黑龙江省哈尔滨市第九中学2013届高三第四次模拟考试数学(文)试卷

高三数学(文)第四次模拟考试答案
1-6 BCBCAD 7-12 DBCADA
13. 2 14.2 15.1-≤a 16. (2)(3)
17解：（1）∵acosB+bcosA=b ，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB ，
∴sin （A+B ）=sinB ，--------3分
即sinC=sinB ，∴b=c ，∴C=B ．--------------6分
（2）△BCD 中，用正弦定理可得=，由第一问知道C=B ，而BD 是角平分线， ∴=2cos ．---------8分
由于三角形内角和为180°，设 A=x ，B=2α=C ，那么4α+x=180°，故α+=45°．--9分
∵sin=，∴cos=，∴cos α=cos （45°﹣）=cos45°cos+sin45°sin=
． ∴=2cos=2cos α
=．---------------12分 18.（1） -------4分
（2）根据列联表中的数据，得到K 2= ≈7.487＜10.828．因此按99.9%的
可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” -----------8分
（3）设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数
为（x ，y ）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个． 事件A 包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，
6）（6，4）共7个．所以P(A)=
736，即抽到9号或10号的概率为736．-------12分 19解：（1）=--ABCD P PCD A V V =--ABCD P ACD P V V =∆h S h S ABCD ACD 3
131ABCD ACD S S ∆ 又由2:1:=AD BC 则/
/)(2121h BC AD h AD S S ABCD ACD ⋅+⋅=∆=32 所以=--ABCD P PCD A V V 3
2 4分 （2）存在，当M 为PD 中点时满足CM //平面PAB
证明：取PA 中点N ，PD 中点M ，连接NB,NM,MC
则,2
1//AD MN = 又由,21//AD BC = 所以,//BC MN =所以MNBC 为平行四边形则CM BN //
又由⊂BN 平面PAB ，⊄CM 平面PAB
所以CM //平面PAB 8分
110(10×30-20×50)2
60×50×30×80 P
A B C D O Q N M
(3)取AB 中点O,连PO,OD ，AC ，且OD ，AC 交于Q
由已知ABC Rt AOD Rt ∆≅∆
ACB AOD ∠=∠∴2
π=∠+∠∴OAQ AOD OD AC ⊥∴ 10分 又由PO AC ⊥
⊥∴AC 面POD
PD AC ⊥ 12分
20.（1）由题意知：抛物线方程为：x y 42=且()0,1-P -------1分
设),(),,(2211y x B y x A
由已知直线l 斜率存在设)1(:-=x k y l 代入x y 42=得
0)42(2222=+-+k x k x k
110<<-⇒>∆k
⎪⎩⎪⎨⎧=--=+1
)
42(212221x x k k x x -------- 3分
2122124)(1x x x x k AB -++=
21k k
h += -------- 5分 由25
21
=h AB 得4141
4±=k 满足0>∆ -------- 6分
（2）假设存在),(o a T 满足题意，则
)
)(()
)(1())(1(2112212211a x a x a x x k a x x k a x y a x y k k BT AT ---++-+=-+-=+-----
------8分
[]
0))((2))(1(2212121=---+--=a x a x a x x a x x k
[()]02)1(22121=-+--∴a x x a x x k
即[]0224)1(22
2
=----a k k a k ----- ------10分
整理得：01=-a
1=∴a
∴存在T （1,0）----------------12分
21.（1）解：f'（x ）=lnx+1（x ＞0），令f'（x ）=0，得． ∵当时，f'（x ）＜0；当时，f'（x ）＞0， ∴当时，．---------------------- 4分
（2）F （x ）=ax 2+lnx+1（x ＞0），．
①当a≥0时，恒有F'（x ）＞0，F （x ）在（0，+∞）上是增函数；
②当a ＜0时，
令F'（x ）＞0，得2ax 2+1＞0，解得
； 令F'（x ）＜0，得2ax 2+1＜0，解得．
综上，当a≥0时，F （x ）在（0，+∞）上是增函数；
当a ＜0时，F （x ）在上单调递增，在上单调递减．
--------------------------------------------8分
(3) 设切点T （x 0，y 0）则k AT =f ′（x 0）， ∴即e 2
x 0+lnx 0+1=0 设h （x ）=e 2x+lnx+1，当x ＞0时h ′（x ）＞0，
∴h （x ）是单调递增函数 （10分）
∴h （x ）=0最多只有一个根， 又
， ∴
由f'（x 0）=﹣1得切线方程是
． （12分） 22. 证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠. 2分
又因为AD CE ⊥，所以090ACD CAD ∠+∠=，
又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠，
4分 所以90OCA ACD ∠+∠=o ，即OC CE ⊥，所以CE 是O e 的切线. 5分
（Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，
因为OAC CAD ∠=∠， 8分
所以△ABC ∽△ACD ，所以
AC AD AB AC =，即2AC AB AD =⋅. 10分 23.（1）由6cos ρϕ=得26cos ρρϕ=，所以2C 的直角坐标方程是2260x y x +-=--2分
由已知得1C 的直角坐标方程是2
221x y a
+=， 当0α=时射线与曲线12,C C 交点的直角坐标为()(),0,6,0a ，-----------3分
4,2AB a =∴= 1C ∴的直角坐标方程是2
214
x y +=.①---------------5分 (2) m 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=② -------7分 将②带入①得0124132=-+t t ,设,D E 点的参数是1,2t t ，则 013
12,1342121<-=-=+t t t t -------8分 13
4||||||||21=+=-∴t t PE PD -------10分 24解：（Ⅰ）由|x ﹣a|≤m 得a ﹣m≤x≤a+m， 所以解之得为所求．-----------------4分 （Ⅱ）当a=2时，f （x ）=|x ﹣2|，
所以f （x ）+t≥f（x+t ）⇔|x|﹣|x ﹣2|≤t，
令⎪⎩
⎪⎨⎧≤-<<-≥=--=0,220,222,2|2|||)(x x x x x x x h ---------6分
所以,当2≥t 时，不等式①恒成立，解集为R ；-------8分 当20<≤t 时，解集为}12|{+≤
t x x --------10分。