双曲线的定义及标准方程
双曲线及定义
参考课本 例 1(参考课本 P54 例 1 ) 已 知 两 定 点 F1 ( −5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 − PF2 = 6 , 求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.
解： ∵ F1 F2 = 10 >6,
PF1 − PF2 = 6
由双曲线的定义可知， 的轨迹是一条双曲线, ∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (−5,0), F2 (5,0)
F ( ±c, 0)
F2
x
O
y2 x2 − 2 =1 2 b x a F(0, ± c)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ (二次项系数为正,焦点在相应的轴上) 二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标 练习：
x y − = −1 16 9
2
2
F1 (0, − 5), F2 (0, 5)
F
1
y
M
O
F
2
x
双曲线标准方程的推导
2.写出点集 写出点集: 写出点集 3.列出方程 列出方程: 列出方程 4.化简： 4.化简： 化简
MF − MF2 = 2a 1
即 (x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 =±2a
2 2
(
( x + c) + y
) = ( ±2a +
2
( x − c) + y
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 b a
F1 ( 0 , - c )，F2 ( 0 , c )
相 同 点 a b 点
19.2、双曲线的定义及其标准方程
( x c ) y ( x c ) y 2 a
2 2 2 2
( x c)
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2 2
2
( c a ) x a y a (c a )
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
例 1 已 知 两 定 点 F1 ( 5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x , y 前的系数，哪一个为正， 则在哪一个轴上
2
2
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
2
2
y (2) x 1. 5
2
2
例4、已知三角形的顶点坐标B（0，-5）、C（0,5）， 且|AB-AC|=6，求动点A的轨迹方程。
双曲线基础知识点以及训练题教学提纲
双曲线知识点一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：(1) 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 注意：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.(2).第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）. 222a c b -=，|1F 2F |=2c..3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R;⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称;⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）; ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x ab y ±= ②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）M 2M 1PK 2K 1A 1A 2F 2F 1oyx④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑤ 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x四．双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 与 )0,(12222>=-b a bx a y 的区别和联系标准方程 )0,(12222>=-b a b y a x )0,(12222>=-b a b x a y性质焦点 )0,(),0,(c c -，),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 R y a x ∈≥,||R x a y ∈≥,||顶点 )0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -对称性关于x 轴、y 轴和原点对称五.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则()22221212121141||AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则()21212122211114AB y y y y y y k k=+-=++-。
双曲线的定义及其标准方程解答
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
方程
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的 主要依据，在应用时， 一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)
的使用， 二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、 余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．
2
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、要点精讲1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.说明：⑴在双曲线定义中，如果常数212F F a =，则轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线；如果212F F a >，则轨迹不存在； 如果02=a ，则轨迹为线段21F F 的垂直平分线． ⑵双曲线的定义中，“差的绝对值”和“小于21F F ”都十分重要，不可忽视．如果没有“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支；若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则a MF MF 221=-表示双曲线的右支，a MF MF 221-=-表示双曲线的左支．2．双曲线的标准方程二、课前热身1．已知定点()0,21-F ，()0,22F ，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是（ ）(A) 321±=-PF PF (B) 421±=-PF PF (C) 521±=-PF PF (D) 42221±=-PF PF(A) 4 (B) 2 (C) 8 (D) 162. 设θ是第三象限角，方程θθcos sin 22=+y x 表示（ ）(A)焦点在x 轴上的椭圆 (B) 焦点在y 轴上的椭圆 (C)焦点在x 轴上的双曲线 (D) 焦点在y 轴上的双曲线3. 已知双曲线的焦距为26，且13252=c a ，则双曲线的标准方程是 (A)11692522=-y x (B) 11692522=-x y (C) 11442522=-y x (D) 11442522=-y x 或11442522=-x y 4．已知双曲线116922=-y x 上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ．5. 已知两点()0,51-F ，()0,52F ，动点P 满足621=-PF PF ，求动点P 的轨迹方程．6．求以椭圆192522=+y x 长轴端点作焦点，且过点()3,24的双曲线方程．三、典例精析题型一：双曲线的定义及应用1. 1F 、2F 是双曲线1922=-my x 的左、右焦点，AB 是过1F 的一条弦（A 、B 均在双曲线的左支上），若2ABF ∆的周长为30，则弦长|AB|＝ ．2. 双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦点为1F 、2F ，弦AB 过1F 且在双曲线的同一支上，若AB BF AF 222=+，则2ABF ∆的周长为（ ）。
双曲线的定义及标准方程(PPT)5-2
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
y2 a2
x2 b2
பைடு நூலகம்
1
（a>0，b>0)表示焦点在y轴上的双曲线
标准方程，其中F1(0 , -C) F2(0 , C)
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
护林～住风沙。②名起遮蔽或阻挡作用的东西：越过～｜清除～。 【馝】［馝馞］（）〈书〉形形容香气很浓。 【箅】［箅子］（?）名有空隙而能起间隔 作用的器具，如蒸食物用的竹箅子，下水道口上挡住垃圾的铁箅子等。 【弊】①欺诈蒙骗、图占便宜的行为：作～｜营私舞～。②害处；毛病（跟“利”相； 幼小衔接加盟品牌 幼小衔接加盟 幼小衔接教育加盟品牌 幼小衔接加盟多少钱 幼小衔接班加盟 加盟幼小衔接 幼小衔接教育加盟；混乱， 恐有～。②缺点或毛病：制度不健全的～越来越突出了。 【弊端】名由于工作上有漏洞而发生的损害公益的事情：消除～。 【弊害】名弊病；害处。 【弊 绝风清】ī形容社会风气好，没有贪污舞弊等坏事情。也说风清弊绝。 【弊政】〈书〉名有害的政治措施：抨击～｜革除～。 【髲】〈书〉假发。 【獘】 〈书〉同“毙”。 【薜】①［薜荔］（）名常绿藤本植物，茎蔓生，叶子卵形。果实球形，可做凉粉，茎叶可入。②（）名姓。 【觱】［觱篥］（）名古代 管乐器，用竹做管，用芦苇做嘴，汉代从西域传入。也作觱栗、??篥、筚篥。 【篦】动用篦子梳：～头。 【篦子】?名用竹子制成的梳头用具，中间有梁儿， 两侧有密齿。 【壁】①墙：～报｜～灯｜家徒四～◇铜墙铁～。②某些物体上作用像围墙的部分：井～｜锅炉～｜细胞～。③像墙那样直立的山石：绝～｜ 峭～。④壁垒：坚～清野。⑤二十八宿之一。 【壁报】名机关、团体、学校等办的报，把稿子张贴在墙壁上。也叫墙报。 【壁布】名贴在室内墙上做装饰或 保护用的布。 【壁橱】名墙体上留出空间而成的橱。也叫壁柜。 【壁灯】名装置在墙壁上的灯：一盏～。 【壁挂】名挂在墙壁上的装饰物：毛织～｜印 染～｜木雕～。 【壁柜】名壁橱。 【壁虎】名爬行动物。身体扁平，四肢短，趾上有吸盘，能在壁上爬行。吃蚊、蝇、蛾等小昆虫，对人类有益。也叫蝎虎。 旧称守宫。 【壁画】名绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。 【壁垒】名①古时军营的围墙，泛指防御工事。②比喻对立的事物和界限：两种观 点～分明｜唯物主义和唯心主义是哲学中的两大～。 【壁垒森严】比喻防守很严密或界限划得很分明。 【壁立】动（山崖等）像墙壁一样陡立：～千仞｜～ 的山峰。 【壁炉】名就着墙壁砌成的生火取暖的设备，有烟囱通到室外。 【壁球】名①球类运动项目之一。场地一端是一面墙，比赛时一方向墙击球，球弹 回落地后由另一方回击。分单打和双打。也叫壁式网球。②壁球运动使用的球，用纯橡胶或合成橡胶制成。 【壁上观】见页〖作壁上观〗。 【壁虱】ī名① 蜱（）。②〈方〉臭虫。 【壁式网球】
双曲线及其标准方程
练习：教材P48练习1
例题分析
例2. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1、F2 的 距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程.
双曲线标准方程的推导
5
一、建立坐标系；设动点为 P(x,y)
M(x,y)
注：设两焦点之间的距离为 2c(c>0), 即焦点F 1(c,0),F 2(-c,0)
-5
F1(-c,0)
F2(c,0)
5
二、根据双曲线的定义找出P点 满足的几何条件。
-5
| MF1 | | MF2 | 2a 0 a c
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c
——焦距.
思考：
1、当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是什么图形？
表示以焦点F1 , F2为端点的两条互相反向的射线。
2、当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是什么图形？
轨迹不存在。
3、当2a=0时，点M的轨迹是什么图形？
线段F1F2的垂直平分线。
思考 如图： |MF1|＋|MF2| =2a（大于|F1 F2|） ，M 的轨迹是椭圆.那么如果|MF1|-|MF2| =2a 或者 是|MF2|-|MF1| =2a ，M的轨迹又是什么呢？ y
M c c F1 O F2
x
类似椭圆定义: 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线.
令
c a b
2 2
2
得
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知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对 值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线. 这两个 定点 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集 合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常 数且a>0，c>0： (1)若 a<c 时，则集合P为双曲线； (2)若a＝c时，则集合P为 两条射线 ； (3)若a>c 时，则集合P为空集.
规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是 判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而 根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中， 常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝ 2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练 1】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦
解析 (1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆 C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2| －|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据 双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的 距离大，与 C1 的距离小)，其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1).
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
C.x82－y82＝1
D.1x22 －y42＝1
(2)(2016·沈阳四校联考)设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同
的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为( 15，4)，则
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4，0).由 双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋ |PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当 A，P，E 三点共线时， (|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为 9.
答案 (1)x2－y82＝1(x≤－1) (2)9
共轭双曲线是以已知双曲线的 虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲 线，也可以看做把原方程中的正 负号交换了位置后 得到的新方程。
x2 y2 1 a2 b2
的共轭双曲线为y2 b2Fra bibliotekx2 a2
1
等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心 率为e＝__2__，渐近线方程为__y_＝_±__x__.
考点二 双曲线的标准方程的求法
【例 2】 (1)过双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作
x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦
点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，
则双曲线 C 的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.x72－y92＝1
点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos ∠F1PF2＝( )
1
3
3
4
A.4
B.5
C.4
D.5
(2)设椭圆 C1 的离心率为153，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，
若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对
值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为( )
A.4x22－3y22＝1
B.x22－y2＝1
C.1y12 －1x12 ＝1
D.1y12 －1x12 ＝1
3
3
【答案】 (1)x42－y2＝1 (2)A
考点一 双曲线的定义及应用
【例 1】 (1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9， 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程 为________. (2)已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线 右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____________.
B.1x322－5y22＝1
C.3x22－4y22＝1
D.1x322－1y222＝1
解析 (1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4， 由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|2F| 1F2|2＝34. (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(－5，0)，F2(5，0)， 设曲线 C2 上的一点 P，则||PF1|－|PF2||＝8＜10＝|F1F2|. 由双曲线的定义知曲线 C2 为双曲线且 a＝4，b＝3. 故曲线 C2 的标准方程为4x22－3y22＝1. 答案 (1)C (2)A
共渐近线系双曲线方程
跟踪训练 1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，
且渐近线方程为 y＝±21x，则该双曲线的标准方程为________．
(2)(2016·河南郑州二模)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2＋(y
－2)2＝1 相切的双曲线的标准方程为( )
A.1x12 －1y12 ＝1 3
性 渐近线
质 离心率
y＝±bax
c e＝ a
y＝±abx ，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫 做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
共轭双曲线