电路的暂态分析
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第七章 动态电路的暂态分析
（4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求 得微分方程的特解（即待求电路响应）。
A u C (0 ) 3
微分方程的特解为
uC Ae 3e
t 2
t 2
V
t 0
（5）由求得的电路响应，求得其他响应。由uC可求得电流
t uC 3 2 i e A 2 2
第七章 动态电路的暂态分析
第一节 第二节 换路定律与初始值的计算 一阶电路的零输入响应
第三节
第四节
一阶电路的零状态响应
一阶电路的全响应
第五节
第六节
一阶电路的三要素法
RLC串联电路的零输入响应
第七章小结
电路
电阻性电路 ：仅含有电阻性元件（包括独立 电源和受控电源）的电路。 动态电路 ：含有动态元件（即储能元件） 的电路。
iC (0 ) iL (0 ) 2 A u L (0 ) R3iC (0 ) u C (0 ) u2 (0 ) 6 (2) 8 8 V 12 V
初始值的计算步骤
（1）由换路前的电路计算出电容元件的电压uC和电感元件 的电流iL，确定它们在t＝0－时的值uC (0－)和iL (0－) 。 （2）根据换路定律，确定电容元件和电感元件电流的初始 值uC (0＋)和iL (0＋) 。
（1）换路前：开关合于位置1，电路 处于稳态，电容元件已充电，其电压 为U0（U0=US）。开关合至位置2的最 初瞬间，由于电路中的电流不是不穷 大，电容元件的电压不能跃变，电容 元件中的电压仍保持为U0，即uC (0＋) =U0 。 （2）换路后：电路脱离电源，电容元 件两极上的正负电荷不断的地中和， 直至电容元件两极上的电荷全部中和， 电路中电压均为零时，电路暂态过程 告以结束，电路进入稳态。 换路后电路所经历的物理过程，实际 上就是电容元件的放电过程。
rlc电路暂态过程实验报告
rlc电路暂态过程实验报告RLC 电路暂态过程实验报告一、实验目的1、观察 RLC 串联电路在不同参数下的暂态过程，理解电路中电容充电、放电和电感储能、释能的特性。
2、研究 RLC 串联电路的阻尼振荡和临界阻尼等情况，掌握其规律。
3、学会使用示波器测量和分析电路中的电压和电流变化。
二、实验原理1、 RLC 串联电路的方程对于 RLC 串联电路，根据基尔霍夫定律，可以得到以下二阶线性常系数微分方程：＄L\frac{d^2i}｛dt^2} ＋ R\frac{di}｛dt} ＋＼frac{1}｛C}i ＝ 0$其中，＄L$为电感，＄R$为电阻，＄C$为电容，＄i$为电流。
2、暂态过程的分类根据电路参数的不同，暂态过程可以分为三种情况：（1）欠阻尼状态：当$R ＜ 2\sqrt{＼frac{L}｛C}｝＄时，电路的响应为衰减振荡，振荡的角频率为$＼omega_d ＝＼sqrt{＼frac{1}｛LC} （＼frac{R}｛2L}）＾2}＄。
（2）过阻尼状态：当$R ＞ 2\sqrt{＼frac{L}｛C}｝＄时，电路的响应为非振荡衰减。
（3）临界阻尼状态：当$R ＝ 2\sqrt{＼frac{L}｛C}｝＄时，电路的响应为非周期的临界衰减。
三、实验仪器1、示波器2、信号发生器3、电阻箱4、电感箱5、电容箱6、导线若干四、实验内容及步骤1、按照电路图连接好 RLC 串联电路，选择合适的电阻、电感和电容值。
2、用信号发生器产生一个阶跃电压信号，输入到电路中。
3、使用示波器同时观察电阻、电感和电容两端的电压变化，并记录波形。
（1）欠阻尼状态选择较小的电阻值，使电路处于欠阻尼状态。
观察并记录电容电压和电感电压的振荡波形，测量振荡周期和衰减系数。
（2）过阻尼状态增大电阻值，使电路处于过阻尼状态。
观察并记录电容电压和电感电压的非振荡衰减波形，测量衰减时间。
（3）临界阻尼状态调整电阻值，使电路处于临界阻尼状态。
观察并记录电容电压和电感电压的非周期临界衰减波形。
电工电子技术第5章一阶电路的暂态分析
∴
dW ≠∞ dt
→W(t) 是连续函数（不能跃变）。
结论 ①具有储能的电路在换路时产生暂态是一种自然现象。 ②无论是直流电路还是交流电路均有暂态。
三、名词术语
激励：电路从电源（包括信号源）输入的信号 统称为激励。 响应：电路在外部激励的作用下，或者在内部 储能的作用下产生的电压和电流统称为响应。 阶跃激励
例5.3 已知 U0 = 18 V， S 合上前电路为稳 态，当 t = 0 时将 S 合上。求 uC (t) 和 i (t) 。
解：(1) 求 uC (t) ∵ S 合上前电路为稳态，
∴ uC (0－) = 0 则 uC (0＋) = uC (0－) = 0 原电路等效为右下图，
磁场能量:
WL =∫p dt
=∫u i dt
=
1 2L
i
2
结论
① 当 i = 0 时，WL = 0；当 u = 0 时，WL ≠ 0 。 ② 电感电流是电感的状态变量。
i ＋－ ue L －＋
2. 电容（线性电容） q=Cu
dq
du
i = dt = C dt
瞬时功率: du
p = u i = C u dt
iS i2 R2 6
例5.2 图示电路，已知 S 合上前电路为稳
态，当 t = 0 时将 S 合上。求 iL 和 uL 的初始值 和稳态值。
解：(1) 求初始值 对于稳态直流电路
uL (0－) = 0
R1
iL
10 k ＋
IS
L uL －
S 30 mA
iL (0－) =
RR1＋2=IR1S02 mA
p=－
1 RC
时间常数 = RC (s)
第06章电路的暂态分析
t
i
U0 R –U0
uR
变化曲线
uR = – uC = –U0e –t /RC U0 –t / RC i = – –— e
R
在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由 初始值按同一指数规律衰减到零。
时间常数 = RC 称为RC电路的时间常数
S F 单位
时间常数 等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所 需的时间。
iL(0+) uL(0+) – L +
uL(0+)=– iL(0+)(R2+R3)
=– 54V 可见 uL(0+) uL(0–)
R2
15
t=0+的电路
换路瞬间仅iL不能跃变,
电感两端的电压uL是可 以跃变的，所以不必求 uL(0-)。
6.2 RC、RL电路的响应
6.2.1 一阶电路的零输入响应 RC电路的零输入响应
u"C
的解。
t RC
du C 通解即： RC uC 0 dt
其形式为指数。设：
u"C Ae
其中:
A为积分常数
u"C 随时间变化，故通常称为自由分量或
暂态分量。
a S
2 t=0 + 10V 4
i1
8 i3 b C + 4 uC 10µ F
-
i2
-
解: uC(0+)= uC(0- ) = 104/(2+4+4)=4V, R0=(4//4+8)=10
U0=4V
uC = U0 e–t / =4e
= R0 C=10 10 10–6=10–4 s
换路定则 : 从 t=0–到 t=0+瞬间，电感元件中的电流iL和电容元 件上的电压uC不能跃变。用公式表示为
第3章 电路的暂态分析
再由t＝ 时刻的电路 的电路： 再由 ＝0＋时刻的电路： 得：
U
i (0+) R1 2 + 6V -
+ R2 4 is(0+) L iL (0+) +
uR2
uR1
-
U 6 i (0 + ) = = =3A R1 2
is（0+）=i（0+）－ L（0+）=3－1=2 A （ ）－i － uR1（0+）=R1i（0+）=2×3=6 A （ × uR2（0+）=R2 iL（0+）=4×1=4 A × 由KVL：uL（0+）= -uR2（0+）= -4 V ：
2 t=0 S 1 + Us i + R uR C + uC
duC 且 i = iC = C dt duC ∴ u R = RC dt duC 故， RC + uC = U s dt
求解一阶线性常微分方程， 求解一阶线性常微分方程， 其解由两部分组成： 其解由两部分组成： 从数学观点解释： 从数学观点解释：
+ U -
i
R1 2 is
R2 4 L iL
6V
S t=0
∵开关闭合前电路已处于稳态，且电路为直流电路 开关闭合前电路已处于稳态， ∴电感相当于短路 则
U 6 iL (0 − ) = i (0 − ) = = =1A R1 + R 2 2 + 4
由换路定则，可得： 由换路定则，可得： iL（0+）=iL（0－）=1 A
）（t≥0） （V）（ ） ）（
三要素法公式
微分方程的通解： 微分方程的通解： 从物理观点解释： 从物理观点解释：
电工技术第三章 电路的暂态分析习题解答
第三章 电路的暂态分析含有电感或电容储能元件的电路，在换路时会出现暂态过程。
本章研究了暂态过程中电压与电流的变化规律。
主要内容：1．暂态过程的基本概念。
2．换路定则：在换路瞬间，电容电流和电感电压为有限值的情况下，电容电压 和电感电流在换路前后的瞬间保持不变。
3．RC 电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
4．RL 电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
5．一阶线性电路暂态分析的三要素法：一阶线性电路在直流激励下的全响应零、 输入响应和零状态响应都可以用三要素法τte f f f t f -+∞-+∞=)]()0([)()(来求出。
6．暂态过程的应用：对于RC 串联电路，当输入矩形脉冲，若适当的选择参数 和输出，可构成微分电路或积分电路。
[练习与思考]解答3-1-1什么是稳态？什么是暂态？解：当电路的结构、元件参数及激励一定时，电路的工作状态也就一定，且电流和电压为某一稳定的值，此时电路所处的工作状态就称为稳定状态，简称为稳态。
在含有储能元件的电路中，当电路的发生换路时，由于储能元件储的能量的变化，电路将从原来的稳定状态经历一定时间变换到新的稳定状态，这一变换过程称为过渡过程，电路的过渡过程通常是很短的，所以又称暂态过程。
3-1-2什么是暂态过程？产生暂态过程的原因是什么？解：含有储能元件的电路从一个稳态转变到另一个稳态的所需的中间过程称为电路的暂态过程（过渡过程）。
暂态过程产生的内因是电路中含有储能元件，外因是电路发生换路。
3-2-1 初始值和稳态值分别是暂态过程的什么时刻的值？解：初始值是暂态过程的+=0t 时刻的值，稳态值是暂态过程的∞=t 时刻的值。
3-2-2 如何求暂态过程的初始值？解：求暂态过程初始值的步骤为:⑴首先画出换路前-=0t 的等效电路，求出-=0t 时刻电容电压)0(-C u 和电感电流)0(-L i 的值。
对直流电路，如果换路前电路处于稳态，则电容相当于开路，电感相当于短路。
第三章 -暂态电路
第三章 线性电路的暂态分析
概述 3.1 暂态与换路定律 3.2 一阶线性电路的响应 3.3 一阶线性电路暂态分析的三 要素法
3.4 微分电路与积分电路
返回
概述 1、生活中碰到的现象2、暂态现象的危害；3、暂态现象 的利用
3.1 暂态与换路定律
3.1.1 暂态电路的基本概念
1. 激励和响应
电路从电源或者信号源输入的信号称为激励，也称为输入，
电路中的暂态过程虽然十分短暂，但它对电路产生的影响却十 分重要，一方面要充分利用电路的暂态规律来实现震荡信号的产生、 信号波形的改善和变换、电子继电器的延时动作等；另一方面又要 防止电路在暂态过程中产生的过电流或者过电压现象。过电压可能 会击穿电气设备的绝缘，从而影响到设备的安全运行；过电流可能 会产生过大的机械力或引起电气设备和元件的局部过热，从而使其 遭受机械损坏或热损坏，甚至造成人身安全事故。
返回
对于有储能元件(L、C )的电路,当：
1）电路接通电源或从电源断开、短路； 换
2）电路参数或电路结构改变。
路
电路中的 u、i 发生改变，电路从一种稳定 状态变化到另外一种新的稳定状态，这种变 化是不能瞬间完成的，需要经历一个过渡过 程。电路在过渡过程中的工作状态常称为暂 态。
返回
4、电路产生暂态的原因
只要求出“三要素”——f(∞)、f(0+)、，即可直接
写出暂态过程的解。
返回
运用三要素法求解一阶电路暂态过程的步骤:
S iR
t=0
+
+
US –
uC
–
1. 求初始值：
注意：
此时电路尚未
按照换路前的电 换路
路求解: uＣ(0 – )=0 电路处于稳态 ；依换路定律，得： ，
概述 3.1 暂态与换路定律 3.2 一阶线性电路的响应 3.3 一阶线性电路暂态分析的三 要素法
3.4 微分电路与积分电路
返回
概述 1、生活中碰到的现象2、暂态现象的危害；3、暂态现象 的利用
3.1 暂态与换路定律
3.1.1 暂态电路的基本概念
1. 激励和响应
电路从电源或者信号源输入的信号称为激励，也称为输入，
电路中的暂态过程虽然十分短暂，但它对电路产生的影响却十 分重要，一方面要充分利用电路的暂态规律来实现震荡信号的产生、 信号波形的改善和变换、电子继电器的延时动作等；另一方面又要 防止电路在暂态过程中产生的过电流或者过电压现象。过电压可能 会击穿电气设备的绝缘，从而影响到设备的安全运行；过电流可能 会产生过大的机械力或引起电气设备和元件的局部过热，从而使其 遭受机械损坏或热损坏，甚至造成人身安全事故。
返回
对于有储能元件(L、C )的电路,当：
1）电路接通电源或从电源断开、短路； 换
2）电路参数或电路结构改变。
路
电路中的 u、i 发生改变，电路从一种稳定 状态变化到另外一种新的稳定状态，这种变 化是不能瞬间完成的，需要经历一个过渡过 程。电路在过渡过程中的工作状态常称为暂 态。
返回
4、电路产生暂态的原因
只要求出“三要素”——f(∞)、f(0+)、，即可直接
写出暂态过程的解。
返回
运用三要素法求解一阶电路暂态过程的步骤:
S iR
t=0
+
+
US –
uC
–
1. 求初始值：
注意：
此时电路尚未
按照换路前的电 换路
路求解: uＣ(0 – )=0 电路处于稳态 ；依换路定律，得： ，
电路的暂态分析
2. 电流及电阻电压的变化规律
电容电压
uC
U
e
t RC
放电电流
uC
iC
C duC dt
U
e
t RC
R
电阻电压：
uR iC R
U
e
t RC
O
uR
iC
t
uR
3. uC 、iC 、 变化曲线
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4. 时间常数
令: RC
单位: S
(1) 量纲 Ω A s s
V
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢
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求特解 ---- u'C（方法二）
u'C (t) uC () U
通求解对即应：齐R次C微dd分utC方程u的C 通 解0 的tu解C
其解：uC Ae pt Ae RC
微分方程的通解为
uC uC uC U
Aet
（令
RC）
确定积分常数A
根据换路定则在 t=0+时， uC (0 ) 0
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结论
1. 换路瞬间，uC、 iL 不能跃变, 但其它电量均可以跃 变。
2. 换路前, 若储能元件没有储能, 换路瞬间(t=0+的等 效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。
3. 换路前, 若uC(0-)0, 换路瞬间 (t=0+等效电路中), 电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为uc(0+); 换路前, 若iL(0-)0 , 在t=0+等效电路中, 电感元件 可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。
(a) 电路
3电路的暂态分析
i
++ ++ +q
u
- - - - -q
C qu
电容符号 无极性
+ _
有极性 10
电容上电流、电压的关系
i u
C
q u
i dq
C du
C
dt dt
du
当 u U(直流) 时, dt 0
所以,在直流电路中电容相当于断路.
i0
电容元件中的电场能量为
W
t
uidt
u
Cudu
1Cu 2
0
0
2
13
注意 L、C 在不同电路中的作用
R1 L
U
R2
C
U为直流电压时, 以上电路等效为
L短路 C断路
R1 U R2
14
无源元件小结
理想元件的特性 （u 与 i 的关系）
R
L
u Ri
u L di dt
C
i C du dt
15
实际元件的特性可以用若干理想元件来表示 例： 电感线圈
L ：电感量 R：导线电阻 C：线间分布电容
当i(t2 ) i(t1)时WL 0, 元件释放能量
8
电感和结构参数的关系
线圈
i
面积
导磁率
u
e
L SN 2
l
线圈 长度
线性电感: L=Const (如:空心电感 不变) 非线性电感 : L = Const (如:铁心电感 不为常数)
9
三、电容 C 单位电压下存储的电荷
（单位：F, F, pF）
0
0
4、R l
s
3
二、电感 L： 单位电流产生的磁链
++ ++ +q
u
- - - - -q
C qu
电容符号 无极性
+ _
有极性 10
电容上电流、电压的关系
i u
C
q u
i dq
C du
C
dt dt
du
当 u U(直流) 时, dt 0
所以,在直流电路中电容相当于断路.
i0
电容元件中的电场能量为
W
t
uidt
u
Cudu
1Cu 2
0
0
2
13
注意 L、C 在不同电路中的作用
R1 L
U
R2
C
U为直流电压时, 以上电路等效为
L短路 C断路
R1 U R2
14
无源元件小结
理想元件的特性 （u 与 i 的关系）
R
L
u Ri
u L di dt
C
i C du dt
15
实际元件的特性可以用若干理想元件来表示 例： 电感线圈
L ：电感量 R：导线电阻 C：线间分布电容
当i(t2 ) i(t1)时WL 0, 元件释放能量
8
电感和结构参数的关系
线圈
i
面积
导磁率
u
e
L SN 2
l
线圈 长度
线性电感: L=Const (如:空心电感 不变) 非线性电感 : L = Const (如:铁心电感 不为常数)
9
三、电容 C 单位电压下存储的电荷
（单位：F, F, pF）
0
0
4、R l
s
3
二、电感 L： 单位电流产生的磁链
电工学电路的暂态分析
分析RC电路旳零输入响应，实际上就是分析它旳放电过程。
1S i
t=0 +
+2 U -
R -uR +
C -uC
图所示是一RC串联电路，当电容元件充 电到uC=U0时，即将开关S从位置1合到 2， 使电路脱离电源，输入为零。此时电容元 件上电压旳初始值uC(0+)=U0，于是电容元 件经过电阻 R 开始放电。
+
u-L L
t=0+ 旳电路
R1 i
2
+U -6V
iC + uC-
R2 4
C
iL
R3 4
+
u-L L
iL(0+)iL(0-)0 uC(0+)uC(0-)0
i(0+) iC(0+)1A uL(0+)4V
3·3 RC电路旳响应
3·3·1 RC电路旳零状态响应
所谓RC电路旳零状态响应，是指换路前电容元件末有能量， uC(0-)=0。在此条件下，由电源鼓励所产生旳电路旳响应，称为 零状态响应。
C
6 6
3 3
10310001012
2106s
所以 uC 3(1et / ) 2106 V 3(1e5105t ) V
3·3 RC电路旳响应
3·3·2 RC电路旳零输入响应
所谓RC电路旳零输入响应，是指无电源鼓励，输入信号为零。 由电容元件旳初始状态 uC(0+) 所产生旳电路旳响应，称为零输入 响应。
1 2
Cu2
不能跃变，这反应在电容元件上
旳电压 uC不能跃变：
可见：
电路旳暂态过程是因为储能元件旳能量不能跃变而产生旳。
3·2 储能元件和换路定则
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i L (0 ) 20 2A 10
u(0 ) 12V
u () 10V
L 1 S R1 // R2 r 80
u(t ) 10 2e 80tV
目 录
易错点：
1、 f(0+)的求取。 应当严格按照3.1节电路初始值的求解方法求取。 通常： f(0+)
US L diL L iL ; R dt R R iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
t
t
目 录
5 I S A , US=20V, 习题13 图示电路原已稳定.已知： 3
L=0.1H, R1=12Ω, R2=6Ω,r=4Ω,求开关闭合后的u。
一阶电路的三要素分析法
第9章：电路的暂态分析
稳态：在一定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 暂态：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
K
K R
+ _E
R
+ _E
uC
C
电阻是耗能元件 产生暂态过程的必要条件： ，其上电流 I 随 (1) 电路发生换路 (外因) (2) 电路中含有储能元件 (内因) 电压U成比例变 t 1 2 t 1 2 化，不存在过渡 WC 0 uidt Cu WL uidt Li 0 2 2 过程。 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以 有电感或（和）电容的电路存在过渡过程。
(一) (二)
经典法:用数学方法求解微分方程； 三要素法: 求 初始值 稳态值 时间常数
duC RC uC U s dt
一阶线性常系数 非齐次微分方程
方法具有普适性！！
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理 将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3 R1 R2 + U C iC + uC
第 9章
电路的暂态分析
9.1 换路定则及电压,电流的初始值 9.2 一阶电路的暂态响应 9.3 三要素法
9.4 微分电路和积分电路
9.5 RLC串联二阶电路的动态响应＊
学习要点
换路定则的应用及电路初始值的求解 暂态和稳态以及时间常数的意义
一阶暂态电路微分方程的建立及解的形式
全响应、零输入响应、零状态响应
1 2 ∵ L储能： W L Li L 2
1 2 CuC 2
u
i
C 不能突变
L 不能突变
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
注意：只有uC 、 iL受换路定则的约束而保持不变， 电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
3、电路其它初始值（t=0+）的确定： （1）换路瞬间，电容元件当作恒压源，恒压源的值为 uC（0＋）。 （2）换路瞬间，电感元件当作恒流源，恒流源的值为 iL（0＋）。 （3）按以上原则，确定出t=0+瞬间的等效电路，在此 基础上求解电路其它初始值。
3
V 2010 50010 10000V
IS
过电压
给电感储能提供泄放途径 K
L V
U
iL
R
续流二极管
4.小结：电压及电流初始值的确定 1) 由t=0- 电路求uC (0 )、i L (0 )
2) 根据换路定则求出
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
t
t
uC U 0e
当US＝0时
t
t
uR (US U 0 )e
t
U 0 iC e R
uR U 0e
t
9.2.3 RC一阶电路的零状态响应
uC U S (U 0 U S )e
U S U 0 iC e R
t
t
t
uC U S (1 e )
RC
L R
对于RL电路，时间常数为：
目 录
例4 图示电路原已稳定，开关S在t=0时合 上，求电压u(t).
①求u(0+)
t = 0+
t →∞
R0 R2 R1 // R 2k R0C 0.01S
戴维南等效电路
uC (0 ) uC (0 ) 2V
u(0 ) 1.5V
R0 + US C iC + uC
－
－
－
－
IS
R0
C
iC + uC
－
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。
经典法步骤:
1. 根据换路后的电路列微分方程
2. 求特解（稳态分量）
3. 求齐次方程的通解(暂态分量）
4. 由电路的初始值确定积分常数 对于复杂一些的电路，可由戴维南定理将储能 元件以外的电路化简为一个电动势和内阻串联 的简单电路，然后利用经典法的结论。
研究过渡过程的意义
过渡过程是一种自然现象，过渡过程的存在有利有弊。 有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种特定的波形 或改善波形； 不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或 过流，致使电气设备损坏，必须采取防范措施。 1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。 2. 控制、预防可能产生的危害 暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设 备或元件损坏。 注：直流电路、交流电路都存在暂态过程, 我们讲课的重点 是直流电路的暂态过程。
. U
K
V
L
iL
R
设开关 K 在 t = 0 时打开。 求:K打开的瞬间,电压表两端电压。 U 20 20mA 解: 换路前 iL (0 ) R 1000
换路瞬间 iL (0 ) iL (0 ) 20mA
I S iL (0 ) 20 mA
V
3
uV (0 ) iL (0 ) RV
uL (0 ) U 6V
例2：图示电路原处于稳态， t=0时开关S打开，求 换路瞬间电路中的电流和电压初始值。
iL (0 ) 0.5 A, u2 (0 ) 100 V, u L (0 ) 0V , iC (0 ) 1.5 A
例3：已知:
U 20 V、R 1k、L 1H 电压表内阻 RV 500k
9.2 一阶电路的暂态响应 一阶电路： 用一阶微分方程来描述的电路。电 路中只含有一个动态元件。 输入为零时，由初始状态产生的 零输入响应： 响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。 零状态响应： 初始状态为零时，由激励产生的 响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。 全响应： 由外加输入和储能元件初始储能共同 作用在电路中产生的响应。
uc (0 ) 0V , iL (0 ) 0 A
3、画出t=0+时的等效电路 i1 (0 ) U R1 6 A , i2 (0 ) 0 A
i3 (0 ) U R3 2 A , i(0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) i3 (0 ) 8 A
US iC e R
t
当U0＝0时
t
uR (US U 0 )e
uR USe
t
小结：
uC U S (U 0 U S )e
US U0 iC e R
t
t
uC U 0e
t
t
uC U S (1 e )
U S iC e R
t
US
+
R1
C
-
答案：
( b )
例1：图示电路原处于稳态，开关S闭合前电容和电 感均未储能，t=0时开关S闭合，电源U=6V，R1=1Ω， R2=2Ω， R3=3Ω，求换路瞬间电路中的电流和电压 初始值。
解： 1、t=0-时， uc (0 ) 0V , iL (0 ) 0 A
2、t=0+时，根据换路定则
9.2.1
RC一阶电路的全响应
u R uC U S duC 而: iC C dt du C u R Ri C RC dt
从而得微分方程：
图示电路处于稳态， t=0时开关S闭合，已知初始值uC(0-)= U0 。 S闭合后，电路可能出 根据KVL ，得回路电压方程为： 现哪几种工作情况？
t
t
uR (US U 0 )e
t
U 0 iC e R
uR U 0e
uR USe
t
根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和 零状态响应，即：全响应=零输入响应+零状态响应。 根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量， 即：全响应=稳态分量+暂态分量。
uC (t ) U S (U 0 U S )e
t
RC
时间常数，单位：秒 看书55页，表3-1。
一般认为：(3~5)后暂态过程结束，进入稳态。
越小变化越快！！！
目 录
9.2.2 RC一阶电路的零输入响应
uC U S (U 0 U S )e
U S U 0 iC e R
3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的u(0 )或 i (0 ) 注意： 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中 (1) 若 uC (0 ) U 0 0 ，电容元件用恒压源代替， 其值等于U 0 ; 若 uC (0 ) 0 ， 电容元件视为短路。
u(0 ) 12V
u () 10V
L 1 S R1 // R2 r 80
u(t ) 10 2e 80tV
目 录
易错点：
1、 f(0+)的求取。 应当严格按照3.1节电路初始值的求解方法求取。 通常： f(0+)
US L diL L iL ; R dt R R iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
t
t
目 录
5 I S A , US=20V, 习题13 图示电路原已稳定.已知： 3
L=0.1H, R1=12Ω, R2=6Ω,r=4Ω,求开关闭合后的u。
一阶电路的三要素分析法
第9章：电路的暂态分析
稳态：在一定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 暂态：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
K
K R
+ _E
R
+ _E
uC
C
电阻是耗能元件 产生暂态过程的必要条件： ，其上电流 I 随 (1) 电路发生换路 (外因) (2) 电路中含有储能元件 (内因) 电压U成比例变 t 1 2 t 1 2 化，不存在过渡 WC 0 uidt Cu WL uidt Li 0 2 2 过程。 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以 有电感或（和）电容的电路存在过渡过程。
(一) (二)
经典法:用数学方法求解微分方程； 三要素法: 求 初始值 稳态值 时间常数
duC RC uC U s dt
一阶线性常系数 非齐次微分方程
方法具有普适性！！
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理 将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3 R1 R2 + U C iC + uC
第 9章
电路的暂态分析
9.1 换路定则及电压,电流的初始值 9.2 一阶电路的暂态响应 9.3 三要素法
9.4 微分电路和积分电路
9.5 RLC串联二阶电路的动态响应＊
学习要点
换路定则的应用及电路初始值的求解 暂态和稳态以及时间常数的意义
一阶暂态电路微分方程的建立及解的形式
全响应、零输入响应、零状态响应
1 2 ∵ L储能： W L Li L 2
1 2 CuC 2
u
i
C 不能突变
L 不能突变
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
注意：只有uC 、 iL受换路定则的约束而保持不变， 电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
3、电路其它初始值（t=0+）的确定： （1）换路瞬间，电容元件当作恒压源，恒压源的值为 uC（0＋）。 （2）换路瞬间，电感元件当作恒流源，恒流源的值为 iL（0＋）。 （3）按以上原则，确定出t=0+瞬间的等效电路，在此 基础上求解电路其它初始值。
3
V 2010 50010 10000V
IS
过电压
给电感储能提供泄放途径 K
L V
U
iL
R
续流二极管
4.小结：电压及电流初始值的确定 1) 由t=0- 电路求uC (0 )、i L (0 )
2) 根据换路定则求出
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
t
t
uC U 0e
当US＝0时
t
t
uR (US U 0 )e
t
U 0 iC e R
uR U 0e
t
9.2.3 RC一阶电路的零状态响应
uC U S (U 0 U S )e
U S U 0 iC e R
t
t
t
uC U S (1 e )
RC
L R
对于RL电路，时间常数为：
目 录
例4 图示电路原已稳定，开关S在t=0时合 上，求电压u(t).
①求u(0+)
t = 0+
t →∞
R0 R2 R1 // R 2k R0C 0.01S
戴维南等效电路
uC (0 ) uC (0 ) 2V
u(0 ) 1.5V
R0 + US C iC + uC
－
－
－
－
IS
R0
C
iC + uC
－
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。
经典法步骤:
1. 根据换路后的电路列微分方程
2. 求特解（稳态分量）
3. 求齐次方程的通解(暂态分量）
4. 由电路的初始值确定积分常数 对于复杂一些的电路，可由戴维南定理将储能 元件以外的电路化简为一个电动势和内阻串联 的简单电路，然后利用经典法的结论。
研究过渡过程的意义
过渡过程是一种自然现象，过渡过程的存在有利有弊。 有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种特定的波形 或改善波形； 不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或 过流，致使电气设备损坏，必须采取防范措施。 1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。 2. 控制、预防可能产生的危害 暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设 备或元件损坏。 注：直流电路、交流电路都存在暂态过程, 我们讲课的重点 是直流电路的暂态过程。
. U
K
V
L
iL
R
设开关 K 在 t = 0 时打开。 求:K打开的瞬间,电压表两端电压。 U 20 20mA 解: 换路前 iL (0 ) R 1000
换路瞬间 iL (0 ) iL (0 ) 20mA
I S iL (0 ) 20 mA
V
3
uV (0 ) iL (0 ) RV
uL (0 ) U 6V
例2：图示电路原处于稳态， t=0时开关S打开，求 换路瞬间电路中的电流和电压初始值。
iL (0 ) 0.5 A, u2 (0 ) 100 V, u L (0 ) 0V , iC (0 ) 1.5 A
例3：已知:
U 20 V、R 1k、L 1H 电压表内阻 RV 500k
9.2 一阶电路的暂态响应 一阶电路： 用一阶微分方程来描述的电路。电 路中只含有一个动态元件。 输入为零时，由初始状态产生的 零输入响应： 响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。 零状态响应： 初始状态为零时，由激励产生的 响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。 全响应： 由外加输入和储能元件初始储能共同 作用在电路中产生的响应。
uc (0 ) 0V , iL (0 ) 0 A
3、画出t=0+时的等效电路 i1 (0 ) U R1 6 A , i2 (0 ) 0 A
i3 (0 ) U R3 2 A , i(0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) i3 (0 ) 8 A
US iC e R
t
当U0＝0时
t
uR (US U 0 )e
uR USe
t
小结：
uC U S (U 0 U S )e
US U0 iC e R
t
t
uC U 0e
t
t
uC U S (1 e )
U S iC e R
t
US
+
R1
C
-
答案：
( b )
例1：图示电路原处于稳态，开关S闭合前电容和电 感均未储能，t=0时开关S闭合，电源U=6V，R1=1Ω， R2=2Ω， R3=3Ω，求换路瞬间电路中的电流和电压 初始值。
解： 1、t=0-时， uc (0 ) 0V , iL (0 ) 0 A
2、t=0+时，根据换路定则
9.2.1
RC一阶电路的全响应
u R uC U S duC 而: iC C dt du C u R Ri C RC dt
从而得微分方程：
图示电路处于稳态， t=0时开关S闭合，已知初始值uC(0-)= U0 。 S闭合后，电路可能出 根据KVL ，得回路电压方程为： 现哪几种工作情况？
t
t
uR (US U 0 )e
t
U 0 iC e R
uR U 0e
uR USe
t
根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和 零状态响应，即：全响应=零输入响应+零状态响应。 根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量， 即：全响应=稳态分量+暂态分量。
uC (t ) U S (U 0 U S )e
t
RC
时间常数，单位：秒 看书55页，表3-1。
一般认为：(3~5)后暂态过程结束，进入稳态。
越小变化越快！！！
目 录
9.2.2 RC一阶电路的零输入响应
uC U S (U 0 U S )e
U S U 0 iC e R
3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的u(0 )或 i (0 ) 注意： 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中 (1) 若 uC (0 ) U 0 0 ，电容元件用恒压源代替， 其值等于U 0 ; 若 uC (0 ) 0 ， 电容元件视为短路。