最新人教A版选修1-1高中数学章末综合测评1 及答案

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是( )A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】 D4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z【解析】易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.【答案】 A5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A．p∧¬q B．¬p∧qC．¬p∧¬q D．p∧q【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.【答案】 A6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】 D7．原命题为“若an＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解析】从原命题的真假入手，由于an＋a n＋12＜a n⇔a n＋1＜a n⇔{a n}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 q ⇒¬p 等价于p ⇒¬q ，¬pD ⇒/ q 等价于¬qD ⇒/ p .故p 是¬q 的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＞1【解析】 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根⇔3a＜0，解得a ＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )【导学号：26160027】A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )， ∴满足⎩⎨⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎨⎧m ＞－1，n ＜5.【答案】 A11．下列命题中为真命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】 对于∀x ∈R ，都有e x >0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选项B 是假命题；当ab＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，ab 无意义，故选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D12．下列命题中真命题的个数为( )①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α<β ”是“tan α<tan β ”的充要条件；③命题“自然数是整数”是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.” A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则¬p 是¬q 的________条件．【解析】 ¬p ：23≤x ≤2.¬q ：－1≤x ≤2.¬p ⇒¬q ，但¬qD ⇒/ ¬p . ∴¬p 是¬q 的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要14．若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 15．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3， ∵¬p 是¬q 的充分条件(即¬p ⇒¬q )，∴q ⇒p ， ∴⎩⎨⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6.【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题： (1)36是6与18的倍数；(2)方程x 2＋3x －4＝0的根是x ＝±1；(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．【解】(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；(4)有些质数不是奇数．【解】(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；否定：∃x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p ：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＝0”，q ：“函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【解】 由x 20－ax 0＋1＝0有实根， 得Δ＝a 2－4≥0⇒a ≥2或a ≤－2.因为命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤－2.由函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a ≥0. 因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.根据p ∨q 为假命题知：p ，q 均是假命题，p 为假命题对应的范围是－2<a <2，q 为假命题对应的范围是a <0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎨⎧－2<a <2，a <0⇒－2<a <0.21．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )·(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3， 由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若p ∧q 为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)． (2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则BA ，所以⎩⎨⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试求实数a 的取值范围. 【导学号：26160028】【解】 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，① 当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)，所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)，所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0. 综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．。