命题,定理,证明习题(含答案)

2019年4月16日初中数学作业

学校:___________：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（）A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．

【详解】

用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：，

∵，但是=?2<1，∴A正确；

故选：A.

【点睛】

考查反证法，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题叫做反证法.

2．下列命题：①内错角相等；②同旁内角互补；③直角都相等；④若n＜1，则n2﹣1＜0．其中真命题的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据内错角、同旁内角和直角以及平方进行判断即可．

【详解】

①内错角相等，是假命题；②同旁内角互补，是假命题；③直角都相等，是真命题；④若n＜1，则n2-1＜0，是假命题．

故选：A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题是由题设和结论两部分. . .

组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

3．下列命题中，是真命题的是（）

A．若|a|=|b|，那么a=b B．如果ab>0，那么a，b都是正数C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两条直线与第三条直线相交，同位角相等

【答案】C

【解析】

【分析】

分别根据绝对值、有理数乘法符号规律以及平行线性质分析得出即可．

【详解】

解：A、若|a|=|b|，那么a=b，或a=-b，故此选项A错误；

B、如果ab>0，那么a，b都是同号，此选项B错误；

C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项C正确；

D、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等.选项中未指明两直线是否平行，故此选项D错误；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了命题与定理，正确灵活的掌握相关性质和定理是解题关键．

4．下列命题：

有一个角为的等腰三角形是等边三角形；

等腰直角三角形一定是轴对称图形；

有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

正确的个数有

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】B

【解析】

【分析】

（1）分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出

答案；

（2）根据等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质求解即可求得答案

【详解】

解：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确；

②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确；

③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故③错误；

④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确；

故选：B．

【点睛】

主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5．在下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平方根与立方根相等的数有和；③在同一平面内，如果，，则；④直线外一点与直线上各点连接

而成的所有线段中，最短线段的长是，则点到直线的距离是；⑤无理数包括正无理数、零和负无理数.其中真命题的个数是（）

A．个B．个C．个D．个

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平行公理、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题；

②平方根与立方根相等的数只有0，故②是假命题；

③在同一平面内,如果，，，则a∥c，故③是假命题；

④直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中,最短线段的长是5cm,则点A 到直线c的距离是5cm，故④是真命题；

. . .

⑤无理数包括正无理数和负无理数，故⑤是假命题；

故选A.

【点睛】

本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握平行公理、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识.

6．下列命题是假命题的是

A．同位角相等

B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．平行于同一条直线的两直线平行

D．两直线平行，内错角相等

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行线的性质对A、C、D进行判断；利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直对B进行判断．

【详解】

解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项为假命题；

B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知垂直，所以B选项为真命题；

C、平行于同一条直线的两直线平行，所以C选项为真命题；

D、两直线平行，内错角相等，所以D选项为真命题．

故选：A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

7．下列命题为真命题的是（）

A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

B．两直线被第三条直线所截，同位角相等

C．垂直于同一直线的两直线互相垂直

D．三角形的外角和为

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可．【详解】

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A是真命题；

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B是假命题；

在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C是假命题；

三角形的外角和为360°，D是假命题；

故选A．

【点睛】

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8．下列说法中，正确的是

A．所有的命题都有逆命题B．所有的定理都有逆定理

C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题

【答案】A

【解析】

【分析】

根据互逆命题的定义对A进行判断；根据命题与逆命题的真假没有联系可对B、C、D 进行判断．

【详解】

选项A，每个命题都有逆命题，所以A选项正确；

选项B，每个定理不一定有逆定理，所以B选项错误；

选项C，真命题的逆命题不一定是真命题，所以C选项错误；

选项D，假命题的逆命题不一定是假命题，所以D选项错误．

故选A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．9．下列语句不是命题的是（）

. . .

A．明天有可能下雨B．同位角相等

C．∠A是锐角D．中国是世界上人口最多的国家

【答案】A

【解析】

【分析】

根据命题的概念逐一进行分析即可得到答案.

【详解】

A、明天有可能下雨，不是判断语句，故不是命题，符合题意；

B、同位角相等是命题，故不符合题意；

C、∠A是锐角是命题，故不符合题意；

D、中国是世界上人口最多的国家是命题，故不符合题意，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．

10．在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名．在期末考试中，他们又是班上的前四名．如果他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相同，那么排名情况有（）种可能．

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】

【分析】

根据他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相同有4种可能，分别列举，

【详解】

解：他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相同有4种可能，第二位同学的排名有2种可能，第三位与第四位的排名是确定的．

（如：甲的排名没有变，仍为第一，则乙到了第三或第四．假设乙到了第四，则丙就是第二，丁第三．）

所以有2×4=8种．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了枚举法的应用，根据已知得出所有的结果，以及分类讨论得出是解题关键．

11．一座大楼有4部电梯，每部电梯可停靠六层（不一定是连续六层，也不一定停最底层）．对大楼中任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，则这座大楼最多有（）层．

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】A

【解析】

【分析】

首先把楼层看作点，大楼中任意的两层，有一部电梯都可停靠，则两层所代表的点之间可以连一条线段，进而得出四部电梯最多可以连15×4=60条线段，再求出楼层与线段条数关系，进而得出答案．

【详解】

解：首先把楼层看作点，

大楼中任意的两层，有一部电梯都可停靠，则两层所代表的点之间可以连一条线段，

每部电梯可停靠六层，则这六层所代表的点之间可以连：5+4+3+2+1=15条线段，

则四部电梯最多可以连15×4=60条线段，

∵7层楼需要：6+5+4+3+2+1=21条线段，

8层楼需要：7+6+5+4+3+2+1=28条线段，

9层楼需要：8+7+6+5+4+3+2+1=36条线段，

10层楼需要：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45条线段，

11层楼需要：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55条线段，

12层楼需要：11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66条线段，

∴这个大楼的层数不超过11层．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了推理与论证，将楼层看作点数进而求出线段条数进而求出是解题关键．12．“两点确定一条直线”这句话是（）

A．定理B．基本事实C．结论D．定义

【答案】B

【解析】

【分析】

两点确定一条直线是个陈述句，是事实存在的，属于基本事实．

【详解】

. . .

解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实；

故选：B．

【点睛】

此题考查了命题与定理、公理，要熟悉课本中的性质定理是解题的关键，是一道基础题．13．下列命题中，真命题是（）

A．当路程一定时，时间与速度成正比例

B．“全等三角形的面积相等”的逆命题是真命题

C．是最简二次根式

D．到直线AB的距离等于1厘米的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为1cm的一条直线

【答案】C

【解析】

【分析】

利用路程、速度、时间的关系、全等三角形的性质、最简二次根式的定义及轨迹的定义分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A、当路程一定时，时间与速度成反比例，故本选项错误；

B、“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的三角形全等，是假命题，故本选项错误；

C、是最简二次根式，故本选项正确；

D、空间内与直线AB距离等于1厘米的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为1cm 的无数条直线，故本选项错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查命题与定理，解题的关键是根据相关知识点判断每个命题的真假.

14．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设

（）

A．三角形中有一个内角小于或等于60°B．三角形中有两个内角小于或等于60°C．三角形中有三个内角小于或等于60°D．三角形中没有一个内角小于或等于60°

【答案】D

【解析】

【分析】

熟记反证法的步骤，直接选择即可．

【详解】

根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，

即假设三角形中没有一个内角小于或等于60°．

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了反证法的步骤，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．

15．下列命题正确的是（）

A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

B．对角线相互垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形

D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．

【详解】

解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，此选项错误；

B、对角线相互垂直的四边形是菱形也可能是梯形，此选项错误；

C、对角线相等的四边形是矩形也可能是等腰梯形，此选项错误；

D、对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，此选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．

二、解答题

16．将下列命题改写成“如果...那么...”形式，并判断命题的真假，若是假命题请举反例。

（1）相等角是对顶角.

. . .

（2）直角三角形的两个锐角互余.

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】

【分析】

先根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可．【详解】

解：（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题；

反例：角平分线形成的两个角相等，但不是对顶角；（表述不唯一）

（2）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两锐角互余；真命题；

【点睛】

此题考查了命题与定理，关键是掌握有关性质与定理，对命题的真假进行判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．

17．写出下列命题的逆命题，并判断真假性．

（1）直角三角形的两锐角互余；

（2）若a=b，则＝；

（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0；

（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论．

【详解】

（1）直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；（2）若a=b，则=的逆命题是若=，则a=b，真命题；

（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0的逆命题是若a>0，b>0，则a+b>0，真命题；（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等的逆命题是若两个图形全等，则这两个图形关于某条直线对称，假命题．

【点睛】

本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

18．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

把原命题的题设和结论部分交换得到其逆命题，然后根据三角形内角和定理证明逆命题．

【详解】

命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题为直角三角形有两角互余．

已知：△ABC中，∠C=90°．

求证：∠A+∠B=90°．

证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，

而∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

即∠A与∠B互余．

【点睛】

本题考查命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了逆命题．

19．写出下列命题的逆命题，并判断真假．

（1）若x=3，则x2=9；

（2）三角形任何两边之和大于第三边；

（3）面积相等的三角形全等．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

（1）首先找出命题中的题设和结论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题；

（2）首先找出命题中的题设和结论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题；

（3）首先找出命题中的题设和结论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题．

【详解】

（1）若x2=9，则x=3，是假命题；

（2）如果两线段之和大于第三条线段，那么此三条线段可以组成三角形，是假命题；（3）如果三角形全等，那么它们的面积相等，是真命题．

. . .

【点睛】

本题考查命题与定理，解题关键是掌握命题由题设和结论两部分组成．

20．A，B，C，D，E五名学生猜测自己的数学成绩. A说：“如果我得优，那么B也得优.”B说：“如果我得优，那么C也得优.”C说：“如果我得优，那么D也得优.”D 说：“如果我得优，那么E也得优.”大家都没有说错，但只有三个人得优，请问：得优的是哪三个人？

【答案】C，D，E

【解析】

【分析】

分别从A同学得优进行推论判断．

【详解】

得优的同学是C、D、E．

因为若A得优，则5个同学都得优；若B得优，则4个同学都得优．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

三、填空题

21．写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题__________．

【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形

【解析】

【分析】

先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【详解】

“等腰三角形的两个底角相等”的题设是：一个三角形是等腰三角形，结论是：这个三角形的两个底角相等.

命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形. 故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形

【点睛】

考查命题，熟练中的找出原命题的题设和结论是解题的关键.

22．命题中①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线平

行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.为真命题的是________.

【答案】①④

【解析】

【分析】

根据直线的性质，平行线公理，垂线的性质，以及平行线的性质对各小题分析判断即可．【详解】

①平行于同一条直线的两条直线平行，正确；

②应为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本小题错误；

③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；

④过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，正确.

故答案为：①④.

【点睛】

本题考查平行线的性质，直线的性质，平行公理以及垂线的性质，，熟记性质与概念是解题的关键．

23．命题“同角的补角相等”，它的逆命题是_____．

【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．

【解析】

【分析】

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

【详解】

“同角的补角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．

【点睛】

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆题．

24．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为

________________________.题设是：________________________.结论是：

________________________.

【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等两个角相等这两个角的补角相等

. . .

【解析】

【分析】

根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式如果后面是题设，那么后面是结论，进而得出答案即可.

【详解】

命题“等角的补角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的补角相等”．

故命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等．

故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等；两个角相等；这两个角的补角相等．

【点睛】

本题考查了命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．命题的一般叙述形式为“如果…..，那么……”，其中，“如果”所引出的部分是题设（条件），“那么”所引出的部分是结论.

25．“如果a>0,b<0,那么ab<0”的逆命题是

_______________________________________

【答案】如果ab<0,那么a>0,b<0.

【解析】

【分析】

根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可．

【详解】

解：“如果a>0,b<0,那么ab<0”的逆命题为“如果ab<0,那么a>0,b<0”．

故答案为:如果ab<0,那么a>0,b<0．

【点睛】

本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

26．把“同角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为______．

【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等

【解析】

【分析】

先分清命题“同角的余角相等”的题设与结论，然后把题设写在“如果”的后面，结论写在

“那么”的后面．

【详解】

命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.

故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.

【点睛】

本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．

27．命题”两条对角线相等的平行四边形是矩形“的逆命题是_____．

【答案】矩形是两条对角线相等的平行四边形．

【解析】

【分析】

把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

【详解】

命题”两条对角线相等的平行四边形是矩形“的逆命题是矩形是两条对角线相等的平行

四边形，

故答案为：矩形是两条对角线相等的平行四边形．

【点睛】

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

28．命题“等角的余角相等”的条件是__________，结论是_________．

【答案】两个角相等它们的余角也相等.

【解析】

【分析】

命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案.

【详解】

“等角的余角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”，

所以：“等角的余角相等”的条件是：两个角相等；

结论是：它们的余角也相等，

故答案为：两个角相等；它们的余角也相等.

【点睛】

本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已. . .

知的条件，结论是由题设推出的结果．

29．“对顶角相等”是___命题（真、假），改成“如果，那么”___________________.【答案】真；如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

【解析】

【分析】

先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可．

【详解】

∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，该命题为真命题，∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，

故答案为：真；如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，属于基础题，注意掌握命题的条件和结论的叙述．30．一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后_____将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）

【答案】不能．

【解析】

【分析】

根据按灯开关的要求，可得出不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，进而得出答案．【详解】

解：∵一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，

∴第一次按下后有两盏电灯亮着，有一盏电灯不亮，

这样再继续按两个开关，不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，故最后不能将3盏电灯都开亮．

故答案为：不能．

【点睛】

此题主要考查了推理与论证，根据题意得出不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮是解题关键．