理论力学概念整理-约束、自由度与广义坐标
理论力学知识点总结
十一、 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的系统平衡问题的特点
1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知 数增多。
2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 Fs≤fsFN 。 3. 为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程Fmax = fsFN 。
常见的问题有
● 检验物体是否平衡； ● 临界平衡问题； ● 求平衡范围问题。
• 当拿到一道计算力对轴之矩的题目时,首先观察一下力F 与Z 轴的空间位置,一般有三种情况:
第一种情况:若力F与Z轴平行或相交，则MZ(F )=0; 第二种情况:若力F与Z轴垂直,可根据定义来计算，即通过力F作
一个平面垂直于Z轴，那么力F在该平面上的投影就是它自己， 即F=Fxy，Z轴与该平面的交点为O点，且O点到F=Fxy作用线 的距离d为已知,则MZ(F)=Mo(F)=Mo (Fxy)=±Fd。 第三种情况:若力F与Z轴既不相交、也不平行、也不垂直，此时 可把力F分解为三个分力Fx、Fy、Fz，再运用合力矩定理来 算，即：MZ（F）=MZ（ Fx）+MZ（ Fy）+MZ（ Fz）。
下面给出具体的方法。
理论力学第五章
r Fi
g rri q
0
由虚功原理
P1 x1 P2 x2 F y3 0
x1
1 2
l1
sin
x2
l1 sin
1 2
l2
sin
y3 l1 cos l2 cos
P1 x1, y1 P2 x2, y2 B x3, y3
1 2
P1l1
cos
P2l1
cos
Fl1
sin
1 2
P2l2
2.理想约束
虚功：作用在质点上的力F在任意虚位移上做的功
理想约束：质点上的所有约束反力的虚功之和为零
n
r Ri
g
rr
0
i 1
引入虚位移可以消去这些约束反力 3.虚功原理
受理想约束的力学体系的平衡充要条件是所有主动力 的虚功之和等于零。
W
n
r Fi
g
rri
n
Fix xi Fiy yi Fiz zi 0
速度 s&2 r&2 r2&2 r2 sin2 &2
动能 T 1 ms&2 1 m r&2 r2&2 r2 sin2 &2
2
2
注意 Qr Fr , Q rF , Q r sin F
1 2
m
d dt
s&2 r&
s&2 r
Fr
1
2
1 2
m m
d
dt
2．稳定约束时
ri t
0 a ,a 0 T1 ,T0 0, T
T2
H T V 常量(E ) 能量积分
说明： L 不显含时间，且稳定约束条件下，系统能量守恒. 具有可加性（广延量）的运动积分称为守恒量.
理论力学各章小结
《理论力学》内容小结第一章 质点运动学 一、运动的描述方法1．参考系——描述物体运动时被选作参考的另一物体叫参考系。
2．运动与静止——相对于参照坐标系而言，运动质点的坐标是时间t 的函数，如质点坐标为常数，则为静止。
3．运动学方程（a ）矢量形式)(t r r= (b)坐标形式Ⅰ直角坐标)(1t f x =，)(2t f y =，)(3t f z =Ⅱ平面极坐标)(t r r =，)(t θθ=4．轨道——运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去t 而得。
二、速度与加速度1．矢量形式dtr d v=，22d d d d t ra ==t v 2．分量形式（平面）Ⅰ直角坐标 速度x ，y ；加速度x，y Ⅱ平面极坐标 径向速度r，横向速度θ r ；径向加速度2θ r r -，横向加速度θθ r r 2+ Ⅲ自然坐标 切向速度s ，法向速度0；切向加速度s，t d d v 或sd d vv ，法向加速度ρ2v 三、平动参考系1．匀速直线运动参考系v v v '+=0（绝对速度＝牵连速度＋相对速度） a a '=（绝对加速度＝相对加速度） 2．加速直线运动参考系v v v '+= 0 a a a '+=0（绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度） 第二章 质点动力学 一、质点运动微分方程 1． 自由质点（a ）矢量形式 ),,(t rr F r m = （b ）分量形式Ⅰ直角坐标 x F x m =，y F y m = ，z F z m =Ⅱ平面极坐标 rF r r m =-)(2θ ，θθθF r r m =+)2( Ⅲ自然坐标 τF tm d d v，n F m =ρ2v ，b F =0 2． 非自由质点——取消约束，代以约束范作用力，就可把非自由质点视为自由质点，再和约束方程联立求解。
3． 理想线约束τF tm =d d v，n n R F m +=ρ2v 二、功与能 1． 功 z F y F x F r F W z y BAx BAd d d d ++=⋅=⎰⎰是一个线积分，一般随路径而异2． 能——物体作功的本领，功是能量变化的量度 3． 动能221v m E k =，m 是质点的质量，v 是质点的速度 4． 势能如V F -∇=，则力所作的功与路径无关，只与两端点的位置有关，这种力叫保守力，在保守力场中，函数),,(z y x V 就是质点在),,(z y x 点上相对于某一规定零点的势能。
理论力学5-4-广义坐标与广义力
i 1 N N y ri x z ( Fix i Fiy i Fiz i ) q j q j q j q j i 1
N
k
Q j δq j
j 1
N
i 1 k
i 1
3/17
第 5章
5/17
分析静力学
分析静力学
N y r x z Q j Fi i ( Fix i Fiy i Fiz i ) q j q j q j q j i 1 i 1
y A 7 a sin δy A 7 a cos δ
P
xC a cos
δxC a sin δ
7/17
第 5章
9/17
第 5章
δA 1 Pl ( 3sin cos )δ 1 Pl2 ( sin cos )δ 2 1 2
11/17
广义坐标数 k 3 N r 问题：引入广义坐标的作用是什么？虚位移 原理的形式有何变化？
2013年11月9日
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广义力形式的平衡方程
第 5章
ri ri ( q1 , q2 , , qk , t )
δA Fi δri Fi
N
广义力的讨论
k
r δri i δq j qj j 1
δA W δyO T δxB 0
A 取α角为广义坐标，则 1 2 δ y R csc δ y R cot
O
解
y
T
E
小结
第 5章
注意广义力形式的平衡方程的适用条件：
双面、理想、完整约束
o
W
B
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第12章
Fi δri > 0
与假设矛盾，因此，质点系一定保待平衡。
解题步骤： 1. 选取研究对象，通常为系统； 2. 判断理想约束条件；
3. 列虚功方程； 4. 确定虚位移之间的关系；
5. 将n项求和按照虚位移之间的关系改写
为k项求和
n
Fi
δri
k
=
Q
j
δq
j
=0
，得到方程
i=1
j =1
组；
6. 求解。
δWN FNi δri 0
光滑接触面约束、光滑铰链约束、不可伸 长的柔性约束和刚体内力等都是理想约束。 常见的非理想约束有动滑动摩擦和弹簧。
拉格朗日 (1736‐1813)―意大利数学家， 研究变分法，第一位提出虚位移原理。
12.4 虚位移原理―静力学普遍方程 虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给
Q P cot φ 2
xB 2l cos φ δxB 2l sin φδφ
例12-3 螺旋压榨机在手柄上作用一个力偶， 其矩为2pl，螺杆的螺距为h，求平衡时对 被压物体的压力。
P 2l P
解：取手柄、螺杆和压板为研 P 2l
究对象，被压物体对压板的作 用力为N。
δφ
P
δr
设手柄虚转角为δφ，压板向下
曲柄连杆机构
y AxA, yA
Oφ
B xB , yB
x
约束方程：
xA2 yA2 r 2
xB xA 2 yB yA 2 l2
yB 0
2. 约束的分类
⑴ 几何约束：约束方程中只含坐标和时间。
f xi , yi ,zi ,t 0 只限制质点系的几何位置
⑵ 运动约束：约束方程中包含坐标对时间
广义坐标
广义坐标所谓约束体系是指其状态在运动过程中受到了某种限制而不能自由变化的体系。
数学上，这意味着描述体系的状态参量——位置和速度——是满足某种关系的，这种关系就称为是约束方程，一般来说它具有如下的形式()()1212,,,,,,,,,,0n nf r r r r r r t f r r t ==K K K K K K K K "" (1) 这里以及以后，在不引起混淆的情况下，我都将把函数中的一组带有下标的自变量缩记为一个不带下标的量。
譬如刚体就是一个特殊的约束体系，因为其中任何两点的距离在运动过程中都是不变的，即const.ab a b r r r =−=K K 。
上一章最后的那个例子也是一个约束问题，在那里，不仅要求下面那个楔形物体只能在水平方向运动[约束方程]，而且还要求两个物体在运动过程中是始终保持接触的[2const.y =()121tan y x x θ=−]。
再比如一个限制在某个曲面上运动的粒子，约束方程就是该曲面的方程，而如果曲面本身又是在空间按给定方式运动——譬如一个粒子在半径以某个给定速度不断增大的球面上的运动——那么约束方程就将显含时间：()()222212312300,,,0f x x x t x x x a v t =++−+= (2) 物体之所以不能自由运动，究其原因是由于对体系施加约束的物体（约束物）提供了一个力，这个力与其他的力的一起作用恰好使得物体只能在约束上运动。
这种由约束物提供的、使得运动物体只能按照给定方式运动的力就称为约束力，而其他的力则都被称为是主动力。
约束力本质上是物体形变后产生的恢复力。
当运动物体挤压、拉伸约束物时，二者都会发生形变，并相互以恢复力作用于对方，这就产生了约束力，如果约束力不够大，则物体的运动将有不遵循约束的趋势，于是就会进一步压迫约束物，约束力也就相应地增大，一直到物体的运动恰好遵循约束为止。
总之，约束力的特点是应运而生的——因运动需要而产生的。
力学系统的自由度与约束分析
力学系统的自由度与约束分析在我们日常生活和工程技术的各个领域，力学系统无处不在。
从简单的机械装置到复杂的航空航天结构，理解力学系统的行为和特性对于设计、分析和优化至关重要。
而在力学系统的研究中，自由度和约束是两个核心概念，它们为我们揭示了系统的运动可能性和限制条件。
首先，让我们来理解一下什么是自由度。
简单地说，自由度就是确定一个系统在空间中的位置和姿态所需的独立变量的数目。
比如说，一个在空间中自由运动的质点，它可以在三个方向（x、y、z）上自由移动，所以它有三个自由度。
而对于一个刚体，不仅要考虑其质心的位置（三个自由度），还要考虑其绕三个坐标轴的转动（三个自由度），总共就有六个自由度。
那么约束又是什么呢？约束就是对系统自由度的限制条件。
约束可以分为几何约束和运动约束。
几何约束限制了系统中质点的几何位置关系。
比如，一根不可伸长的绳子连接的两个质点，它们之间的距离就被绳子的长度所约束。
运动约束则限制了质点速度之间的关系。
例如，一个轮子在地面上滚动，轮子与地面接触点的速度必须为零，这就是一种运动约束。
为了更清晰地分析力学系统的自由度和约束，我们可以通过一些具体的例子来进行探讨。
考虑一个简单的平面滑块，它可以在一个水平平面内自由滑动。
在这个例子中，我们可以选择滑块在平面内的坐标（x，y）作为描述其位置的变量，因此这个滑块具有两个自由度。
如果我们在平面上设置一个固定的障碍物，使得滑块不能进入某个区域，这就形成了一个几何约束，滑块的自由度就相应减少了。
再来看一个更复杂一些的例子，比如一个由多个连杆组成的机构。
每个连杆都可以看作是一个刚体，具有六个自由度。
但是由于连杆之间通过铰链连接，这些铰链就对连杆的运动形成了约束。
通过对这些约束的分析，我们可以确定整个机构的自由度，从而了解其可能的运动方式。
在实际的工程应用中，对力学系统的自由度和约束进行准确分析具有重要意义。
在机械设计中，如果对自由度和约束的分析不准确，可能会导致设计的机构无法按照预期的方式运动，甚至出现卡死等故障。
自由度和广义坐标.
, t ) 形式复杂； F (r , r
1 t dx (t )dt c1 (t t 0 ) c 2 m t0
• •
c1 , c2
v0 x 0 （物理意义） 分别为 时的速度 和位置坐标 F F F ( x) 2）力 仅为坐标的函数 dx dx dx dx dv F ( x) m x x x v
Fx ( x, y, z; x , y , z , t ) x m F y ( x, y , z ; x , y , z , t ) y m m , y , z Fz ( x, y, z; x , t ) z
（※）
• （※）是二阶微分方程组，给出所有可能的运动，经两次
• 2、非自由质点的运动微分方程 •
质点运动所受的限制 受约束质点为非自由 质点 f ( x, y, z, t ) 0 约束的数学表达式 约束方程 ，如； 质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由 度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约 束 反作用力；约束 约束反作用力 非自由质点 自由质 点 约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所 Fx ( x, y, z; x , y , z , t ) R x m x 受 F y ( x, y , z ; x , y , z , t ) R y m y 的其它力和运动状态有关 m , y , z Fz ( x, y, z; x , t ) R z z 两个自由度 四个方程 （1）约束
平面运动
Fx ( x, y; x , y , t) x m , y , t) my Fy ( x, y; x
2 ) F ( r , ; r , t ) m( , r r r 2r ) F ( r , ; r , t ) m ( r ,
理论力学-张敏居-1.1约束及分类
如何掌握自由度和约束力？
1
掌握理论基础
学习精通约束力学的基本概念和理论，掌握基本的公式和方程。
2
分析实际问题
结合实际的机械系统，分析其自由度和约束力等相关问题。
3
运用工具方法
掌握相关的工具和方法，例如拉格朗日方程、哈密顿原理等，深度挖掘自由度和约束力之间 的关系。
自由度和约束力的应用领域
动力学研究
自由度和约束力
自由度
约束力
体系中可以独立改变的参数数量。 将运动限制在特定范围内的力。
关系
约束力就是通过减少自由度的数 量来达到稳定的目的。
什么是自由度？
1 定义
自由度是机体在空间中能够独立自由变动的方向数量和程度，能够描述机体的运动状态。
2 应用
对于机械系统的建模和控制，自由度的数量是非常重要的。
理论力学-张敏居-1.1约束 及分类
欢迎来到理论力学的世界！本节课我们将深入探讨约束力学的概念和分类， 了解不同体系和约束类型间的关系。
什么是约束？
1 定义
约束是对机械系统中位置、移动或变形的限制。
2 作用
通过限制机体运动自由度，起到稳定机械系统和使得系统按照期望运动规律运动的作用。
约束的分类
力学系统的约 束
广泛应用于复杂机械系统的建模与仿真、运动规划等领域。
工程实践
基于自由度和约束力的理论，广泛应用于机械自动化、导航制导等领域。
科学研究
自由度和约束力的研究，为现代物理学、计算Hale Waihona Puke 科学等提供了重要的基础。结语
通过本次课程的介绍，相信大家对于约束力学以及自由度和约束力之间的 关系有了更深刻的认识。希望大家能够善加利用所学知识，推动科学技术 的前沿发展，不断挖掘我们科学探索的无限潜能。
约束的概念与分类
1. 约束的概念与分类 1)约束与约束方程质点系中限制质点运动（位置、速度）的条件称为约束，表为：f x y z xy z t (,,; , , ;)=02)稳定与不稳定约束稳定约束与时间无关：f x y z (,,)=0 不稳定约束与时间相关：f x y z t (,,,)=03)几何与运动约束几何约束亦称位置约束：f x y z t (,,,)=0运动约束又称微分约束：f x y z xy z t (,,; , , ;)=04)可解与不可解约束可解约束：f x y z t (,,,)≤0 不可解约束：f x y z t (,,,)=05)完整系与不完整系完整系：几何、不可解约束系2.广义坐标 对n 个质点组成的质点系，约束为：f x y z t i k i (,,,)(,,...,)==012则独立坐标减少为s=3n-k 个，设独立变量为q q q s 12,,...,称为Lagrange 广义坐标。
独立坐标的个数s=3n-k 为系统的自由度。
不独立变量与广义坐标的关系可表为：x x q q q t y y q q q t z z q q q t i n i i s i i s ii s ===⎧⎨⎪⎩⎪=(,,...,,)(,,...,,)(,,...,,)(,,...,)12121212，此s 个广义坐标确定系统位置。
3.虚位移受约束系在运动过程中各质点的位置既要满足运动微分方程，也要满足约束方程。
同时满足两个方程的运动为真实运动，此时在dt 时间间隔内发生的位移称为实位移，记为d r。
只满足约束方程而与时间无关（δt =0）的位移称为虚位移，记为δr ，它并未实际发生，只是想象中可能发生的位移。
显然，实位移d r 是许多虚位移δr 中的一个。
4.理想约束虚功：作用在质点上的力在任意虚位移δr 上所做的功。
理想约束：约束反力在任意虚位移δr 上所做的虚功之和为零，即，R r i i ⋅=∑δ0。