第18讲+初三专题复习+三角形的认识、全等三角形的性质以及判定+谈京华
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定与性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅是解决几何问题的基础，也是培养我们逻辑思维和空间想象能力的重要工具。
今天，咱们就来好好聊聊全等三角形的判定与性质。
首先，咱们得明白啥是全等三角形。
简单来说，两个三角形的形状和大小完全相同，就叫做全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
这就好比两个一模一样的积木块，它们的边的长度和角的大小都是完全一样的。
那怎么判定两个三角形全等呢？这就有好几种方法啦。
第一种方法是“边边边”（SSS）。
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形就全等。
比如说，有两个三角形，一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，另一个三角形的三条边也分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，那这两个三角形就是全等的。
第二种方法是“边角边”（SAS）。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形也全等。
打个比方，一个三角形的两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，它们的夹角是 60 度；另一个三角形也有两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，夹角同样是 60 度，那这两个三角形就全等。
第三种方法是“角边角”（ASA）。
当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
比如，一个三角形的两个角分别是 45 度和 60 度，它们的夹边是 7 厘米；另一个三角形的两个角也是 45 度和 60 度，夹边也是 7 厘米，那么这两个三角形就全等。
还有一种方法是“角角边”（AAS）。
如果两个三角形的两个角分别对应相等，其中一条对应角的对边也相等，那么这两个三角形全等。
举个例子，一个三角形有两个角分别是 30 度和 50 度，30 度角所对的边是 9 厘米；另一个三角形也有两个角是 30 度和 50 度，30 度角所对的边也是 9 厘米，这两个三角形就全等。
最后一种特殊的判定方法是“斜边、直角边”（HL）。
这个只适用于直角三角形，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
三角形全等的判定(复习)
SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
找第三边
(SSS)
找夹角
（SAS)
例3：如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC AO平分∠BAC吗？为什么？
O
C
B
A
答： AO平分∠BAC
理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC ∴ ∠B=∠C=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中 OB=OC AO=AO ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO （HL） ∴ ∠BAO=∠CAO ∴ AO平分∠BAC
E
C
A
B
2
1
D
(2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合?
(3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系?
例6：如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB 添加条件 所以 △AOC≌△BOD 理由是
A
O
D
C
B
∠C=∠D
∠AOC=∠BOD
图6
知识应用：
1.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( ) AB=DE,AC=DF,BC=EF ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
F
E
D
C
B
A
例9：如图，已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补 充的条件可以是
【一线名师精品】九年级数学(北京)上册精品课件：18相似三角形的性质及证明
如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是 AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积
证明： （1）∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，
∴F为AD的中点， ∵点E是AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BC；
相似三角形的性质及证明
丨对应角和对应边关系 A
D
B
C
E
F
相似三角形的对应角，对应边有何关系？ △ABC ∽△DEF，设相似比为K,那么△DEF∽△ABC， 相似比为多少呢？
相似性质1
相似三角形对应角相等，对应边成比例 注意：说相似比时要说明三角形先后顺序
丨对应高、对应中线、对应角平分线关系 A
D
BH
C
E H′
F
相似三角形的对应高有什么关系？ △ABC ∽△DEF， ∠C= ∠F,AH ⊥ BC,DH’⊥ EF ∠AHC= ∠DH’F=90 °, △ACH∽△DFH’,AC:DF=AH:DH’=k
丨对应高、对应中线、对应角平分线关系 A
D
B
M
C
E M′ F
相似三角形的对应角平分线有什么关系？ △ABC ∽△DEF， ∠C= ∠F, ∠BAC= ∠EDF, AMDM’是角平分线 ∠MAC= ∠M’DF, △ACM∽△DFM’,AC:DF=AM:DM’=k
F
相似三角形的对面积有什么关系？
△ABC ∽△DEF， BC:EF=AH:DH’=k,BC=kEF,AH=kDH' S △ABC=BC × AH ÷ 2,S △DEF=EF × DH’÷ 2, S △ABC: S △DEF=k2
京改版八年级上册第十二章《全等三角形的判定与性质复习课》说课稿
2. 全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS判定定理。
3. 全等三角形的性质定理：全等三角形的角平分线、中线、高、对称轴等性质。
4. 全等三角形在实际问题中的应用：如证明线段相等、角相等、求解几何问题等。
4. 规律总结：在学生理解了具体案例后，引导学生总结全等三角形的判定和性质的规律，形成系统的知识结构。
（三）巩固练习
我计划设计以下巩固练习或实践活动，以帮助学生巩固所学知识并提升应用能力：
1. 基础练习：设计一些填空、选择、判断题，让学生快速巩固全等三角形的判定定理和性质定理。
2. 证明练习：提供一些需要证明全等三角形的几何题目，让学生独立或合作完成证明过程。
3. 创设问题情境，引导学生通过探究和讨论的方式发现全等三角形的性质和判定定理，增强他们的探究欲望。
4. 鼓励学生分享自己在全等三角形学习中的心得体会，以及如何克服学习中的困难，从而增强他们的自信心和成就感。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
本节课我将采用以下主要教学方法：
1. 探究式教学：通过引导学生探究全等三角形的性质和判定定理，让学生在实践中学习和发现知识。
- 通过观察全等三角形的图形特征，归纳总结全等三角形的性质和判定定理。
- 通过分析全等三角形在实际问题中的应用，培养学生的推理能力。
- 通过小组讨论、合作探究，培养学生的归纳总结能力和团队协作能力。
3. 情感态度与价值观目标：培养学生热爱数学、勇于探究的精神，养成良好的学习习惯和合作意识。
- 激发学生对全等三角形知识的兴趣，培养学生热爱数学的情感。
3. 应用练习：设计一些实际问题，要求学生运用全等三角形的知识解决，如测量、设计等。
京改版数学九年级上册18.5相似三角形的判定说课稿
2.提供一个评价表，让学生根据自己在课堂上的表现进行自我评价。
3.教师根据学生的课堂表现和练习情况，给出具体的反馈和建议，指出学生的优点和需要改进的地方。
4.鼓励学生相互评价，促进他们之间的交流和互助。
（五）作业布置
课后作业的布置情况如下：
京改版数学九年级上册18.5相似三角形的判定说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课是京改版数学九年级上册第18章“图形的相似”中的第5节“相似三角形的判定”。这一节内容在课程体系中占据着重要位置，它不仅是对三角形相似概念的深化和拓展，也是后续学习相似图形性质、解几何题的基础。主要知识点包括：
1.相似三角形的判定条件：两组角对应相等或两组边对应成比例，并且夹角相等。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生对数学美的认识。
（三）教学重难点
1.教学重点：
-相似三角形的判定条件：两组角对应相等或两组边对应成比例，并且夹角相等。
-相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
-相似三角形判定条件的应用：解决实际问题。
2.教学难点：
4.提出一个问题，让学生思考并尝试解答，然后引出相似三角形的判定这一主题。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将按照以下步骤呈现知识点：
1.先从学生已经掌握的全等三角形的知识入手，复习全等三角形的性质和判定条件。
2.通过动画或实物模型，展示相似三角形的形成过程，引导学生观察和发现相似三角形的特征。
3.逐步介绍相似三角形的判定条件，通过例题演示每个条件的应用，让学生理解并掌握。
1.布置一些与相似三角形判定相关的练习题，要求学生在规定时间内完成，以巩固课堂所学知识。
京改版数学九年级上册18.6相似三角形的性质第2课时说课稿
在教学过程中，我将设计多样的师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作。在师生互动方面，我将通过提问、解答疑问、一起探讨问题等方式与学生进行互动，引导学生思考和探究，及时给予他们反馈和指导。在生生互动方面，我将组织小组讨论、合作探究等活动，让学生在小组内进行交流和合作，共同解决问题。此外，我还将鼓励学生在课堂上积极发言，表达自己的观点和思考，与他人进行交流和辩论。通过这些互动方式，我希望能够激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和合作能力。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我计划通过一个生活中的实际问题来导入新课。我会提出这样一个问题：“如果在建筑工人修建一座新大楼时，施工图纸上的设计图与实际建筑物的形状相似，那么工人是如何根据设计图建造出与设计完全相同的建筑物的呢？”这个问题将引发学生的思考和好奇心，使他们意识到相似三角形在实际生活中的应用。接着，我会引导学生回顾相似三角形的定义和性质，为新课的学习打下基础。（三 Nhomakorabea学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：首先，通过引入生活中的实际问题，让学生感受到相似三角形性质的应用价值，从而提高他们的学习兴趣。其次，设计一系列具有层次性的练习题，让学生在解决问题的过程中逐渐加深对相似三角形性质的理解。同时，鼓励学生进行小组讨论和合作交流，让他们在互动中思考，在思考中学习。最后，及时给予学生反馈和表扬，增强他们的自信心和成就感，激发他们继续学习的动力。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
北师大版九年级上册数学《等边三角形的判定》证明教学说课研讨课件复习
150
D C
′
解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,
等于和不相邻的两内角的和).
∴CD=1 AC=1 ×2a=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角
2
2
等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
这里有一个化归的数学思想——即 把问题转化为一个纯数学问题.
∴∠B=600(等边三角形意义).
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).
A
300
CD
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于 斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
在△ABC中
∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),
B
′
∴∠A=300(在直角三角形中,如
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形 意义).
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
A
∵AB=AC,∠B=600(已知).
∴△ABC是等边三角形(有
驶向胜利 的彼岸
隋堂练习 2
含300角的直角三角形
1.已知:如图, 在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=AB/4.
分析:因为∠A=300,所以
C
BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只
′
要能使BD=BC/2即可,此时若 B
A
∠BCD=300就可以了.而由“
京改版数学九年级上册18.5相似三角形的判定说课稿
-利用课后时间，为有需要的学生提供个别辅导。
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
1.学生作业的完成情况，了解学生对知识点的掌握程度；
2.学生课堂表现的反馈，观察学生在课堂上的参与度和理解情况；
3.定期进行教学测试，评估学生对相似三角形知识体系的掌握。
京改版数学九年级上册18.5相似三角形的判定说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自京改版数学九年级上册第18章第5节“相似三角形的判定”。该节内容是在学生学习了相似图形的概念、性质以及全等三角形的基础上进行的，是整个相似三角形学习板块的重要一环。通过本节课的学习，学生将掌握相似三角形的判定方法，为后续学习相似多边形及相似形的应用打下基础。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采用以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.通过PPT展示相似三角形的定义及性质，让学生对相似三角形有一个直观的认识。
2.以具体的例子，如等腰三角形、等边三角形等，引导学生观察、发现相似三角形的特征，并总结出相似三角形的判定方法。
3.采用启发式教学，让学生尝试运用判定方法，自主解决实际问题，培养学生的几何直观和逻辑推理能力。
3.证明过程中，逻辑推理和语言表达能力不足。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我拟采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，以实际问题引入相似三角形的判定，让学生感受到数学的实用价值；
2.设计有趣的问题和挑战性的任务，引导学生主动探索、发现相似三角形的判定方法；
3.组织小组合作学习，让学生在交流讨论中相互启发、共同进步；
3.针对学生的表现，ห้องสมุดไป่ตู้予积极的评价和鼓励，同时指出需要改进的地方，并提出具体的建议。
《全等三角形》讲义(完整版)
全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。
补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。
（简称SSS ） （2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（简称ASA ） （4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（简称AAS ） （5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简称HL ） 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
二、典型例题举例A BC PMNO A BC PMNO例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证AD ＝AE ．例5、如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm ，求DE 的长．AGF C BDE图1AEB DCFAB CDE D C EFBA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块专题一： 全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB 、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF ∥DE,BE=CF,求证：AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。
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学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间第（）次课课时： 2 课时教学课题三角形的认识、全等三角形的性质以及判定教学目标了解三角形的认识、全等三角形的性质以及判定在中考的权重掌握全等三角形判定、性质，教学重点/ 难点重点：三角形三边关系的应用、全等三角形的性质以及判定难点：全等三角形判定、性质课后作业提交时间年月日学科组长检查签名：导入（进入美妙的世界啦~）考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用三角形三角形的有关概念∨∨三角形的内角和、外角性质、外角和∨∨三角形的三边关系∨∨全等三角形的证明以及运用∨∨知识梳理1.三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．(4) 三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段。
2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．3.三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形三角形的认识、全等三角形的性质以及判定4.特殊三角形（1）直角三角形性质①角的关系：∠A+∠B=900； ②边的关系：222a b c +=③边角关系：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭；④09012C CE AB AE BE ⎫∠=⇒=⎬=⎭ ⑤2ch ab s ==； ⑥2c R =a+b-c外接圆半径；内切圆半径r=2（2）等腰三角形性质①角的关系：∠A=∠B ； ②边的关系：AC=BC ；③AC BC AD BD CD AB ACD BCD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩ ④轴对称图形，有一条对称轴。
（3）等边三角形性质①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB ；③AB AC BD CDAD BC BAD CAD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩；④轴对称图形，有三条对称轴。
（4）三角形中位线：12AD BD DE BCAE BE DE BC⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥ 5.两个重要定理：（1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相 交于一点（外心） 6.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA ”（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”． （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”． （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL ”．7.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．DAb ac h E D BACDCABEDA知识 典例（注意咯，下面可是黄金部分！）题型一 三角形三边关系的应用例1 (2004.武汉市)一幅美丽的图案, 在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形,那么另外一个为( ) A.正三边形 B.正六边形 C.正五边形 D.正六边形 例2 (2004.福州市)下列图形中能够用来作平面镶嵌的是( )A.正八边形B.正七边形C.正六边形D.正五边形例3 (2004.哈尔滨市)以下列各组线段长为边,能组成三角形的是( )A.1cm,2cm,4cmB.8cm,6cm,4cm;C.12cm,5cm,6cmD.2cm,3cm,6cm 题型二 多边形的内角和、外角和定理的应用例4 (2003.全国初中数学联赛题)在凸十边形的所有内角中, 锐角的个数最多是( )A.0B.1C.3D.5例5 (2003.北京海淀区)如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时,则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变. 请试着找一找这个规律,你发现的规律是( )A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2;C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=∠1+2∠2题型三 三角形全等的判定以及性质的应用例6如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=o ，35D ∠=o，则AEC ∠等于（ ） A ．60oB ．50oC ．45oD ．30o例7如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ∽△ACD ；③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是（ ）A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．例8如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．43 B ．33C ．23D ．321E D CB A(第8题图）ABCDEF OEA B DC例9．如图，点P 在AOB ∠的平分线上，若使AOP BOP △≌△，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：例10.如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、DC 、CA 上的点， （1）若 AD=BE=CF ，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△DEF 是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论．例11两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B 、C 、E 在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE ．例12已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E ． 求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DEFED C B A A PO 图1 图2D EA例13.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．误区警示（1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．强化练习 （挑战一下自己吧~）1.如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ） A ．甲和乙 B ．乙和丙 C ．只有乙 D ．只有丙2.如图，两个平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线CB 平行于α，则∠α等于（）A ．30oB ．45 oC ．60 oD ．90 o3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E 、AD 、 CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件，使△AEH ≌△CEB ．你的 条件是 ，4.如图 ，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD=BE ． （1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明．你添加的条件是 ；（2）证明：FD A BE5.如图，AC和BD相交于点O，AB=DC，∠A＝∠D，（1）请写出符合条件的五个结论（对顶角除外，且不添加辅助线）（2）从你写出的五个结论中任选一个说明你的理由．6.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明．7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．8.如图，AC和BD交于点O，OA= OC，OB=OD，试说明 DC∥AB．9.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．10.如图，AB=AE，∠ABC＝∠AED，BC=ED，点F是CD的中点（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求证明）（一日悟一理，日久而成学）一、方法小结:二、本节课我做的比较好的地方是：三、我需要努力的地方是：回顾小结CF AE（第3题图）O（第2题图）BA P （第4题图）DBACABCDE课后作业基础点拔1．如图1，AB=AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能．．是（ ） A ．∠B=∠C B ．AD=AE C ．∠ADC=∠AEB D ．DC=BE2．如图2，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，结论：①EM=FN ；②CD=DN ；③∠FAN=∠EAM ；④△ACN ≌△ABM ．其中正确的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图3，AB=DB ，∠1=∠2，只需添加一个条件 ，就可得到△ABC ≌△DBE ． 4．如图4，AB=DC ，AD=BC ，点E 、F 在AC 上，且AF=CE ，若∠CEB=110°，∠BAC=30°， 则∠CDF= 巩固提高1．下列命题中，真命题是（ ）A ．周长相等的锐角三角形都全等；B ．周长相等的直角三角形都全等；C ．周长相等的钝角三角形都全等；D ．周长相等的等腰直角三角形都全等2．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA=PB B ．PO 平分∠APBC ．OA=OBD ．AB 垂直平分OP3．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=86，点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，则△CEF 的面积是 .4．如图，△ABC 中，∠C =900，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到AB 的 距离是 ．5．如图在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．图321A BC D EA B 图4C D E F A E F C D M N 图1 图2 D C B A EF6．（2012泰安）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于D ，BE⊥AC 于E ，F 为BC 中点，BE 与DF 、DC 分别交于点G 、H ，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； （2）求证：BG 2-GE 2=EA 2．HGABCD EF。