北京大学2016数学分析
北京大学2008数学分析试题及解答
9.
∫设1函数
f (x)
在区间
[0,
1∫]
上有一阶连续导函数,
1
且
f (0)
=
f (1),
g(x)
是周期为
1
的连续函数,
并且满足
g(x) dx = 0. 记 an = f (x)g(nx) dx, 证明 lim nan = 0.
0
0
n→∞
10. 若 f (x∑ )n在∫区b间i [0, 1] 上 Riemann∫可1积, 并且对 [0, 1] 中任意有限个两两不相交的闭区间 [ai, bi], 1 ⩽ i ⩽ n,
∃ξ ∈ (ξ2, ξ1), 使得 f ′′(ξ) > 0. 因此若 f ′′(x) 在 R 上不变号, 则 f ′′(x) > 0, ∀x ∈ R.
若 ∃y0 ∈ R, 使得 f ′(y0) > 1, 则 f (x) > f ′(y0)(x − y0)f (y0), 这将与 lim (f (x) − x) = 0 矛盾. 从而 x→+∞
9.
∫1
∫1
∫ nx
n f (x)g(nx) dx = f (x) dx g(t) dt
0
(0
∫ nx 0
) 1 ∫ 1 (∫ nx
)
= f (x) g(t) dt −
g(t) dt f ′(x) dx
∫ 1 (∫0 nx
)0
0
0
=−
g(t) dt f ′(x) dx.
∫x 令 G(x) = g(t) dt, 则
∫ 1 (∫ nx
)
lim nan = lim −
n→∞
n→∞
0
北京科技大学2016年数学分析答案《精选资料》
北京科技大学.2009年硕士学位研究生入学考试试题答案 试题名称：数学分析22222222222222222222222222211cos sin sin cos cos sin tan 1tan sec tan 1tan tan 11tan 1(tan )t tan ,x arctan 11t 1(t)11(t)1(t)1arc dx a x b xx x dx a x b xx dx a b xx dx a b xd x a b xd x b a x ax td b a aa b d b a b aaab ++=++=+=+=+=+===+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1.（） 令则原式1tan(t)arctan(tan )b b c x c a ab a +=+ 22222022020220240x 20cos (2)lim (1)(1cos )arctan cos lim cos 1lim52cos 1lim 12060t x x x t x x t x x e tdt x e x x e tdt xx x xe t x e x →→→→----=⋅⋅-=-==-⎰⎰连续使用洛必达法则，20122012112002112002112200ln (3)1ln ln 111(ln )ln 111()ln ln 1()111()1t ,ln ln 110x dx x x x dx dx x x x x x dx dx x xx x dx d x x xxx t dx dt x t +∞+∞+=+++⋅=+++-=+++==-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则原式 0000'0x 0'0'''''x x 00f x f ()1lim 02f ()0,f ()x f ()f ()lim lim f ()1102f (x x x x x x x x x x x x x x x →→→==-===-=二.证明：因为(x)在的某邻域内可导，又存在，且由x-x 知所以在点取得极值。
高等教育数学分析高等代数参考书书单
数学分析高等代数参考书书单1.前言由于目前网络上数学分析与高等代数的参考书籍鱼龙混杂,特别制作一份书单,帮助学习数学分析与高等代数的学友清除认知障碍.事先声明,由于精力有限,笔者未能将书单中所有书籍细读过,只对笔者精读过的或者主流书籍做详细评价,其中部分评价是来源于网络与网友,若有不同的见解或者认为笔者的理解有误,恳请指出或补充。
2.数学分析板块以下分四个梯队介绍国内主流的数学分析读物(包含教材和习题集),最后还整理了一份硬核书单,建议读者量力而行。
梯队顺序是结合难度、应试、流畅性、流行度等等综合考虑的,并不是排在后面的一定质量不行。
同一梯队中一般不以质量设先后排名。
2.1第一梯队1.谢惠民.恽自求.易法槐.钱定边《数学分析习题课讲义》真正的数学分析习题集,数学分析的巅峰，打穿数学分析的必经之路。
正文介绍了许多在其他书中看不到的内容（如Dirichlet判别法的充要性,Gibbs现象），作者搜集了许多美国数学月刊上的问题。
思考题一针见血，正中靶心，完美诠释了初学者对一些问题的疑问;练习题多为中档题（考研难度，大量题目是考研真题），但也有些难题参杂其中;参考题整体难度偏高,许多题材来自于美国数学月刊,第二组参考题会涉及后续课程（实变泛函拓扑组合概率等等）的内容。
北大历年大一习题课教材，如果能全部独立做完足以和清北大佬谈笑风生。
唯一感觉不足的是小部分习题的选取煞风景，例如多元部分摘取了大量吉米多维奇上的繁琐计算题，又有些参考题难度的习题放在练习题，练习题难度的习题放在参考题。
当然，都是少数，瑕不掩瑜。
谢惠民也有一份讲稿,但不成气候,不作推荐。
2.徐森林.薛春华《数学分析》《数学分析精选习题全解》难度不逊于谢惠民,曾经的CMC数学类题库。
多元部分较为精彩（有较多篇幅介绍流形）,高度与深度齐备，内容齐全厚实，许多题目给了多种解法。
题材上与谢惠民史济怀有大量重复，尤其是史济怀的问题基本上可以在徐森林上找到，谢惠民的一些参考难题也可以找到。
北京大学基础数学-701数学基础考试1(数学分析)串讲讲义-资料-真题-大纲-考研淘宝.doc
北京大学基础数学专业-701数学基础考试 1 （数学分析）串讲讲义-资料-真题-大纲-考研淘宝报考北京大学基础数学专业考研专业课资料的重要性根据考研淘宝的统计，87. 3%以上报考北京大学基础数学专业考研成功的考生，尤其是那些跨学校的考研人，他们大多祁在第一时间获取了北京大7基础数汐专业考研专业课指定的教材和非指定的北京大学基础数学专业内部权威复习资料，精准确定专业课考核范围和考点重点，才确保了白己的专业课高分，进而才才最后考研成功的。
如果咱们仔细的研究下问题的木质，不难发现因为非统考专业课的真题均是市北京大学基础数学专业自主命题和阅卷，对于跨校考研同学而言，初试和复试命题的重点、考点、范用、趋势、规律和阅卷的方式等关键信息都是很难获取的。
所以第一时间获取了北京大学基础数学专业考研专业课指定的教材和非指定的北京大学基础数学专业内部权威复习资料的考生，就占-得了专业课复习的先机。
专业课得高分便不难理解。
那么怎么样才能顺利的考入北京大学基础数学专业呢？为了有把握的的取得专业课的高分，确保考研专业课真正意义上的成功，考研专业课复习的首要工作便是全面搜集北京大学基础数学专业的内部权威专业课资料和考研信息，建议大家做到以下两点：1、快速消除跨学校考研的信息方面的劣势。
这要求大家杳询好考研的招生信息，给大家推荐一个考研淘宝,有详细的考研招生信息。
2、确定最合适的考研专业课复习资料，明确专业课的复习方法策略，并且制定详细的复习计划，并且将复习计划较好的贯彻执行。
北京大学701数学基础考试1 （数学分析）冲刺点题串讲班讲义：北京大学基础数学学专业考研冲刺阶段唯一内部冲刺辅导讲义，把2012年考研的考点范围进行了圈定，并且重点讲解，能够涵盖所有的考试重点考点范围。
北京大学基础数学专业权威导师亲白授课并制作讲义，根据考研淘宝和北京人学基础数学专业老师签订的合作协议，可以命屮至少80% 以上的考点。
根据往年命题经验和2012年考研命题考点信息讲授重点范围，规范答题步骤, 重点预测大题，题型解法讲解到位，属于考前重点范用圈定的内部辅导资料。
北京大学数学分析期中考试试题参考解答
f
2
(x)
从而
f ′(x) f 2(x)
≤ <
0, 则 f
−
1 2
.
由
在 [0, 1] 上单调递减,
f
,
f
′
的连续性可知
∫1
0
f由f 2′ ((xx))f d(0x)<=∫021,(f−(121))=d x1,
可知 即−
1 ≤ f (x) ≤
1 f (x)
1 0
<
−
1 2
,
得到
−
1 2
<
−
1 2
,
矛盾.
f (k)
(x)
=
( eg(x)
)(k)
=
(
∑
) g(k1) (x) g(k2) (x) · · · g(kj) (x) eg(x).
j∈N+ ,ki ∈N+
由 g(k) (0) > 0, k = 1, 2, 3, · · · 且 g(0) = 0, 所以 f (k) (0) > 0, k = 1, 2, 3, · · · .
i=1
另一方面
f
(x)
=
eg(x)
(x
∈
U
(0; δ)).
首先注意到对任意可导函数
F(x),
有
( eF(x)
)′
=
F′
(x) eF(x).
其次注意到对可导函数组 F1, F2, · · · , Fs, 有 (F1F2F3 · · · Fs)′ = F′1F2F3 · · · Fs + F1F2′ F3 · · · Fs + · · · + F1F2F3 · · · Fs′, 从而归纳可证
北京大学2016年数学科学学院研究生拟录取名单
初试 复试成 总成绩 成绩 绩 400 88.33 85.2 386 89.72 83.86 384 86.5 82.51 377 86.83 81.73 370 90.61 81.68 385 79 80.3 362 87 79.58 362 82.5 78.13 370 77.22 77.77 443 98 96.24 419 96.4 92.99 443 90 92 413 94 91.12 407 92 89.46 413 89.2 88.58 394 86 84.98 385 84.4 83.23 392 78 80.54 388 70 76.56 352 62 69.04 323 60 65.76 378 75 78.8 317 70 73.2
姓名 龚熙雄 张涵 周忍俊 齐晓龙 李润冬 冯世佃 姜宰栋 颜涵 南金汐 张扬 唐涌翔 马磊 李鹏辉 张鸿铭 郝文学 颜彬 吴俊吉 兰添 唐颂 宋雷 商栗源 吴泽剑 刘彧
北京大学2016年数学分析试题及解答
10. 充分性: ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > m > N 时,
令 x → R− 得
∑n akxk < ε, ∀x ∈ [0, R).
k=m
∑n
∑ ∞
akRk < ε =⇒ anRn 收敛.
k=m
n=1
必要性: 首先注意到
∑ ∞
anxn
=
∑ ∞
anRn
( x )n R
,
n=1
n=1
又因为
中的开集映为开集.
6.
(15
分)
x1
=
√ 2, xn+1
√ = 2 + xn.
证明
{xn}
收敛并求极限值.
7. (15 分) 证明 ∫ +∞ sin x dx 收敛并求值. 写出计算过程.
0
x
8. (15 分)
∫b
(1) 证明存在 [a, b] 上的多项式序列 {pn(x)} 使得 pi(x)pj(x) dx = δij 并使得对于 [a, b] 上的连续函数
准则
(不用证明)
并
i=1
用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. (15 分) (a, b) 上的连续函数 f (x) 有反函数. 证明反函数连续.
4.
(15
分)
f (x1, x2, x3)
是
C2
映射,
∂f ∂x1
(x01
,
x02,
x03
)
̸=
0.
证明
f (x1, x2, x3)
对于任意 n > m, x0 ∈ U, 因为 rank (J (f )|x=x0 ) = m, 不妨设 J (f )|x=x0 的前 m 列是线性无关的. 定义
历史的回顾我国数学分析课内容体系的变迁——在第三届大学数学课程论坛上的报告
学教育与研究起步很晚， 但从一开始， 十分重视同 国外高水平的学者交流， 聘请他们来华任教． 比 如， １ ９ ２ ０ 年至 １ ９ ３ ４ 年期间 ， 北京大学数学门（ 系） 聘请了不少国际数学界大师级人物来校任职， 讲 课一至两年 ， 也带研究生 ， 其中包括 英国著名哲学家、 数理逻辑学家罗素（ １ ９ ２ ０ 一
册） ；
辛钦 ：
数学分析原理（ 上下两册） ； 数学分析简 明教程 （ 上下两
册） ；
吉米多维奇： 数学分析习题集． 这些教材在内容的广度、 深度与难度上 比起 原来的《 初等微积分》 与《 高等微积分》 都有大幅度 的提升． 这主要体现在下列内容上： 实数理论（ “ 戴德金分割， ）； ’ 实数的完备性的讨论 上下确界的存在性定理、 区间套定理、 单调有 界序列有极限、 上下极限的存在性定理、 哥西收敛 原理、 有限覆盖定理、 Ｂ ｏ ｒ ｚ ａ ｎ － ｏ Ｗｅ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｒ ａ ｓ ｓ 定理； 极限的严格理论 （ “ 。 者 ” “ 。 Ｎ” 说法 的严格论
家” ． 从此， 北大成为理科大学而清华变成工科大 学． 原来设在大学内的医学院， 农学院与师范则单
独成立院校． 当时北京大学成立北大数学力学系， 全面照 搬莫斯科大学数学系的教学计划， 并开始使用苏 联 的教材． 设立 了教研室， 从此教员 中有 了“ 教分
析” “ 教几何” “ 教代数” “ 教高等数学” 之别． 在学生 中， 高年级要分“ 专门化” ， 而专门化一般是限于三 级或四级学科． １ ９ ５ ２ 年的院系调整实际上是一次政府领导 下的教育改革． 我们应当历史地， 一分为二地评价 １ ９ ５ ２ 年院系调整， 既看到它的正面影响， 又要看 到它的负面影响． 全面评价它超出了本文的目的． 这里， 我们主要关注它对数学教育和数学分析课
北京大学数学科学学院【数学分析 I】课程习题集(参考 谢惠民 数学分析习题课讲义)
或任意 n ≥ N 有 则仍有矛盾. 从而 c = 1.
1 ∈ (c − ϵ, c + ϵ) .
an
解. 取 M > 1 使得
[
]
1
a1, a2 ∈
,M M
.
则归纳易知任意
n
有
an
∈
[
1 M
,
M ],
从而
α = lim sup an, β = lim inf an
n→∞
n→∞
均为正数, 且 α ≥ β. 又从两个方向分别导出不等式, 可得出 αβ = 1. 取 {ank }∞ k=1 收敛于 α, 易证
4
证明. 只须证 α < c < β 的情形. 找 p1 < q1 < p2 < q2 < · · · 使得
xpl > c > xqm (l = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . .). 又存在 pj ≤ rj < qj (j = 1, 2, . . .) 使得
此时
xrj ≥ c ≥ xrj+1.
lim
k→∞
ank −1
=
lim
k→∞
ank −2
=
β.
而 2
ank−3 = ank−1 − ank−2 (nk > 3).
左式关于 k 的上极限不大于 α, 但右式关于 k 的极限为 2α − β > α, 矛盾.
问题 4 (08 上期中). 设 {an}∞ n=1 为单调递增的正整数列. 证明: 数列
cn = max(bn+1, bn) (n = 1, 2, . . .).
则 {cn}∞ n=1 不增且有下界, 故其下确界 c 为其极限值 (显然 c ≥ 1), 从而任 意 ϵ > 0, 存在 N 使得任意 n ≥ N 有
2016年北京大学数院拟录取名单
——始于2005，中国考研专业课权威机构12016年北京大学数院拟录取名单 考生编号 姓名 复试专业 初试成绩 复试成绩 总成绩100016000010010 龚熙雄 金融硕士 400 88.33 85.2 100016000010033 张涵 金融硕士 386 89.72 83.86 100016000010253 周忍俊 金融硕士 384 86.5 82.51 100016000010125 齐晓龙 金融硕士 377 86.83 81.73 100016000010118 李润冬 金融硕士 370 90.61 81.68 100016000010109 冯世佃 金融硕士 385 79 80.3 100016000010011 姜宰栋 金融硕士 362 87 79.58 100016000010029 颜涵 金融硕士 362 82.5 78.13 100016000010020 南金汐 金融硕士 370 77.22 77.77 100016000010067 张扬 应用统计硕士 443 98 96.24100016000010054 唐涌翔 应用统计硕士 419 96.4 92.99100016000010107 马磊 应用统计硕士 443 90 92100016000010047 李鹏辉 应用统计硕士 413 94 91.12100016000010064 张鸿铭 应用统计硕士 407 92 89.46100016000010255 郝文学 应用统计硕士 413 89.2 88.58100016000010147 颜彬 应用统计硕士 394 86 84.98100016000010060 吴俊吉 应用统计硕士 385 84.4 83.23100016000010230 兰添 应用统计硕士 392 78 80.54100016000010111 唐颂 基础数学 388 70 76.56 100016000010084 宋雷 基础数学 352 62 69.04 100016000010083 商栗源 基础数学 323 60 65.76 100016000010272 吴泽剑 计算数学 378 75 78.8 100016000010099 刘彧 计算数学 317 70 73.2。