勾股定理、实数专项训练
八年级数学上期周周练2 勾股定理及实数(含答案)-
周周练二：勾股定理及实数班级 姓名 学号一、选择：1、下列说法正确的是( )A ．无限小数都是无理数B ．带根号的数都是无理数C ．243.010 101 010…… 是有理数D ．π是无理数, 故无理数也可能是有限小数2、下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）A ．1，2，5B ．1，2，3C ．3，4，5D ．321，421，521． 3、下列条件：①三角形的一个外角与相邻内角相等 ②∠A =21∠B =31∠C ③ AC ∶BC ∶AB =1∶3∶2 ④ AC =n 2－1，BC =2n ，AB =n 2+1(n >1) 能判定 △ABC 是直角三角形的条件个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD ⊥AB 于D ，AC 边的垂直平分线交AB 于E ，那么AE ∶ED 等于（ ）A ．1∶1B ．1∶2C ．3∶2D ．2∶3 5、下列说法中不正确．．．的是（ ） A ．－1的立方根是－1。
B ．0的平方根与立方根相等。
C ．－4的平方根是2±。
D ．每个数都有一个立方根。
二、填空：6、把下列各数填入相应的集合内:－7， 0.32， 31， 46， 0，8，21，3216-，2π-，311 ①有理数集合: { …};②无理数集合: { …};③正数集合: { …};④负数集合: { …}.7、81的平方根是________。
8、平方根等于本身的数是________。
9、如图(2)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．10、已知x，y为实数，,09y6y4x22=+-++若axy－3x＝y，则实数a的值是________。
三、解答题：11、如果某数的平方根是a＋3和2a－15，求这个数。
12、八年级(3)班两位同学在打羽毛球, 一不小心球落在离地面高为2.3米的树上. 其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子, 架在树干上, 梯子底端离树干1.5米远, 另一位同学爬上梯子去拿羽毛球. 问这位同学能拿到球吗? 如果再把梯子底端向树干靠近0.8米,问此时这位同学能拿到球吗?13、如图(4)，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm。
勾股定理的应用综合大题专项训练
勾股定理的应用综合大题专项训练1．在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．2．如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD ﹣DC＝1．求DC的长．3．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．（1）求证：AB平分∠EAC；（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．4．一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，求当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度．5．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF＝2AE；（2）若CD＝2，求AD的长．6．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：（1）图2中间小正方形的周长，大正方形的边长为．（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c）①S＝；②S＝；（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式．（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：已知直角三角形的两条腿直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．7．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．8．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．9．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x．（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x．因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝．（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得ad＝bc）10．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝．（用含字母的代数式表示）因为S四边形ABCD＝S△ACD+＝+；S四边形ABCD＝S△ADB+＝；所以；所以．11．如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．12．如图，在△ABC中，D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，延长AC到E，使得CE＝CD，连接BE．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）求线段BE的长度．13．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km．要从B修一条公路BD直达AC．已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？14．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．15．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD ＝12cm，CD＝5cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．16．已知：整式A＝n（n+6）+2（n+8）（n＞0），整式B＞0．尝试：化简整式A；发现：A＝B2，求整式B；应用：利用A＝B2，填写下列表格：n（n+6）2（n+8）B\40\17．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3518．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10 ②5，，13 ③8，15，．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．19．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a 和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．20．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．21．有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？23．如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为3，2，（在图①中画一个即可）；（2）使三角形为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）．24．如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度．25．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB 的长．。
(完整版)勾股定理专项练习
人教版八年级数学（下）勾股定理单元练习题一、选择题：1.下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，5B．1，2，3C．3，4，5 D．6，8，122.已知三角形的三边长之比为1：1：2，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（）A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm4.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF5.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b 的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．556.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）A．cm B．4cm C．cm D．3cm7.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2. 6 C．3 D．48.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm二、填空题：9．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．10．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C 与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于cm．11．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．12.如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．13．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：AC：AB= ．14．若直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为20，则它的面积为．15. 在△ABC中，AB=15cm，AC=13cm，BC=14cm，则△ABC的面积为cm²．16．学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a²+b²=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= mm；b= mm；较长的一条边长c= mm．比较：a2+b2 c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= mm；b= mm；较长的一条边长c= mm．比较：a2+b2 c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．三、解答题：17．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）18.有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？19.去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路．如图中线段AB ，经测量，在A 地北偏东60°方向，B 地西偏北45°方向的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？20.在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB 打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC 的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 km ，请根据上述数据，求出隧道BC 的长（精确到0.1 km ）．21.已知：如图，在ABC ∆中，6,8==BC AC ，在ABE ∆中，DE 为AB 边上的高，60,12==∆ABE S DE ，求C ∠的度数．22.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？思考题：在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则222c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论.A B CD 第24题图。
勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练（1）1。
在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是( ）A 。
2 B.4 C 。
6 D 。
82.有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______ cm （结果不取近似值）.3。
直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ?5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.6。
飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7。
如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度。
8。
一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm 。
求CD 的长。
第5题图 第7题图 第8题图9。
如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2，CD=3，求AB 的长.10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。
他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00,甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第9题图5m 13m 第11题勾股定理的逆定理（2）一、选择题1.下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是( ）A.9，12，15 B 。
勾股定理实数综合测试题
北师大版勾股定理、实数综合测试填空题1. V9的平方根是___________ ,算术平方根是_____________ •2. 化简p一穴| +J(4 — ;r)2 = ______________3. ―迈的相反数是____________ ,绝对值是_______________ .4. 实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则a+0+b|-二__________________________5. 大于-忑,小于航的整数有______________ 个。
6. 如图，AABC中，ZC=90° , 43垂直平分线交于D若BC=S, AD=5,则AC等于_______________7. 如图，/\ABC中，ZC=90° , A3垂直平分线交BC于D若BC=8, AD=5,则AC等于 ______ •8. 在RtAABC 中，ZC=90°,①若a=5, b=12,则c二___________________ :②若a=15,c=25,则b= _____________ :③若c=61, b=60,则a= ______________ ；④若a : b=3 : 4,c=10 则S RlA ABC= _______二：选择题9. 下列说法中，正确的是( )A.有理数都是有限小数.（A ） 6 （B ）8.5①|1-2|-石 +（-2厂②（X-1）2 -1=8 B ・无限循环小数都是无理数C.有理数和无理数都可以用数轴上的点表示0.无理数包括正无理数，0和负无理数估算辰的值应在（ ）A. 6・5~7.0 之间B. 7.07.5 之间C. 7・5~&0 之间 b. 8.O8.5 之间 在1.414, -苗，互，5宀2-苗中，无理数的个数是（） A. 1 B. 2 下列各式中正确的是（A.屈=±9 C.毎+42 =序 +序= 3 + 4 = 7 绝对值小于3的所有实数的积为（A. 6B.12对于爲-①来说（）有平方根 B.只有算术平方根 C.没有平方根 D.不能确定 若实数a 满足苗+&二0,则有（）a>0 B. a^O C. a<0 D. aWO 直角三角形两直角边分别为5、12,则这个直角三角形斜边上的高为计算题10. 11. 12. 13. 14- A. 15. A. 16. 三: 17- D ・（3.14— ；r ）u=l-A /7519. 一个正数的平方根为x+3与2x-6,求这个数。
《勾股定理和实数》期末总复习试题含答案
鲁教版七年级数学上册期末总复习第三四单元勾股定理和实数复习测试题（含答案）一．选择题（共14小题）1．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°（1题图）（3题图）（6题图）（7题图）2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，43．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（）A．25B．31C．32D．404．知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25B．14C．7D．7或255．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（）A．6B．4.5C．2.4D．86．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺7．如图，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为l2cm，在纸杯内壁离杯底2Cem的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）A．2B．6C．10D．以上答案都不对8．在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．的算术平方根是（）A．2B．±2C．D．±10．的平方根是（）A．±9B．9C．3D．±311．下列运算中，正确的是（）A．（﹣2）0=1B．=﹣3C．=±2D．2﹣1=﹣212．若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）A．0B．1C．﹣1D．±1，013．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c14．下列四个数中的负数是（）A．﹣22B．C．（﹣2）2D．|﹣2|二．填空题（共8小题）15．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是．（15题图）（16题图）（17题图）16．如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…，则OA10的长度为．17．如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积=．18．一个零件的形状如图，工人师傅量得这个零件的各边尺寸（单位：dm）如下：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且∠DAB=90°，求这个零件的面积．（18题图）（19题图）19．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=．20．若实数m，n满足（m﹣1）2+=0，则（m+n）5=．21．已知a是﹣1的整数部分，则a=．22．计算：|﹣2|+（π﹣0）0×（﹣1）2015﹣+（）﹣3=．三．解答题（共8小题）23．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．24．如图，已知AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，∠ACB=90°，试求阴影部分的面积．25．如图，在四边形地块ABCD中，∠B=90°，AB=30m，BC=40m，CD=130m，AD=120m，求这块地的面积．26．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？27．已知2m﹣3与4m﹣5是一个正数的平方根，求这个正数．28．求下列x的值．（1）3x3=﹣81；（2）x2﹣=0．29．在数轴上表示与它的相反数．30．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x=；y=；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知=1.8，若=180，则a=；（3）拓展：已知，若，则z=．鲁教版七年级数学上册期末总复习第三四单元勾股定理和实数复习测试题参考答案一．选择题（共14小题）1．B；2．B；3．B；4．D；5．D；6．D；7．C；8．B；9．C；10．D；11．A；12．A；13．D；14．A；二．填空题（共8小题）15．76；16．32；17．24；18．36；19．6；20．-1；21．3；22．7；三．解答题（共8小题）23．解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC==5，又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．则S四边形ABCD故四边形ABCD的面积是36．（23题图）（24题图）（25题图）24．解：连接AB，∵∠ACB=90°，∴AB==5，∵AD=13，BD=12，∴AB2+BD2=AD2，∴△ABD为直角三角形，阴影部分的面积=AB×BD﹣AC×BC=30﹣6=24．答：阴影部分的面积是24．25．解：连接AC，如下图所示：∵∠B=90°，AB=30，BC=40，∴AC==50，在△ACD中，AC2+AD2=2500+14400=16900=CD2，∴△ACD是直角三角形，=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•AD=×30×40+×50×120=600+3000∴S四边形ABC D=3600（m2）．26．解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，则AC=m=2.4m，∵AC=AA1+CA1∴CA1=2m，∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，∴CB1==1.5m，∴BB1=CB1﹣CB=1.5m﹣0.7m=0.8m答：梯足向外移动了0.8m．27．解：当2m﹣3=4m﹣5时，m=1，∴这个正数为（2m﹣3）2=（2×1﹣3）2=1；当2m﹣3=﹣（4m﹣5）时，m=∴这个正数为（2m﹣3）2=[2×﹣3]2=故这个正数是1或．28．解：（1）系数化为1得：x3=﹣27，∴x=﹣3；（2）移项得：∴，．29．解：如图所示：30．解：（1）x=0.1，y=10，故答案为：0.1，10；（2）①=31.62，a=32400，故答案为：31.62，32400；（4）z=0.012，故答案为：0.012．。
第二讲勾股定理2实数训练
宝剑锋从磨砥出，梅花香自苦寒来 石老师数学精品辅导 第二讲 勾股定理(2) 一知识点精讲 1两点之间--------最短，但蚂蚁在圆柱体表面爬行时所走的路线必定是------线。 2立体图形转化为-----图形，再转化为-----问题。 3勾股定理是求------长度的主要方法，若缺少直角条件则可以通过作垂线段的方法构造RT△，为勾股定理的应用创造必要的条件。 4勾股定理及逆定理的综合应用
二典型例题与变式拓展
例1：（最短路径问题）有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，则它爬行的最短路程为________cm.
◆变式拓展训练◆ 【变式1】△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，△ABC是____三角形。
【变式2】(天府前沿)如果△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么△ABC一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【变式3】如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
A B
C D L 宝剑锋从磨砥出，梅花香自苦寒来 石老师数学精品辅导 三、创新探究 1．（教材1+1.思维拓展）如图，在△ABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6，求证：△ABD为直角三角形。
★2.（2009中考）若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此三角形为_______三角形 ★3．（2008天津）在Rt△ABC 中 AC=BC，∠C=90°，P、Q在AB上，且∠PCQ=45°， 求证：AP2+BQ2=PQ2
勾股定理与实数测试
LDC
BA
八年级精英班测试卷 姓名： 成绩： 2017年7月 日 测试范围：勾股定理、实数； 测试时间：60分钟； 试卷满分：60分，设计平均分45分。 一、选择题（每小题2分，共12分） 1、有下列说法正确的是 （ ） A、无理数就是开方开不尽的数 B、无理数是无限不循环小数 C、带根号的数都是无理数 D、无限小数都是无理数
2、将aa1的因式a移到根号内得到（ ） A、a B、-a C、-a D、a 3、如图所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离是1和2，则正方形ABCD的边长是（ ） A、3 B、5 C、3 D、7 4、如果最简根式83a与a217是同类二次根式，那么使xa24有意义的x的范围是（ ） A、x≤10 B、x≥10 C、x<10 D、x>10 5、在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则B的长是 （ ） A、4 B、14 C、4或14 D、以上答案都不对 6、已知一个直角三角形的两条直角边上的中线长分别为5和210，那么这个三角形的斜边长为 （ ） A、10 B、410 C、13 D、213
二、填空题（每小题2分，共12分） 7、在52，3，2，116，3.14，0，21，52，41中，其中：
无理数有 ； 有理数有 。 8、已知m是13的整数部分，n是13的小数部分，则)(nm的值为__________.
9、已知：23232323yx，. 那么yxxy . 10、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．
11、已知非零实数a，b 满足 2242(3)42ababa，则ab=___________． 12、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，这个三角形的面积为___________． 三、解答题（共36分） 1、（4分）下图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点， （1）请在图中画一个面积为10的正方形。 （2）准确画一个边长都为无理数的直角三角形。
期末复习 《勾股定理》常考题与易错题精选(35题)(解析版)
期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．10B．13C．15D．26【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝8，y2＝5，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2．【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：x2＝3+5＝8，y2＝2+3＝5，z2＝x2+y2＝13，即最大正方形E的面积为：z2＝13．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC＝AM，求出OM，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AB＝3，AD＝BC＝1，∴，∴AN＝AC＝，∵点A表示﹣1，∴OA＝1，∴OM＝AM﹣OA＝﹣1，∴点M表示点数为﹣1．故选：A．【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC，AM的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（ ）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：5【分析】过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝DC，再根据三角形的面积公式求出△ABD 和△ACD的面积，最后求出答案即可．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，由勾股定理得：AB＝＝13，∴S△ABD ＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ACD ：S△ABD＝（R）：（R）＝5：13，故选：C．【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF＝CD是解此题的关键．4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）A．B．C．4D．【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得出OB的长，再根据勾股定理求出OC的长即可．【解答】解：在Rt△ABO中，∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，OC＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（ ）A．5B．7C．5或7D．【分析】在Rt△ADB中，根据∠ABC＝60°，，求得BD＝6，然后分情况讨论即可求得BC的长．【解答】解：在Rt△ADB中，∠ABC＝60°，，∴，如图，当点C在点D右边时，BC＝BD+DC＝6+1＝7；如图，当点C在点D左边时，BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，故BC的长为：5或7．故选：C．【点评】本题考查解直角三角形以及分类讨论，解题关键是正确画出分类讨论的三角形图形求解．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（ ）A．B．3C．D．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．7．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c＝；（2）利用勾股定理计算b＝．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c＝＝＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b＝＝＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．【分析】（1）根据勾股定理可求BC 2；（2）由勾股定理求出BC ，根据三角形面积公式即可得出结果．【解答】解：（1）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝，AC ＝，则BC 2＝AB 2﹣AC 2＝（+1）2﹣（﹣1）2＝4；（2）BC ＝＝，AB 边上高＝×1÷2×2÷4＝．【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．9．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∠BCA ＝60°，AC ＝2，DA ＝1，CD ＝3．求四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，再根据勾股定理逆定理判断△ACD 是直角三角形，然后把四边形ABCD 的面积分割成两个直角三角形的面积和即可求解．【解答】解：∵∠B ＝90°，∠BCA ＝60°，AC ＝2，∴BC ＝，∴AB ＝＝＝，又∵DA ＝1，CD ＝3，AC ＝2，∴DA 2+AC 2＝12+（2）2＝1+8＝9＝CD 2，∴△ACD 是直角三角形，∴四边形ABCD 的面积＝S △ACD +S △ABC ＝AD •AC +AB •BC ＝×1×2+××＝+．【点评】本题考查勾股定理，关键是对勾股定里的掌握和运用．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD 的周长和面积．【分析】利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用割补法即可求出四边形的面积．【解答】解：根据勾股定理得AB＝＝2，BC＝＝3，CD＝＝，AD＝＝2，故四边形ABCD的周长为；2+3++2＝5++2；四边形ABCD的面积为6×8﹣×2×4﹣×6×3﹣1﹣×3×2﹣×2×6＝26．【点评】本题主要考查了勾股定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理是解决问题的关键．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．【分析】（1）根据三角形的面积公式计算，求出AB；（2）根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵△ABE的面积为35，DE＝7，∴AB×7＝35，解得：AB＝10；（2）在△ABC中，AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，则AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，＝AC•BC＝×6×8＝24，∴S△ABC答：△ACB的面积24．【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°是解题的关键．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB ＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+（a2+b2）＝ab+c2，即可证得a2+b2＝c2；【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S ＝（a +b ）（b +a ）＝ab +（a 2+b 2），利用分割法，梯形的面积为S ＝S △ABC +S △ABE +S ADE ＝ab +c 2+ab ＝ab +c 2，∴ab +（a 2+b 2）＝ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2；【定理应用】∵a 2c 2+a 2b 2＝a 2（c 2+b 2），c 4﹣b 4＝（c 2+b 2）（c 2﹣b 2）＝（c 2+b 2）a 2，∴a 2c 2+a 2b 2＝c 4﹣b 4．【点评】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD 和AC 都可以分割四边形ABCD ）【分析】连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，根据S 四边形ADCB ＝S △ACD +S △ABC ＝S △ADB +S △DCB 即可求解．【解答】证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b ﹣a ．∵S 四边形ADCB ＝S △ACD +S △ABC ＝b 2+ab ．又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB ＝c 2+a （b ﹣a ）∴b 2+ab ＝c 2+a （b ﹣a ）∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，6【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：A、72+202≠242，故不是直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不符合题意；C、32+42＝52，故是直角三角形，符合题意；D、42+52≠62，故不是直角三角形，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．16．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝18【分析】根据勾股定理的逆定理解决此题．【解答】解：A．根据勾股定理的逆定理，由32+42＝52，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故A不符合题意．B．根据勾股定理的逆定理，由82+152＝172，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故B不符合题意．C．根据勾股定理的逆定理，由52+122＝132，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故C不符合题意．D．根据勾股定理的逆定理，由122+152≠182，即a2+b2≠c2，那么这个三角形不是直角三角形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．17．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC ，根据勾股定理可知AC 2＝BA 2+BC 2，再根据AC 2＝DA 2+DC 2即可得出结论；（2）根据S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC 即可得出结论．【解答】（1）解：∠D 是直角．理由：连接AC ，∵∠B ＝90°，∴AC 2＝BA 2+BC 2＝400+225＝625，∵DA 2+CD 2＝242+72＝625，∴AC 2＝DA 2+DC 2，∴△ADC 是直角三角形，即∠D 是直角；（2）解：∵S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ，∴S 四边形ABCD ＝AB •BC +AD •CD ，＝，＝234．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB ＝3m ，AD ＝4m ，CD ＝12m ，BC ＝13m ，又已知∠A ＝90°．求这块土地的面积．【分析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．【解答】解：连接BD，∵∠A＝90°，∴BD2＝AD2+AB2＝25，则BD2+CD2＝132＝BC2，因此∠CDB＝90°，S四边形ABCD ＝S△ADB+S△CBD＝36（平方米），答：这块土地的面积为36平方米．【点评】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后进行计算即可解答；（2）根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝＝2，∠BAC＝∠ACB＝45°，∵CD＝3，DA＝1，∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAB的度数为135°；（2）由题意得：四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝AB•BC+AD•AC＝×2×2+×1×2＝2+，∴四边形ABCD的面积为2+．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可求解；（2）根据中点的定义和勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3，∴AC＝6，BC＝8，∵AB＝10，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2，∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，∴CD＝BC，CE＝AC，∴AC2+（BC）2＝36，BC2+（AC）2＝64，∴AC2+BC2＝100，∴AC2+BC2＝80，∴AB＝＝4．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】依据AD为BC边上的高，依据勾股定理即可得到Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝36，Rt△ACD 中，AC2＝AD2+CD2＝45，再根据AB2+AC2＝BC2，即可得到△ABC是直角三角形．【解答】解：△ABC是直角三角形．理由：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝20+16＝36，Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝20+25＝45，又∵BC2＝81，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．【解答】解：（1）AB＝＝5，BC＝＝2，AC＝＝，∴△ABC的周长＝2++5＝3+5；（2）∵AC2＝（）2＝5，AB2＝52＝25，BC2＝（2）2＝20，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，∴∠ACB＝90°．【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，17【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数的一组；B、22+32≠42，不是勾股数的一组；C、52+122＝132，是勾股数的一组；D、82+152＝172，是勾股数的一组．故选：B．【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用．24．下列各组数中，是勾股数的为（ ）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，52【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、不满足三个数都是正整数，故A选项不符合题意；B、三个数都是正整数且82+152＝172，故B选项符合题意；C、不满足三个数都是正整数，故C选项不符合题意；D、三个数都是正整数但（32）2+（42）2≠（52）2，故D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可．25．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．【分析】（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121，然后求得b和c的值即可；（2）利用勾股数的定义进行判定即可．【解答】解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121．解得b＝60，c＝b+1＝6；（2）是勾股数，理由如下：2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441，212＝441，∴2212﹣2202＝212，∴21，220，221是勾股数．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？【分析】（1）直接利用勾股定理AC，再用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，进而得出答案；（2）利用（1）中所求得出所需费用．【解答】解：（1）连接AC∵∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，∴，∵CD＝24m，AD＝26m，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝＝＝144（m 2）；即空地ABCD 的面积为144m 2．（2）144×350＝50400元，即总共需投入50400元．【点评】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，将四边形化为三角形后，正确用勾股定理及其逆定理是解题关键．27．由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC ＝90°，CD ＝3m 、AD ＝4m 、BC ＝12m 、AB ＝13m ．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？【分析】如图，连接AC ，运用勾股定理求出AC ，在△ABC 中利用勾股定理逆定理证明得∠ACB ＝90°，最后根据S ABCD ＝S △ABC ﹣S △ACD 求出草坪面积从而求出费用．【解答】解：如图，连接AC ，∵∠ADC ＝90°，∴，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2＝52+122＝169，AB 2＝132＝169，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴，200×24＝4800（元）．答：若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需4800元．【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的实际应用；掌握勾股定理求边长和逆定理证垂直是解题的关键．28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB 的长即可．【解答】解：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴攀岩墙AB的高为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？【分析】先根据方位角求出∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，然后根据勾股定理求出，最后根据速度公式算出速度即可．【解答】解：根据题意可知：∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝16×0.5＝8（海里），在Rt△ABC中（海里），乙船的航速是：（海里/时），答：乙船的航速是30海里/时．【点评】本题主要考查了方位角，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出AB的长度．30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.5（米），答：风筝的高度CE为16.5米；（2）由题意得，CM＝9，∴DM＝6，∴BM＝＝＝10（米），∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米），∴他应该往回收线7米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，＝AC•BC＝CD•AB，∴S△ABC∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，∴着火点C受洒水影响；（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），∴EF＝280m，∵飞机的速度为10m/s，∴280÷10＝28（秒），∵28秒＞13秒，∴着火点C能被扑灭，答：着火点C能被扑灭．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，此题得解；（2）在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的长度，用其减去BC的长度即可得出结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25m，BC＝7m，∴AB＝＝24（m）．答：这个梯子的顶端A距地面24m．（2）在Rt△DBE中，BD＝24﹣4＝20m，DE＝25m，∴BE＝＝15（m），∴CE＝BE﹣BC＝15﹣7＝8（m）．答：如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了8m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出AB；（2）利用勾股定理求出BE．33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．【解答】解：过点A作AC⊥BD，垂足为C，由题意可知：AE＝CD＝3米，AC＝9米，AB＝15米；在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，即，BC2+92＝152，BC2＝152﹣92＝144，∴BC＝12（米），∴BD＝BC+CD＝12+3＝15（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面15米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练记忆勾股定理公式是解题关键．35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10（米），∴AD＝＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。
北师大版八年级数学上册第一、二章《勾股定理与实数》综合测试(1)
最新北师大版《八年级数学名师新课同步单元达标练习》 非精品不上传第1页 佛山中学数学吉老师 137********QQ ：107669811八年级数学(上)第一、二章综合测试（1）一、选择题（每小题3分，共30分）： 1、下列各数中是无理数的是（ ）A 、-3B 、8C 、0D 、0.151515… 2、下列语句中正确的是 （ ）A 、4的算术平方根是2B 、4的平方根是2C 、4的算术平方根是2±D 、-4的平方根是－2 3、下列说法正确的是（ ）A 、负数没有平方根，因此负数也没有立方根B 、一个数的立方根比它本身小C 、正数有两个立方根，它们互为相反数D 、－2是－8的立方根4、下列各式的求值中正确的是（ ）A 、0001.0＝0.1B 、1.001.0±=C 、1.001.0=D 、-0001.0＝0.015、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是( )（A ）1 （B ）1- （C ）1± （D ）0,1± 6、如图,一圆柱高9cm,底面半径4cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( )A 20cmB 15cmC 14cmD 无法确定 7、下列各式计算中正确的是（ ）A 、5x x x =-4 B 、2＋222=C 、5223222188=+=+ D 、1532++8、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里D 、40海里9、2008年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆 方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）。
如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a 。
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学习参考资料
勾股定理、实数专项训练
勾股定理
1.如果三角形的两边为3和4，那么第三边为___________.
2.如果直角三角形的两边为5和12，那么第三边为____________.
3.已知直角三角形的斜边长为3，周长为3+15，求三角形的面积.
4.已知一个三角形的两条长为40cm和50cm，第三条边上的高为30cm，则这个三角形的面积
为__________.
实数
易错题：如果aa14有意义，则a的取值范围是 ．
一、填空题
1. 要使33(3)x=3－x，则 x的取值范围____________.
对比：（1）33(3)3xx，则x的取值范围是____________.
（2）2(3)3xx，则x的取值范围是____________.
（3）2(3)3xx，则x的取值范围是_____________.
2. 1x+x9中x的范围是_______；11xx中x的取值范围是________.
3.321xxxx中x的取值范围是__________；
3
43
3
1xxxx
的x的取值范围是__________.
4. 使代数式43xx有意义的x的取值范围是__________.
5. 已知一个正数的平方根是32x和56x，则这个数是 ；
6.已知a、b、c分别是△ABC的三边，化简2||()abccab= ．
7.已知619与619小数部分分别是a和b，则 a= ，b= ．
二、计算题
1.若2222y25445xxxx，求22xy的值.
2.解方程：
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学习参考资料
（1）481(1)16x （2）
2
4
(1)1269x
（3） 3(21)270x （4）
35123403x
3.化简求值：
（1）5336015 （2）14510811253
（3）21(26)(26)(3)3 （4）31212123
（5）2(231)(32)(32) （6） 2322432
（7）0293618(32)(12)23