数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章 数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若101(1)
()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰
令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2
()f x x =，则 从而解得 令3()f x x =，则 故
101()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++⎰
成立。

令4
()f x x =，则 故此时， 故
101()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰
具有3次代数精度。

（2）若
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰
令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2
()f x x =，则 从而解得 令3()f x x =，则 故
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++⎰
成立。

令4
()f x x =，则 故此时， 因此，
具有3次代数精度。

（3）若
1
121
()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++⎰
令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2
()f x x =，则 从而解得
120.28990.5266x x =-⎧⎨
=⎩或12
0.6899
0.1266x x =⎧⎨=⎩ 令3
()f x x =，则 故
1
121
()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++⎰
不成立。

因此，原求积公式具有2次代数精度。

（4）若
20
()[(0)()]/2[(0)()]h
f x dx h f f h ah f f h ''≈++-⎰
令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2
()f x x =，则 故有
令3()f x x =，则 令4()f x x =，则 故此时， 因此，
2
1()[(0)()]/2[(0)()]12
h
f x dx h f f h h f f h ''≈++
-⎰
具有3次代数精度。

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
解：
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
3。

直接验证柯特斯教材公式（2。

4）具有5交代数精度。

证明：
柯特斯公式为
令()1
f x=，则
令()
f x x=，则
令2
()
f x x
=，则
令3
()
f x x
=，则
令4
()
f x x
=，则
令5
()
f x x
=，则
令6
()
f x x
=，则
因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。

4。

用辛普森公式求积分1
x
e dx -
⎰并估计误差。

解：
辛普森公式为
此时， 从而有 误差为
5。

推导下列三种矩形求积公式： 证明：
两边同时在[,]a b 上积分，得 即
两边同时在[,]a b 上积分，得 即
两连边同时在[,]a b 上积分，得 即
6。

若用复化梯形公式计算积分1
x I e dx =
⎰，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超过5
1102
-⨯？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 解：
采用复化梯形公式时，余项为 又
1
0x I e dx =⎰
故(),(),0, 1.x
x
f x e f x e a b ''==== 若51
()102
n R f -≤
⨯，则 当对区间[0,1]进行等分时， 故有
因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为 又
(),x f x e =
若51
()102
n R f -≤
⨯，则
当对区间[0,1]进行等分时 故有
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。

7。

如果()0f x ''>，证明用梯形公式计算积分()b
a
I f x dx =⎰
所得结果比准确值I 大，并说明其几何意义。

解：采用梯形公式计算积分时，余项为 又()0f x ''>且b a > 又
1T R T =-
即计算值比准确值大。

其几何意义为，()0f x ''>为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。

8。

用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过5
10-. 解：
因此0.713727I =
因此0I ≈
因此10.2075922I ≈
9。

用2,3n =的高斯-勒让德公式计算积分 解：
[1,3],x ∈令2t x =-，则[1,1]t ∈-
用2n =的高斯—勒让德公式计算积分 用3n =的高斯—勒让德公式计算积分
10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
这是a 是椭圆的半径轴，c 是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h 为近地点距离，H 为远地点距离，R=6371（km ）为地球半径，则
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km ）。

试求卫星轨道的周长。

解： 从而有。

即人造卫星轨道的周长为48708km 11。

证明等式
试依据sin()(3,6,12)n n n
π
=的值，用外推算法求π的近似值。

解
若()sin
,f n n n
π
= 又35
11sin 3!5!x x x x =-+-
∴此函数的泰勒展式为
当3n =时, sin 2.598076n n
π
= 当6n =时, sin
3n n
π
=
当12n =时, sin 3.105829n n
π
=
由外推法可得
故 3.14158π≈
12。

用下列方法计算积分
3
1
dy
y
⎰
，并比较结果。

(1)龙贝格方法； (2)三点及五点高斯公式；
(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。

解
(1)采用龙贝格方法可得
故有 1.098613I ≈ (2)采用高斯公式时 此时[1,3],y ∈
令,x y z =-则[1,1],x ∈- 利用三点高斯公式，则 利用五点高斯公式，则 (3)采用复化两点高斯公式 将区间[1,3]四等分，得
作变换5
4x y +=，则 作变换7
4x y +=，则
作变换9
4x y +=，则
作变换11
4
x y +=，则
因此，有
13.用三点公式和积分公式求2
1
()(1)
f x x =
+在 1.0,1.1x =，和1.2处的导数值，并估计误差。

()f x 的值由下表给出：
解：
由带余项的三点求导公式可知 又012()0.2500,()0.2268,()0.2066,f x f x f x ===
又
2
1
()(1)
f x x =
+
又
[1.0,1.2]x ∈
故误差分别为 利用数值积分求导， 设()()x f x ϕ'= 由梯形求积公式得 从而有 故 又1
1
11()()()k k x k k x f x f x x dx ϕ+-+-=+⎰
且
1
1
11()[()()]k k x k k x x dx h x x ϕϕϕ+--+=+⎰
从而有
故02201
()()[()()]x x f x f x h
ϕϕ+=- 即
解方程组可得。