(
R
s
in
aa((RRsdin)
d ) (Rd
d) dR
dR
)
dR
R sin
R
x x平面
(整理)电磁场理论知识点总结
电磁场与电磁波总结第1章 场论初步一、矢量代数A •B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA •(B ⨯C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A •C ) – C •(A •B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元 x y z =++l e e e d x y z矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = ρ d ρ d ϕ d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ϕ 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕϕϕϕϕsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕsin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕϕθθθθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A zA A A z ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕx y z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕρϕρρϕρ sin sin ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A r r zr r r A r A r A ρϕθθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llcos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中 1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第2章 电磁学基本规律一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律真空中方程：d ⋅=⎰SE S qεd 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε 0∇⨯=E 场位关系：3''()(')'4'-=-⎰r r E r r r r V q dV ρπε =-∇E φ 01()()d 4π''='-⎰r r |r r |V V ρφε介质中方程：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0l⋅=⎰E l 0∇⋅=J 0∇⨯E =3. 恒定磁场基本规律真空中方程：0 d ⋅=⎰B l lI μ d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ 0∇⋅=B场位关系：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ =∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中方程：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律d d ⋅=-⋅⎰⎰S E l B S ld dt ∂∇⨯=-∂BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S l S t ∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S l S l SSV Sl t l t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J B E D B t t ρ ()() ()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B tt ρρ 三、边界条件 1. 一般形式12121212()0()()()0⨯-=⨯-=⋅-=⋅-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界面 和 理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章 静态场分析一、静电场分析1. 位函数方程与边界条件位函数方程： 220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ 111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解方法：2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ 连续分布： 12=⎰e VW dV φρ 电场能量密度：12D E ω=⋅e二、恒定电场分析1. 位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε 12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E l E l J SE SSSU R G Id d σ （L R =σS ）4. 静电比拟法：C —— G ，ε —— σ2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ 12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇= 211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ 连续分布：m 1d 2A J =⋅⎰V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=⋅ 第4章 静电场边值问题的解一、边值问题的类型● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ ● 自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。