内蒙古赤峰市2015届高三上学期第一次统一考试数学理试题(解析版)

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2015-2016学年内蒙古普通高中高三(上)学业水平测试数学试卷及参考答案(1月份)

2015-2016学年内蒙古普通高中高三（上）学业水平测试数学试卷（1月份）一、选择题1．（2分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|x≥﹣1}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞2}2．（2分）已知i是虚数单位，则i（2﹣i）的共轭复数为（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i3．（2分）已知角α的终边经过点P（﹣1，1），则cosα的值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．4．（2分）函数f（x）＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪（2，+∞）5．（2分）设x为实数，命题p：∀x∈R，x2+2x+1≥0，则命题p的否定是（）A．￢p：∃x∈R，x2+2x+1＜0B．￢p：∃x∈R，x2+2x+1≤0C．￢p：∀x∈R，x2+2x+1＜0D．￢p：∀x∈R，x2+2x+1≤06．（2分）按照程序框图（如图）执行，第3个A输出的数是（）A．3B．4C．5D．67．（2分）在空间，已知a，b是直线，α，β是平面，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面8．（2分）已知平面向量＝（2，3），＝（1，m），且∥，则实数m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．9．（2分）某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台10．（2分）若函数f（x）＝（x﹣2）（x+a）是偶函数，则实数a的值为（）A．2B．0C．﹣2D．±211．（2分）已知函数f（x）＝3x+2x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）12．（2分）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.613．（2分）如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．8：27B．2：3C．4：9D．2：914．（2分）已知a＝21.2，b＝20.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 15．（2分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（）A．f（x）＝x3+x B．f（x）＝|x|+1C．f（x）＝﹣x2+1D．f（x）＝2x﹣1 16．（3分）函数y＝sin（x﹣）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z17．（3分）若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）18．（3分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝4B．（x﹣2）2+y2＝4C．（x+1）2+y2＝4D．（x+2）2+y2＝419．（3分）函数f（x）＝，若f（a）+f（2）＝0，则实数a的值等于（）A．3B．1C．﹣1D．﹣320．（3分）若函数f（x）＝ax2+ax﹣1对∀x∈R都有f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣4＜a≤0B．a＜﹣4C．﹣4＜a＜0D．a≤0二、填空题21．（3分）双曲线9x2﹣4y2＝36的离心率为．22．（3分）计算1﹣2sin2＝．23．（3分）函数y＝a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是．24．（3分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z＝x+3y的最大值为．25．（3分）已知实数m+n＝1，则3m+3n的最小值为．三、解答题26．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若三角形的面积为，且b+c＝5，求b和c的值．27．（10分）已知等差数列{a n}，（n∈N*）满足a1＝2，a7＝14．（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥3n+15，求n的取值范围．28．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求三棱锥B1﹣BCD的体积．29．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+3x﹣9．（1）若a＝﹣1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若函数f（x）在x＝﹣3时取得极值，当x∈[﹣4，﹣1]时，求使得f（x）≥m恒成立的实数m的取值范围；（3）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．2015-2016学年内蒙古普通高中高三（上）学业水平测试数学试卷（1月份）参考答案与试题解析一、选择题1．（2分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|x≥﹣1}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞2}【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，A∩B＝{x|﹣1≤x≤3}∩{x|x＞2}＝{x|2＜x≤3}．故选：A．2．（2分）已知i是虚数单位，则i（2﹣i）的共轭复数为（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i【解答】解：∵i（2﹣i）＝﹣i2+2i＝1+2i，∴i（2﹣i）的共轭复数为1﹣2i．故选：C．3．（2分）已知角α的终边经过点P（﹣1，1），则cosα的值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣1，1），则x＝﹣1，y＝1，r＝|OP|＝，∴cosα＝＝＝﹣，故选：C．4．（2分）函数f（x）＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪（2，+∞）【解答】解：要使函数有意义，则有，即，所以x＞1且x≠2．所以函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）．故选：D．5．（2分）设x为实数，命题p：∀x∈R，x2+2x+1≥0，则命题p的否定是（）A．￢p：∃x∈R，x2+2x+1＜0B．￢p：∃x∈R，x2+2x+1≤0C．￢p：∀x∈R，x2+2x+1＜0D．￢p：∀x∈R，x2+2x+1≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2+2x+1≥0的否定：∃x∈R，x2+2x+1＜0．故选：A．6．（2分）按照程序框图（如图）执行，第3个A输出的数是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：第一次执行循环体时，输出A＝1，S＝2，满足继续循环的条件，则A＝3，第二次执行循环体时，输出A＝3，S＝3，满足继续循环的条件，则A＝5，第三次执行循环体时，输出A＝5，故选：C．7．（2分）在空间，已知a，b是直线，α，β是平面，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b 的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解答】解：∵α∥β，∴α、β没有公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴直线a与直线b没有公共点，∴a、b的位置关系是：平行或异面．故选：D．8．（2分）已知平面向量＝（2，3），＝（1，m），且∥，则实数m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵平面向量＝（2，3），＝（1，m），且∥，∴2m﹣3×1＝0，解得m＝．故选：D．9．（2分）某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台【解答】解：∵正视图和侧视图为三角形，可知几何体为锥体，又∵俯视图为四边形，故该几何体为四棱锥，故选：B．10．（2分）若函数f（x）＝（x﹣2）（x+a）是偶函数，则实数a的值为（）A．2B．0C．﹣2D．±2【解答】解：∵函数f（x）＝（x﹣2）（x+a）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴（﹣x﹣2）（﹣x+a）＝（x﹣2）（x+a），即x2+（2﹣a）x﹣2a＝x2+（a﹣2）x﹣2a，∴a﹣2＝2﹣a，∴a＝2，故选：A．11．（2分）已知函数f（x）＝3x+2x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：∵f（﹣2）＝3﹣2+2×（﹣2）＝﹣4＜0，f（﹣1）＝3﹣1+2×（﹣1）＝﹣2＜0，f（0）＝1＞0，f（1）＝3+2＞0，f（2）＝9+4＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，故选：B．12．（2分）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6【解答】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为＝0.4．故选：B．13．（2分）如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．8：27B．2：3C．4：9D．2：9【解答】解：两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2：3，从而这两个球的表面积之比为4：9．故选：C．14．（2分）已知a＝21.2，b＝20.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵a＝21.2＞2，1＝20＜b＝20.8＜21＝2，c＝log54＜log55＝1，∴c＜b＜a．故选：A．15．（2分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（）A．f（x）＝x3+x B．f（x）＝|x|+1C．f（x）＝﹣x2+1D．f（x）＝2x﹣1【解答】解：由于f（x）＝x3+x，有f（﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）是奇函数，故A不正确；由于f（x）＝|x|+1是偶函数，在区间（﹣∞，0）上是减函数，故B正确；由于函数f（x）＝﹣x2+1是偶函数，且满足在（﹣∞，0）上是单调递增函数，故C不满足条件；由于f（x）＝2x﹣1不满足f（﹣x）＝f（x），不是偶函数，故排除D．故选：B．16．（3分）函数y＝sin（x﹣）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z【解答】解：对于函数y＝sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故选：D．17．（3分）若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）【解答】解：∵方程x2+ky2＝2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选：D．18．（3分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝4B．（x﹣2）2+y2＝4C．（x+1）2+y2＝4D．（x+2）2+y2＝4【解答】解：设圆心坐标为C（a，0）（a＞0），由题意得，，解得a＝2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝4．故选：B．19．（3分）函数f（x）＝，若f（a）+f（2）＝0，则实数a的值等于（）A．3B．1C．﹣1D．﹣3【解答】解：函数f（x）＝，若f（a）+f（2）＝0，可得a﹣1+22＝0．解得a＝﹣3．故选：D．20．（3分）若函数f（x）＝ax2+ax﹣1对∀x∈R都有f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣4＜a≤0B．a＜﹣4C．﹣4＜a＜0D．a≤0【解答】解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，故满足条件；当a≠0时，对于任意实数x，不等式ax2+ax﹣1＜0恒成立，则，解得﹣4＜a＜0，综上所述，﹣4＜a≤0．故选：A．二、填空题21．（3分）双曲线9x2﹣4y2＝36的离心率为．【解答】解：双曲线9x2﹣4y2＝36可化为＝1，所以a＝2，b＝3，c＝，所以离心率e＝＝．故答案为：．22．（3分）计算1﹣2sin2＝．【解答】解：直接利用二倍角的余弦公式可得＝cos（2×）＝cos＝．故答案为：．23．（3分）函数y＝a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣2，4）．【解答】解：∵函数y＝a x，（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是（0，1），∴函数y＝a x的图象经过向左平移2个单位，向上平移3 个单位，∴函数y＝a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象经过（﹣2，4），故答案为：（﹣2，4），24．（3分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z＝x+3y的最大值为7．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z＝x+3y得y＝﹣+，由图象可知当直线y＝﹣经过点A时，截距最大，解方程组得x＝1，y＝2，即A（1，2）．∴z的最大值为1+3×2＝7．故答案为7．25．（3分）已知实数m+n＝1，则3m+3n的最小值为2．【解答】解：∵3m＞0，3n＞0，m+n＝1，∴3m+3n≥2＝2，当且仅当m＝n＝取等号，故3m+3n的最小值为2，故答案为：2．三、解答题26．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若三角形的面积为，且b+c＝5，求b和c的值．【解答】解：（1）∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）S△ABC＝sin＝，化为bc＝4，又b+c＝5，解得b＝4，c＝1或b＝1，c＝4．27．（10分）已知等差数列{a n}，（n∈N*）满足a1＝2，a7＝14．（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥3n+15，求n的取值范围．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴a7＝a1+6d，即14＝2+6d，解得d＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）S n＝2n+＝n2+n，∴n2+n≥3n+15，解得n≤﹣3或n≥5．∵n∈N*，∴n的取值范围是{n∈N*|n≥5}．28．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D 是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求三棱锥B1﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥CC1，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，又BC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥BC1．（2）∵D是AB的中点，∴S△BCD＝＝＝3，∵BB1⊥平面ABC，BB1＝AA1＝4，∴＝＝＝4．29．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+3x﹣9．（1）若a＝﹣1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若函数f（x）在x＝﹣3时取得极值，当x∈[﹣4，﹣1]时，求使得f（x）≥m恒成立的实数m的取值范围；（3）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝x3﹣x2+3x﹣9，f′（x）＝3x2﹣2x+3，f′（2）＝11，f（2）＝1，故切线方程是：y﹣1＝11（x﹣2），即11x﹣y﹣21＝0；（2）f′（x）＝3x2+2ax+3，f′（﹣3）＝30﹣6a＝0，解得：a＝5，∴f（x）＝x3+5x2+3x﹣9，f′（x）＝（3x+1）（x+3），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣或x＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣，∴f（x）在[﹣4，﹣3）递增，在（﹣3，﹣1]递减，∴f（x）的最小值是f（﹣4）或f（﹣1），而f（﹣4）＝﹣5，f（﹣1）＝﹣8，∴m≤﹣8；（3）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，则f′（x）＝3x2+2ax+3≤0在[1，2]恒成立，即a≤﹣（x+）在[1，2]恒成立，令h（x）＝﹣（x+），x∈[1，2]，h′（x）＝﹣＜0在[1，2]恒成立，∴h（x）在[1，2]递减，h（x）min＝h（2）＝﹣，∴a≤﹣．。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试(一模)数学(文)试题(有答案)

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页～第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（）（A ）)1,1(- （B ）)3,1( （C ）)1,0( （D ）)0,1(- 2．下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（）（A ）2x y = （B ）3x y -= （C ）||lg x y -= （D ）xy 2=3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（）.（A ）9 （B ）10 （C ）19 （D ）294．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是（A ）23 （B ）43 （C ）53 （D ）836．在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，若存在实数,λμ，使AG AB AC λμ=+，则（）（A ）11,33λμ== （B ）21,33λμ== （C ）12,33λμ== （D ）22,33λμ==7. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ）若//αβ，//m α，则//m β （C ）若//αβ，m α⊥，则m β⊥ （D ）若//m α，//m β，则//αβ 8．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设1x ，2x 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有 (A) 12x x =，12s s < (B) 12x x =，12s s >(C) 12x x >，12s s >(D)12x x =，12s s =俯视图侧（左）视图正（主）视图111129．△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) （A ）191622=+y x (y ≠0) （B ） 192522=+x y (y ≠0)（C ）191622=+x y (y ≠0) （D ）192522=+y x (y ≠0)10．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（）（A ）向左平移6π个单位长度（B ）向右平移12π个单位长度（C ）向右平移6π个单位长度（D ）向左平移12π个单位长度11．已知直线x y =按向量a 平移后得到的直线与曲线)2ln(+=x y 相切，则a 可以为（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（0，2）（D ）（2，0）12．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是（A ）[5,5]- （B ）11[,]33-（C ） 11[,0)(0,]33- （D ）33[,0)(0,]33- 宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（文科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13．若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z . 14.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是____________.15. 给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的集合为____________.16．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意的自然数n ，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17.（本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c，且sin cos b A B =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.18．（本题满分12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．19．（本题满分12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I ）求频率分布直方图中m 的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（III ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．4653220．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且C 上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设直线l 与椭圆交于P 、Q ，O 为坐标原点，若90POQ ∠=︒，求证2211PQOQ+为定值．1()1ex f x x =+-． 21.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）过点(0,)B t 能否存在曲线()y f x =的切线，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F .若35AC AB =. (Ⅰ)OD ∥AE ;(Ⅱ)求FDAF 的值.x yQOPFE DOC23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为22,2(24.2x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M N 、. (Ⅰ)求a 的取值范围; (Ⅱ)若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2．（Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（文科）参考答案一、选择题：BABA BACB DCAD二、填空题：13、12i -； 14、53； 15、{}0,1,3； 16、()3,-+∞ 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）因为sin 3cos b A a B =，由正弦定理sin sin a bA B=得：sin 3cos B B =，tan 3B =因为02B π<<，所以3B π=---------------------------6分（Ⅱ）因为sin 2sin C A =，由正弦定理知2c a = ① 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+- ② 由①②得3,23a c ==。

内蒙古赤峰市高三理数第一次统测数学试卷

内蒙古赤峰市高三理数第一次统测数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2017·甘肃模拟) 已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A . {1}B . {﹣1，0，1，2，3}C . {1，2}D . {0，1，2，3}2. （1分） (2015高三上·邢台期末) 若z=1﹣ i，则复数z+ 在复平面上对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （1分）已知向量，，若，则实数x的值为（）A . 1B . 7C . -10D . -94. （1分） (2017高三下·重庆模拟) 设，则 =（）A .B .C .D . 25. （1分）下列四个命题：(1)随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0(2)残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；(3)用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2的值越小，说明模型拟合的效果越好；(4)直线和各点(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线.其中真命题的个数（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （1分）已知满足约束条件，且的最小值为6.若实数则点落在上述区域内的概率为（）A .B .C .7. （1分）执行如图所示的程序框图．若输出的结果为﹣1，则可以输入的x的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 08. （1分）已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B=B，命题乙：A B，那么（）A . 甲是乙的充分不必要条件B . 甲是乙的必要不充分条件C . 甲是乙的充要条件D . 甲是乙的既不充分也不必要条件9. （1分）(2017·合肥模拟) 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）B .C .D .10. （1分） (2016高二上·衡水期中) 下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①②③11. （1分） (2017高二下·曲周期中) 从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A .B .C .D .12. （1分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A .B .D . 2π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·民乐模拟) 若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，设ξ～N（1，σ2），且P（ξ≥3）=0.1587，则σ=________．14. （1分） (2020高三上·浦东期末) 在的二项展开式中，常数项的值为________15. （1分） (2016高二下·珠海期末) 设随机变量X～B（n，p），其中n=8，若EX=1.6，则DX=________．16. （1分） (2016高一下·赣榆期中) 设点O是面积为6的△ABC内部一点，且有 + +2 = ，则△AOC的面积为________三、解答题 (共7题；共9分)17. （2分）如图是一个奖杯三视图，试根据奖杯三视图计算它的表面积与体积．（尺寸单位：cm，取，结果精确到整数）18. （2分） (2017高二下·龙海期中) 二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.57 4.5（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式： = ， =y﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）19. （1分） (2016高二上·鞍山期中) 如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）若AC=4，求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅲ）若AC=4，求几何体C﹣BDF的体积．20. （1分）(2017·顺义模拟) 春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表（单位：微克/立方米）．除夕18时PM2.5浓度初一2时PM2.5浓度北京75647天津66400石家庄89375廊坊102399太原46115上海1617南京3544杭州13139（Ⅰ）求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值；（Ⅱ）环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市，浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹．从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X，求随机变量y的分布列和数学期望；（Ⅲ）记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM2.5浓度的方差分别为s12和s22 ，比较s12和s22的大小关系（只需写出结果）．21. （1分）(2017·运城模拟) 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．22. （1分）已知抛物线C1:x2=4y 的焦点F也是椭圆c2:的一个焦点， C1和C2的公共弦长为（1）求 C2的方程；（2）过点F 的直线 l与 C1相交于A与B两点，与C2相交于C ， D两点，且与同向（ⅰ）若求直线l的斜率；（ⅱ）设 C1在点 A处的切线与 x轴的交点为M ，证明：直线l 绕点 F旋转时，MFD总是钝角三角形。

内蒙古赤峰市2015届高三数学12月模拟统考试题理(含解析)

内蒙古赤峰市2015届高考数学模拟试卷（理科）（12月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A． {1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}分析：把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根据集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选B．点评：本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个．2．设复数z满足z•i=2015﹣i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：化简复数为a+bi的形式，即可判断复数所在象限．解答：解：复数z满足z•i=2015﹣i所以z===﹣1﹣2015i．复数对应点为：（﹣1，﹣2015）在第三象限．故选：C．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．3．已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．分析：利用向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵||=1，=（0，2），且•=1，∴===．∴向量与夹角的大小为．故选：C．点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A． 8万元B．10万元C．12万元D．15万分析：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．解答：解：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4∴11时至12时的销售额为3×4=12故选C点评：本题考查频率分布直方图，关键是注意纵坐标表示频率比组距，属于基础题．5．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A． 10 B．﹣10 C．6 D．﹣6分析：根据约束条件，作出平面区域，平移直线2x+4y=0，推出表达式取得最小值时的点的坐标，求出最小值．解答：解：作出不等式组，所表示的平面区域作出直线2x+4y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点C（3，﹣3）时z取得最小值﹣6；故选D．点评：本题主要考查线性规划中的最值问题，属于中档题，考查学生的作图能力，计算能力，在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．6．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．分析：三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=．解答：解：三棱锥的正视图如图所示，∴该三棱锥的正视图面积==2．故选：B．点评：本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A． 3 B．﹣6 C．10 D．﹣15分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 i S循环前 1 0第一圈是 2﹣1第二圈是 3 3第三圈是 4﹣6第四圈是 5 10第五圈否故最后输出的S值为10故选C．点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．8．设a=loh，b=log，c=（）0.3则（）A． c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c分析：利用对数函数和指数函数的性质求解．解答：解：由a=＜==，b==1，c=（）0.3＞，c=（）0.3＜（）0=1，∴．故a＜c＜b．故选：C．点评：本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数性质的合理运用．9．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A．B．C．1 D．4分析：作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．解答：解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，∴=2，求得a=4，故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．10．已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有（）A． 1个B．2个C．3个D．4个分析：先求出把a、b、c中的任意两个换成平面，得到的三个命题，然后根据线面平行的性质和面面垂直的判定定理进行判定即可．最后再把a、b、c中的三个都换成平面，得到的一个命题进行判断．解答：解：（I）先求出把a、b、c中的任意两个换成平面：若a，b 换为平面α，β，则命题化为“α∥β，且α⊥c⇒β⊥c”，根据线面平行的性质可知此命题为真命题；若a，c换为平面α，γ，则命题化为“α∥b，且α⊥γ⇒b⊥γ”，b可能与γ相交或在平面γ内，此命题为假命题；若b，c换为平面β，γ，则命题化为“a∥β，且a⊥γ⇒β⊥γ”，根据面面垂直的判定定理可知此命题为真命题，即真命题有2个；（II）把a、b、c中的三个都换成平面，得到的一个命题：“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”，根据面面垂直的判定定理可知此命题为真命题，故选C．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论，以及线面平行的性质和面面垂直的判定定理等，属于中档题．11．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A． f（x）的图象过点（0，）B．f（x）的图象在[，]上递减C． f（x）的最大值为A D．f（x）的一个对称中心是点（，0）考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由周期公式可先求ω，根据函数对称轴处取得函数最值，由函数的图象关于直线x=对称，可得sin（∅+）=±1，代入可得∅=，根据三角函数的性质逐个检验选项．解答：解：T=π，∴ω=2．∵图象关于直线x=对称，sin（φ+×2）=±1即×2+φ=+kπ，k∈Z又∵﹣＜φ＜，∴φ=∴f（x）=Asin（2x+）．再用检验法逐项验证．故选D点评：本题考查了三角函数的性质：周期公式的应用；三角函数对称轴的性质，正弦函数在对称轴处取得最值．12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A． [，2] B．[0，1] C．[1，2] D．[0，+∞）分析：因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．解答：解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，2＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A．点评：本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。

内蒙古赤峰市宁城县2015届高三12月月考数学(理)试题及答案

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合},214|{},,212|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==则（）（A ） M N = （B ） M N ⊂ （C ） M N ⊃ （D ） M N ⋂=∅ 2．若复数iia 213-+（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（）（A ）2- （B ）4 （C ）6- （D ）63．函数)22sin(2x y -=π是（）（A ）最小正周期为π的奇函数（B ）最小正周期为2π的奇函数（C ）最小正周期为π的偶函数（D ）最小正周期为2π的偶函数4．抛物线ay x =2的准线方程是1=y ，则实数a 的值为（）（A ）-4（B ）4 （C ）41（D ）41-5．等比数列}{n a 中，前n 项的和为n S ，已知3339,22a S ==，则6S 等于（）（A ）6316 （B ）9或6316 （C ）6364 （D ）9或63646．设n m ,是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是( ) （A ）当α⊂m 时，“α//n ”是“n m //”的必要不充分条件（B ）当α⊂m 时，“β⊥m ”是“βα⊥”的充分不必要条件（C ）当α⊥n 时， “β⊥n ”是“α∥β”成立的充要条件（D ）当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件7．甲乙两位同学在高二的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x x 乙甲，，则下列正确的是 ( ) （A ）x x <乙甲；甲比乙成绩稳定（B ）x x >乙甲；乙比甲成绩稳定（C ）x x >乙甲；甲比乙成绩稳定（D ）x x <乙甲；乙比甲成绩稳定 8. 曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（） (A) 2ln 2 (B) 2ln 2- (C) 4ln 2- (D ) 42ln 2- 9．函数ln ()xf x x=的图象是 ( )10. 若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）6个11.在ABC △中，2,1AB AC ==，已知D 是AB 边上一点，AD 平分BAC ∠，AD AB AC λμ=+则（）(A) 23,55λμ== (B)32,55λμ== (C) 12,33λμ== (D) 21,33λμ==12. 设点P 在曲线x e y =上，点Q 在曲线x y ln =上，则|PQ |最小值为 ( )(A) 2 (B) 12- (C) 21+ （D ） 2ln()A ()B()D()C宁城县高三年级第2次统一考试（2014.12）数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．执行右边的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为 _________________________;14．()42(1)1x x -+的展开式中4x 的系数是_____________;15．已知实数y x z y x x y x y x 20305,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≥+-则目标函数满足的最小值为．16．已知数列{}n a 前n 项的和为n S ,111,21n n a a a n +=+=-,则49S = ．三、解答题（共6小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-． (1）求cos B 的值；(2）若2BA BC ⋅=，b =a 和c ．18．（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，CD AB CD AD //,⊥，221===CD AD AB ，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合. （Ⅰ）当点M 是EC 中点时，求证：BM //平面ADEF ；（Ⅱ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积.19．（本小题满分12分）为了解我县中学生的体质状况，对天义地区部分中学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查.现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示.(1）请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；（2）若按身高分层抽样，抽取20人参加庆“五一”全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于165cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,1)A (3,0)B 的直线l与椭圆交于不同的两点,M N ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求BM BN 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图,已知PE 切⊙O 于点E ,割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点,∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于点C 、D .求证:(Ⅰ)CE DE =;(Ⅱ)CA PECE PB =. 23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>过点P(-2,-4)的直线242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数)与曲线C 相交于点M,N 两点.(Ⅰ)求曲线C 和直线l 的普通方程;(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数a 的值 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数()|2||1|f x x a x =-+-. (Ⅰ)当3a =时,求不等式()2f x ≥的解集;(Ⅱ)若()5f x x ≥-对x R ∀∈恒成立,求实数a 的取值范围.宁城县高三年级第2次统一考试（2014.12）数学试题（理科）参考答案(2）由2BA BC ⋅=得cos 2ac B =，又1cos 3B =，∴ 6.ac = ......8分由2222cos b a c ac B =+-，b =2212a c +=，............10分∴()20a c -=，即a c =，∴a c == ....................................12分 18．（Ⅰ）以DA DC DE 、、分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系则(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)A B C E M -----------------2分(2,0,1),BM ADEF ∴=-面的一个法向量(0,4,0)DC =----------------3分 0BM DC ⋅=，BM DC ∴⊥。

内蒙古赤峰市2015届高三4月统一考试数学(理)试题(含详细答案)

绝密★启用前内蒙古赤峰市2015届高三4月统一考试数学（理）试题 2015.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B = （）A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,0}-D ．{1,1}-2. i 为虚数单位,复数21i i+的实部为（）A. 1B.2-C. 2D. 1-3. αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ= ，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（） A.132 B.164 C.332 D. 3645.设等比数列{}n a 的首项113a =，前n 项和为n S ，若123,2,3S S S 成等差数列，则 {}n a 的通项为（） A.13n n a =B. 3n n a =C. 113n n a -=D. 113n n a -= 6.设O 是边长为1的等边ABC ∆的内心，则 OA OB ⋅= ( ) A.16 B.16- C.12- D. 127.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则,AE SD ,所成角的余弦值为（）A.3B.3D.23 8．如果实数y x ,满足不等式组30,230,1.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图像如图所示，其中0,0,2A πωϕ>><，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（）A ．对称轴方程是2()3x k k Z π=+π∈ B ．6πϕ=- C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）ABCD ．311. 设抛物线2:4C x y =的焦点为F ,经过点(1,5)P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF += （）A. 12B. 8C.4D.1012.已知函数31,0()log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列函数[]1()2y f f x =-零点个数的四个判断：①当0k >时，有3个零点； ②当0k <时，有2个零点；③当0k >时，有4个零点； ④当0k <时，有1个零点.则正确的判断是（）A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

内蒙古赤峰市全市优质高中2015届高三数学上学期9月质检试卷理(含解析)

内蒙古赤峰市全市优质高中2015届高三上学期9月质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁U A）=（）A．{5} B．{1，2，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅2．（5分）设i是虚数单位，已知z（1+i）=1﹣i，则复数z等于（）A．﹣1 B．﹣i C．i D．13．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=4，S9﹣S6=27，则该数列的公差d等于（）A．﹣B．﹣1 C．D．14．（5分）双曲线﹣=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．C、D．5．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a的所有可能结果之和为（）A．e B．C．e+D．2e+6．（5分）某校友200位教职员工，其每周用于锻炼身体所用时间的频率分布直方图如图所示，据图估计，锻炼时间在小时内的人数为（）A．76 B．82 C．88 D．957．（5分）多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的p是720，那么输入的整数N是（）A．5 B．6 C．7 D．89．（5分）已知sinα﹣cosα=，则tanα等于（）A．﹣1 B．﹣C．D．110．（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点O为△ABC内一点，且+2+3=，则△AOB，△AOC，△BOC的面积之比等于（）A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：312．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈时，f（x）=2x，若方程ax+a﹣f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．C．（1，2）D．分析：首先，根据双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程已知，得到b的取值，然后，求解离心率即可．解答：解：根据题意，得a=3，=，∴b=2，∴c=，∴e==．故选：D．点评：本题重点考查了双曲线的几何性质，理解双曲线的渐近线方程和离心率是解题关键，属于中档题．5．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a的所有可能结果之和为（）A．e B．C．e+D．2e+考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数可得，当0＜a≤e时，令|lna|=1得a=e或a=；当a＞e，令2﹣lna=1，则a=e（舍去），即可得到a的所有可能之和．解答：解：由于函数f（x）=，则当0＜a≤e时，令|lna|=1得a=e或a=；当a＞e，令2﹣lna=1，则a=e（舍去），所以a的所有可能结果之和为e+．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数值所对应的自变量的值，注意各段的自变量的范围，属于基础题．6．（5分）某校友200位教职员工，其每周用于锻炼身体所用时间的频率分布直方图如图所示，据图估计，锻炼时间在小时内的人数为（）A．76 B．82 C．88 D．95考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据题意，求出锻炼时间在小时内的频率，再求对应的人数是多少．解答：解：锻炼时间在小时内的频率是1﹣（0.02+0.05+0.09+0.15）×2=1﹣0.62=0.38；∴锻炼时间在小时内的人数为200×0.38=76．故选：A．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率、频数与样本容量的关系进行解答，是容易题．7．（5分）多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长．解答：解：如图所示，E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4，由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2∴ME==在△AME中，AE=1，∴=故选C．点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的p是720，那么输入的整数N是（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由程序框图可知，该程序的功能为输出结果为p=1×2×3×…×（N﹣1）×N，故所以若输出结果为720，则p=1×2×3×…×（N﹣1）×N=720，得N=6．解答：解：由程序框图可知，该程序输出的结果为p=1×2×3×…×（N﹣1）×N，所以若输出结果为720，则p=1×2×3×…×（N﹣1）×N=720，得N=6．故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．9．（5分）已知sinα﹣cosα=，则tanα等于（）A．﹣1 B．﹣C．D．1考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由题意，先由sinα﹣cosα=解出α的值，再求tanα即可．解答：解：∵sinα﹣cosα=，∴sinα﹣cosα=1，即sin（α﹣）=1，∴α﹣=2kπ+，k∈z，∴α=2kπ+，k∈z，∴tanα=tan（2kπ+）=tan=﹣1故选A．点评：本题考查同角三角和与差的三角函数，利用差角公式化简求出α的值是解答的关键．10．（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P 到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解答：解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．11．（5分）已知点O为△ABC内一点，且+2+3=，则△AOB，△AOC，△BOC的面积之比等于（）A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3考点：平面向量的基本定理及其意义；正弦定理．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，延长OB到点E，使得，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=0，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．解答：解：如图所示，延长OB到点E，使得，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，∵+2+3=0，∴﹣=3．又=2，可得=2．于是=，∴S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．∴AOB，△AOC，△BOC的面积比=3：2：1．故选：C．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、三角形的面积计算公式．12．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈时，f（x）=2x，若方程ax+a﹣f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．C．（1，2）D．时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x∈时，f（x）=﹣2x，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+a﹣f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足k AC＜a＜k AB，运用斜率公式即可．解答：解：由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，当x∈时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x∈时，f（x）=﹣2x，由ax+a﹣f（x）=0得f（x）=ax+a，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+a﹣f （x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线y=ax+a的斜率必须满足k AC＜a＜k AB，由题意可得A（﹣1，0），B（1，2），C（3，2），则k AC==，k AB==1．即有＜a＜1．故选A．点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的奇偶性和周期性及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13．（5分）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（﹣1，﹣1），B（，），C（2，﹣1），在△ABC中满足z=2x+y的最大值是点C，代入得最大值等于3．故答案为：3．点评：本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的试题．近年来2015届高考线性规划问题2015届高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，体现了数形结合思想的应用．15．（5分）已知棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M分别为线段BD1，B1C1上的点，若，则三棱锥M﹣PBC的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题设知：P到面BC1的距离=D1到面BC1的距离×=D1C1=1，由此能求出三棱锥M﹣PBC的体积．解答：解：∵棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M分别为线段BD1，B1C1上的点，，∴P到面BC1的距离=D1到面BC1的距离×=D1C1=1，M为线段B1C1上的点，∴S△MBC==，∴V M﹣PBC=V P﹣MBC==．故答案为：．点评：本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．16．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=﹣100．考点：数列的函数特性．专题：计算题．分析：由于cos（nπ）的值与n是奇数、偶数有关，故先分n是奇数、偶数，求数列a n 的通项公式，再分组求和即可得所求和解答：解：∵a n=f（n）+f（n+1）=n2cos（nπ）+（n+1）2cos（（n+1）π）=，即a n=∴a1+a2+a3+…+a100=3﹣5+7﹣9+11…﹣201=50×（﹣2）=﹣100故答案为﹣100点评：本题主要考查了函数与数列间的关系，求数列通项公式的方法，数列求和的方法和技巧，属基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由已知结合正弦定理可求cosA，进而可求A（2）由cosB结合同角平方关系可求sinB，然后利用诱导公式及两角和的正弦公式sinC=sin （A+B）=sinAcosB+sinBcosA可求sinC，然后由可求 b，代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∴（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA∴2sinBcosA=sin（A+C）则2sinBcosA=sinB∵sinB≠0∴cosA=∵0＜A＜π则A=（2）由cosB=可得sinB=又cosA=，sinA=∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==由可得b===∴==点评：本题主要考查了正弦定理、同角平方关系、诱导公式及两角和的正弦公式、三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式18．（12分）数学教师甲要求学生从星期一到星期四每天复习三个不同的常错题；每周五对一周内所复习的常错题随机抽取若干个进行检测（一周所复习的常错题每个被抽到的可能性相同）．（1）数学教师甲随机抽了学生已经复习的4个常错题进行检测，求至少有3个是后两天复习过的常错题的概率；（2）某学生对后两天所复习过的常错题每个能做对的概率为，对前两天所学过的常错题每个能做对的概率为，若老师从后三天所复习的常错题中各抽取一个进行检测，若该学生能做对的常错题的个数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出数学教师甲抽到的4个常错题中，至少含有3个后两天复习过的事件的概率．（2）由题意知X可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．解答：解：（1）设数学教师甲抽到的4个常错题中，至少含有3个后两天复习过的事件为A，则由题意得P（A）=+=．（2）由题意知X可取0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴E（X）==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．19．（12分）如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H、G分别是线段EF、BC的中点．（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；（2）点M在直线EF上，且MG∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）由已知条件推导出AH⊥AB，AH⊥BC，AC⊥BC，从而得到BC⊥面AHC，由此能证明面AHC⊥面BCE．（2）分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值．解答：（1）证明：在菱形ABEF中，∵∠ABE=60°，∴△AEF是等边三角形，又∵H是线段EF的中点，∴AH⊥EF，AH⊥AB，∵面ABEF⊥面ABCD，且面ABEF∩面ABCD=AB，∴AH⊥面ABCD，∴AH⊥BC，在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，∴AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又∵AH∩AC=A，∴BC⊥面AHC，又BC⊂面BCE，∴平面AHC⊥平面BCE．…．（6分）（2）解：分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2），F（0，﹣2，2），H（0，0，2），G（1，3，0），M（0，m，2），设点M（0，m，2），则存在实数λ，μ，使得=，代入解得M（0，1，2），由（1）知平面AHC的法向量是=（2，﹣2，0），设平面ACM的法向量是=（x，y，z），∵，∴，取z=，得=（6，﹣6，），∴cos＜＞==，即平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值为．…（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），并对a分类讨论即可；（2）由（1）的结论，结合根的存在性原理，可以判断存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a ＞a0，h（a）＞0；解答：解：（1）由已知可得f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣==，（x＞0），①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞；由f'（x）＜0，得0＜x＜，∴函数的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（2）由（1）得若函数有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值为f（）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln＜0，∵a＞0，∴a+4ln﹣4＞0，令h（a）=a+4ln﹣4，显然h（a）在（0，+∞）上是增函数，且h（2）=﹣2＜0，h（3）=4ln﹣1=ln﹣1＞0，∴存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．∴满足条件的最小整数a=3，当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时f（x）有两个零点．综上，满足条件的最小值a的值为3．点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用．21．（12分）若椭圆E1：和椭圆E2：满足，则称这两个椭圆相似，m是相似比．（Ⅰ）求过（且与椭圆相似的椭圆的方程；（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．①若P是线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，求P点的轨迹方程；②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．分析：（Ⅰ）设出与椭圆相似的椭圆的方程为：，结合题目条件可求得a2=16，b2=8；（Ⅱ）①对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论，不存在时可求得点P的坐标，存在时设出直线l的方程为：y=kx，P（x，y），由A（x1，y1），B（x2，y2）则，从而可得，于是有：，同理，又点P在l上，则，代入即可求得P点的轨迹方程；②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=4，当l的斜率存在时，可求得|OA|•|OB|=4+，从而可求得|OA|•|OB|的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）设与相似的椭圆的方程．则有…（3分）解得a2=16，b2=8．所求方程是．…（4分）（Ⅱ）①当射线l的斜率不存在时，设点P坐标P（0，y0），则y02=4，y0=±2．即P（0，±2）．…（5分）当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）由A（x1，y1），B（x2，y2）则得∴同理…（7分）又点P在l上，则，且由，即所求方程是．又∵（0，±2）适合方程，故所求椭圆的方程是．…（9分）②由①可知，当l的斜率不存在时，，当l的斜率存在时，|OA|•|OB|==4+，∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的标准方程，消参法求点的轨迹，难点在于直线与椭圆的综合分析与应用，思维深刻，运算复杂，难度大，属于难题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．解答：（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2点评：本题要求证明一个PM2=PA•PC结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根据三角形相似对应边成比例来证明，这是一个基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．选修4-5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2015年内蒙古赤峰市宁城县高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则M∩N等于（）A．（﹣1，1）B．（1，3）C．（0，1）D．（﹣1，0）2．（5分）若复数Z1＝1+i，Z2＝3﹣i，则＝（）A．1+i B．1+2i C．1﹣2i D．2﹣2i3．（5分）双曲线﹣＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（）A．B．C．2D．4．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，y），则“x＝﹣4且y＝﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图所示的程序框图的输出值y∈（1，2]，则输入值x的范围是（）A．（﹣∞，3]B．[﹣1，log23）C．[﹣log23，﹣1）∪（1，3]D．[﹣log23，0）∪（1，3]6．（5分）已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β7．（5分）已知直线y＝x按向量平移后得到的直线与曲线y＝ln（x+2）相切，则为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）8．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y＝sinωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）已知抛物线y＝﹣x2+3上存在关于直线x+y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．3B．4C．D．10．（5分）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种B．种C．种D．种11．（5分）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝60°，点H是△ABC的垂心，设存在实数λ，μ，使，则（）A．λ＝B．C．D．12．（5分）SC为球O的直径，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝，若棱锥A﹣SBC的体积为，则球O的体积为（）A．B．C．27πD．4π二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为．14．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知直角△ABC的内切圆半径为1，则△ABC面积的最小值是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1＝4a n+2（n＝1，2，…），a1＝1．（1）设b n＝a n+1﹣2a n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列．18．（12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝AB，点E是PD的中点，作EF⊥PC交PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠P AQ＝90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．21．（12分）设函数f（x）＝1﹣x2+ln（x+1）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）＞﹣x2（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，求k的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，（Ⅰ）求证：OD∥AE；（Ⅱ）求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为．直线l与曲线C分别交于M、N．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．（10分）已知函数f（x）＝log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m＝7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．2015年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则M∩N等于（）A．（﹣1，1）B．（1，3）C．（0，1）D．（﹣1，0）【解答】解：∵M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}＝{}＝{x|x＞1}，∴M∩N＝{x|1＜x＜3}故选：B．2．（5分）若复数Z1＝1+i，Z2＝3﹣i，则＝（）A．1+i B．1+2i C．1﹣2i D．2﹣2i【解答】解：∵Z1＝1+i，Z2＝3﹣i，则＝．故选：C．3．（5分）双曲线﹣＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：∵两条渐近线互相垂直，∴，∴b2＝144，∴c2＝288，∴．故选：A．4．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，y），则“x＝﹣4且y＝﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若∥，则x﹣2y＝0，即x＝2y，若x＝﹣4且y＝﹣2，满足x＝2y，即充分性成立，当x＝y＝0时，满足x＝2y但x＝﹣4且y＝﹣2不成立，即必要性不成立，故“x＝﹣4且y＝﹣2”是“∥”充分不必要条件，故选：A．5．（5分）如图所示的程序框图的输出值y∈（1，2]，则输入值x的范围是（）A．（﹣∞，3]B．[﹣1，log23）C．[﹣log23，﹣1）∪（1，3]D．[﹣log23，0）∪（1，3]【解答】解：①当x≥0时，满足判断框中的条件，执行“是”，y＝log2（x+1），由1＜log2（x+1）≤2，得出2＜x+1≤4，∴1＜x≤3②当x＜0时，不满足判断框中的条件，执行“否”，y＝2﹣x﹣1，由1＜2﹣x﹣1≤2，得出2＜2﹣x≤3，∴﹣log23≤x＜﹣1综上所述，则输入值x∈[﹣log23，﹣1）∪（1，3]．故选：C．6．（5分）已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β【解答】解：对于A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行，如果是交线，则在α内，故A错误；对于B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂β；故B错误；对于C，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故C错误；对于D，若α∥β，m⊥α，利用面面平行的性质以及项目存在的性质可以判断m ⊥β；故D正确；故选：D．7．（5分）已知直线y＝x按向量平移后得到的直线与曲线y＝ln（x+2）相切，则为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）【解答】解：∵y＝ln（x+2），∴y′＝，令＝1，可得x＝﹣1，∴切点坐标为（﹣1，0），∴切线方程为y﹣0＝x+1，即y＝x+1，∵直线y＝x按向量平移后得到的直线与曲线y＝ln（x+2）相切，∴＝（0，1）．故选：A．8．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y＝sinωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象，所以：T＝π，，当x＝时，函数f（）＝0，即：f（）＝sin（2φ）＝0．解得：φ＝，所以：f（x）＝sin（2x+）．要得到y＝sin2x的图象只需将函数f（x）＝sin（2x+）向右平移个单位，即y＝sin（2x﹣+）＝sin2x．故选：D．9．（5分）已知抛物线y＝﹣x2+3上存在关于直线x+y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．3B．4C．D．【解答】解：设直线AB的方程为y＝x+b，由⇒x2+x+b﹣3＝0⇒x1+x2＝﹣1，进而可求出AB的中点，又∵在直线x+y＝0上，代入可得，b＝1，∴x2+x﹣2＝0，由弦长公式可求出．故选：C．10．（5分）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种B．种C．种D．种【解答】解：由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法共有种，故选：B．11．（5分）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝60°，点H是△ABC的垂心，设存在实数λ，μ，使，则（）A．λ＝B．C．D．【解答】解：如图所示，∵BD⊥AC，∠BAD＝60°，AB＝4，∴AD＝AB＝2．∴，∵，∴，∵B，H，D三点共线，∴＝1．由于C，H，E三点共线，同理可得：，∴＝1．联立，解得．故选：A．12．（5分）SC为球O的直径，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝，若棱锥A﹣SBC的体积为，则球O的体积为（）A．B．C．27πD．4π【解答】解：如图：由题意，设球的直径SC＝2R，A，B是该球球面上的两点．AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，求出SA＝AC＝SB＝BC＝R，∠SAC＝∠SBC＝90°，所以平面ABO与SC垂直，则S△ABO＝进而可得：V S﹣ABC ＝V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：••2R＝，所以R＝2，此时三角形AOB为正三角形，符合，所以球O的体积为．故选：B．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为84．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n＝512，则n＝9，T r+1＝（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r＝0，则r＝6，所以该展开式中的常数项为84．故答案为：84．14．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得：该四棱锥是底面为正方形，高为2的直四棱锥，且底面正四边形的边长为＝；∴该四棱锥的体积为V四棱锥＝××2＝．故答案为：．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝（a﹣1）x+ay 在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（﹣∞，]．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．若a＝0，则目标函数为z＝﹣x，即x＝﹣z，此时满足目标函数z＝（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，若a≠0，则由z＝（a﹣1）x+ay得，y＝x，若a＜0，此时目标函数的斜率k＝＜0，平移目标函数可知此时当目标函数经过点A（﹣1，0）时，直线截距最小，z最大，若a＞0，要使目标函数z＝（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则满足目标函数的斜率k＝≥1，即a≤，此时满足0≤a≤，综上a≤，故实数a的取值范围是（﹣∞，]故答案为：（﹣∞，]16．（5分）已知直角△ABC的内切圆半径为1，则△ABC面积的最小值是．【解答】解：∵直角△ABC的内切圆半径为1，∴，∴＝ab，∴≥0，∴，∴，∴△ABC面积的最小值是＝3+2，当且仅当a＝b＝2+时取等号．故答案为：3+2．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1＝4a n+2（n＝1，2，…），a1＝1．（1）设b n＝a n+1﹣2a n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列．【解答】证明：（1）∵S n+1＝4a n+2，S n+2＝4a n+1+2，两式相减，得：S n+2﹣S n+1＝4（a n+1﹣a n），即：a n+2＝4a n+1﹣4a n，变形得：a n+2﹣2a n+1＝2（a n+1﹣2a n），∵b n＝a n+1﹣2a n，即b n+1＝2b n；∵a1+a2＝4a1+2，即a2＝3a1+2＝5，∴b1＝a2﹣2a1＝3，∴数列{b n}是以3为首项，以2为公比的等比数列；（2）∵，∴．∵代入得：，∴数列{c n}是以为首项，为公差的等差数列．18．（12分）在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．【解答】本小题满分（12分）解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为：＝（72+75+77+84+87+88+95+98+106+108）＝89分，乙班平均分为：＝（78+79+86+87+88+91+92+93+95+101）＝89分．甲班的方差＝[（72﹣89）2+（75﹣89）2+（77﹣89）2+（84﹣89）2+（87﹣89）2+（88﹣89）2+（95﹣89）2+（98﹣89）2+（106﹣89）2+（108﹣89）2]＝142.6，乙班的方差＝[（78﹣89）2+（79﹣89）2+（86﹣89）2+（87﹣89）2+（88﹣89）2+（91﹣89）2+（92﹣89）2+（93﹣89）2+（95﹣89）2+（101﹣89）2]＝44.4，所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．…（4分）（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B 则…（8分）（3）X的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：期望EX＝＝．…（12分）19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝AB，点E是PD的中点，作EF⊥PC交PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵CD⊥AD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE，∵E是PD的中点，P A＝AD，∴AE⊥PD，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，∴AE⊥PC，又EF⊥PC，AE∩EF＝E，∴PC⊥平面AEF．（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，则，设平面APC的法向量是，则，∴z 1＝0，x1+y1＝0，即，设平面DPC的法向量是，则，所以y 2＝0，x2﹣z2＝0，即．，即面角A﹣PC﹣D的大小为60°．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠P AQ＝90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）2a＝4，a＝2，，，∴椭圆的方程是．（Ⅱ）设直线AP的方程为l1：y＝k（x﹣2），P（x1，y1）由得，（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4＝0．则，∴，，∵∠P AQ＝90°，设Q（x2，y2）以代换x1，y1表达式中的k，得，，设直线PQ交x轴于点M（m，0），，，，∴，5m（1+k2）＝6（1+k2）则，∴直线EF过定点．21．（12分）设函数f（x）＝1﹣x2+ln（x+1）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）＞﹣x2（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，求k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），函数f（x）的导数f'（x）＝﹣2x+，令f'（x）＞0则＞2x，解得，令f'（x）＜0则，解得x＞或x＜，∵x＞﹣1，∴f（x）的单调增区间为（﹣1，），单调减区间为（，+∞）；（Ⅱ）不等式f（x）＞﹣x2即1﹣x2+ln（x+1）＞，即1+ln（x+1）＞，即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，则g'（x）＝2+ln（x+1）﹣k，∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，若k≤2，则g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上递增，∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立；若k＞2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可！结合K为正整数，故k的最大值为3．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，（Ⅰ）求证：OD∥AE；（Ⅱ）求的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，BC，设BC交OD于点M．因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，（2分）又因为∠OAD＝∠DAE，所以∠ODA＝∠DAE，所以OD∥AE．（4分）（Ⅱ）解：因为AC⊥BC，且DE⊥AC，所以BC∥DE．所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE＝MD，（6分）由，设AC＝3x，AB＝5x，则OM＝，又OD＝，所以MD＝﹣＝x，所以AE＝AC+CE＝4x，因为OD∥AE，所以＝．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为．直线l与曲线C分别交于M、N．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：因为交于两点，所以△＞0，即a＞0或a＜﹣4．由于a＞0，所以：a的范围为：a＞0（Ⅱ）设交点M，N对应的参数分别为．则若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则解得a＝1或a＝﹣4（舍）所以满足条件的a＝1．【选修4-5：不等式选讲】24．（10分）已知函数f（x）＝log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m＝7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

内蒙古赤峰市2015届高三上学期第一次统一考试数学理试题 Word版含答案

内蒙古赤峰市2015届高三（上）第一次统考数学试卷（理科）一、选择题（共25题，每题2分，共50分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{4} B．{3，5} C．{1，2，4} D．∅2．复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．3．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是（）A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α4．有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（）A．1B．C．1D．15．给出性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D． y=sin （x+）6．已知命题p：∀x＞0，x+＞2，命题q：“x=2“x2﹣5x+6=0“的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧（￢q）B．q∧（￢p）C．p∨q D．p∨（￢q）7．（已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D．38．已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（x n，y n）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x值为（）A．80 B．81 C．79 D．789．设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[2，5]B．[1，5]C．[，5]D．[，2] 10．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4C．5D．612．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的左焦点重合，则p的值为_________．14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为_________．15．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是_________．16．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为d，且方程ax2﹣3x+2=0的解为1，d．（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n公式；（2）求数列{3n﹣1a n}的前n项和T n．18．（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF⊥平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．20．（12分）已知过点F1（﹣1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P．（Ⅰ）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程．（Ⅱ）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B 使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣﹣bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．四、选考题：满分30分，在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）（2013•郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．23．（10分）（已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．24．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）方程ax2﹣3x+2=0的两根为1，d．利用韦达定理得，解得a=1，d=2．由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（6分）（2）令，则，，（8分）两式相减，得（10分）==﹣2﹣2（n﹣1）•3n．∴．（12分）18．解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，．因为事件A，B互斥，所以．故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是．（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．其中，，．所以ξ的分布列是：ξ0 1 2p所以．19．解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，（4分）∵E、F为PA、PB的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（6分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．取AO中点M，连OG，EO，EM，∵EF∥AB∥OG，∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，故OG⊥EO∴∠EOM 即为所求（11分）在RT△EOM中，EM=OM=1∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分）20．解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，x=﹣，y=﹣，则P（﹣，﹣），则|PF1|+|PF2|=+=2，则a=，c=1，b=1；则椭圆C的方程为．（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即=k，将y2=1﹣代入并整理得（k+）x2﹣k（s+t）x+kst﹣1=0（*）由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以k+=0，k（s+t）=0，kst﹣1=0；解得k=﹣，s=，t=﹣；或k=﹣，s=﹣，t=；．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．21．解：（I）当b=2时，f（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），则因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．①当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；②当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，若ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；则需△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此时，﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）（II）设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为∵f（x2）﹣f（x1）=lnx2﹣lnx1﹣=0∴lnx2﹣lnx1=f′（x0）==×[]设，则y==，t＞1令r（t）=，则因为t＞1时，r′（t）＜0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递减．故r（t）＜r（1）=0而＞0．故f′（x0）＜0．22．证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．23．解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）24．解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，。

内蒙古赤峰市宁城县高三数学上学期第一次统一考试试题文

宁城县高三年级统一考试（2015.10.20）数学试题（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合{}062≤-+=x x x A ,集合B 为函数11-=x y 错误!未找到引用源。

的定义域，则=B A I 错误!未找到引用源。

(A)()1,+∞错误!未找到引用源。

(B) ()1,3 错误!未找到引用源。

( C)(]1,3错误!未找到引用源。

(D) (]1,2 错误!未找到引用源。

2. 已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a的前5项和5S =( ) （A ）7 （B ）15 （C ）20 （D ）25 4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则这个三棱柱的体积等于（A （B ）2 （C ）（D ）65．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石6.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为(A) 4,30n S == (B) 4,45n S ==(C)5,30n S == (D) 5,45n S ==7. 圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（A ）22(1)(2)5x y -+-= （B ）22(2)(1)5x y -+-= （C ）22(1)(2)25x y -+-= （D ）22(2)(1)25x y -+-=8.已知,(1)()(4)2,(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（A ）()1,+∞（B ）()1,8（C ）()4,8（D ）[4,8)9. 已知F 是椭圆的一个焦点，B 是短轴一个端点，线段BF 的延长线交椭圆于点D ，且2BF FD =u u u r u u u r，则椭圆的率心率是（A ）12 （B ）13 （C（D10.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是（A ） 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()B ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()D 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．P 是ABC ∆所在的平面上一点，满足2PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，若12ABC S ∆=，则PAB ∆的面积为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）16 12. 已知函数1()ln()2x f x e a x =---在区间(),0-∞内存在零点，则a 的取值范围是 (A) )1(ee ，- (B) )1(e e ，-(C) )(e ，-∞ (D) )1(e，-∞宁城县高三年级统一考试（2015.10.20）数学试题（文科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内z 对应的点的坐标是______________14．已知实数列是}{n a 等比数列,其中74561,,1,a a a a =+且成等差数列.则公比q =_______15．已知(,)M x y为由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩，所确定的平面区域上的动点，若点)A，则z OM OA =⋅u u u u r u u u r的最大值为___________.16．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O 的表面上，且球O 的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 .三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (Ⅰ)确定角C 的大小；(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18．（本小题满分12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：教师教龄 5年以下5至10年10至20年20年以上教师人数 8103018经常使用信息技术实施教学的人数24104（Ⅰ）求该校教师在教学中不．经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？19．（本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点．（Ⅰ）求证AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）设AB ＝1，求多面体ABCDE 的体积．20．（本小题满分12分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.21．（本小题满分12分）设函数()ln f x x x =(0)x >的导函数为()f x '. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设2()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径为 6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，=4AC ，BOD A ∠=∠，OB 与⊙O 相交于点E . （Ⅰ）求BD 长；（Ⅱ）当CE ⊥OD 时，求证：AO AD =.23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线C 参数方程为cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为sin()26πρθ-=.（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.24．选修4－5：不等式选讲设函数()f x x a =-．（Ⅰ）当2a =时，解不等式()41f x x ≥--；（Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]0,2，()110,02a m n m n+=>>，求证：24m n +≥．宁城县高三年级统一考试（2015.10.20）数学试题（文科）参考答案一、选择题：DBBA BCAD CCAC 二、填空题：13、()4,2-；14、12；15、4；16、94. 三、解答题:17. 解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ．-----------2分 ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32， ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.------------------4分(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①--------------------6分 ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②----------------------------9分由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.----------------12分18.解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A ， …………3分则2010()6633P A ==， ……………………5分 231()33P A -=． …………6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是2333．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为i a （i =1，2），教龄在5至10年的教师为i b （j =1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个．………………8分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件 B ，包括的基本事件为11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b 共8个， ……………………10分则8()15P B =．所以恰有一人教龄在5年以下的概率是815． -----------12分19．解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP//DE ，且FP ＝12DE ．又AB//DE ，且AB ＝.21DE∴AB//FP ，且AB ＝FP ， ∴ABPF 为平行四边形，∴AF //BP ． ……………4分又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF //平面BCE ． ……………6分（II ）∵直角梯形ABED 的面积为12232+⨯=， C 到平面ABDE 的距离为323⨯=， ∴四棱锥C －ABDE 的体积为13333V =⨯⨯=．即多面体ABCDE 的体积为3． ……………12分20.解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2………………3分（Ⅱ）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m =-+= ………………5分P直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+，同理可得：22242N y y y -=+ …………8分又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-u u u u r u u u r ， 12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++u u u u r u u u r121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++ 4(444)4444m m --+=+-++ 0= ………11分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………12分 21.（1）解：()/()1ln 0f x x x =+>，令f /（x ）=0，得．∵当时，f /（x ）＜0；当时，f /（x ）＞0，∴当时，．----------------- 5分（2）F （x ）=ax 2+lnx+1（x ＞0），．①当a≥0时，恒有F /（x ）＞0，F （x ）在（0，+∞）上是增函数； ②当a ＜0时，令F /（x ）＞0，得2ax 2+1＞0，解得；令F /（x ）＜0，得2ax 2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F （x ）在（0，+∞）上是增函数；当a ＜0时，F （x ）在上单调递增，在上单调递减．---12分四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.证明（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ， ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴ACODOC BD =， ∵OC =OD =6，AC =4，∴466=BD ，∴BD=9．…………………5分（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO ……………………10分 23. 解：⑴由sin()26πρθ-=得cos )4ρθθ-=，∴:l 40x -+=……………2分由cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得:C 2213y x +=.………………5分 ⑵在C上任取一点(cos )P θθ，则点P 到直线l的距离为|cos 3sin 4|)4|22d θθθϕ-+++==. ………………7分其中cos ϕ=，sin ϕ=∴当cos()=θϕ+1，max 22d =+.………………10分 24.解：（1）当2a =时，不等式为214x x -+-≥，不等式的解集为17,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ； ------------ 5分（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，∴1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =,所以()1110,02m n m n +=>>所以112(2)42m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭． -------------- 10分。

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内蒙古赤峰市2015届高三上学期第一次统一考试数学理试题（解析版)一、选择题（共25题，每题2分，共50分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{4} B．{3，5} C．{1，2，4} D．∅分析：利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求出C U（A∩B）．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}∴A∩B={3，5}∴C U（A∩B）={1，2，4}，故选C点评：此题考查集合的基本运算，是一道比较基础的题．2．复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．解答：解：=．∴复数的虚部是．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是（）A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α分析：依据题中条件，逐一分析各个选项，考查由此选项能否推出直线l1∥l2，可以通过举反例排除某些选项．解答：解：对选项A，l1与l2还可能相交或成异面直线，故A错．根据直线与平面垂直的性质定理，B正确．另外，对于选项C，l1与l2不一定平行，故C错．对于选项D，l1与l2还可能为异面直线，故D错．故选：B．点评：本题考查判断两条直线平行的方法，通过举反例排除某些选项是解选择题常用的一种简单有效的方法．4．有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（）A．1B．C．1D．1分析：根据题意，分析可得，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与点A距离小于等于1的点在以A为球心，半径为1的八分之一个球内，计算可得其体积，易得正方体的体积；由几何概型公式，可得点P到点A的距离小于等于1的概率，借助对立事件概率的性质，计算可得答案．解答：解：根据题意，分析可得，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与点A距离小于等于1的点在以A为球心，半径为1的八分之一个球内，其体积为V1=×；正方体的体积为13=1，则点P到点A的距离小于等于1的概率为：，故点P到点A的距离大于1的概率为1﹣，故选：D．点评：本题考查几何概型的计算，关键在于掌握正方体的结构特征与正方体、球的体积公式．5．给出性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（x+）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先利用排除法：先看①最小正周期为π，符合条件的为：A、B、C再看②图象关于直线x=对称，即当x=时，函数达到最大值或最小值，符合条件的为：B解答：解：利用排除法：①最小正周期为π，符合条件的为：A、B、C②图象关于直线x=对称，即当x=时，函数达到最大值或最小值，符合条件的为：B故选：B点评：本题考查的知识要点：正弦型函数的周期和对称轴在实际问题中的应用．6．已知命题p：∀x＞0，x+＞2，命题q：“x=2“x2﹣5x+6=0“的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧（￢q）B．q∧（￢p）C．p∨q D．p∨（￢q）分析：根据基本不等式，以及充分条件的概念即可判断出命题p，q都是假命题，然后根据p∧q，p∨q，￢p，￢q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．解答：解：x＞0时，x+，所以命题p是假命题；解x2﹣5x+6=0得，x=2，或3，所以x=2能得到x2﹣5x+6=0，所以x=2是x2﹣5x+6=0的充分条件；∴命题q是假命题；∴p∧（￢q）为假命题，q∧（￢p）为假命题，p∨q为假命题，￢q为真命题，p∨（￢q）为真命题；即为真命题的是D．故选D．点评：考查基本不等式，充分条件、必要条件的概念，以及p∧q，p∨q，￢p，￢q的真假和p，q真假的关系．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D．3分析：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案．解答：解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，∴几何体的体积V=××3×1×3=．故选C．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．8．已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（x n，y n）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x值为（）A．80 B．81 C．79 D．78考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x是每次变为原来的3倍，y每次减小2．解答：解：程序在运行过程中各变量值如下表：输出结果n x y循环前：1 1 0第1次：（1，0）3 3﹣2第2次：（3，﹣2）5 9﹣4第3次：（9，﹣4）7 27﹣6第4次：（27，﹣6）9 81﹣8…则x=81．故选：B．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础题．9．设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[2，5]B．[1，5]C．[，5]D．[，2]考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z==1+2，表示可行域内的点（x，y）与点（﹣1，﹣1）连线的斜率，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，三角形的顶点坐标分别为（0，1）（1，0）和（2，1），令z==1+2，表示可行域内的点（x，y）与点（﹣1，﹣1）连线的斜率，则≤≤2，即≤≤2，则2≤1+2≤5，故选A．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．考点：解三角形．专题：计算题．分析：由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC 的面积．解答：解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选D点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．11．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4C．5D．6考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：将式子“f（x）=﹣f（x+1）”变形化简，求出函数的周期，再根据条件在同一个坐标系中画出两个函数的图象，根据图象直接得到图象的交点个数．解答：解：由f（x）=﹣f（x+1）得，f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，由x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，在同一个坐标系中画出y=f（x）与y=log5x的图象：根据上图得，y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点，故选答案B．点评：本题考查了周期函数的周期求法和应用，以及对数函数图象，关键是正确作出函数图象，注意掌握周期函数的常见结论：若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定E为F1P的中点，所以OE为△PF1F2的中位线，进而得到|PF2|=a，|F1F2|=2c，|PF1|=2a+a=3a，PF1切圆O于E，可得PF2⊥PF1，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：∵=（+），∴E为F1P的中点，∵O为F1F2的中点，∴OE为△PF1F2的中位线，∴OE∥PF2，|OE|=|PF2|，∵|OE|= a ∴|PF2|=a∵PF1切圆O于E∴OE⊥PF1∴PF2⊥PF1，∵|F1F2|=2c，|PF1|﹣|PF2|=2a⇒|PF1|=2a+a=3a，∴由勾股定理a2+9a2=4c2∴10a2=4c2，∴e==．故选：C．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的左焦点重合，则p的值为﹣4．考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：首先根据椭的标准圆方程求出椭圆的左焦点坐标，再结合题中条件可得抛物线的焦点坐标为（﹣2，0），进而根据抛物线的有关性质求出p的值．解答：解：由椭圆的方程可得：a2=6，b2=2，∴c2=4，即c=2，∴椭圆的左焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的左焦点重合，∴抛物线y2=2px的焦点（，0）即为（﹣2，0），即=﹣2，∴p=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题主要考查椭圆的性质与抛物线的有关性质，解决此题的关键是熟练掌握椭圆与抛物线的焦点坐标的求法，此题属于基础题．14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．15．（5分）（2012•南宁模拟）二项式（2﹣）6展开式中常数项是﹣160．解：因为16．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为6．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于⇔=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．解答：解：∵，∴（x﹣1，2）•（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥2=2=2=6，当且仅当2x=y=1时取等号．故答案为6．点评：本题考查了⇔=0，基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为d，且方程ax2﹣3x+2=0的解为1，d．（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n公式；（2）求数列{3n﹣1a n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）方程ax2﹣3x+2=0的两根为1，d．利用韦达定理得出a=1，d=2．由此能求出{a n}的通项公式及前n项和S n公式．（2）令，则T n=1•1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1，由此利用裂项求和法能求出数列{3n﹣1a n}的前n项和T n．解答：（本小题满分12分）解：（1）方程ax2﹣3x+2=0的两根为1，d．利用韦达定理得，解得a=1，d=2．由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（6分）（2）令，则，，（8分）两式相减，得（10分）==﹣2﹣2（n﹣1）•3n．∴．（12分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和错位相减法的合理运用．18．（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，分别求出事件A、B的概率，并且由题意可得事件A，B互斥，进而得到正确答案．（2）根据题意可得：ξ的可能取值为0，1，2．结合题意分别求出其发生的概率，进而列出分布列得到其期望．解答：解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，．因为事件A，B互斥，所以．故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是．（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．其中，，．所以ξ的分布列是：ξ0 1 2p所以．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握互斥事件的有关概念，以及正确计算有关事件发生的概率．19．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF⊥平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（I）先根据平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD得到AB⊥平面PAD；再结合EF∥AB，即可得到EF⊥平面PAD；（II）过P作AD的垂线，垂足为O，根据平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD；再取AO中点M，连OG得到OG即为面EFG与面ABCD的交线；最后根据EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，得到的OG⊥EO求出∠EOM 即可．解答：解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，（4分）∵E、F为PA、PB的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（6分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．取AO中点M，连OG，EO，EM，∵EF∥AB∥OG，∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，故OG⊥EO∴∠EOM 即为所求（11分）在RT△EOM中，EM=OM=1∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分）点评：本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．20．（12分）已知过点F1（﹣1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P．（Ⅰ）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程．（Ⅱ）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B 使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由题意得直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解出点P的坐标，从而求椭圆的方程；（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），则可得=k，化简可得（k+）x2﹣k（s+t）x+kst﹣1=0对任意x∈（﹣，）恒成立，从而解出k，s，t．解答：解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，x=﹣，y=﹣，则P（﹣，﹣），则|PF1|+|PF2|=+=2，则a=，c=1，b=1；则椭圆C的方程为．（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即=k，将y2=1﹣代入并整理得（k+）x2﹣k（s+t）x+kst﹣1=0（*）由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以k+=0，k（s+t）=0，kst﹣1=0；解得k=﹣，s=，t=﹣；或k=﹣，s=﹣，t=；．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．点评：本题考查了椭圆的定义及基本性质，同时考查了化简与运算的能力，同时考查了恒成立问题，注意要细心，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣﹣bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（I）当b=2时，求导函数，根据函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解，又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解，分类讨论，即可求得a的取值范围；（II）设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为，利用f（x2）﹣f（x1）=0，可得lnx2﹣lnx1=，从而f′（x0）==×[]，构建新函数，即可证得f′（x0）＜0．解答：解：（I）当b=2时，f（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），则因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．①当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；②当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，若ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；则需△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此时，﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）（II）设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为∵f（x2）﹣f（x1）=lnx2﹣lnx1﹣=0∴lnx2﹣lnx1=f′（x0）==×[]设，则y==，t＞1令r（t）=，则因为t＞1时，r′（t）＜0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递减．故r（t）＜r（1）=0而＞0．故f′（x0）＜0．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．四、选考题：满分30分，在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．解答：证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程；（2）利用弦长|PQ|=2和圆的内接矩形，得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积．解答：解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等．24．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。