(完整版)平行四边形与特殊平行四边形(专题讲练与提升)(含答案)

平行四边形与特殊平行四边形（专题与提升）一、平行四边形的性质

例1、如图，在ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.

(1)求证：△ABG≌△CDE；

(2)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；

(3)若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积。

变式练习

1、如图，在平行四边形ABCD中，E. F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF ⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G.

(1)证明：△CFG≌△AEG.

(2)若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长。

2、

如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P.

(1)求证：∠P=90°?1

2∠C；

(2)当∠C=90°，ND=NP时，判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明。

二、平行四边形的判定

例2、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB于点F，连接DF.

(1)求证：AC=EF；

(2)求证：四边形ADFE是平行四边形。

变式练习1、

2、如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=?2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

三、三角形中位线定理

例3、(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE 并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.

求证：∠BME=∠CNE；(提示：取BD的中点H,连接FH，HE作辅助线)

(2)如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的长度。

变式练习

1、(1)回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线。那么DE与BC的关系有___.

(2)运用定理：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=50°,∠BCD=40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点。若AB=4，CD=6，求EF的长。

2、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点。

(1)如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明；

(2)如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明。

四、菱形的性质

例4、在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC.

(1)如图1,当∠BAD=90°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；

(2)如图2,当∠BAD=60°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=60°，设AC=CE=4，求BP 的长。

变式练习

1、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M为对角线BD延长线上一点，连接AM和CM，E为CM上一点，且满足CB=CE，连接BE，交CD于点F.

(1)若∠AMB=30°，且DM=3，求BE的长；

(2)证明：AM=CF+DM.

2、如图1，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP.

(1)证明：∠EPF+∠BAD=180°；

(2)如图2，若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP.

3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E. F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF=4，连接BE、EF、FB.

(1)证明：BE=BF

(2)求△BEF面积的最小值。

五、菱形的判定

例5、已知：如图，ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点。过点B作AC 的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF.

(1)求证：△FBE≌△COE；

(2)将ABCD添加一个条件，使四边形AFBO是菱形，并说明理由。

变式练习

1、如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H.

(1)求证：CF=CH；

(2)如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论。

2、Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图(一)所示拼在一起，CB与DE重合。

(1)求证：四边形ABFC为平行四边形；

(2)取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中△A′B′C′位置，直线B′C′与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形?(不要求证明)

六、矩形的性质

例6、在矩形ABCD中，AB=CD=10cm、BC=AD=8cm，动点P从A点出发沿A?B?C?D 路线运动到D停止；动点Q从D出发，沿D?C?B?A路线运动到A停止；若P、Q同时出发，点P速度为1cm∕s，点Q速度为2cm∕s，6s后P、Q同时改变速度，点P速度变为2cm∕s，点Q速度变为1cm∕s.

(1)问P点出发几秒后，P、Q两点相遇?

(2)当Q点出发几秒时，点P点Q在运动路线上相距的路程为25cm?

变式练习

1、如图所示，四边形ABCD是矩形，AD=16cm，AB=6cm．动点P、Q分别同时从A、C 出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，Q以2cm/s的速度向B移动，直到B 为止．

ABQP的面积最大，最大是多少？

2、已知：如图1，在矩形ABCD中，把△BCD沿BD向上折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点M.

(1)求证：BM=DM；

(2)如图2，把△BAD沿BD向下折叠，使点A落在A′处，DA′交BC于点N，连接MN，判断四边形MBND是什么特殊的四边形，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接MA′和MC，若CD=6，AD=8，请求出△MA′C的面积。