数理方程—横向纵向振动问题、波动方程
大学物理波动方程
4
波线: 沿波的传播方向作的 有方向的线。 波前: 在某一时刻，波传播 到的最前面的波面。
波面 波线
波面
波线
球面波 z
波面
x
y
波线
平面波
柱面波
5
注意 在各向同性均匀介质中，波线⊥波面。
三、波长
周期
频率和波速
波长（） : 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间
的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离 。波长反映了波的空间周期性。
T 4s
2m
u 0.5 m s 1
2 rad s 1 T 2 y0 0.5 cos( t ) t=0原点0: 2 2 2
20
例 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为
y 0.04 cos (50t 0.10 x) m
1
横波 波的传播方向 质点的振动方向 特点：具有波峰和波谷 纵波 波的传播方向 质点振动方向 特点：具有疏密相间的区域
下面以横波为例观察波的形成过程
2
t 0
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
静止
T t 4
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
振动状态 传至4
T t 2
1 2
t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到x1+Δx 处，则
可得到
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x y ( x, t ) A cos[2π (t ) 0 ] t x y ( x, t ) A cos[2π ( ) 0 ] T
波动方程的标准形式
波动方程的标准形式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。
波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。
在实际应用中，波动方程的标准形式经常需要结合边界条件和初值条件来求解。
例如，对于一维的弦波振动问题，可以在波动方程中加入弦的边界条件和初始位移等条件来求解波动的形状和传播速度。
数理方程3.1 一维波动方程的初值问题
§3.1 一维波动方程的初值问题
21 5 x − y = C1 x + y = C , 2
特征线为
作变量代换
ξ = 5x − y η = x + y,
原方程化为
uξη = 0
其通解
u = F (5x − y ) + G(x + y )
利用初始条件可得
F (5x) + G(x) = 5x, −F ′ (5x) + G′ (x) = 0
utt = a2 uxx , u(x, 0) = 1 , ut (x, 0) = 0, 1 + 4 x2 − ∞ < x < +∞, t > 0, − ∞ < x < +∞
1 . 1+4x2
从静止开始
由达朗贝尔公式得
1 1 1 1 1 u(x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] = · + · 2 2 2 1 + 4(x + at) 2 1 + 4(x − at)2
其中ϕ(x), ψ (x)分别表示初值位移和初始速度. 1. 泛定方程的通解 x 2 dx 2 采用第2.1节中的方法, 特征方程为( d （特征 dt ) − a = 0, 特征线方程为 dt = ±a, 其通解 线）为x + at = C1 , x − at = C2 , 作变换
ξ = x + at, η = x − at,
第三章
波动方程的初值问题与行波法
§3.1 一维波动方程的初值问题
本节思路: 无界弦的自由振动(utt = a2 uxx , −∞ < x < +∞): 经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解, 代入初始条件得特解（达朗贝尔公式） 无界弦的受迫振动(utt = a2 uxx + f, −∞ < x < +∞): 由叠加原理分解为: 齐次问题+零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解） 半无界弦的振动问题(utt = a2 uxx + f, 0 < x < +∞): 以某种方式延拓f 及初始函数, 转成无限长的弦的振动, 求出解后限制在半无界区域上.
波动方程或称波方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。
波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。
在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。
在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。
而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。
在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。
此时，c应该用波的相速度代替：实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。
这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。
绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。
在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波:式中：•和被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamé moduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数；•表示密度；•是源函数（即外界施加的激振力）；•表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。
数理方程-波动方程的导出
地震波传播规律的研究中，波动方程发挥了重要作用 。
电磁波传播
在研究电磁波传播时，波动方程用于描述电磁场的变 化规律。
波动方程的数学表达形式
01
一维波动方程
一维波动方程是描述一维空间中波动现象的基本方程，形 式为 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$。
03
CATALOGUE
波动方程的物理意义
波动方程的物理背景
波动现象
波动方程是描述波动现象的基本数学工具，如声波、光波、水波等。
波动方程的导出
基于物理定律和数学推导，将实际问题抽象为数学模型，进而得到波动方程。
波动方程的物理应用
声学研究
波动方程在声学研究中用于描述声波传播规律，如声 速、声压等。
从而模拟声波的传播过程。
水波传播的模拟
要点一
总结词
波动方程也可以用来描述水波的传播规律，通过求解波动 方程可以得到水波的传播速度、振幅和相位等信息。
要点二
详细描述
水波是一种常见的波动现象，其传播规律可以用波动方程 来描述。在水波传播的模拟中，我们需要考虑水的密度、 弹性模量、阻尼系数等参数，以及水波的频率、振幅、波 长等特征。通过求解波动方程，我们可以得到水波在介质 中的传播速度、振幅和相位等信息，从而模拟水波的传播 过程。
波动方程的应用实例
声波传播的模拟
总结词
波动方程可以用来描述声波在介质中的传播 规律，通过求解波动方程可以得到声波的传 播速度、振幅和相位等信息。
详细描述
声波是一种波动现象，其传播规律可以用波 动方程来描述。在声波传播的模拟中，我们 需要考虑介质的密度、弹性模量、阻尼系数 等参数，以及声波的频率、振幅、波长等特 征。通过求解波动方程，我们可以得到声波 在介质中的传播速度、振幅和相位等信息，
如何推导波动方程解答波动问题
如何推导波动方程解答波动问题波动问题在物理学和工程学领域中非常重要。
解决波动问题需要利用波动方程来描述和分析波的行为。
本文将介绍如何推导波动方程以解答波动问题，并讨论常见的波动问题的解决方法。
一、波动方程的推导波动方程描述了波在时间和空间中的传播行为。
对于一维波动问题，波动方程可以由基本的力学和运动学定律推导得到。
我们考虑一根细长的弹性绳，在无重力和阻力的情况下，沿着x轴方向传播的波动。
设绳的质量线密度为μ，根据牛顿第二定律和胡克定律，可以得到绳上任意一点的受力和运动方程。
首先，考虑绳的横向受力平衡。
在绳的x位置，绳上方和下方的作用力分别为T(x+Δx)和T(x)，其中Δx为绳段的长度。
由于绳在该位置上受到的合力为0，我们可以得到：T(x+Δx)cosθ - T(x)cosθ = 0其中θ为绳与x轴的夹角，cosθ可以近似为1。
将上式化简，得到：T(x+Δx) - T(x) = 0接下来，考虑绳的纵向运动方程。
根据牛顿第二定律，可以得到：μΔx∂²y/∂t² = T(x)sinθ - T(x+Δx)sinθ将上式化简，得到：μΔx∂²y/∂t² = T(x)[sinθ - sin(θ+Δθ)]利用小角度近似sinθ ≈ sin(θ+Δθ) ≈ sinθ + Δθcosθ，上式可以进一步化简为：μΔx∂²y/∂t² = T(x)Δθcosθ由于弦上的张力T(x)与弦的斜率有关，我们可以用斜率的梯度来表示T(x)。
即：T(x) ≈ T(x+Δx) - ∂T/∂x Δx将上式代入波动方程中，我们可以得到：μΔx∂²y/∂t² = (T(x+Δx) - ∂T/∂x Δx)Δθcosθ进一步整理可得：μ∂²y/∂t² = (∂T/∂x)Δθcosθ当Δx趋近于0，可以得到波动方程的微分形式：μ∂²y/∂t² = ∂T/∂x根据绳的线密度μ和横波速度v的定义，可以得到：v²∂²y/∂t² = ∂²y/∂x²此即为一维波动方程的微分形式。
波动方程推导过程
dx
F
x, t
dx
dx
2u x,t
t 2
T a2, f x,t F x,t
记：
可编辑ppt
3
可得：
2u x, t
t 2
a2
2u x, t
x2
f
x,t
一维非齐次波动方程
2u x, y, t
t 2
a2
2u x, y, t
x2
2u x, y, t
y2
f
x,
y, t
Q
x
x+Δx
x 0
可编辑ppt
1
由牛二定律：
因运动为微小横振动，可得：
注：
tan 1 x
0
u
x
dx,t
x
u
x,
t
tan
1
u
x,
x
t
可编辑ppt
2
可得：
即： T2 T1 T
u x dx,t u x,t
T
x
dx
x
dx
F
x,
t
dx
dx
2u
t
x,
2
t
T
2u x,t
tantandxdxdxdxdx一维非齐次波动方程二维非齐次波动方程三维非齐次波动方程在没有外力f的作用下方程变为齐次
一维波动方程推导：
四个条件
横振动 微小振动 弦是柔软的 弦是均匀的
张力沿切线方向 密度均匀 ρ
u ux+Δx
ux
单位长度外力 F(x,t)
P
α1
T1(x,t)
x
α2 张力T2(x,t)
21-22讲 数理方程的导出
(4)由数理方程发展为定解问题。
第七章 数学物理定解问题
在研究某个物理量时，不仅要研究其随时间的变化，还要考虑 其所处的位置，因此这种方程为偏微分方程。 同一类物理现象满足同一物理规律（即同一类数学方程），这 称为共性；而对于具体问题，又有各自的个性。在解决这些具体 问题时，不仅要考虑其所处的环境（即边界条件），还要考虑其 所在的特定历史情况（即初始条件）。边境条件和初始条件称为 定解条件。 表达物理规律的偏微分方程称为数学物理方程，其解与具体条 件无关，在数学上称其为泛定方程。
第二篇 数学物理方程
自然界的许多现象都可以用一种数学模型来抽象，而解决这种 抽象的方程便是数学物理方程，该方程通常为偏微分方程。 数理方程是在微积分产生后形成的。18世纪,Taylor和Bernoulli 研究弦的横振动、Fourier研究热传导、Euler和Lagrange研究流体 力学、Laplace研究位函数时，均给出了相应的数学方程，并给出 经典解。到19世纪中叶，逐渐形成了经典偏微分方程理论。 到20世纪，又提出了大量的数学物理问题，也推动了数学的发 展，出现了许多数学分支：泛函分析、拓扑学、群论、微分几何 等。而这些又为解决数理方程提供了强有力的手段，使数理方程 得到很大发展，主要表现为： (1)由齐次偏微分方程推广到非齐次； (2)偏微分方程的类型出现交叉，如双曲-抛物型； (3)数理方程已深入到生物、化学、经济等领域；
Y
声波沿方向传播时，微元受到的合力为(p为压强)：
p dFz [ p( x, y, z, t ) p( x, y, z dz, t )]dxdy dzdxdy. z
同理，声波沿X、Y方向传播时，微元受到的合力分别为：
dFx p dxdydz, x
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u(xx,t) u( x, t )
ˆ u (x x ,t)u (x ,t)
x
x
xx
u (x x ,x t)u (x) x 0 u x(x,t)
tanˆ x 0ux(x,t)tan
3/16
二阶偏导数 u tt 物理意义——物体运动加速度
T( tan 2－tan 1) = ρds utt
T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds utt
ds≈dx
T ux(xd,d xt)x ux(x,t)utt
utt= a2 uxx
其中
T a2
一维波动方程: utt = a2 uxx
考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维 波动方程的非齐次形式
utt = a2 uxx + f(x, t)
细杆的纵向振动问题
u(x,t) u(x+dx,t)
O
x x+dx L
均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的
一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动
(沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t)
细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y ux Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。
由
ux(xd,d tx ) xux(x,t)ux(xx,t)
令 a2 = Y/。化简，得 utt = a2 uxx
或
2u t2
a2
2u x2
弦振动问题定解条件
细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初始 条件包括初始位移和初始速度 边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态
u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或: u(0,t)=0, u(L,t)=0
初始条件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x)
10/16
波动方程定解条件I
utt a2uxx, 0xL,0t u(0,t)0,u(L,t)0, 0t
12/16
波动方程定解条件III O
u(L,t)
L
细杆在 x = 0 点固定, 在 x = L 处受外力 F(t) 作用
u tt F (t) Sx Y (L u ,t)
F(t) – SY ux( L , t ) = 0
ux
F(t)/SY
xL
Байду номын сангаас
utt a2uxx,
0xL,0t
u(x,0)(x),ut(x,0)0,0xL
(x) 2 2h h(L /x L,x)/L,L 0/2x xL /L 2
u
h O
x
L/2
L
11/16
波动方程定解条件II
细弦的线密度为,一端固定在坐标原点,另一端固定在
x 轴上的 L 处.弦的中点受到垂直于 x 轴方向的冲量
数学物理方程
弦的横向振动问题 细杆的纵向振动问题 波动方程的定解条件
物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等 领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。
物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各 阶导数与自变量的关系。
单摆的数学模型:
m
d2
Ldt2
m
gsin
牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量
T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)
SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
用牛顿第二定律
SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = S dxutt
T ux(xd,d xt)x ux(x,t)utt
I 的作用,作微小横振动。函数 u(x,t) 表示位移
utt a2uxx, 0xL,0t u(0,t)0,u(L,t)0, 0t
u(x,0)0,ut(x,0)(x),0xL
(x) 0 I,/2 (),L o/2th e x rL/2
u|x00,ux xLF(t)/SY, 0t
u(x,0)0,ut(x,0)0, 0xL
13/16
波动方程定解条件IV
弦的一端固定在原点,另一端与 x 轴上 L 处的弹簧相 接.受到扰动,作上下微小横振动。
在右端点处(张力=弹性力) : Tux= -Ku
令 =T/K, 得[u + ux]x=L=0
二阶偏导数: u x(x x ,t) lx i0u m x(x x ,tx ) u x(x ,t)
ux(xx,t) lx i0m tan 2 xtan 1
tan1
tan2
x
x
xx
几何意义——曲线曲率近似
4/16
弦的横向振动问题
一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端 沿 x 轴拉紧固定在 x 轴上的 L 处，受到扰动，开 始沿 x 轴(平衡位置)作微小横振动(细弦线上各 点运动方向垂直于x 轴).试建立细弦线上任意点位移 函数 u(x,t) 所满足的规律 .
uut|tx0a20u,x[xu,x
0xL,0t
u]xL 0,0t
设细弦上各点线密 度为ρ, 细弦上质点 之间相互作用力为 张力T(x，t)
u
T1 O
T2 ds
ρgds
x
x x+dx
水平合力为零
T2 cos 2－T1 cos 1 = 0
cos 1≈cos 2 ≈1 T2≈T1≈T
铅直合力: F=m a
T( sin 2－sin 1) = ρds utt sin 1 ≈tan 1
虎克定律: (1) f = –k x; f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长 (2) p = Y ux; Y—杨氏模量; ux—弹性体相对伸长
二元函数: u = u(x, t )
一阶偏导数: ux(x,t) lx i0m u (x x ,x t)u (x) 几何意义——曲线的切线斜率